2025屆高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題(人教版新高考新教材)考點(diǎn)規(guī)范練6　函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值

考點(diǎn)規(guī)范練6函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值一、基礎(chǔ)鞏固1.(2021北京,3)已知f(x)是定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù),那么“函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為f(1)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案:A解析:若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,則f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為f(1),若f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為f(1),比如f(x)=x-但f(x)=x-132在區(qū)間0,1故f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為f(1)推不出f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,故“函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增”是“f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值為f(1)”的充分不必要條件.2.若函數(shù)y=ax與y=-bx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)都單調(diào)遞減,則y=ax2+bx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)(A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減C.先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減 D.先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增答案:B解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=ax與y=-bx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)都單調(diào)遞減所以a<0,b<0.所以y=ax2+bx圖象的對(duì)稱軸為直線x=-b2a<故y=ax2+bx在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,選B.3.設(shè)函數(shù)f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,gA.(-∞,0] B.[0,1) C.[1,+∞) D.[-1,0]答案:B解析:由題知,g(x)=x2,x>1,0,x4.(多選)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,則對(duì)于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列結(jié)論中正確的是()A.f(xB.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)D.f(x1)>f(x2)答案:AB解析:由函數(shù)單調(diào)性的定義可知,若函數(shù)y=f(x)在給定的區(qū)間上單調(diào)遞增,則x1-x2與f(x1)-f(x2)同號(hào),由此可知,選項(xiàng)A,B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,D,因?yàn)閤1,x2的大小關(guān)系無法判斷,所以f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系也無法判斷,故C,D不正確.5.若函數(shù)f(x)=kx在區(qū)間[2,4]上的最小值為5,則k的值為(A.10 B.10或20 C.20 D.無法確定答案:C解析:當(dāng)k=0時(shí),不符合題意;當(dāng)k>0時(shí),f(x)=kx在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞減,∴f(x)min=f(4)=k4∴k=20,符合題意;當(dāng)k<0時(shí),f(x)=kx在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增,∴f(x)min=f(2)=k2∴k=10.又k<0,∴k=10舍去.故k的值為20.6.函數(shù)f(x)=1x,x≥1答案:2解析:當(dāng)x≥1時(shí),函數(shù)f(x)=1x單調(diào)遞減,即f(x)在x=1處取得最大值,為f(1)=1;當(dāng)x<1時(shí),易知函數(shù)f(x)=-x2+2在x=0處取得最大值,為f(0)=2故函數(shù)f(x)的最大值為2.7.函數(shù)f(x)=|x-2|x的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案:[1,2]解析:由題意知,f(x)=x作出f(x)的圖象,由圖知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,2].8.寫出一個(gè)值域?yàn)?-∞,1),在R上單調(diào)遞增的函數(shù)f(x)=.

答案:1-12解析:f(x)=1-12x,∵y=12x為R上的減函數(shù),且1∴f(x)=1-12x為R上的增函數(shù),且f(x)=1-12x<1,∴f(x)=1-12x9.若f(x)=(3a-1)x+4a答案:[18解析:由題意知,3解得a<13,a≥110.已知函數(shù)f(x)=2x-1x+1(1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,5]上的單調(diào)性,并給出證明;(2)求該函數(shù)在區(qū)間[3,5]上的最大值和最小值.解:(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,5]上單調(diào)遞增,證明:設(shè)任意x1,x2,滿足3≤x1<x2≤5.因?yàn)閒(x1)-f(x2)=2x1-1x又3≤x1<x2≤5,所以x1+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以f(x)=2x-1x(2)由(1)可知f(x)min=f(3)=2×3-13+1=54,f(二、綜合應(yīng)用11.(多選)下列說法正確的是()A.函數(shù)y=2x2+x+1在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增B.函數(shù)y=1x+1在區(qū)間(-∞,-1)∪(-1,+C.函數(shù)y=5+4x-x2的單調(diào)區(qū)間是[-D.已知f(x)在R上是增函數(shù),若a+b>0,則有f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)答案:AD解析:由函數(shù)y=2x2+x+1=2x+142+78在區(qū)間-14,+∞內(nèi)單調(diào)遞增知,函數(shù)y=2x2+x+函數(shù)y=1x+1在區(qū)間(-∞,-1)和(-1,+∞)內(nèi)均單調(diào)遞減,但在(-∞,-1)∪(-1,+∞)內(nèi)不單調(diào)遞減,如-2<0,但1-2+1<函數(shù)y=5+4x-x2在區(qū)間[-2,-1)和(5,+∞)內(nèi)無意義,從而在區(qū)間[-2,+∞)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),由a+b>0得a>-b,因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增,所以f(a)>f(-b),同理f(b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),故D正確.12.已知函數(shù)f(x)=log13(x2-ax+3a)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.-12,2答案:D解析:設(shè)y=f(x),令x2-ax+3a=t.∵y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,∴t=x2-ax+3a在區(qū)間[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且滿足t>0.∴a2≤1,12-a故實(shí)數(shù)a的取值范圍是-113.已知函數(shù)f(x)=12-x2+2A.-2 B.2 C.-1 D.1答案:B解析:∵-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1≤-1,∴12-x∴f(x)的值域?yàn)閇2,+∞).∵y1=12x在R上單調(diào)遞減,y2=-(x-m)2-1的單調(diào)遞減區(qū)間為[m,+∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[m,+∞).由條件知m=2.14.已知函數(shù)f(x)=2x+mx+1,x∈[0,1],若f(x)的最小值為5A.32 B.C.3 D.52答案:C解析:函數(shù)f(x)=2x+mx+1,即f(x)=2+當(dāng)m=2時(shí),f(x)=2,不成立;當(dāng)m-2>0,即m>2時(shí),f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,可得當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值,且2+m2=52,當(dāng)m-2<0,即m<2時(shí),f(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,可得當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得最小值,且m=52,不成立綜上可得,m=3.15.已知函數(shù)f(x)=e-x,x≤0,-x3,x>0,若f答案:-解析:因?yàn)閒(x)=e-x,x≤0,-x3,x>0,當(dāng)x≤0時(shí),f(x當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x3單調(diào)遞減,且f(x)<0,所以函數(shù)f(x)=e-x,x因?yàn)閒(a-1)≥f(-a),所以a-1≤-a,解得a≤12,即不等式的解集為-16.函數(shù)f(x)=13x-log2(x+2)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為答案:3解析:因?yàn)閥=13x在R上單調(diào)遞減,y=log2(x+2)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[-1,1]所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為f(-1)=3.三、探究創(chuàng)新17.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,且函數(shù)y=f(x)x在區(qū)間I上單調(diào)遞減,那么稱函數(shù)y=f(x)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”,區(qū)間I叫作“緩增區(qū)間”.若函數(shù)f(x)=12x2-x+32是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”,則“A.[1,+∞) B.[0,3]C.[0,1] D.[1,3]答案:D解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=12x2-x+32圖象的對(duì)稱軸為所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.又當(dāng)x≥1時(shí),f(x)x=12x-1+32x,令g(x)=12x-1+32x由g'(x)≤0得1≤x≤3,即函數(shù)f(x)x=12x-1+32x在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減,故18.已知減函數(shù)f(x)的定義域是實(shí)數(shù)集R,m,n都是實(shí)數(shù).如果不等式f(m)-f(n)>f(-m)-f(-n)成立,那么下列不等式成立的是()A.m-n<0 B.m-n>0C.m+n<0