高中數(shù)學(xué)-慶祝神州飛船返航專項(xiàng)練習(xí)-含答案

慶祝神州飛船返航專項(xiàng)練習(xí)

一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）

1.據(jù)科學(xué)計(jì)算，運(yùn)載“神七”的“長(zhǎng)征二號(hào)”尸火箭，在點(diǎn)火第一秒鐘通過(guò)的路程為

2km,以后每秒鐘通過(guò)的路程都增加2km,在達(dá)到離地面240/on的高度時(shí)，火箭

與飛船分離，則這一過(guò)程需要的時(shí)間大約是（）

A.10秒鐘B.13秒鐘C.15秒鐘D.20秒鐘

【答案】C

【解析】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式解決實(shí)際問(wèn)題，是一道靈活

應(yīng)用題.

設(shè)出每一秒鐘的路程為一數(shù)列，由題意可知此數(shù)列為等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的前

n項(xiàng)和的公式表示出離地面的高度，讓高度等于240列出關(guān)于n的方程，求出方程的解即

可得到n的值.

解：設(shè)每一秒鐘通過(guò)的路程依次為由,a2,a3-->an,

則數(shù)列｛&J是首項(xiàng)%=2,公差d=2的等差數(shù)列，

由求和公式有n%+若利=240,BP2n+n（n-1）=240,

解得71=15,

2.搭載神州十三號(hào)載人飛船的長(zhǎng)征二號(hào)尸遙十三運(yùn)載火箭，精準(zhǔn)點(diǎn)火發(fā)射后約582秒,

進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射取得圓滿成功.據(jù)測(cè)算：在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的

最大速度儀單位：m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg）、火箭的質(zhì)量m（除燃料外，單位：

kg）的函數(shù)關(guān)系是u=20001n（l+'）.當(dāng)火箭的最大速度為11.5km/s時(shí)，'約等于（

參考數(shù)據(jù)：e5-75?314）（）

A.313B.314C.312D.311

【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

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將u11.5km/s11.5x1000旬5代入〃=2000111（1+%）中，即可求出竺.

Hlm

【解答】

解：由題意將?'11.^kni/s=11.5X1000〃心代入r=2（MM）ln（l+竺），

可得11.5X1000=20001nQ+'），

Inf14-—=5.75,.??1+絲=e575?314.

\in）相

???一MxC31T3C.

m

3,北京時(shí)間2021年10月16日0時(shí)23分，搭載神州十三號(hào)載人

飛船的長(zhǎng)征二號(hào)尸遙十三運(yùn)載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心

按照預(yù)定時(shí)間精準(zhǔn)點(diǎn)火發(fā)射，約582秒后，神州十三號(hào)載

人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，順利將翟志剛、

王亞平、葉光富3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成

功.據(jù)測(cè)算：在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速

度。（單位：iu/s）和燃料的質(zhì)量M（單位：kg）,火箭的質(zhì)

量（除燃料外）巾（單位：kg）的函數(shù)關(guān)系是〃2（MM）ln（1+言）當(dāng)火箭的最大速度

達(dá)到時(shí)，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量之比約為（）（參考數(shù)據(jù)：

A.314B.313C.312D.311

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用，涉及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

將【lL5kiu/s代入“紳用瓜（1+乜）中，即可求出N

\Hi）m

【解答】

解：由題意將，，=11.5km/s代入r=20001n（l+,

可得11.5x1000=20001n（l+^）,

In（I+—=5.75,=e575=314,

\m）m

-=313.

m

4.“神舟七號(hào)”宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心，F(xiàn)為左焦點(diǎn)的橢圓，測(cè)得近地點(diǎn)

4距離地面mkm,遠(yuǎn)地點(diǎn)8距離地面rikm,地球的半徑為kkm,關(guān)于橢圓有以下

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三種說(shuō)法：

①焦距長(zhǎng)為n—m；②短軸長(zhǎng)為J(m+k)(n+k)；③離心率e=

以上正確的說(shuō)法有()

A.①③B.②③C.①②D.①②③

【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的性質(zhì)及幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題.

由題意知幾+k=a+c,m+k=a-c,由橢圓的基本性質(zhì)判斷命題①②③是否正

確即可.

【解答】

解：由題意畫出圖形，如圖所示：

記橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a,短半軸長(zhǎng)b,半焦距為c,

n+k=a+c,m+k=a—c,可得Ji—m=2c,①正確；

由幾+k=a+c,m+k=a—c,得。=---,c=

???b=Va2—c2=+k)(ji+k),

則短軸長(zhǎng)為2,(m+k)(n+k),②錯(cuò)誤；

由②知，離心率e=?=③正確；

綜上，正確的命題是①③.

故選：A.

5.2020年12月13日9時(shí)51分，嫦娥五號(hào)軌道器和返回器成功進(jìn)入月地轉(zhuǎn)移軌道，攜帶

月球樣本(月壤)的嫦娥五號(hào)正式踏上返回地球的旅程。嫦娥五號(hào)帶回來(lái)的月球樣本

可以讓我們更好地了解月球，使得我國(guó)成為世界上第三個(gè)從月球帶回樣本的國(guó)家。

嫦娥五號(hào)軌道器在某個(gè)階段的運(yùn)行軌道是以月心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓。設(shè)月球半徑為

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R，若其近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)離月面的距離大約分別是守,則此階段嫦娥五號(hào)軌

道器運(yùn)行軌道的離心率是（）

【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的實(shí)際應(yīng)用，桶圓離心率的求解，屬于基礎(chǔ)題.

由題意分別求得a，c的值，然后結(jié)合離心率的定即可求解.

【解答】

解：如下圖，F(xiàn)為月球的球心，月球半徑為R,

依題意，/A尸/=/?+，=?，/BF/=R+^R=^R

2a=/AF/+/BF/=^R,

即a=料，

a+c=/BF/=—9R,

則c=R

U9

橢圓的離心率為：e=-=1,

a5

故選c.

6.2020年11月24日，長(zhǎng)征五號(hào)遙五運(yùn)載火箭成功發(fā)射，順利將嫦娥五號(hào)探測(cè)器送入

預(yù)定軌道，開啟我國(guó)首次地外天體采樣返回之旅。如圖所示，假設(shè)“嫦娥五號(hào)”衛(wèi)

星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后，在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)

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焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以

F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道n繞月飛行.若用2cl和2c2分別表示橢圓

軌道I和H的焦距，用2al和2a2分別表示橢圓軌道I和H的長(zhǎng)軸

長(zhǎng)，給出下列式子：

①%+R=+C2；

@?1-Ci=a2-c2；

③且<3

a2'

④（?遂2>arc2.

其中正確式子的序號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】C

【解析】

【分析】

本題主要考查了橢圓的相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

可知的<&2,C1<C2,進(jìn)而根據(jù)不等式的性質(zhì)可知ai+q<a2+C2,進(jìn)而判

斷①④不正確.③正確；根據(jù)電-q=\PF\,a2-c2=\PF\,可知的—q=a2-c2,

②正確.

【解答】

解：設(shè)橢圓軌道I和口的短軸長(zhǎng)分別為2瓦，2b2,

由圖可知％<a2,Q<c2,

???Qi+qV。2+Q；

??,①不正確，

—J=\PF\9a2—c2=|PF|,

：?ar-cr=a2-c2;②正確.

Ql+=。2+R

2

可得(%+C2)=(a2+C1)2,

Q：—+2ale2=或一今+2a2%

即必+2ale2=留+2a2c19

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???瓦＜b2

所以qg＜

可得￡＜言，③正確；④不正確.

故選C.

7.2021年6月17日，神州十二號(hào)載人飛船成功發(fā)射。據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地

球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式u=計(jì)算火箭的最大速度"(m/s),其中

是噴流相對(duì)速度，〃，(kg)是火箭(除推進(jìn)劑外)的質(zhì)量，”(kg)是推進(jìn)劑與

火箭質(zhì)量的總和，也稱為“總質(zhì)比”.已知甲型火箭的總質(zhì)比為400,經(jīng)過(guò)材料更新

Tit

和技術(shù)改進(jìn)后，甲型火箭的總質(zhì)比變?yōu)樵瓉?lái)的;，噴流相對(duì)速度提高了j最大速度

增加了則甲型火箭在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的噴流相對(duì)速度為()(參

考數(shù)據(jù)：ln2=0.7,ln5*1.6)

A.B.15(X)in/sC.18(M)in/sD.21(Mhn/s

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)實(shí)際模型的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意列出改進(jìn)前的等量關(guān)系式以及改進(jìn)后的等量關(guān)系式，聯(lián)立即可解出.

【解答】

解：設(shè)甲型火箭在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的噴流相對(duì)速度為?！?最大速度為明

(v=voZn4OO

則卜+900=(1+|)%lngx400)，

900270027001ccc

???Vn=P------------=-----------------------------=-----------?1800

-Zn50-/n4005(21n5+ln2)-3(21n5+41n2)4ln5-7ln2f

故選：C.

8.神舟五號(hào)飛船成功完成了第一次載人航天飛行，實(shí)現(xiàn)了中國(guó)人民的航天夢(mèng)想.某段

時(shí)間飛船在太空中運(yùn)行的軌道是一個(gè)橢圓，地心為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，如圖所示.假

設(shè)航天員到地球的最近距離為山，最遠(yuǎn)距離為d2,地球的半徑為R,我們想象存在

一個(gè)鏡像地球，其中心在神舟飛船運(yùn)行軌道的另外一個(gè)焦點(diǎn)上，從鏡像地球表面發(fā)

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射某種神秘信號(hào)，需要飛行中的航天員中轉(zhuǎn)后地球人才能

接收到，則傳送神秘信號(hào)的最短距離為()

A.必+c/2+RB.G(2—d1+2,RC.d?+d1一2R

【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的定義，屬較易題.

由已知可得竹［。］，貝U2a=叢+dz+2R,得到最短距離.

【解答】

解：設(shè)橢圓的方程為卷+5=l(a>b>0),半焦距為c,兩焦點(diǎn)分別為FI，F(xiàn)2,飛行

中的航天員為點(diǎn)P，

由已知可得［51廠.1°，則2a=必+d2+2R,

(d2+R=a+c,

故傳送神秘信號(hào)的最短距離為P&+PF2-2R=2a-2R=dr+d2.

故選。.

9.我國(guó)發(fā)射的“天宮一號(hào)”宇宙飛船運(yùn)行的軌道是以地球中心為一焦點(diǎn)的橢圓，測(cè)得

近地點(diǎn)距地面m千米，遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面n千米，地球半徑為r千米，則該飛船運(yùn)行軌道

的短軸長(zhǎng)為()

A.J(m+r)(n+r)B.2j(m+r)(n+r)

C.mnD.2mn

【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬于較容易題.

先利用a—c—r=m,a+c—r=n,解出a,c然后求出b.

【解答】

解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,

則由題意可知：a-c-r=m,a+c-r=n,

m+n,n-m

可得a=+r)

—2

則〃=a2-c2=+r)2—(-y-)2=(m+r)(n+r).

則b=yj(m4-r)(n+r).

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所以短軸長(zhǎng)為2/（in+r）（n+r）.

故選B

10.神舟十二號(hào)載人飛船搭載3名宇航員進(jìn)入太空，在中國(guó)空間站完成了為期三個(gè)月的

太空駐留任務(wù)，期間進(jìn)行了很多空間實(shí)驗(yàn)，目前已經(jīng)順利返回地球.在太空中水資

源有限，要通過(guò)回收水的方法制造可用水.回收水是將宇航員的尿液、汗液和太空

中的水收集起來(lái)經(jīng)過(guò)特殊的凈水器處理成飲用I水，循環(huán)使用.凈化水的過(guò)程中，每

增加一次過(guò)濾可減少水中雜質(zhì)20%,要使水中雜質(zhì)減少到原來(lái)的5%以下，則至少

需要過(guò)濾的次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)恒2=0.3010）

A.10B.12C.14D.16

【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，屬于中檔題.

由題意列出不等式，然后利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行求解可得.

【解答】

解：設(shè)過(guò)濾的次數(shù)為律，原來(lái)水中雜質(zhì)為1,

則（1-20%嚴(yán)<5%,即0.8'<卷,

所以IgO.M<1g.

所以川g0.8<-lg20,

所以”>產(chǎn)=卑=邛。13.4,

八lg0.8l-31g2l-31g2

因?yàn)榫臙N*,

所以n的最小值為14,則至少要過(guò)濾14次.

故選項(xiàng)為：C.

二、填空題（本大題共2小題，共10.0分）

11.如圖，“神州十三號(hào)”載人飛船的運(yùn)行軌道是以地球的中心（簡(jiǎn)稱“地心”）為一個(gè)

焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為e.設(shè)地球半徑為r,該飛船遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為R,

則該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為.

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【答案］"（R+2r）e

1+e

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長(zhǎng)半軸的求法，是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生

的作圖視圖能力，屬于基礎(chǔ)題.

由題意畫出圖形，結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合橢圓的離心率，求出橢圓的長(zhǎng)半軸a,半焦距c,

即可確定該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離.

【解答】

解：橢圓的離心率e=￡,（c為半焦距；a為長(zhǎng)半軸）,

只要求出橢圓的c和a,即可確定衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離,

由題意，結(jié)合圖形可知，a+c=r+R,

近地點(diǎn)離地面的距離為a-c-r

離心率e=（,即。=ea.

所以a+ea=R+r,

所以。=等

1+e

所以近地點(diǎn)離地面的距離為:

第9頁(yè)共17頁(yè)

R+rR+rR-(R+2r)e

a—c-r=--------e--------r=

l+e1+e1+e

即該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為"Q+2r）e

12.如圖是2021年9月17日13:34神州十二號(hào)返回艙（圖中C）接近

地面的場(chǎng)景.傘面是表面積為1200巾2的半球面（不含底面圓）,

傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑的5倍，直線8c與水

平地面垂直于0,。和觀測(cè)點(diǎn)4在同一水平線上.在4測(cè)得點(diǎn)B

的仰角4￡MB=30。，且BC的視角4BZC滿足siPBZC=則此時(shí)返回艙底端

24247

離地面距離CD=（7T=3.14,sin2CB=覆,計(jì)算過(guò)程中，球半徑四舍五入

保留整數(shù)，長(zhǎng)度單位：m）.

【答案】20m

【解析】

【分析】

本題考查球的表面積，解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象，邏輯推理等數(shù)

學(xué)核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

設(shè)半球半徑為r,由球的表面積公式求得r,則可得8C,從而利用正弦定理求解即可.

【解答】

解：設(shè)半球面半徑為r,則2b2=1200,

???rx14m,

???BC=Sr=70m,

BCs\nz.ACBr八，973-2V247r仆八

在AABC中，由正弦定理得48==70x7—x—=180m,

sin乙B4cV2477V3

在RtZX/13。中，Z.DAB=30°,所以BD==90?n,則CD=8。-BC=20zn.

即返回艙底端離地面距離為20m.

三、解答題（本大題共4小題，共48.0分）

13.飛船返回倉(cāng)順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)

到達(dá)區(qū)域安排三個(gè)救援中心（記為4B,0,B在4的正東方向，相距6km,C在B的

北偏東30。，相距4km,P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻4接到P的求救信號(hào)，由于B、

C兩地比4距P遠(yuǎn)，因此4s后，B、C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)，已知該

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信號(hào)的傳播速度為1km/s.

(1)求4、C兩個(gè)救援中心的距離；

(2)求在4處發(fā)現(xiàn)P的方向角；

【答案】解：(1)以4B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(一3,0),B(3,0),C(5,2V3)

則|AC|=J(5+3/+(2百/=2gkm，

即4、C兩個(gè)救援中心的距離為

(2)???\PC\=\PB\,

P在BC線段的垂直平分線上，

又???|PB|一伊川=4,

??.P在以4、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，且|4B|=6,

.?.雙曲線方程為9一?=1(X<0),

BC的垂直平分線的方程為x+V3y-7=0，

聯(lián)立兩方程解得：x=-8,

:.P(—8,5>/3),kPA=tanZ-PAB=一百，

???乙PAB=120°,

???P點(diǎn)在4點(diǎn)的北偏西30。處.

【解析】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，屬于中檔題.

(1)首先以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出4B,C的

坐標(biāo)，然后求出4C的距離即可；

(2)根據(jù)|PC|=|PB|得出「在BC線段的垂直平分線上，建立雙曲線方程，并求出NP4B.

14.“神舟”九號(hào)飛船返回倉(cāng)順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮

中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排了三個(gè)救援中心(記A,B,C),A在B的正東方向，

相距6千米，C在B的北偏西30。方向，相距4千米，尸為航天員著陸點(diǎn).某一時(shí)刻，A

接收到P的求救信號(hào)，由于B,C兩地比4距P遠(yuǎn)，在此4秒后，B,C兩個(gè)救援中心才

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同時(shí)接收到這一信號(hào).已知該信號(hào)的傳播速度為1千米/秒，求在4處發(fā)現(xiàn)P的方位

角.

【答案】解：因?yàn)镻C=PB,

所以P在線段BC的垂直平分線上.

又因?yàn)镻B-PA=4<6=AB,

所以P在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上.

以線段48的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，48的垂直平分線所在直線為y軸,

正東方向?yàn)楣ぽS正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則4(3,0),5(-3,0),C(-5,2V3).

所以雙曲線方程為百一日=l(x>2),

45

BC的垂直平分線方程為x-V3y+7=0.

聯(lián)立兩方程解得久=8(舍負(fù))，y=5b，所以P(8,5V5)，

kPA=tanZ-PAx=V3,所以4P4x=60°,

所以P點(diǎn)在4點(diǎn)的北偏東30。方向.

【解析】

【分析】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力，屬于中檔題.

以4B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，4B所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，易判斷P在以4B為焦

點(diǎn)的雙曲線的左支上，從而可確定雙曲線的方程，再與BC的垂直平分線的方程聯(lián)立，

可求P的坐標(biāo)，從而問(wèn)題得解.

15.飛船返回倉(cāng)順利到達(dá)地球后，為了及時(shí)將航天員救出，地面指揮中心在返回倉(cāng)預(yù)計(jì)

到達(dá)區(qū)域安排三個(gè)救援中心(記為4B,C),B在4的正東方向，相距6km,C在B的

北偏東30°,相距4kzn,P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻4接到P的求救信號(hào)，由于B、

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C兩地比4距P遠(yuǎn)，因此4s后，B、C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號(hào)，已知該

信號(hào)的傳播速度為Mm/s.

(1)求4、C兩個(gè)救援中心的距離;

(2)求在4處發(fā)現(xiàn)P的方向角；

(3)若信號(hào)從P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)處發(fā)出，則4、8收到信號(hào)的時(shí)間差變大還是變小，并

證明你的結(jié)論.

【答案】解：(1)以4B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，4B所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(-3,0),B(3,0),C(5,2V3),

則|AC|=J(5+3)2+(2V3)2=2g/cm，

即4、C兩個(gè)救援中心的距離為2g/on.

(2)v\PC\=\PB\,

：.P在BC線段的垂直平分線上，

又???|PB|一伊川=4,

二P在以4、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上，且|4B|=6,

???雙曲線方程為百一日=1。＜0),

45

BC的垂直平分線的方程為x+V3y-7=0，

聯(lián)立兩方程解得：x=-8,

???P(-8,5V3),

kpA=tanz.PAB=一百，

/.PAB=120°,

P點(diǎn)在4點(diǎn)的北偏西30。處.

(3)如圖，設(shè)|PQ|=八，|PB|=x,仍川=y,

v\QB\-\QA\=y/x2+h2-Jy2+九2

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_x2-y2_x、x+y

y/x2+h2+y/y2+h2%7y/x2+h2-^y/y2+h2f

y——1

y/x2+h2+y/y2+h29

.-.\QB\-\QA\<\PB\-\PA\,

.|QB|_|^4|<|PB|_|P4|

1111

即4、B收到信號(hào)的時(shí)間差變小.

【解析】(1)首先以4B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出4

B,C的坐標(biāo)，然后求出AC的距離即可.

(2)根據(jù)|PC|=|PB|得出P在BC線段的垂直平分線上，建立雙曲線方程，并求出NP2B.

(3)設(shè)|PQ|=h,\PB\=x,\PA\=y,建立不等式，并求解，得到4、B收到信號(hào)的時(shí)間

差變小.

16.2021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船順利升空并于6.5小時(shí)后與天和核心艙成功

對(duì)接，這是中國(guó)航天史上的又一里程碑.我校南蒼穹同學(xué)既是航天迷，又熱愛(ài)數(shù)學(xué)，

于是他為正在參加期末檢測(cè)的你們編就了這道題目.如圖1,是神舟十二號(hào)飛船推進(jìn)

艙及其推進(jìn)器的簡(jiǎn)化示意圖，半徑相等的圓/2,七，〃與圓柱。。1底面相切于4

B,C,D四點(diǎn)，且圓A與與，與與八，七與〃與。分別外切，線段為圓柱。。1的

母線.點(diǎn)M為線段公。1中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CO1上，且CN=2N。］.已知圓柱。。1底面半

徑為2,AAy=4.

(I)求證：AM〃平面BDN；

(口)線段A①上是否存在一點(diǎn)E,使得。E_L平面BDN?若存在，請(qǐng)求出4E的長(zhǎng)，若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(山)求二面角-4J1一。的余弦值；

(W)如圖2,是飛船推進(jìn)艙與即將對(duì)接的天和核心艙的相對(duì)位置的簡(jiǎn)化示意圖.天和

核心艙為底面半徑為2的圓柱。2。3,它與飛船推進(jìn)艙共軸，即0,01，02,3共線.

核心艙體兩側(cè)伸展出太陽(yáng)翼，其中三角形RST為以RS為斜邊的等腰直角三角形，四

邊形PQRS為矩形.已知推進(jìn)艙與核心艙的距離為4,即Qi。？=4,且O2O3=RS=2,

PS=7.在對(duì)接過(guò)程中，核心艙相對(duì)于推進(jìn)艙可能會(huì)相對(duì)作出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，

請(qǐng)你求出在艙體相對(duì)距離保持不變的情況下，在艙體相對(duì)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線4P與

平面PQRS所成角的正弦值的最大值.

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【答案】(I)證明：如圖分別是點(diǎn)M,

N在線段4c上的投影，

則”為4。的中點(diǎn)，N'為0C的三等分點(diǎn)，

所以tanzJWAM'==-=4,

AMi1

NN'Q°I,

tan乙NON=—=4—=4,

0N,卻

所以NMAM'=