新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第六章計數(shù)原理6.3二項式定理6.3.1二項式定理課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第三冊

第六章6.3A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．設(shè)S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，則S等于()A．x4 B．x4＋1C．(x－2)4 D．x4＋4【答案】A【解析】S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝Ceq\o\al(0,4)(x－1)4＋Ceq\o\al(1,4)(x－1)3＋Ceq\o\al(2,4)(x－1)2＋Ceq\o\al(3,4)(x－1)＋Ceq\o\al(4,4)＝[(x－1)＋1]4＝x4.故選A．2．設(shè)i為虛數(shù)單位，則(1＋i)6綻開式中的第3項為()A．－20i B．15iC．20 D．－15【答案】D【解析】(1＋i)6綻開式中的第3項為Ceq\o\al(2,6)i2＝－15.3．(x－eq\r(2)y)10的綻開式中x6y4的系數(shù)是()A．－840 B．840C．210 D．－210【答案】B【解析】在通項公式Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)(－eq\r(2)y)kx10-k中，令k＝4，即得(x－eq\r(2)y)10的綻開式中x6y4的系數(shù)為Ceq\o\al(4,10)×(－eq\r(2))4＝840.4．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x)))eq\s\up12(n)的綻開式中，若常數(shù)項為60，則n等于()A．3 B．6C．9 D．12【答案】B【解析】Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)(eq\r(x))n－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))eq\s\up12(k)＝2kCeq\o\al(k,n)xeq\s\up6(\f(n－3k,2)).令eq\f(n－3k,2)＝0，得n＝3k.依據(jù)題意有2kCeq\o\al(k,3k)＝60，驗證知k＝2，故n＝6.5．若(1＋3x)n(n∈N*)的綻開式中，第三項的二項式系數(shù)為6，則第四項的系數(shù)為()A．4 B．27C．36 D．108【答案】D【解析】Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)(3x)k，由Ceq\o\al(2,n)＝6，得n＝4，從而T4＝Ceq\o\al(3,4)·(3x)3，故第4項的系數(shù)為Ceq\o\al(3,4)·33＝108.6．(多選)下列關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))eq\s\up12(4)的綻開式的說法中正確的有()A．第1項為x-4B．第3項的二次項系數(shù)為6C．第5項的系數(shù)為16D．常數(shù)項為－24【答案】ABC【解析】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2x))eq\s\up12(4)綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(4－k)·(－2x)k＝(－2)kCeq\o\al(k,4)·x2k-4.T1＝x-4，A正確；第3項的二次項系數(shù)為Ceq\o\al(2,4)＝6，B正確；T5＝(－2)4Ceq\o\al(4,4)x4＝16x4，C正確；令2k－4＝0，解得k＝2，∴常數(shù)項為(－2)2Ceq\o\al(2,4)＝24，D錯誤．7．(2024年長沙月考)(2x－eq\f(a,\r(x)))5的綻開式中x2的系數(shù)為20，則常數(shù)a＝()A．±eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．±eq\r(2) D．eq\r(2)【答案】A【解析】由題意得二項綻開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)25-r(－a)rx5-eq\s\up6(\f(3,2))r，依題意，令5－eq\f(3r,2)＝2，則r＝2，Ceq\o\al(2,5)23·(－a)2＝20，解得a＝±eq\f(1,2).故選A．8.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x2)))eq\s\up12(7)的綻開式中倒數(shù)第三項為________．【答案】eq\f(84,x8)【解析】由于n＝7，可知綻開式中共有8項，∴倒數(shù)第三項即為第六項，∴T6＝Ceq\o\al(5,7)(2x)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))eq\s\up12(5)＝Ceq\o\al(5,7)·22eq\f(1,x8)＝eq\f(84,x8).9．若(x＋1)n＝xn＋…＋ax3＋bx2＋nx＋1(n∈N*)，且a∶b＝3∶1，那么n＝________．【答案】11【解析】a＝Ceq\o\al(n-3,n)，b＝Ceq\o\al(n-2,n).∵a∶b＝3∶1，∴eq\f(Ceq\o\al(n-3,n),Ceq\o\al(n-2,n))＝eq\f(Ceq\o\al(3,n),Ceq\o\al(2,n))＝eq\f(3,1)，即eq\f(n(n－1)(n－2)·2,6n(n－1))＝3，解得n＝11或n＝0(舍去).10．已知在(eq\f(1,2)x2－eq\f(1,\r(x)))n的綻開式中，第9項為常數(shù)項，求：(1)n的值；(2)綻開式中x5的系數(shù)；(3)含x的整數(shù)次冪的項的個數(shù)．解：已知二項綻開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2))eq\s\up12(n－k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝(－1)k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－k)Ceq\o\al(k,n)x2n－eq\s\up6(\f(5,2))k.(1)因為第9項為常數(shù)項，即當(dāng)k＝8時，2n－eq\f(5,2)k＝0，解得n＝10.(2)令2×10－eq\f(5,2)k＝5，得k＝eq\f(2,5)(20－5)＝6.所以x5的系數(shù)為(－1)6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)Ceq\o\al(6,10)＝eq\f(105,8).(3)要使20－eq\f(5,2)k，即eq\f(40－5k,2)為整數(shù)，只需k為偶數(shù)，由于k＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6項，分別為綻開式的第1，3，5，7，9，11項．B級——實力提升練11．(2024年荊州模擬)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3,x)))(1＋x)6綻開式中，含x3項的系數(shù)為()A．30 B．45C．60 D．75【答案】D【解析】(1＋x)6綻開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)xr，則T3＝Ceq\o\al(2,6)x2＝15x2，T5＝Ceq\o\al(4,6)x4＝15x4，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(3,x)))(1＋x)6綻開式中含x3項的系數(shù)是2×15＋3×15＝75.12．(多選)(2024年青島期末)對于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)的綻開式，下列說法正確的有()A．綻開式有7項 B．有理項有3項C．第4項的系數(shù)為－160 D．常數(shù)項為－160【答案】ACD【解析】因為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·26-r·(－1)r·x3-r，所以綻開式共有7項，全部為有理項，A正確，B錯誤；第4項的系數(shù)為－Ceq\o\al(3,6)·8＝－160，C正確；令3－r＝0，得r＝3，所以常數(shù)項為－160，D正確．13．在(x2－x－2)4的綻開式中，x3的系數(shù)為________(用數(shù)字填寫答案).【答案】－40【解析】(x2－x－2)4＝(x＋1)4(x－2)4，(x＋1)4的綻開式通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)x4-r，(x－2)4的綻開式通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,4)x4-k(－2)k，所以(x2－r－2)4的綻開式中，x3的系數(shù)為Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(4,4)(－2)4＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,4)·(－2)3＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(2,4)(－2)2＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(1,4)(－2)＝－40.14．(2024年嘉興期末)已知多項式(x＋1)n＋(x＋2)m＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a0＝5，a2＝16，則m＝________，n＝________．【答案】26【解析】由題意，a0＝Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(m,m)×2m＝1＋2m＝5?m＝2，則a2＝Ceq\o\al(n-2,n)＋Ceq\o\al(0,2)＝Ceq\o\al(2,n)＋1＝eq\f(n(n－1),2)＋1＝16?n＝6(負(fù)值舍去).15．已知(eq\r(x)＋eq\r(3,x))n(其中n<15)的綻開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．(1)求n的值；(2)寫出它綻開式中的全部有理項．解：(1)(eq\r(x)＋eq\r(3,x))n(其中n<15)的綻開式中第9項，第10項，第11項的二項式系數(shù)分別是Ceq\o\al(8,n)，Ceq\o\al(9,n)，Ceq\o\al(10,n).依題意得eq\f(n！,8！(n－8)！)＋eq\f(n！,10！(n－10)！)＝2·eq\f(n！,9！(n－9)！)，化簡得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即n2－37n＋322＝0，解得n＝14或n＝23，因為n<15，所以n＝14.(2)綻開式的通