高中數(shù)學(xué)習(xí)題2：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第一冊(cè) 空間向量及其線性運(yùn)算

1.L1空間向量及其線性運(yùn)算

1.在平行六面體力靦一489〃中，法+/什44的運(yùn)算結(jié)果是（）

A.A^CB.AC,

C.BD\D.B\D

2.“兩個(gè)非零空間向量的模相等”是“兩個(gè)空間向量相等”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.（2020?福建廈門市高二質(zhì)檢）三棱錐尸一/勿中，"是棱6。的中點(diǎn)，若沏

=xAP+yAB+zAC{x,y,zWR）,則x+y+z的值為（）

Ao

1B.

D.1

2-

4.設(shè)有四邊形/況。。為空間任意一點(diǎn)，且布+南=〃0+龍；則四邊形/時(shí)

是（）

A.平行四邊形B.空間四邊形

C.等腰梯形D.矩形

5.在直三棱柱/6C-48K中，若襦=a,CB=b,CCx=c,則森=（用a,

b,c表示）.

A組?素養(yǎng)自測(cè)

一、選擇題

1.空間任意四個(gè)點(diǎn)兒B,C,D,則而十而一靖于（）

A.DBB.AC

C.ABD.BA

2.已知說(shuō)礪是空間兩個(gè)不共線的向量，距-3法一2施那么必有（）

A.法，麻共線B.MB,就共線

C.MA,MB,流共面D.MA,MB,戒不共面

3.（多選題）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線

B.在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線

C.在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線

D.在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線

4.已知正方體力頌一48《〃中，誦="布，若懣'=xU+y（花+沏，則

（）

11

A.x=l,y=~B.x=~,y=l

乙乙

11

C.x=l,y=-D.x=l,y=-

o4

5.（2021?福建泉州市普通高中質(zhì)量檢測(cè)）如圖所示，三棱柱48C—48c中,

加是48的中點(diǎn)，若次=a,CB=b,CC,=c,則由-（）

B.T(a+Z>+c)

A.(a+b-c)

C.a+b+；cD.a+g(b+c)

二、填空題

6.化簡(jiǎn)（宓一近）一（衣一物=

7.在平行六面體ABCD—ABCR中，若元=x?能+2y?比+3z?QC,則x

+y+z=

8.(2020?陜西白水高二期末)如圖，在四面體力靦中，E,G分別是切，

應(yīng)'的中點(diǎn)，若笳=xAB-\-yAD+zAC,則x+y+z=___.

三、解答題

9.如圖所示，在四棱柱力靦一4‘B'C中，底面4?繆為矩形，化簡(jiǎn)

下列各式.

⑴宓+曲-D'^A'+尸D-~BCy

(2)4*-AC+AD-A^.

10.已知平行六面體ABCD-A'B'C〃'，點(diǎn)￡在AC上，且AEEC

=12,點(diǎn)AG分別是夕D'和劭'的中點(diǎn)，求下列各式中的x、八z的值.

⑴赤=*疝+yAB+zAD^

⑵赤=*際+yBA+zBC；

⑶港=x際+yBA+zBC.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.已知正方形4四的邊長(zhǎng)為1,設(shè)質(zhì)=a、BC=b,AC=c,則|a+Z>+c］等

于()

A.0B.3

C.2+gD.2/

2.如圖所示，在平行六面體力史9—44?！ㄖ?，設(shè)筋i=a,~AB=b,'AD=c,

M,N,尸分別是44，BC,G〃的中點(diǎn)，則痂+位=()

313

A十b+B

2-a2-2-

11311

-a-b+D-a+-b-

c.2+■222+-2

3.（多選題）下列命題中假命題的是（）

A.將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)

圓

B.若空間向量a、人滿足|a|=|引，則a=b

C.若空間向量20、n、p滿足R=A,n=p,則R=p

D.空間中任意兩個(gè)單位向量必相等

4.（多選題）（2021?遼寧省撫順一中月考）已知四邊形/頗為矩形，陽(yáng)，平

面4比〃連接同BD,PB,PC,PD,則下列各組向量中，互相垂直的有（）

A.PC^BDB.而與無(wú)

C.PD^ABD.再與面

二、填空題

5.已知平行六面體4?徵一"B'CD',則下列四式中：

①宓一*宓②/日=AB+B'~C'+的；③4不=於；④龍+的+

BC+（TC=AC.

正確的是—.

6.如圖所示，已知矩形/比。尸為平面/頗外一點(diǎn)，且為，平面/比〃欣

力分別為尸。、刃上的點(diǎn)，且掰MC=21,"為切中點(diǎn)，則滿足疏?"布十

實(shí)數(shù)x=____,y=,z=.

[2

7-已知力,80三點(diǎn)不共線,。是平面腦外任一點(diǎn)，若由落押+押+

兒無(wú)確定的一點(diǎn)尸與4B,。三點(diǎn)共面，則兒=.

三、解答題

8.已知三個(gè)向量a、b、c不共面，并且p=a+b—c,q=2a—3b—5c,r=

—7a+18b+22c,向量p、q、r是否共面？

9.已知力、B、尸三點(diǎn)共線，。為空間任意一點(diǎn)，0P=aOA+0OB,求。+

￡的值.

LL1空間向量及其線性運(yùn)算

1.在平行六面體4時(shí)一4AG〃中，恭+而+筋?的運(yùn)算結(jié)果是（B）

A.就B,元

C.前,D.KD

［解析］AB+AD+AAX=AC+AA^AC..

2.“兩個(gè)非零空間向量的模相等”是“兩個(gè)空間向量相等”的（B）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

［解析］兩個(gè)向量相等是指兩個(gè)向量的模相等并且方向相同，因此“兩個(gè)非

零向量的模相等”是“兩個(gè)向量相等”的必要不充分條件.

3.（2020?福建廈門市高二質(zhì)檢）三棱錐尸一/87中，"是棱6。的中點(diǎn)，若沏

=xAP+yAB+zAC（x,y,z6R）,則x+y+z的值為（B）

A.-1B.0

1

C.-D.1

［解析］由題可知，PM=xAP+yAB+zAC{x,y,z￡R）,

由向量線性運(yùn)算得：

—A'P+'AM,即沏=一赤+：宓+；苑所以，才=-1,y=1，z

LtCt乙

=g,則x+y+z=O.故選B.

4.設(shè)有四邊形4為9,。為空間任意一點(diǎn)，且而+/=加+應(yīng)；則四邊形/時(shí)

是（A）

A.平行四邊形B.空間四邊形

C.等腰梯形D.矩形

［解析］?.,布+應(yīng)=質(zhì)+應(yīng)；

：.AB=DC.

：.AB//DC^.\AB\=\DC\.

...四邊形4靦為平行四邊形.

5.在直三棱柱48。一46K中，若方=a,CB=b,CCt=c,則誦=b—a—

C_（用a,b,c表示）.

［解析］A\B=A{A-\-AB=-CC、+CB—CA=b—a—c.

請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成練案［1］

A組?素養(yǎng)自測(cè)

一、選擇題

1.空間任意四個(gè)點(diǎn)4B,C,D,則成1+宓一漏于（D）

A.DBB.AC

C.ABD.BA

［解析］DA+CD~CB=（CD+D^）-CB=CA~CB=BA.

2.已知法，礪是空間兩個(gè)不共線的向量，芯=3詼-2礪，那么必有（C）

A.法，距共線B.MB,跖洪線

C.法，礪，航洪面D.就血,疵不共面

［解析］由共面向量定理知，MA,MB,就共面.

3.（多選題）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ABC）

A.在平面內(nèi)共線的向量在空間不一定共線

B.在空間共線的向量在平面內(nèi)不一定共線

C.在平面內(nèi)共線的向量在空間一定不共線

D.在空間共線的向量在平面內(nèi)一定共線

［解析］在平面內(nèi)共線的向量，在空間一定共線，A錯(cuò)，C錯(cuò).

在空間共線的向量，平移到一個(gè)平面上一定共線，B錯(cuò)，D對(duì).

4.已知正方體力仇刀一46K〃中，漉=；疵，若小x就+y（誦+戒，則

（D）

11

A.x=l,y=~B.x—~,y=l

乙乙

11

C.x=\,y=-D.x=l,y=-

［解析］森=莉+乖=荔+%^=葩+；（葩+位.所以x=l,尸;.

5.（2021?福建泉州市普通高中質(zhì)量檢測(cè)）如圖所示，三棱柱46c中,

W是48的中點(diǎn)，若次=a,CB=b,CC,=c,則應(yīng)-（B）

A.(a+b-c)B.-(a+b+c)

C.a+b+^cD.a+J(6+c)

乙

［解析］本小題主要考查解空間向量的運(yùn)算，若中點(diǎn)為D,~^=Cb+DN=

T（a+<6+c）,故選B.

二、填空題

6.化簡(jiǎn)(而一應(yīng)一(花一物=0.

［解析］解法一：(利用相反向量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算)

(AB-Cb)-(JC-Bb)=AB-Cb-AC+BD

^AB+DC+CA+BD=AB+Bb+DC+CA^.

解法二：(利用向量的減法運(yùn)算法則求解)

(AB-Ci))-(JC-Bb)=(AB-AC)+BD-CD

=CB+Bb-cb=cb-cb=(}.

7.在平行六面體ABCD-A\BCD\中,若花=x?AB+2yBC+^z?QC,則x

7

=

6

+y+-

［解析］如圖所示，有陽(yáng)=力8+a'+陽(yáng)=/8+6。+(—1)?。6：

又?.,元=x?宓+2y?反'+

3z,QC,

117

+

x+y+z=2--3-=6-

8.（2020?陜西白水高二期末）如圖，在四面體/靦中，E,G分別是69,

龍的中點(diǎn)，若花=xAB+yAD+zAC,則x+y+z=1.

［解析］如圖，在四面體被切中，E,G分別是微龍的中點(diǎn)，

AG=AB+BG=AB+^BE=AB+\X|(BC+曲=AB+\(AC-AB+AD-AB)

乙乙乙A

11一1一111-

=AB+~AC+~^AD~5/6=5/8+pC.

AG=xAB-\-y而+zAC,/.x+y+z=；+[+[=1-

三、解答題

9.如圖所示，在四棱柱/四一/'B'C。中，底面力靦為矩形，化簡(jiǎn)

下列各式.

D'C

AB

⑴刖際一〃%+iT〃一旗

(2)ACr-AC+Ab-A^.

[解析]⑴原式=/8+/尸+/〃一AA1—AD=AB.

(2)原式=辦+AD-AA1=AD.

10.已知平行六面體5一/'B'C"，點(diǎn)E在AC'上，且超EC=

12,點(diǎn)尺G分別是S'D'和初’的中點(diǎn)，求下列各式中的x、y、z的值.

⑴小x疝+yAB+zAD；

⑵雄=屈+y應(yīng)+施

⑶旗=屈+yBA+zBC.

［解析］⑴；四勿=12,

=\(AB+BC+Cd)=；(麗勸+/F)

oJ

=5#+;森+;而，

111

x=~,y=~,z=~.

②?：F為B'D'的中點(diǎn)，

（際+腸）=g（際+必+疝+A'^D'）

=；（2際+9+必=際+^BA+~BC,

11

x=1,y=~,z=~.

⑶??,（；、F分別為BD'、B'。'的中點(diǎn)，

.,.旗=；際，y=0,z=Q.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.已知正方形/以力的邊長(zhǎng)為1,設(shè)質(zhì)=a、祝=b、AC=c,則|a+b+c|等

于（D）

A.0B.3

C.2+^/2D.2y［2

［解析］利用向量加法的平行四邊形法則結(jié)合正方形性質(zhì)求解，\a+b+c\

=2\AC\=2啦.

2.如圖所示，在平行六面體4%力—43G〃中，設(shè)解i=a,AB=b,AD=c,

M,N,P分別是44，BC,G〃的中點(diǎn)，則赤十位;=（A）

313

Ab十

2-a+-2-2-

11311

c-a-b十D-a-b-

2+-22+-2+-2

313

［113］3

［解析］MP+NC^+加5焉+次+麗=5葩+5宓+?2-2-2-

乙乙乙乙乙乙

c,故選A.

3.（多選題）下列命題中假命題的是（ABD）

A.將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)

圓

B.若空間向量a、力滿足|a|=|8|,則a=8

C.若空間向量卬、z?、p滿足m=n,n=p,則R=p

D.空間中任意兩個(gè)單位向量必相等

［解析］A.假命題.將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)點(diǎn)為起點(diǎn)時(shí)，它

們的終點(diǎn)將構(gòu)成一個(gè)球面，而不是一個(gè)圓.

B.假命題.根據(jù)向量相等的定義，要保證兩向量相等，不僅模要相等，而

且方向還要相同，但B中向量a與力的方向不一定相同.

C.真命題.向量的相等滿足遞推規(guī)律.

D.假命題.空間中任意兩個(gè)單位向量模長(zhǎng)均為1,但方向不一定相同，所

以不一定相等，故D錯(cuò).

4.（多選題）（2021?遼寧省撫順一中月考）已知四邊形繆為矩形，必J_平

面4連接〃'，劭，如，尸C,外，則下列各組向量中，互相垂直的有（BCD）

A.PC^BDB.反與比

C.Pb^ABD.再與百

［解析］結(jié)合圖分析可知DA與PB,PD與AB,PA與切分別垂直，則選項(xiàng)B,

C,D中兩向量垂直.而A中，只有當(dāng)矩形力靦為正方形時(shí)，才有無(wú)1礪.

二、填空題

5.已知平行六面體4?徵一"B'CD',則下列四式中：

①位一踮=花；②/日=AB+B'~C'+的；③4不=於；④宓+的+

BC+（TC=AC.

正確的是①②③④.

［解析］AB~CB=AB+BC=AC,①正確；AB+B'^C'+㈤^AB+BC+CC1

=Ad,②正確；③顯然正確；Y麗的+覺(jué)=箱,C=AC,：.@

正確.

6.如圖所示，已知矩形/靦，P為平面/靦外一點(diǎn)，且陽(yáng)，平面/比〃步、

A：分別為尸。、刃上的點(diǎn)，且41/腦7=21,N為切中點(diǎn)，則滿足訪漉+y而

211

-r.=Z-=

+z源的實(shí)數(shù)x=——『

一

-3--6—-一

M

B

［解析］在外上取一點(diǎn)“使"FD=21,連接，好，則廟三/十月V,

FN=京一DF=^DP-^DP=^DiP=\(AP-Ab),

2366

一2f2一2一

助卜~~AB,

=RoCoD=RBAo=

一2一1一，1一

：.MN=--AB--AD+-AP,

211

尸一不Z=~.

f