高中數(shù)學(xué)-正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材分析

本節(jié)課選自高中數(shù)學(xué)人教B版必修五第一章第二節(jié)第一課時(shí)。

本章的主要內(nèi)容是正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用，全章分為兩大節(jié)，

第一大節(jié)是正弦定理和余弦定理；這一大節(jié)，是在學(xué)生學(xué)習(xí)完正弦定

理和余弦定理之后，對前面所學(xué)知識的運(yùn)用和拓展，通過運(yùn)用正弦定

理、余弦定理解決測量、工業(yè)、幾何等方面的實(shí)際問題，一方面使學(xué)

生更加熟練的運(yùn)用正弦定理和余弦定理解決有關(guān)斜三角形的問題，另

一方面使學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題并加以解決的能力。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

初步運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決某些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的

實(shí)際問題。

2.過程與方法

通過解決“測量一個(gè)底部不能到達(dá)的建筑物的高度”或“測量平

面上兩個(gè)不能到達(dá)的地方之間的距離”的問題，初步掌握將實(shí)際問題

轉(zhuǎn)化為解斜三角形問題的方法，進(jìn)一步提高應(yīng)用正弦定理、余弦定理

解斜三角形的能力，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過解決“測量”問題，體會如何將具體的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為抽象

的數(shù)學(xué)問題。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和探索問題、解決問題的能力，

學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式去解決問題，認(rèn)識世界。

三、學(xué)情分析

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的邊和角的基本關(guān)系，全等三角

形等、相似等與三角形有關(guān)的基礎(chǔ)知識，在必修4中學(xué)生也學(xué)習(xí)了三

角函數(shù)、向量三角恒等變換等內(nèi)容，再加上學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了正弦定理

和余弦定理，這些都為本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)正余弦定理的應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)

的基礎(chǔ)，學(xué)生對解三角形也并不陌生；但學(xué)生對三角形知識的應(yīng)用，

還僅僅局限在紙面知識上，并沒有實(shí)際應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中，所以,

把實(shí)際問題抽象出解斜三角形的問題，對于學(xué)生來說可能是第一次接

觸，需要將實(shí)際問題的解決方案與簡單的解三角形區(qū)分好。這就要求

教師加以引導(dǎo)，使學(xué)生成功的將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生

分析問題，解決問題的能力。

我所教的班級是重點(diǎn)文科班，基礎(chǔ)較好，情感豐富，喜歡大自然

的美和古建筑深厚的文化底蘊(yùn)，這很符合本節(jié)課的研究能容，既有山

川河流，又有故宮角樓，從而，可以很好的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

四、教學(xué)方法

本節(jié)課采用問題探究式教學(xué)模式，循序漸進(jìn)，用問題驅(qū)動(dòng)課堂教

學(xué)，在老師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生探究、合作、交流、展示，盡可能多的

質(zhì)疑、探究、討論，多參與課堂知識的生成和發(fā)現(xiàn)的過程，形成思維。

五、重難點(diǎn)分析

本節(jié)課的重點(diǎn)是：如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并利用解斜

三角形的方法予以解決;

本節(jié)課的難點(diǎn)是：分析、探究并確定將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

的思路。

六、教學(xué)準(zhǔn)備

制作多媒體課件；

七、教學(xué)過程分析

(1)復(fù)習(xí)引入，做好鋪墊

復(fù)習(xí)提問正弦定理和余弦定理的內(nèi)容，以及正弦定理和余弦定理

分別適合解什么樣的三角形，分別找學(xué)生來回答。特別強(qiáng)調(diào)一下已知

兩邊及一邊對角的情況，根據(jù)學(xué)生的回答及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充，為下面運(yùn)用

正余弦定理解決實(shí)際問題做好鋪墊。

(2)運(yùn)用工具，解決問題

問題一：如何測量底部不可到達(dá)的塔樓的高度？

在R/A4BC中，要想知道塔樓AB的高度，根據(jù)初中所學(xué)的知識，

只要知道BC或AC的長度就可以了(由于BC是不可同時(shí)到達(dá)的兩個(gè)

點(diǎn)，所以，沒辦法直接測量)。所以，就變成如何測量BC和AC長度

的問題了。

問題設(shè)計(jì)意圖:將這一個(gè)問題與初中所學(xué)的解直角三角形相結(jié)合,

立足學(xué)生的認(rèn)知層面,可以讓學(xué)生很好的融入進(jìn)本節(jié)課的學(xué)習(xí)中,也

為本節(jié)課的學(xué)習(xí)定了兩個(gè)大方向,一個(gè)是如何求BC的長,另一個(gè)是

如何求AC的長。

問題二：如何求BC的長？(一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)的距離問題)

由于BC間不可以直接測量距離，那么我們要運(yùn)用所學(xué)的知識解決

這一個(gè)問題，請同學(xué)們分小組進(jìn)行討論，最后一起來交流結(jié)果。

問題設(shè)計(jì)意圖:將高度測量問題轉(zhuǎn)化為測量到一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)的

距離測量問題，通過小組討論,引導(dǎo)學(xué)生朝著解斜三角形的方向思考。

最終,通過解斜三角形,將這一問題解決。

學(xué)生有可能出現(xiàn)很多意想不到的結(jié)論,需要耐心加以引導(dǎo)和發(fā)散,

最終引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會通過解斜三角形來解決這一問題。

(3)抽象模型，代數(shù)演練

分析：如圖，通過測量，可以得到如圖所示的兩個(gè)角的a,

的大小，還可測得CD的長。

在ABC。中，由正弦定理

BCCD

sinPsin(〃一a一尸)

CDsin/?

DJ—

sinQr.a

AB=BCtan/

A

解：如圖，設(shè)AB表示角樓的高度，通過測量，可以得到如圖所示的

生工兀

三個(gè)角的大小分別為4?,還可測得CD的長為60m。

由教師進(jìn)行板演，規(guī)范解答步驟。

問題二：如何測量AB的長？

分析：如圖，通過測量，可以得到如圖所示的兩個(gè)角的a4

的大小，還可測得CD的長。

AB=ACsin/3

在AACO中，由正弦定理

ACCD

sinasin（4一a）

“CDsma

AC=-------------

sin（方一①

解：如圖，通過測量，可以得到如圖所示的兩個(gè)角的a夕的大

冗7V

小分別為7不，還可測得CD的長為20m。

A

由學(xué)生進(jìn)行計(jì)算并板演,教師進(jìn)行指導(dǎo)、糾正和規(guī)范,多多進(jìn)行鼓勵(lì)。

(4)課堂小結(jié)

由學(xué)生討論并思考這節(jié)課學(xué)到了哪些知識點(diǎn)？都有哪些收獲？

這節(jié)課我們解決了哪幾個(gè)問題？

(5)學(xué)以致用，解決問題

課外探究：怎樣測量兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離？

(6)作業(yè)設(shè)計(jì)

必做題：課本14頁A組第1、2、3題，B組第1題

選做題：課后評測訓(xùn)練

設(shè)計(jì)意圖:課后查閱資料,了解正余弦定理的其他應(yīng)用,讓課內(nèi)

知識延伸到課外,通過這樣的方式促進(jìn)學(xué)生可以獲取更多的與本節(jié)課

相關(guān)的知識,拓寬知識面。預(yù)留一個(gè)探究作業(yè),對于學(xué)生下節(jié)課的學(xué)

習(xí)起到一個(gè)承上啟下的過渡作用。

點(diǎn)評

本節(jié)課以實(shí)際問題作為驅(qū)動(dòng)，創(chuàng)設(shè)了問題情境，明確了學(xué)習(xí)目標(biāo)。

建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)之上，將高度問題最終轉(zhuǎn)化為距離問題,

將整節(jié)課的內(nèi)容歸結(jié)到如何測量和計(jì)算兩點(diǎn)間距離的問題，加大了知

識之間的聯(lián)系，讓學(xué)生更容易掌握和理解，使學(xué)生可以更好的解決實(shí)

際問題。

課堂教學(xué)中，使用多媒體課件和動(dòng)態(tài)演示，以及通過復(fù)雜的計(jì)算，

使學(xué)生手腦并用，兩者結(jié)合的恰到好處。

從整體上看，本節(jié)課以問題作為知識產(chǎn)生之源，在猜想證明中分

析問題解決問題，在變式訓(xùn)練中鞏固知識。從數(shù)學(xué)知識掌握的連續(xù)性

上看，老師很善于做數(shù)學(xué)的“減法”，用已有的知識解決新的知識。

提出問題是一門學(xué)科的真正進(jìn)步。從育人的角度而言，本節(jié)課在問題

作為引領(lǐng)的前提下，讓學(xué)生充分參與課堂教學(xué)，經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)、解

決問題的過程，從而體會數(shù)學(xué)的價(jià)值，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣?？梢钥?/p>

出本節(jié)課設(shè)計(jì)的理念是新的，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念倡導(dǎo)，是一節(jié)優(yōu)

秀的示范課。

學(xué)情分析

在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的邊和角的基本關(guān)系，全等三角

形等、相似等與三角形有關(guān)的基礎(chǔ)知識，在必修4中學(xué)生也學(xué)習(xí)了三

角函數(shù)、向量三角恒等變換等內(nèi)容，再加上學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了正弦定理

和余弦定理，這些都為本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)正余弦定理的應(yīng)用打下了堅(jiān)實(shí)

的基礎(chǔ)，學(xué)生對解三角形也并不陌生；但學(xué)生對三角形知識的應(yīng)用，

還僅僅局限在紙面知識上，并沒有實(shí)際應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中，所以,

把實(shí)際問題抽象出解斜三角形的問題，對于學(xué)生來說可能是第一次接

觸，需要將實(shí)際問題的解決方案與簡單的解三角形區(qū)分好。這就要求

教師加以引導(dǎo)，使學(xué)生成功的將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生

分析問題，解決問題的能力。

我所教的班級是重點(diǎn)文科班，基礎(chǔ)較好，情感豐富，喜歡大自然

的美和古建筑深厚的文化底蘊(yùn)，這很符合本節(jié)課的研究能容，既有山

川河流，又有故宮角樓，從而，可以很好的激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

效果分析

總體感覺本節(jié)課安排的內(nèi)容完整，較好的完成了教學(xué)任務(wù)，時(shí)

間安排合理，學(xué)生小組討論較積極，回答問題踴躍。本人能做到教態(tài)

自然，語速適中。通過具體情境，讓學(xué)生在具體情境、小組討論中獲

得了新的知識，使學(xué)生樹立了自信心，能夠運(yùn)用課堂所學(xué)知識解決生

活中遇到的實(shí)際問題，增強(qiáng)了對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

不足:

一是覺得自己在調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性這一方面，沒做到最好，在以后

的課堂上進(jìn)一步提高。

二是在課堂的時(shí)間把握上沒恰到好處，在課堂最后，設(shè)計(jì)的是由

學(xué)生來進(jìn)行課堂回顧和方法總結(jié)，同時(shí)分享一下本節(jié)課的收獲，但由

于時(shí)間關(guān)系沒有實(shí)現(xiàn)，以后的教學(xué)中仍然需要改進(jìn)和提高。

教材分析

本節(jié)課選自高中數(shù)學(xué)人教B版必修五第一章第二節(jié)第一

課時(shí)。本章的主要內(nèi)容是正弦定理、余弦定理及其應(yīng)用，全

章分為兩大節(jié)，第一大節(jié)是正弦定理和余弦定理；這一大節(jié),

是在學(xué)生學(xué)習(xí)完正弦定理和余弦定理之后，對前面所學(xué)知識

的運(yùn)用和拓展，通過運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決測量、工

業(yè)、幾何等方面的實(shí)際問題，一方面使學(xué)生更加熟練的運(yùn)用

正弦定理和余弦定理解決有關(guān)斜三角形的問題，另一方面使

學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)

學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題并加以解決

的能力。

評測練習(xí)

（限時(shí)30分鐘）

一、選擇題

1.如圖，D,C,4三點(diǎn)在地面同一直線上，DC=a,從C,〃兩點(diǎn)測

得A點(diǎn)仰角分別是￡,。（aV￡）,則4點(diǎn)離地面的高度AB等于

（）.

asinasinB

sin￡-a

asinacosBacosasinB

C.

sin￡-acosa-B

2.

如圖，為了測量障礙物兩側(cè)A,夕間的距離,給定下列四組數(shù)據(jù).為

了簡便，測量時(shí)應(yīng)當(dāng)用數(shù)據(jù)（）

A.a,a,bB.a,j3,y

C.a,b,YD.a,b,B

二、填空題

3.已知兩座燈塔A和夕與海洋觀察站。的距離都等于akm,燈塔A

在觀察站。的北偏東20°,燈塔8在觀察站。的南偏東40°,則燈

塔A與燈塔B的距離為.

?A

1\

40°

4.某校運(yùn)動(dòng)會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度15°的看

臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的

仰角分別為60。和30。，第一排和最后一排的距離為5m米（如圖所

示），旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上.若國歌長度約為50秒，升

旗手應(yīng)以米/秒的速度勻速升旗.

C

三、解答題

5.如圖，A,B,C,〃都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B,〃為兩

島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得夕點(diǎn)和〃點(diǎn)的仰角分

別為75°,30°,于水面。處測得夕點(diǎn)和〃點(diǎn)的仰角均為60°,AC

=0.1km.試探究圖中區(qū)〃間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等，然后求

B,〃的距離.

答案與解析

1.A

DCAC

解析：在中，由正弦定理得一一（A〃一一’：，所以然

sinp—a）sina

_Z?6sinaasina

sin(￡—a)sin(尸一a)'

,,八asinasinB

在RtZA^4%'中，AB=ACsin￡=一一-----故選A.

sin(￡—a)

2.C

解析：測得a,b,丫后，由余弦定理即可計(jì)算A、B間的距離.

3.km

解析：由已知，AC=BC=a,

ZACB=180°-(20°+40°)=120°,

：.A^=a+a-2,acos120°=3才.

.?.48=q5a(km),即4與夕的距離為《akm.

4.0.3

解析：在△陽9中，ZBDC=45°,/CBD=3G°,5=5m米，

,./口CDsixi450廠八1八

由正弦定理，得比三.工八。一=10美(米)；

sin30v

在中，AB=BCsin60°=1琢*^=15(米)，

AR15

所以