2025屆高三一輪復習數(shù)學試題(人教版新高考新教材)考點規(guī)范練37　空間直線、平面的垂直

考點規(guī)范練37空間直線、平面的垂直一、基礎鞏固1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直線l,則()A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直線l的直線一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直線lD.垂直于直線l的平面一定與平面α,β都垂直2.已知α,β是兩個不同的平面,l,m,n是三條不同的直線,下列條件中,可以得到l⊥α的是()A.l⊥m,l⊥n,m?α,n?α B.l⊥m,m∥αC.α⊥β,l∥β D.l∥m,m⊥α3.如圖,在四面體D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點,則下列結論正確的是()A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE4.如圖,AB為圓錐底面直徑,C是底面圓O上異于A,B的動點.已知OA=3,圓錐側面展開圖是圓心角為3π的扇形,則當PB與BC所成角為π3時,PB與AC所成角為(A.π3 B.π6 C.π4 5.已知l,m,n是三條不同的直線,α,β是不同的平面,則α⊥β的一個充分條件是()A.l?α,m?β,且l⊥mB.l?α,m?β,n?β,且l⊥m,l⊥nC.m?α,n?β,m∥n,且l⊥mD.l?α,l∥m,且m⊥β6.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則點C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內部7.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一個動點,當點M滿足時,平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為正確的條件即可)

8.如圖,在棱長為2a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AC的中點,則平面MBC1與平面CBC1的夾角的正切值為.

9.設α,β是空間兩個不同的平面,m,n是平面α及β外的兩條不同直線.從“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中選取三個作為條件,余下一個作為結論,寫出你認為正確的一個命題:.(用序號表示)

10.如圖①,在平面五邊形ABCDE中,AB∥CE,且AE=2,∠AEC=60°,CD=ED=7,cos∠EDC=57.將△CDE沿CE折起,使點D到點P的位置,且AP=3,得到如圖②所示的四棱錐P-ABCE(1)求證:AP⊥平面ABCE;(2)記平面PAB與平面PCE相交于直線l,判斷直線AB與l的位置關系,并說明理由.11.已知三棱錐P-ABC,PA=PB=AB=3,BC=4,AC=5,D為AB的中點.(1)若PC=3,求異面直線PD與BC所成的角的余弦值;(2)若二面角P-AB-C為30°,求AC與平面PAB所成的角的正弦值.二、綜合應用12.(2022全國Ⅱ,理7)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°,則()A.AB=2ADB.AB與平面AB1C1D所成的角為30°C.AC=CB1D.B1D與平面BB1C1C所成的角為45°13.已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上,PA⊥平面ABC,△ABC是邊長為2的等邊三角形,若球O的體積為823π,則直線PC與平面PAB所成的角的正切值為(A.31111 BC.31010 D14.(多選)如圖所示,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,給出下列結論正確的是()A.PB⊥AEB.平面PAE⊥平面PDEC.異面直線PD與BC所成角為30°D.直線PD與平面PAB所成角的余弦值為1015.如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,E,F分別為線段CD,AB上的點,且BFBA=CECD=13,現(xiàn)將△ADE沿AE(1)證明:AE⊥PF;(2)求直線PB與平面PAE所成角的正弦值.16.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,且異面直線A1B與B1C1所成的角等于60°,設AA1=a,(1)求a的值;(2)求直線B1C1到平面A1BC的距離.三、探究創(chuàng)新17.如圖①,在△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點,O為DE的中點,AB=AC=25,BC=4.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,F為A1C的中點,如圖②.(1)求證:EF∥平面A1BD;(2)求證:平面A1OB⊥平面A1OC;(3)在線段OC上是否存在點G,使得OC⊥平面EFG?說明理由.

考點規(guī)范練37空間直線、平面的垂直1.D對于A,垂直于平面β的平面與平面α平行或相交,故A錯;對于B,垂直于直線l的直線與平面α垂直、斜交、平行或在平面α內,故B錯;對于C,垂直于平面β的平面與直線l平行或相交,故C錯;易知D正確.2.D由α,β是兩個不同的平面,l,m,n是三條不同的直線,知:對于A,l⊥m,l⊥n,m?α,n?α,則l與α相交、平行或l?α,故A不可以;對于B,l⊥m,m∥α,則l與α相交、平行或l?α,故B不可以;對于C,α⊥β,l∥β,則l與α相交、平行或l?α,故C不可以;對于D,l∥m,m⊥α,則l⊥α,故D可以.3.C因為AB=CB,且E是AC的中點,所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因為AC在平面ABC內,所以平面ABC⊥平面BDE.又因為AC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,故選C.4.C設圓錐母線長為l,則l·3π=23π,解得∵PB=PC,且PB與BC所成的角∠PBC=π3∴BC=2.又OA=3,∴在Rt△ABC中,AC=22如圖,作BD∥AC與圓O交于點D,連接AD,則Rt△ACB≌Rt△BDA,從而BD=AC=22,連接PD,則∠PBD為PB與AC所成角.在△PBD中,PD=PB=2,BD=22,可得PD⊥PB,∴∠PBD=π5.D∵m⊥β,l∥m,∴l(xiāng)⊥β.又l?α,∴α⊥β,故選D.6.A連接AC1,由BC1⊥AC,BA⊥AC,得AC⊥平面ABC1,所以平面ABC⊥平面ABC1,所以C1在底面ABC上的射影H在直線AB上.7.DM⊥PC(或BM⊥PC)連接AC.∵PC在底面ABCD上的射影為AC,且AC⊥BD,∴BD⊥PC.∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時,即有PC⊥平面MBD,而PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.8.2連接MD,則M是BD的中點,連接DC1,取BC1的中點E,連接CE,DE,如圖已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2a,則BD=DC1=BC1=22a,CC1=BC=2a,又E是BC1的中點,∴DE⊥BC1,CE⊥BC1.∴∠DEC或其補角就是平面DBC1與平面CBC1的夾角,即平面MBC1與平面CBC1的夾角.又DC⊥平面CBC1,∴DC⊥CE.在Rt△DCE中,DC=2a,CE=2a,∴tan∠DEC=2故平面MBC1與平面CBC1的夾角的正切值為29.①③④?②(或②③④?①)逐一判斷.若①②③成立,則m與α的位置關系不確定,故①②③?④錯誤;同理①②④?③也錯誤;①③④?②與②③④?①均正確.10.(1)證明在△CDE中,∵CD=ED=7,cos∠EDC=57∴由余弦定理得CE=2.連接AC,如圖所示,∵CE=AE=2,∠AEC=60°,∴AC=2.又AP=3,∴在△PAE中,PA2+AE2=PE2,即AP⊥AE.同理,AP⊥AC.∵AC∩AE=A,AC?平面ABCE,AE?平面ABCE,∴AP⊥平面ABCE.(2)解AB∥l.理由如下:∵AB∥CE,且CE?平面PCE,AB?平面PCE,∴AB∥平面PCE.又平面PAB∩平面PCE=l,AB?平面PAB,∴AB∥l.11.解(1)如圖,取AC的中點E,連接DE,PE.∵D為AB的中點,∴DE為△ABC的中位線,∴DE∥BC.∴∠PDE或其補角為PD與BC所成的角.由已知可得PE=112,DE=2,PD=3∴cos∠PDE=P∴PD與BC所成角的余弦值為4(2)如圖,在△PDE中,過點E作EH⊥PD于點H,連接AH.∵PA=PB,D為AB的中點,∴PD⊥AB.∵AB=3,BC=4,AC=5,∴∠ABC=90°.又DE∥BC,∴AB⊥DE,∴∠PDE為二面角P-AB-C的平面角,即∠PDE=30°.∵AB⊥平面PDE,EH?平面PDE,∴EH⊥AB.又EH⊥PD,PD∩AB=D,∴EH⊥平面PAB.∴∠HAE為AC與平面PAB所成的角.在Rt△AHE中,∵EH=1,AE=52∴sin∠HAE=2∴AC與平面PAB所成角的正弦值為212.D如圖,連接BD.B1D與平面ABCD所成的角為∠B1DB,B1D與平面AA1B1B所成的角為∠DB1A,則∠B1DB=∠DB1A=30°,設B1D=2,則AD=B1B=1.由B1D2=AD2+CD2+B1B2,得AB=CD=2,從而AB=2AD,A錯;過點B作BE⊥AB1,垂足為點E,因為AD⊥平面AA1B1B,所以AD⊥BE,又AD∩AB1=A,所以BE⊥平面AB1C1D,所以AE為AB在平面AB1C1D內的射影,則AB與平面AB1C1D所成的角為∠B1AB,又AB=2,所以tan∠B1AB=BB1AB=12=22,所以∠B1AB≠30°,B錯;因為AC=3,CB1=2,所以AC≠CB1,C錯;由DC⊥平面BB1C1C,知B1C為B1D在平面BB1C1C內的射影,B1D與平面BB1C1C所成的角為∠DB1C,又sin∠DB1C=CDB113.A如圖,設△ABC的中心為E,M為AB的中點,過點O作OD⊥PA,則D為PA的中點.由題意可得CM⊥平面PAB,∴∠CPM是直線PC與平面PAB所成的角.∵△ABC是邊長為2的等邊三角形,∴OD=AE=23CM=2∵43π·OP3=82π3,∴OP=2∴PM=PA2+A14.ABD如圖,連接BD.根據(jù)正六邊形性質得AB⊥AE,因為PA⊥平面ABC,AE?平面ABC,所以PA⊥AE.因為PA,AB為平面PAB內兩相交直線,所以AE⊥平面PAB.因為PB?平面PAB,所以PB⊥AE,故A正確;根據(jù)正六邊形性質得DE⊥AE,因為PA⊥平面ABC,DE?平面ABC,所以PA⊥DE.因為PA,AE為平面PAE內兩相交直線,所以DE⊥平面PAE.因為DE?平面PDE,所以平面PAE⊥平面PDE,故B正確;根據(jù)正六邊形性質得AD∥BC,所以∠PDA為異面直線PD與BC所成角,因為PA=2AB=AD,所以∠PDA=π4即異面直線PD與BC所成角為45°,故C錯誤;因為AE⊥平面PAB,BD∥AE,所以BD⊥平面PAB,所以∠DPB為直線PD與平面PAB所成角,因為PA=2AB,所以可得PD=2PA,PB=52PA所以cos∠DPB=PBPD=52215.(1)證明連接DF交AE于點M,連接EF,如圖.∵在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,BFBA∴四邊形ADEF為邊長為2的正方形.∴AE⊥DF,且DM=MF=2在四棱錐P-ABCE中,AE⊥PM,AE⊥MF,PM∩MF=M,∴AE⊥平面PMF.又PF?平面PMF,∴AE⊥PF.(2)解設點F到平面PAE的距離為d1,點B到平面PAE的距離為d,由(1)知∠PMF是二面角P-AE-B的平面角,∴∠PMF=2∵AE⊥平面PMF,AE?平面PAE,∴平面PMF⊥平面PAE.過點F作FH⊥PM于點H,∵平面PMF∩平面PAE=PM,∴FH⊥平面PAE.由(1)知在△PMF中,PM=MF=2,∴∠FPM=π6,PF=6,∴d1=FH=12∵AFAB=23,∴d=在Rt△APM中,可得PA=2,在△PAF中,有PF2=PA2+FA2-2PA·FA·cos∠PAF,在△PAB中,有PB2=PA2+AB2-2PA·AB·cos∠PAF,解得PB=10.∴sinθ=d∴直線PB與平面PAE所成角的正弦值為316.解(1)∵BC∥B1C1,∴∠A1BC或其補角就是異面直線A1B與B1C1所成的角.如圖,連接A1C,∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∴△A1BA≌△A1CA,∴A1B=A1C.∴∠A1BC為銳角,即∠A1BC=60°.∴△A1BC為等邊三角形.∵AB=AC=1,∠BAC=90°,∴BC=2,∴A1B=1+a2=2,(2)易知B1C1∥平面A1BC,此時有直線B1C1上的任意一點到平面A1BC的距離等于點B1到平面A1BC的距離,設其為d.連接B1C,∵CA⊥A1A,CA⊥AB,AA1∩AB=A,∴CA⊥平面A1B1B,并且AC=1.△A1B1B的面積:S△A1B1B△A1BC的面積:S△A1BC=∵VB1-A1∴d=S△∴直線B1C1到平面A1BC的距離為317.(1)證明如圖,取線段A1B的中點H,連接HD,HF.因為在△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點,所以DE∥BC,DE=12BC因為H,F分別為A1B,A1C的中點,所以HF∥BC,HF=12BC所以HF∥DE,HF=DE,所以四邊形DEFH為平行四邊形,所以EF∥HD.因為EF?平面A1BD,HD?平面A1BD,所以EF∥平面A1BD.(2)證明在△ABC中,因為D,E分別為AB,AC的中點,AB=AC,所以AD=AE.所以A1D=A1E.又O為DE的中點,所以A1O⊥DE.因為平面A1DE⊥平面BCED,且A1O?平面A1DE,平面A1DE∩平面BCED=DE,所以A1O⊥平面BC