高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義(人教A版必修第二冊)期末押題卷1(原卷版+解析)

期末押題卷1一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為（

）A．1 B． C． D．2．已知向量，若則（

）A．3 B． C．12 D．3．在中，角所對的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．4．用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形．已知點是斜邊的中點，且，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．5．三棱柱中，與AC、AB所成角均為60°，，且，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．某校組織全體學(xué)生參加了主題為“奮斗百年路，啟航新征程”的知識競賽，隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法不正確的是（

）A．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有10人B．這100名學(xué)生成績的眾數(shù)為85C．估計全校學(xué)生成績的平均分?jǐn)?shù)為75D．這100名學(xué)生成績的中位數(shù)為7．保險柜的密碼由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四個數(shù)字組成，假設(shè)一個人記不清自己的保險柜密碼，只記得密碼全部由奇數(shù)組成且按照遞增順序排列，則最多輸入2次就能開鎖的概率是（

）A． B． C． D．8．在正方體中，為棱的一個三等分點（靠近點），分別為棱，的中點，過三點作正方體的截面，則下列說法正確的是（

）A．所得截面是六邊形B．截面過棱的中點C．截面不經(jīng)過點D．截面與線段相交，且交點是線段的一個五等分點二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.）9．已知平面非零向量，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若是平面所有向量的一組基底，且不是基底，則實數(shù)B．若存在非零向量使得，則C．若，則存在唯一的正實數(shù)，使得D．設(shè)，，且與不共線，若，則10．已知m，n是互不重合的直線，，是互不重合的平面，下列四個命題中正確的是（

）A．若，，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則11．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為B．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為C．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為12．在中，角所對的邊分別是，下列說法正確的是（

）A．若，則的形狀是等腰三角形B．，，若，則這樣的三角形有兩個C．若，則面積的最大值為D．若的面積，，則的最大值為三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．已知，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點位于第三象限內(nèi)，則m的取值范圍是______.14．如圖，在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，則和所成的角等于______________．15．把一個骰子連續(xù)拋擲兩次，得到的點數(shù)依次為，，則使得關(guān)于的方程有2個互不相等的實數(shù)根的概率為________．16．已知點是正六邊形內(nèi)部（包括邊界）一動點，，則的最大值為__________．四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，且是實數(shù)．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．18．新冠肺炎疫情期間，某市為了了解本地居民對當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從市居民中隨機抽取若干居民進(jìn)行評分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有2200人.(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；(2)從頻率分布直方圖中，估計本次評測分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和平均數(shù)（精確到0.1）；(3)設(shè)該市居民為50萬人，估計全市居民對當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ髟u分在85分以上的人數(shù).19．某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解全校學(xué)生本學(xué)期開學(xué)以來（60天）的課外閱讀時間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.將樣本中的“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”按學(xué)生的課外閱讀時間（單位：時）各分為5組[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計全校學(xué)生中課外閱讀時間在[30，40）小時內(nèi)的總?cè)藬?shù)是多少；(2)從課外閱讀時間不足10小時的樣本學(xué)生中隨機抽取3人，求至少有2個初中生的概率；(3)國家規(guī)定，初中學(xué)生平均每人每天課外閱讀時間不少于半個小時.若該校初中學(xué)生課外閱讀時間小于國家標(biāo)準(zhǔn)，則學(xué)校應(yīng)適當(dāng)增加課外閱讀時間，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，該校是否需要增加初中學(xué)生的課外閱讀時間？并說明理由.20．如圖，在四邊形ABCD中，，，E是線段CD上的點，直線BD與直線AE相交于點P，設(shè)，，．(1)若，，，E是線段CD的中點，求與同向的單位向量的坐標(biāo)；(2)若，用，表示，并求出實數(shù)的值．21．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在問題中的橫線上，并解答問題．問題：在中，角所對的邊分別為．已知，，(1)求的值；(2)求的值．22．如圖，在三棱柱中，已知，，，．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值．期末押題卷1一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部為（

）A．1 B． C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)虛部的概念，即可得答案.【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以數(shù)z的虛部為-2.故選：C2．已知向量，若則（

）A．3 B． C．12 D．答案：B【解析】分析：根據(jù)相互垂直的兩個向量的數(shù)量積為0可得結(jié)果.【詳解】,因為，所以，所以，得.故選：B3．在中，角所對的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)余弦定理可求出結(jié)果.【詳解】依題意得，又，所以.故選：D4．用斜二測畫法畫水平放置的的直觀圖，得到如圖所示的等腰直角三角形．已知點是斜邊的中點，且，則△ABC的面積為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分析：根據(jù)斜二測畫法，即直觀圖中平行于軸的長度不變，平行于軸的長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，根?jù)題中所給的數(shù)據(jù)以及圖形，可知角形為直角三角形，，，，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因為為等腰直角三角形且，所以，，由斜二測畫法可知，，且三角形為直角三角形，，所以三角形ABC的面積為．故選：B.5．三棱柱中，與AC、AB所成角均為60°，，且，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：延長至，使得，，異面直線與所成角為或其補角．設(shè)，求出中的三邊長后可得結(jié)論．【詳解】如圖，延長至，使得，連接，，則由與平行且相等得平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角為或其補角．設(shè)，則是菱形且，所以，，是等邊三角形，，又，所以，則，所以，，所以異面直線與所成角的余弦值是．故選：A．6．某校組織全體學(xué)生參加了主題為“奮斗百年路，啟航新征程”的知識競賽，隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開區(qū)間），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法不正確的是（

）A．在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有10人B．這100名學(xué)生成績的眾數(shù)為85C．估計全校學(xué)生成績的平均分?jǐn)?shù)為75D．這100名學(xué)生成績的中位數(shù)為答案：C【解析】分析：A由直方圖求區(qū)間上的樣本數(shù)量；B由頻率的大小確定眾數(shù)的位置；C、D根據(jù)頻率直方圖求出平均數(shù)、中位數(shù).【詳解】A：由直方圖知：內(nèi)的學(xué)生有人，正確；B：由圖知：內(nèi)的學(xué)生頻率最大，則眾數(shù)為85，正確；C：全校學(xué)生成績的平均分?jǐn)?shù)為，錯誤；D：由，則中位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，令中位數(shù)為，則，可得，正確.故選：C7．保險柜的密碼由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四個數(shù)字組成，假設(shè)一個人記不清自己的保險柜密碼，只記得密碼全部由奇數(shù)組成且按照遞增順序排列，則最多輸入2次就能開鎖的概率是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】分析：根據(jù)給定條件，利用列舉法計算古典概率，再用互斥事件的概率公式計算作答.【詳解】密碼全部由奇數(shù)組成且按照遞增順序排列的結(jié)果有：，，共5個，它們等可能，最多輸入2次就能開鎖的事件A，它是輸入1次能開鎖的事件，第2次輸入才能開鎖的事件的和，它們互斥，，，則，最多輸入2次就能開鎖的概率是.故選：C8．在正方體中，為棱的一個三等分點（靠近點），分別為棱，的中點，過三點作正方體的截面，則下列說法正確的是（

）A．所得截面是六邊形B．截面過棱的中點C．截面不經(jīng)過點D．截面與線段相交，且交點是線段的一個五等分點答案：D【解析】分析：根據(jù)給定條件，作出過三點的正方體的截面，再逐項推理判斷作答.【詳解】在正方體中，依題意，直線FG與直線交于點P，顯然，直線FE交DA延長線于點Q，則有，如圖，連接，則有，而平面平面，平面平面，平面與平面有公共點，則平面與平面必有一條交線，此交線平行于，也平行于，連，因，則四邊形是平行四邊形，于是得，即平面平面，因此點是平面截正方體的截面的一個頂點，連交分別于點O，H，連接，則五邊形是平面截正方體所得的截面，A不正確，C不正確；由知，，即，B不正確；由得，即，則截面與線段相交，且交點是線段的一個五等分點，D正確.故選：D【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.）9．已知平面非零向量，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若是平面所有向量的一組基底，且不是基底，則實數(shù)B．若存在非零向量使得，則C．若，則存在唯一的正實數(shù)，使得D．設(shè)，，且與不共線，若，則答案：AD【解析】分析：對于A，由共線向量定理列方程求解即可，對于B，舉例判斷，對于C，對兩邊平方化簡即可判斷，對于D，取的中點，的三等分點，連接設(shè)，則，由已知條件可得，從而可得∥，進(jìn)而可得，然后可求得結(jié)果【詳解】對于A，因為是平面所有向量的一組基底，所以與不共線，因為不是基底，所以共線，所以存在唯一實數(shù)，使，所以，解得，所以A正確，對于B，若，則，而此時與不一定相等，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以，所以與共線反向，或與中至少有一個為零向量，所以不可能存在唯一的正實數(shù)，使得，所以C錯誤，對于D，取的中點，的三等分點，連接則∥,，因為，所以，所以四邊形，設(shè)，則，所以，因為，，所以,所以∥，所以∥，所以，所以,所以D正確，故選：AD10．已知m，n是互不重合的直線，，是互不重合的平面，下列四個命題中正確的是（

）A．若，，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則答案：ACD【解析】分析：A根據(jù)面面平行的判定判斷；B由線面、面面位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷；C過作平面，由線面平行性質(zhì)及平行公理的推論判斷；D由面面垂直的判定判斷.【詳解】A：由，且，，根據(jù)面面平行的判定知：，正確；B：，，，則或，錯誤；C：過作平面，而，則，又則，，故，所以，正確；D：由，，根據(jù)面面垂直的判定知：，正確.故選：ACD11．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為B．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為C．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為答案：BC【解析】分析：根據(jù)平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義逐項判斷可得答案.【詳解】，，對于A，與不存在關(guān)系，不一定相等，故錯誤；對于B，，，所以數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，故正確；對于C，，，故正確；對于D，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，故錯誤.故選：BC.12．在中，角所對的邊分別是，下列說法正確的是（

）A．若，則的形狀是等腰三角形B．，，若，則這樣的三角形有兩個C．若，則面積的最大值為D．若的面積，，則的最大值為答案：ACD【解析】分析：求得判定的形狀是等腰三角形.選項A判斷正確；求得角C有一個值.選項B判斷錯誤；求得面積的最大值判斷選項C；求得的最大值判斷選項D.【詳解】選項A：由，可得，化簡得，則的形狀是等腰三角形.判斷正確；選項B：由，，，則有，由，可得，則,則滿足條件的三角形僅有一個.判斷錯誤；選項C：由，可得則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），解之得則面積.判斷正確；選項D：由的面積，可得化簡得，又，則又，則，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）即的最大值為.判斷正確.故選：ACD三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13．已知，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點位于第三象限內(nèi)，則m的取值范圍是______.答案：【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第三象限內(nèi)，列出相應(yīng)的不等式組，解得答案.【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，該點位于第三象限內(nèi)，則滿足,得,所以,故答案為：14．如圖，在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，則和所成的角等于______________．答案：####【解析】分析：先由異面直線夾角的定義確定和所成的角，再通過解三角形求夾角的大小.【詳解】取的中點，連接，因為E，F(xiàn)分別是棱，的中點，所以，,，,又，且，所以，,因為，所以為異面直線和的夾角，在中，，所以，故和所成的角等于，故答案為：.15．把一個骰子連續(xù)拋擲兩次，得到的點數(shù)依次為，，則使得關(guān)于的方程有2個互不相等的實數(shù)根的概率為________．答案：【解析】分析：依據(jù)古典概型去求解即可解決.【詳解】若方程有2個互不相等的實數(shù)根，則，一個骰子連續(xù)拋擲兩次，得到的點數(shù)依次為，，記為，所有可能共36種，其中滿足題意的有，，，，，，，，，，，，，，，，，共17種.故使得關(guān)于的方程有2個互不相等的實數(shù)根的概率為．故答案為：16．已知點是正六邊形內(nèi)部（包括邊界）一動點，，則的最大值為__________．答案：48【解析】分析：通過分析圖形，將求解的最大值，轉(zhuǎn)化為求正六邊形內(nèi)部（包含邊界）一點到邊中點的距離的最大值，利用幾何意義解決問題【詳解】如圖，設(shè)的中點為，連接，則則．因為點為正六邊形內(nèi)部（包括邊界）一動點，所以當(dāng)點與點或點重合時，取得最大值;在中易知，所以最大值為．故答案為：48.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，且是實數(shù)．(1)求復(fù)數(shù)z；(2)若在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．答案：(1)(2)【解析】分析：(1)設(shè)z＝mi且，利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，結(jié)合條件列方程求解；(2)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義列不等式求實數(shù)a的取值范圍．(1)設(shè)z＝mi且，，因為是實數(shù)，所以2m+3＝0，解得，故復(fù)數(shù)；(2)依題意，，因為復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于第一象限，所以解得，故實數(shù)a的取值范圍為．18．新冠肺炎疫情期間，某市為了了解本地居民對當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ鞯臐M意度，從市居民中隨機抽取若干居民進(jìn)行評分（滿分為100分），根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)制成如下頻率分布直方圖，已知評分在的居民有2200人.(1)求頻率分布直方圖中a的值及所調(diào)查的總?cè)藬?shù)；(2)從頻率分布直方圖中，估計本次評測分?jǐn)?shù)的眾數(shù)和平均數(shù)（精確到0.1）；(3)設(shè)該市居民為50萬人，估計全市居民對當(dāng)?shù)胤酪吖ぷ髟u分在85分以上的人數(shù).答案：(1)0.025，4000人(2)眾數(shù)為85.0，平均數(shù)80.7(3)212500【解析】分析：（1）首先根據(jù)頻率和為1，求，再根據(jù)落在區(qū)間的居民有2200人，求調(diào)查的總?cè)藬?shù)；（2）根據(jù)眾數(shù)和平均數(shù)公式，即可求解；（3）首先計算評分在85分以上的頻率，再計算人數(shù).(1)有頻率分布直方圖知即，解得設(shè)總共調(diào)查了人，則，解得，即調(diào)查的總?cè)藬?shù)為4000人；(2)最高小矩形底邊中點橫坐標(biāo)即為眾數(shù)，可得眾數(shù)為，由頻率分布直方圖知各段的頻率分別為：0.02?0.04?0.14?0.20?0.35?0.25，所以設(shè)平均數(shù)為，則(3)由頻率分布直方圖知評分在85分以上的頻率為所以估計該市居民評分在85分以上的人數(shù)為:19．某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人，為了解全校學(xué)生本學(xué)期開學(xué)以來（60天）的課外閱讀時間，學(xué)校采用分層抽樣方法，從中抽取100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查.將樣本中的“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”按學(xué)生的課外閱讀時間（單位：時）各分為5組[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計全校學(xué)生中課外閱讀時間在[30，40）小時內(nèi)的總?cè)藬?shù)是多少；(2)從課外閱讀時間不足10小時的樣本學(xué)生中隨機抽取3人，求至少有2個初中生的概率；(3)國家規(guī)定，初中學(xué)生平均每人每天課外閱讀時間不少于半個小時.若該校初中學(xué)生課外閱讀時間小于國家標(biāo)準(zhǔn)，則學(xué)校應(yīng)適當(dāng)增加課外閱讀時間，根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，該校是否需要增加初中學(xué)生的課外閱讀時間？并說明理由.答案：(1)720人(2)(3)需要增加，理由見解析【解析】分析：（1）由分層抽樣的特點可分別求得抽取的初中生、高中生人數(shù)，由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知初中生、高中生課外閱讀時間在，小時內(nèi)的頻率，然后由頻數(shù)樣本容量頻率可分別得初中生、高中生課外閱讀時間在，小時內(nèi)的樣本學(xué)生數(shù)，最后將兩者相加即可．（2）記“從閱讀時間不足10個小時的樣本學(xué)生中隨機抽取3人，至少有2個初中生”為事件，由頻數(shù)樣本容量頻率組距頻率可分別得初中生、高中生中，閱讀時間不足10個小時的學(xué)生人數(shù)，然后用列舉法表示出隨機抽取3人的所有可能結(jié)果以及事件的結(jié)果，從而得．（3）同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表來計算樣本中的所有初中生平均每天閱讀時間，并與30小時比較大小，若小于30小時，則需要增加，否則不需要增加．(1)由分層抽樣知，抽取的初中生有人，高中生有人．初中生中，課外閱讀時間在，小時內(nèi)的頻率為:，學(xué)生人數(shù)為人．高中生中，課外閱讀時間在，小時內(nèi)的頻率為:，學(xué)生人數(shù)約有人，全校學(xué)生中課外閱讀時間在，小時內(nèi)學(xué)生總?cè)藬?shù)為人．(2)記“從閱讀時間不足10個小時的樣本學(xué)生中隨機抽取3人，至少有2個初中生”為事件，初中生中，閱讀時間不足10個小時的學(xué)生人數(shù)為人，高中生中，閱讀時間不足10個小時的學(xué)生人數(shù)為人．記這3名初中生為，，，這2名高中生為，，則從閱讀時間不足10個小時的樣本學(xué)生中隨機抽取3人，所有可能結(jié)果共有10種，即，，，，，，，，，，而事件的結(jié)果有7種，它們是：，，，，，，，至少抽到2名初中生的概率為．(3)樣本中的所有初中生平均每天閱讀時間為:（小時），而（小時），，該校需要增加初中學(xué)生課外閱讀時間．20．如圖，在四邊形ABCD中，，，E是線段CD上的點，直線BD與直線AE相交于點P，設(shè)，，．(1)若，，，E是線段CD的中點，求與同向的單位向量的坐標(biāo)；(2)若，用，表示，并求出實數(shù)的值．答案：(1)(2)，【解析】分析：（1）根據(jù)條件求出點的坐標(biāo)，然后可算出答案；（2）根據(jù)平面向量的線性運算可用，表示，然后可得，然后由點B，P，D共線可得，即可求出實數(shù)的值．(1)，易得，又因為E是CD的中點，所以，故，則與同向共線單位向