高中數(shù)學(xué)：曲線系方程的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)：曲線系方程的應(yīng)用

如果兩條曲線方程是fi(x,y)=0和f2(x,y)=0,它們

的交點(diǎn)是P(xo,yo)，求證：方程fi(x,y)+入f2

(x,y)=0的曲線也經(jīng)過點(diǎn)P(人是任意常數(shù))。由

此結(jié)論可得出：經(jīng)過兩曲線f“x,y)=0和f2(x,y)

=0交點(diǎn)的曲線系方程為：fi(x,y)+入f2(x,y)

=0o利用此結(jié)論可得出相關(guān)曲線系方程。

一、直線系

概念：具有某種共同屬性的一類直線的集合，稱為直線

系。它的方程稱直線系方程。幾種常見的直線系方程：

(1)過已知點(diǎn)P(xo,yo)的直線系方程y—yo=k(x

—xo)(k為參數(shù))

(2)斜率為k的直線系方程y=kx+b(b是參數(shù))

(3)與已知直線Ax+By+C=0平行的直線系方程Ax

+By+人=0(入為參數(shù))

(4)與已知直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程Bx

—Ay+入=0(人為參數(shù))

(5)過直線h：Aix+Biy+Ci=0與匕：Azx+BzyH-

C2=0的交點(diǎn)的直線系方程：

A〔x+Biy+Ci+入(A2x+B2y+C2)=0(人為參

數(shù))

例1、已知直線h：x+y+2=0與匕：2x—3y—3=

0,求經(jīng)過的交點(diǎn)且與已知直線3x+y—1=0平行的直

線L的方程。

解析：設(shè)直線L的方程為

2x—3y—3+入(x+y+2)=0。

(入+2)x+(人-3)+2入-3=0。

?二L與直線3x+y—1=0平行，

K+2X-32A.-3

?------=-------H--------

??31-1O

11

解得：入=彳。

所以直線L的方程為：15x+5y+16=0

例2、求證：m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m—1)x+(2m—

1)y=m—5恒過一定點(diǎn)P,并求P點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：不論m為何實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，因此，這個(gè)

定點(diǎn)就一定是直線系中任意兩直線的交點(diǎn)。

解析：由原方程得

m(x+2y—1)—(x+y—5)=0,①

日n[x+2y]=。解得上9

即[x+y-5=0ly=-4,

，直線過定點(diǎn)P(9,-4)

說明：方程①可看作經(jīng)過兩直線交點(diǎn)的直線系。

二、圓系

概念：具有某種共同屬性的圓的集合，稱為圓系。

幾種常見的圓系方程：

(1)同心圓系：(X—xo)2+(y—yo)2=r2,xo>yo

為常數(shù)，r"為參數(shù)。

(2)過兩已知圓Ci：fi(x,y)=x2+y2+Dix+Eiy

+Fi=0。

和C2：f2(x,y)=x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)

的圓系方程為：

x2+y2+Dix+Eiy+Fi+入(x2+y2+D2x+E2y+

F2)=0(入W—1)

若入=—1時(shí)，變?yōu)?Di—D2)x+(Ei—E2)y+Fi

—F2=o,

則表示過兩圓的交點(diǎn)的直線。

其中兩圓相交時(shí)，此直線表示為公共弦所在直線，當(dāng)兩

圓相切時(shí)，此直線為兩圓的公切線，當(dāng)兩圓相離時(shí)，此

直線表示與兩圓連心線垂直的直線。

(3)過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程：

設(shè)直線L：Ax+By+C=O與圓C：x2+y2+Dx+Ey+

F=0相交，則過直線L與圓C交點(diǎn)的圓系方程為x2+

y2+Dx+Ey+F+入（Ax+By+C）=0。

例3、求經(jīng)過兩圓x2+y2+6x—4=0和x2+y2+Gy-

28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x—y—4=0上的圓的

方程。

解析：根據(jù)（2）設(shè)所求圓的方程為：x2+y2+6x-4+

入（x2+y2+6y—28）=0o

即（1+入）x2+（1+入）y?+6x+6入y—（4+28入）=

0o

33K

其中圓心為（TTi'm）,

又該圓心在直線x-y-4=0上

即,+干廠4=。，得入=—7。

，所求圓方程為x2+y2—x+7y—32=0。

例4、求經(jīng)過兩條曲線x2+y2+3x—y=0①和3x2+

3y2+2x+y=0②交點(diǎn)的直線方程。

分析：此題常規(guī)方法是聯(lián)立解方程組得交點(diǎn)坐標(biāo)，再用

兩點(diǎn)式寫出直線方程。若用（2）中方法則非常簡(jiǎn)單。

解析：先化②為圓的一般式方程：

22￡l

X+y+3x+3y=0（3）

由①一③得：（"9+（一"9=。

即7x-4y=0o此為所求直線方程。

例5、求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+l=0的交

點(diǎn)，且過原點(diǎn)的圓方程。

解析：根據(jù)（3）,設(shè)所求圓的方程為：

22

x+y+2x-4y+1+X（2x+y+4）=0o

即爐+/+2（1+4+（入-4）丫+（1+4入）=。，因?yàn)檫^原點(diǎn),所以1+

41=0,不導(dǎo)K=4o

317

故所求圓的方程為：/+r+丁-7y=°。

三、橢圓系

x2,y2

（1）與橢圓FF（半焦距為c）共焦點(diǎn)的橢圓系方

X2,y2

程：KA-c2（入>C2）

（2）與橢圓7+彥”具有相同離心率的橢圓系方程為

22

xy

b”（X>Q）o

例6、求經(jīng)過點(diǎn)（2,-3）,且與橢圓9x2+4y2=36

有共同焦點(diǎn)的橢圓方程。

解析：因已知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且C2=5,

則可設(shè)所求橢圓方程為：T+I75=1

49.

又經(jīng)過點(diǎn)（2,—3）,代入方程得：解得：X

=10或入=—2（舍去）

例7、求與橢圓彳+百二|有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)（2,-

石）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解析：由題意，設(shè)所求橢圓方程為

x2v2

L_+2_=t（t>0）

43o

2?（-君）2

?.?橢圓過點(diǎn)（2,一石），故，=彳+下-=2。

故所求的橢圓方程是不方。

三.、雙曲線系

X*y2

（1）與雙曲線F”共焦點(diǎn)的雙曲線系方程：

X2y2

X+C2-X=1（0<x<c2=

x2_y2

（2）與雙曲線丁共漸近線的雙曲線系方程為

亡-e=九

a2bL（入W0）

（3）等軸雙曲線系方程為：x2-y2=X（入WO）

例8、求與雙曲線而一5=1共漸近線且過點(diǎn)A（2萬,-3）

的雙曲線方程。

分析：一般解法是分類討論，還需解方程組。

利用（2）可簡(jiǎn)化運(yùn)算。

解析：設(shè)所求雙曲線方程為：

x?_/

I?"T=X（入W0）

因?yàn)檫^點(diǎn)A（2后,-3）,

1291-1

所以話廠辦-4O

x2_y2__1

所求雙曲線方程為：1?_T=_4

y2_x2

即7-7二1。

說明：應(yīng)用曲線系方程不當(dāng)時(shí)也會(huì)失效。

例9、求以圓x2+y2=5與拋物線y2=4x的公共弦為

直徑的圓的方程。

分析：常規(guī)解法是：

二+尸=5,解得二中=1

由[y2=4x[71=2172=-2

得圓方程：（X—1）2+y2=4

若用曲線系方程思想，則可構(gòu)造方程為

(x2+y2-5)+入(y2-4x)=0(*)

即x2+(1+入)y2—4入x—5=0。

則入=0時(shí)為圓方程，顯然為已知圓，不是所求圓。

錯(cuò)誤原因分析：由已知兩曲線方程得到方程(*),