理學(xué)第十二講回歸分析

2024/7/51回歸分析在一組數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上研究這樣幾個(gè)問題：（i）建立因變量y與自變量x,x,,xm

之間的回歸模型（經(jīng)驗(yàn)公式）；（ii）對回歸模型的可信度進(jìn)行檢驗(yàn)；（iii）判斷每個(gè)自變量x(i=1,2,…,m)對y的影響是否顯著；（iv）診斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；（v）利用回歸模型對y進(jìn)行預(yù)報(bào)或控制。2024/7/52一元線性回歸多元線性回歸回歸分析數(shù)學(xué)模型及定義*模型參數(shù)估計(jì)*檢驗(yàn)、預(yù)測與控制可線性化的一元非線性回歸（曲線回歸）數(shù)學(xué)模型及定義*模型參數(shù)估計(jì)*多元線性回歸中的檢驗(yàn)與預(yù)測逐步回歸分析2024/7/53一、數(shù)學(xué)模型例1

測16名成年女子的身高與腿長所得數(shù)據(jù)如下：以身高x為橫坐標(biāo)，以腿長y為縱坐標(biāo)將這些數(shù)據(jù)點(diǎn)（xI，yi）在平面直角坐標(biāo)系上標(biāo)出.散點(diǎn)圖2024/7/54一元線性回歸分析的主要任務(wù)是：2024/7/55二、模型參數(shù)估計(jì)1、回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)2024/7/56其中

2024/7/57一個(gè)好的擬合方程，其殘差應(yīng)越小越好。殘差越小，擬合值與觀測值越接近，各觀測點(diǎn)在擬合直線周圍聚集的緊密程度越高，也就是說，擬合方程解釋y的能力越強(qiáng)。另外，當(dāng)剩余標(biāo)準(zhǔn)差越小時(shí)，還說明殘差值的變異程度越小。由于殘差的樣本均值為零。所以，其離散范圍越小，擬合的模型就越為精確。2024/7/58三、檢驗(yàn)、預(yù)測與控制1、顯著性檢驗(yàn)一般地，回歸方程的假設(shè)檢驗(yàn)包括兩個(gè)方面：一個(gè)是對模型的檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)自變量與因變量之間的關(guān)系能否用一個(gè)線性模型來表示，這是由F檢驗(yàn)來完成的；另一個(gè)檢驗(yàn)是關(guān)于回歸參數(shù)的檢驗(yàn)，即當(dāng)模型檢驗(yàn)通過后，還要具體檢驗(yàn)每一個(gè)自變量對因變量的影響程度是否顯著。這是由t檢驗(yàn)完成。在一元線性分析中，由于自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，這兩種檢驗(yàn)是統(tǒng)一的，它們的效果完全是等價(jià)的。但是，在多元線性回歸分析中，這兩個(gè)檢驗(yàn)的意義是不同的。從邏輯上說，一般常在F檢驗(yàn)通過后，再進(jìn)一步進(jìn)行t檢驗(yàn)。2024/7/59（Ⅰ）F檢驗(yàn)法

（Ⅱ）t檢驗(yàn)法2024/7/510（Ⅲ）r檢驗(yàn)法2024/7/5112、回歸系數(shù)的置信區(qū)間2024/7/5123、預(yù)測與控制（1）預(yù)測2024/7/513（2）控制2024/7/514四、可線性化的一元非線性回歸（曲線回歸）例2出鋼時(shí)所用的盛鋼水的鋼包，由于鋼水對耐火材料的侵蝕，容積不斷增大.我們希望知道使用次數(shù)與增大的容積之間的關(guān)系.對一鋼包作試驗(yàn)，測得的數(shù)據(jù)列于下表：2024/7/515散點(diǎn)圖此即非線性回歸或曲線回歸

問題（需要配曲線）配曲線的一般方法是：2024/7/516通常選擇的六類曲線如下：2024/7/517一、數(shù)學(xué)模型及定義多元線性回歸2024/7/518二、模型參數(shù)估計(jì)解得估計(jì)值2024/7/5192024/7/520三、多元線性回歸中的檢驗(yàn)與預(yù)測

（Ⅰ）線性模型檢驗(yàn)——F檢驗(yàn)法（Ⅱ）回歸系數(shù)檢驗(yàn)——t檢驗(yàn)法(殘差平方和）2024/7/5212、預(yù)測（1）點(diǎn)預(yù)測（2）區(qū)間預(yù)測2024/7/522四、逐步回歸分析（4）“有進(jìn)有出”的逐步回歸分析。（1）從所有可能的因子（變量）組合的回歸方程中選擇最優(yōu)者；（2）從包含全部變量的回歸方程中逐次剔除不顯著因子；（3）從一個(gè)變量開始，把變量逐個(gè)引入方程；選擇“最優(yōu)”的回歸方程有以下幾種方法：

“最優(yōu)”的回歸方程就是包含所有對Y有影響的變量,而不包含對Y影響不顯著的變量回歸方程。

以第四種方法，即逐步回歸分析法在篩選變量方面較為理想.2024/7/523

這個(gè)過程反復(fù)進(jìn)行，直至既無不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無顯著變量可引入回歸方程時(shí)為止。逐步回歸分析法的思想：

從一個(gè)自變量開始，視自變量Y作用的顯著程度，從大到地依次逐個(gè)引入回歸方程。

當(dāng)引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時(shí)，要將其剔除掉。

引入一個(gè)自變量或從回歸方程中剔除一個(gè)自變量，為逐步回歸的一步。

對于每一步都要進(jìn)行Y值檢驗(yàn)，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對Y作用顯著的變量。2024/7/524統(tǒng)計(jì)工具箱中的回歸分析命令1、多元線性回歸2、多項(xiàng)式回歸3、非線性回歸4、逐步回歸2024/7/525多元線性回歸

b=regress(Y,X)1、確定回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值：2024/7/5263、畫出殘差及其置信區(qū)間：

rcoplot（r，rint）2、求回歸系數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)、并檢驗(yàn)回歸模型：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)殘差用于檢驗(yàn)回歸模型的統(tǒng)計(jì)量，有三個(gè)數(shù)值：相關(guān)系數(shù)r2、F值、與F對應(yīng)的概率p置信區(qū)間

顯著性水平（缺省時(shí)為0.05）2024/7/527例1解：1、輸入數(shù)據(jù)：

x=[143145146147149150153154155156157158159160162164]';X=[ones(16,1)x];Y=[8885889192939395969897969899100102]';2、回歸分析及檢驗(yàn)：

[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X)b,bint,stats2024/7/5283、殘差分析，作殘差圖：

rcoplot(r,rint)

從殘差圖可以看出，除第二個(gè)數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點(diǎn)均較近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點(diǎn)，這說明回歸模型y=-16.073+0.7194x能較好的符合原始數(shù)據(jù)，而第二個(gè)數(shù)據(jù)可視為異常點(diǎn).4、預(yù)測及作圖：z=b(1)+b(2)*xplot(x,Y,'k+',x,z,'r')2024/7/529多項(xiàng)式回歸（一）一元多項(xiàng)式回歸

（1）確定多項(xiàng)式系數(shù)的命令：[p，S]=polyfit（x，y，m）（2）一元多項(xiàng)式回歸命令：polytool（x，y，m）1、回歸：y=a1xm+a2xm-1+…+amx+am+12、預(yù)測和預(yù)測誤差估計(jì)：（1）Y=polyval（p，x）求polyfit所得的回歸多項(xiàng)式在x處的預(yù)測值Y；（2）[Y，DELTA]=polyconf（p，x，S，alpha）求polyfit所得的回歸多項(xiàng)式在x處的預(yù)測值Y及預(yù)測值的顯著性為1-alpha的置信區(qū)間YDELTA；alpha缺省時(shí)為0.5.2024/7/530法一

直接作二次多項(xiàng)式回歸：

t=1/30:1/30:14/30;s=[11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.1361.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48];

[p,S]=polyfit(t,s,2)得回歸模型為：2024/7/531法二化為多元線性回歸：t=1/30:1/30:14/30;s=[11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.1361.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48];T=[ones(14,1)t'(t.^2)'];[b,bint,r,rint,stats]=regress(s',T);b,stats得回歸模型為：Y=polyconf(p,t,S)plot(t,s,'k+',t,Y,'r')預(yù)測及作圖2024/7/532（二）多元二項(xiàng)式回歸命令：rstool（x，y，’model’,alpha）nm矩陣顯著性水平（缺省時(shí)為0.05）n維列向量2024/7/533

例3

設(shè)某商品的需求量與消費(fèi)者的平均收入、商品價(jià)格的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下，建立回歸模型，預(yù)測平均收入為1000、價(jià)格為6時(shí)的商品需求量.法一

直接用多元二項(xiàng)式回歸：x1=[10006001200500300400130011001300300];x2=[5766875439];y=[10075807050659010011060]';x=[x1'x2'];rstool(x,y,'purequadratic')2024/7/534

在畫面左下方的下拉式菜單中選”all”,則beta、rmse和residuals都傳送到Matlab工作區(qū)中.在左邊圖形下方的方框中輸入1000，右邊圖形下方的方框中輸入6。

則畫面左邊的“PredictedY”下方的數(shù)據(jù)變?yōu)?8.47981，即預(yù)測出平均收入為1000、價(jià)格為6時(shí)的商品需求量為88.4791.2024/7/535在Matlab工作區(qū)中輸入命令：beta,rmse2024/7/536結(jié)果為:b=110.53130.1464-26.5709-0.00011.8475stats=0.970240.66560.0005法二將

化為多元線性回歸：2024/7/537非線性回歸（1）確定回歸系數(shù)的命令：

[beta，r，J]=nlinfit（x，y，’model’,beta0）（2）非線性回歸命令：nlintool（x，y，’model’,beta0，alpha）1、回歸：殘差Jacobian矩陣回歸系數(shù)的初值是事先用m-文件定義的非線性函數(shù)估計(jì)出的回歸系數(shù)輸入數(shù)據(jù)x、y分別為矩陣和n維列向量，對一元非線性回歸，x為n維列向量。2、預(yù)測和預(yù)測誤差估計(jì)：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’,x，beta，r，J）求nlinfit或nlintool所得的回歸函數(shù)在x處的預(yù)測值Y及預(yù)測值的顯著性為1-alpha的置信區(qū)間YDELTA.2024/7/538例4

對第一節(jié)例2，求解如下：2、輸入數(shù)據(jù)：

x=2:16;y=[6.428.209.589.59.7109.939.9910.4910.5910.6010.8010.6010.9010.76];beta0=[82]';3、求回歸系數(shù)：

[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；

beta得結(jié)果：beta=11.6036-1.0641即得回歸模型為：2024/7/539逐步回歸逐步回歸的命令是：

stepwise（x，y，inmodel，alpha）

運(yùn)行stepwise命令時(shí)產(chǎn)生三個(gè)圖形窗口：StepwisePlot，StepwiseTable，StepwiseHistory.

在StepwisePlot窗口，顯示出各項(xiàng)的回歸系數(shù)及其置信區(qū)間.StepwiseTable窗口中列出了一個(gè)統(tǒng)計(jì)表，包括回歸系數(shù)及其置信區(qū)間，以及模型的統(tǒng)計(jì)量剩余標(biāo)準(zhǔn)差（RMSE）、相關(guān)系數(shù)（R-square）、F值、與F對應(yīng)的概率P.矩陣的列數(shù)的指標(biāo)，給出初始模型中包括的子集（缺省時(shí)設(shè)定為全部自變量）顯著性水平（缺省時(shí)為0.5）自變量數(shù)據(jù),

階矩陣因變量數(shù)據(jù)，階矩陣2024/7/540例6

水泥凝固時(shí)放出的熱量y與水泥中4種化學(xué)成分x1、x2、x3、x4

有關(guān)，今測得一組數(shù)據(jù)如下，試用逐步回歸法確定一個(gè)線性模型.1、數(shù)據(jù)輸入：x1=[7111117113122111110]';x2=[26295631525571315447406668]';x3=[615886917221842398]';x4=[6052204733226442226341212]';y=[78.574.3104.387.695.9109.2102.772.593.1115.983.8113.3109.4]';x=[x1x2x3x4];2024/7/5412、逐步回歸：（1）先在初始模型中取全部自變量：

stepwise(x,y)得圖Ste