人教版數(shù)學高一-必修2學案 42圓與圓的位置關(guān)系

4.2.2圓與圓的位置關(guān)系

國園隨園

圓與圓位置關(guān)系的判定有兩種方法.

(1)幾何法.若兩圓的半徑分別為ri,小兩圓的圓心距為d,則兩圓的

位置關(guān)系的判斷方法如下：

位置

外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

關(guān)系

0?

圖示毛切

d與

ri,n\ri-n\<d=d<

d>ri+=2d=ri+=2

的d<ri+/2In-n|—一川

關(guān)系

⑵代數(shù)法.聯(lián)立兩圓的方程組成方程組，則方程組解的個數(shù)與兩

圓的位置關(guān)系如下表所示:

方程組解的個2組1組0組

數(shù)

兩圓的公共點

2個L個*個

個數(shù)

兩圓的位置關(guān)

相交外切或內(nèi)切外離或內(nèi)含

系

練習1:兩圓的位置關(guān)系有相切、相交、相離.

練習2:兩圓的半徑分別為R,r,圓心距設(shè)為d.

當d>R+r時，兩圓外離;

當d=R+r時，兩圓外切;

當|R-r|VdVR+r時，兩圓相交;

當d=|R—r|時，兩圓內(nèi)切;

當dV|R-r|時，兩圓內(nèi)含.

練習3:如何根據(jù)圓的方程，判斷它們之間的位置關(guān)系？

答案：聯(lián)立圓的方程組，當交點個數(shù)為0時，則外離或內(nèi)含；

當交點個數(shù)為1時，則外切或內(nèi)切；當交點個數(shù)為2時，則相交.

院思考應用

兩圓的公切線有幾條？

解析：當兩圓內(nèi)切時有一條公切線；當兩圓外切時，有三條公切線:

兩條外公切線、一條內(nèi)公切線；當兩圓相交時，有兩條外公切線；當兩圓

相離時有四條公切線：兩條外公切線、兩條內(nèi)公切線；當兩圓內(nèi)含時，沒

有公切線.

囿網(wǎng)囿網(wǎng)

1.圓Ci：x「+y2+2x—6y—26=0與圓C2:x「+y2—4x+2y+4=0的

位置關(guān)系是(A)

4.內(nèi)切B.外切

C.相交D.相離

解析：圓Ci：(x+l)2+(y—3)2=36,

22

圓C2:(x-2)+(y+l)=l,

Ri=6,R2=l,

又|CiC2|=y(2+1)2+(—1-3)2=5,

.,.|C1C2|=R1-R2,故兩圓內(nèi)切.

2.兩圓x?+y2=l和(x+4>+(y—a)2=25相切，則實數(shù)a的值為0或

3.圓x2+y2=l與圓x2+y24-2x+2y+l=0的交點坐標為(0

A.(1,0)或(0,1)B.(1,0)或(0,-1)

C.(-1,0)或(0,-1)D.(-1,0)或(0,1)

4.已知圓Oi和圓Ch的半徑分別為3cm和4cm,則，①當0102=8cm

時，兩圓外離;②當0102=7cm時，兩圓外切;③當0102=5c,〃時，兩

圓相交;④當OiO2=lcm時，兩圓內(nèi)切;⑤當602=0.5cm時，兩圓內(nèi)

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1.圓O1：x?+y2—2x=o和圓。2：x?+y2—4y=o的位置關(guān)系是仍）

A.外離B.相交

C.外切。.內(nèi)切

解析：圓Oi：（X—l）2+y2=l

圓O2：x2+（y—2）2=4

??.兩圓心之間的距離|OIO2|="S=/<1+2=3,兩圓相交.

2.兩圓x?+y2=r2,（x—3尸+（丫+1）2=產(chǎn)外切，則正實數(shù)r的值是（3）

A.A/10氏乎C.y［5D.5

解析：圓心距為［而，由相外切得：r+r=V10,

.Vio

??r—2?

3.與兩圓x2+y2+4x_4y+7=0和x2+y2—4x—10y+13=0都相切的

直線有（O

A.1條B.2條C.3條D4條

解析：兩圓的圓心距為5,兩圓半徑和為5,故兩圓外切.因此，有兩

條外公切線和一條內(nèi)公切線，共3條.

4.已知兩圓Ci：x2+y2+2x+4y=0,C2:x2+y2+x+y—1=0,則它

答案：x+3y+l=0

5.過兩圓Ci:x2+y2—x—y—2=0與圓Ci:x2+y2+4x—4y—8=0

的交點和點(3,1)的圓的方程為.

解析：設(shè)圓的方程為x2+y2—X—y—2+Z(x2+y2+4x—4y—8)=0,O*

將點(3,1)代入得9+1-3-1-2+1(94-1+12-4-8)=0,解得入=

213

-5代入O*并化簡得所求圓的方程為x2+y2-yx+y+2=o.

答案：x2+y2—yx+y+2=0

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6.已知半徑為1的動圓與圓(x—5)2+(y+7)2=16相切，則動圓圓心的

軌跡方程是(。)

A.(x-5)2+(y+7)2=25

B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)?+(y+7)2=15

C.(x-5)2+(y+7)2=9

D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5>+(y+7)2=9

7.若圓x2+y2=4與圓x?+y2+2ay—6=0(a>0)的公共弦長為24,則

a=?

答案：1

8.求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x—4=0和x2+y2+6y—28=0的交點且圓心

在直線x—y—4=0上的圓的方程.

解析：兩圓的公共弦所在的直線方程為x—y+4=0.兩圓的連心線所在

x2+y24~6x—4=0,

的直線方程為x+y+3=0.由，1+y2+6y_28=。得兩圓交點為MT，"

B(-6,-2),設(shè)公共弦長為d,

.d7(3+2)'+(-1+6)25啦

則廣^--------------------------

22，

由.得圓心為

設(shè)所求圓半徑為r,則

那+42

89

r82一-

2'

.??故所求圓的方程為

+海2的

~2,

9.求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x—4y+l=0的交點且滿足下

列條件之一的圓的方程.

⑴過原點；

⑵有最小面積.

解析：設(shè)所求圓的方程為

x2+y24-2x—4y+l+Z(2x+y4-4)=0,

即x24-y2+2(l+Z)x+(X-4)y+(14-4X)=0

⑴;此圓過原點，A1+41=0,入=一彳，

317

故所求圓的方程為x2+y2+^x—^y=0.

⑵將圓系方程化為標準形式:

(x+l+入)2+5+^)2=/入一我+=

Q

要使其面積最小，必須圓的半徑取最小值