高中數(shù)學(xué)競賽講義五

高中數(shù)學(xué)競賽講義（五）

■數(shù)列

一、基礎(chǔ)知識

定義1數(shù)列，按順序給出的一列數(shù)，例如1,2,3,…，n,….數(shù)列分有

窮數(shù)列和無窮數(shù)列兩種，數(shù)列｛a｝的一般形式通常記作句，曲微,???,品或血血

a”…，a.…。其中以叫做數(shù)列的首項，a“是關(guān)于〃的具體表達(dá)式，稱為數(shù)列的通

項。

定理1若S”表示｛&,｝的前〃項和，則Si=a,當(dāng)〃>1時，aK.-Sz.

定義2等差數(shù)列，如果對任意的正整數(shù)〃，都有a.「a,=d（常數(shù)），則｛4｝

稱為等差數(shù)列，d叫做公差。若三個數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，即2左a+c,則稱，

為a和c的等差中項，若公差為d,則爐6d,c=Md.

定理2等差數(shù)列的性質(zhì)：1）通項公式a〃=&+（kl）d；2）前〃項和公式：

S?=22；3）a〃-4=3m）d,其中“，m為正整數(shù)；4）若

n+m=p^-q,則a.+a^ao+a。；5）對任意正整數(shù)0，q,恒有%-a產(chǎn)（廠。⑵-4）；6）

若46至少有一個不為零，則｛2｝是等差數(shù)列的充要條件是S爐加②+劭.

_q

定義3等比數(shù)列，若對任意的正整數(shù)77,都有4,則｛4｝稱為等比數(shù)

列，q叫做公比。

定理3等比數(shù)列的性質(zhì)：1）&,=團(tuán)u；2）前〃項和S”，當(dāng)好1時，

4。7'）

S?=1一。；當(dāng)片1時，S"=g；3）如果a,b,c成等比數(shù)列，即舔=a<?（0?=0）,

則8叫做a,c的等比中項；4）若m+吃次仍則4a，尸

定義4極限，給定數(shù)列｛a｝和實數(shù)兒若對任意的產(chǎn)〉0,存在M,對任意的

A〉M（A￡加，都有14Tly則稱力為“一+8時數(shù)列｛&,）的極限，記作=4

定義5無窮遞縮等比數(shù)列，若等比數(shù)列｛4｝的公比g滿足|引＜1,則稱之為

,

無窮遞增等比數(shù)列，其前〃項和S”的極限（即其所有項的和）為…（由極限

的定義可得）。

定理3第一數(shù)學(xué)歸納法：給定命題0（血，若：（1）0（加）成立；（2）當(dāng)

0（77）時上在成立時能推出夕（〃）對上A+1成立，則由（1）,（2）可得命題0（〃）

對一切自然數(shù)772Ao成立。

競賽常用定理

定理4第二數(shù)學(xué)歸納法：給定命題0（血，若：（1）0（加）成立；（2）當(dāng)

夕（〃）對一切〃＜女的自然數(shù)〃都成立時（尾外）可推出夕（4+1）成立，則由（1）,

（2）可得命題0（〃）對一切自然數(shù)成立。

定理5對于齊次二階線性遞歸數(shù)列％=axg+8%2,設(shè)它的特征方程*=ax+8

的兩個根為a,B：⑴若a事B,則x〃=Cia叫QB"其中a,C2由初始條件X,及

的值確定；⑵若a=B,則須=（。加心）a-其中a,◎的值由為，蒞的值確定。

二、方法與例題

1.不完全歸納法。

這種方法是從特殊情況出發(fā)去總結(jié)更??般的規(guī)律，當(dāng)然結(jié)論未必都是正確

的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊一猜想一數(shù)學(xué)

歸納法證明。

例1試給出以下兒個數(shù)列的通項(不要求證明)；1)0,3,8,15,24,

35,…；2)1,5,19,65,…；3)-1,0,3,8,15,…。

,,

【解】1)a=z?2-l；2)a?=3-2;3)a,=rT~2n.

例2已知數(shù)列｛a〃｝滿足a[=二，ai+a?+…+4=〃喝”，求通項a”.

【解】因為國=二，又a｛+a2=2-?a2,

_Li

所以az=3x2,a3=3'-l3x4,猜想(Gl).

1

證明；1)當(dāng)爐1時，a尸布，猜想正確。2)假設(shè)當(dāng)時猜想成立。

當(dāng)ZFA+1時,由歸納假設(shè)及題設(shè)，a+&+???+4=[U+1),-I]小，

_L+_Li

所以2x13x2

—L_

即223k*4-l=A(A+2)aw,

kI

所以萩7=履代2)如，所以a*(t+1X*4-2)

由數(shù)學(xué)歸納法可得猜想成立，所以小+D

例3設(shè)O〈a〈l,數(shù)列｛a〃｝滿足a〃=l+a,a,i=a+，，求證：對任意/?e”,有

a）1.

【證明】證明更強(qiáng)的結(jié)論：l〈a〃Wl+a.

1）當(dāng)爐1時，l〈為=l+a,①式成立；

2）假設(shè)上A時，①式成立，即則當(dāng)上代1時，有

l+-a+-aal+a

l+a>aJ+q-L---------->------

M.l+al+al+o

由數(shù)學(xué)歸納法可得①式成立，所以原命題得證。

2.迭代法。

數(shù)列的通項&或前〃項和S“中的〃通常是對任意成立，因此可將其中

的〃換成加1或等，這種辦法通常稱迭代或遞推。

例4數(shù)歹U｛a,,｝滿足a〃+/?ag+qa,H=0,g3,行0,求證：存在常數(shù)c,使得

4+R?i?a.+E+=?=d

【證明】“工(pa-i+a,/)+9a^=&吟?(-^,,)+^*1=

Q(4u-Wrf)=+a”(pq/i+qa)1=q++9^>).

若4+f■+W；=0,則對任意n,4—+屑=0,取c=0即可.

若￡+「■,+fl??wo,則｛dL+frtt+e：｝是首項為%+k,

公式為q的等比數(shù)列。

所以aU+WHrtt+EnH+F.+荷)?/.

2

取c=-(?+「■?+w3.孑即可.

綜上，結(jié)論成立。

例5已知a=0,a.尸5a六辦W,求證：4都是整數(shù)，n^N-

【證明】因為a=0,a2=l,所以由題設(shè)知當(dāng)時aQa”.

又由%=5a+企4W+1移項、平方得

C「3/j+WT=d①

當(dāng)〃22時，把①式中的〃換成/rl得W-IO-j+e*-/。，即

②

因為aKae,所以①式和②式說明a『1,a,”是方程T=0的兩個

不等根。由韋達(dá)定理得外葉ai=10a〃(A22).

再由4=0,a?=l及③式可知，當(dāng)時，當(dāng)都是整數(shù)。

3.數(shù)列求和法。

數(shù)列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。

[

例6已知aa=4?+2-(/7=1,2,…)，求S99=&+a2+…+麗

112x*+4,+L1

【解】因為a〃+a*=*+2*+4**+2*=4?x2+2"°(4,+4**)一產(chǎn),

、19999

所以立也—)言尹=尹

s=_!_+_?—_!—.

例7求和：1x2x32x3x4+-+X'?+W?-?-2)

1*4-2-*

【解】一般地，M*+D(*+2)就。+咐+2)

4(fc4-1)(*4-2)1

I

所以S=NM*+D(*+2)

=1J____i_+J______________________[

-2Ux22x32x33x4W+D(*+00*+2)

111

=5|_510+姓+4.

42(*+g+2)

例8已知數(shù)列｛aj滿足a尸包=1,a,^2=a,M+an,S〃為數(shù)列的前〃項和,

求證：S?<2o

【證明】由遞推公式可知，數(shù)列｛a｝前幾項為1,1,2,3,5,8,130

23.5.8

電一+-r+F+=+-T+-7+…+

22J2s2*2，2*2T

因為①

所以*=寶玲玲i*氤

4②

由①②得扣/"(9A詞告

所以2'2472”

又因為Sk2〈S.且聲>0,

所以224S?,所以4'2,

所以S,,<2,得證。

4.特征方程法。

例9已知數(shù)列｛a〃｝滿足a=3,a2=6,/2=4向-4%，求a〃.

【解】由特征方程必=4『4得及=尼=2.

13=a+R

故設(shè)a〃=(a+B〃)?2-其中16=(。+2^x2,

所以a=3,3=0,

所以a/3?2T.

例10已知數(shù)列EJ滿足ai=3,a2=6,am2=2a?j+3a〃，求通項a,”

【解】由特征方程步=2戶3得為=3,x2=~l,

\3=3a-fl

所以a,,=a?3〃+B?(-1)。其中16=癡+廣，

33

解得a==,p="4,

4ML+(-產(chǎn)

所以A?3]o

5.構(gòu)造等差或等比數(shù)列。

例11正數(shù)列a。,團(tuán)，…，當(dāng),…滿足笄匚一石二瓦^=2垢（〃22）且

4=當(dāng)=1,求通項。

【解】由

即舟『俯q

令+1,則｛4｝是首項為+1=2,公比為2的等比數(shù)列,

所以+1=2",所以?=(2-1)之,

■J%flC2*-D<

所以&尸/?一■>?,■ao=JUi

11G=

注：*-*lG?Ci....C?.

■+2

例12已知數(shù)列｛照｝滿足為=2,X?H=2、,nJN.,求通項。

/+2/+2

【解】考慮函數(shù)f(x)=2x的不動點(diǎn)，由2x=*得產(chǎn)士企.

一十2

因為x=2,X.尸2。，可知｛%,｝的每項均為正數(shù)。

又噌+2巳2或。，所以力(〃21)。又

±L1-4Z&_曰

XH-￡=2。=2。，①

U+2]厄&+份

心+我=20=2專，②

。"一.=卜?一"]

由①+②得或|_。+拆。

q”+1③

又4+忘＞0,

器)0且d言言］

由③可知對任意nRN、,

所jfe制是首項為4總］

公比為2的等比數(shù)列。

Q+衣尸4~(2一質(zhì)尸

解得，=企?(2+畫--(2-心尸。

注：本例解法是借助于不動點(diǎn)，具有普遍意義。

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

1.數(shù)列｛羽｝滿足為=2,X?H=S"+(加1),其中S,,為｛%｝前〃項和，當(dāng)心2時,

x薩.

I.

2.數(shù)歹U｛x〃｝滿足為=二，％”產(chǎn)3'+2,則｛%,｝的通項所.

1

3.數(shù)歹H｝滿足*尸1,乂=2i+Zzrl(z?22),則｛*“｝的通項與尸.

4.等差數(shù)列｛列滿足3a=5&,且&>0,S.為前〃項之和，則當(dāng)S〃最大時,

n=.

5.等比數(shù)列比｝前〃項之和記為，，若Si°=10,S3O=7O,則S”=.

6.數(shù)列｛%,｝滿足項H=X0-X,T(〃22),Xi=a,x2=b,5〃=由+至+…+x”，貝U

S1oo=-

2

7.數(shù)列｛a?｝中,S?=a,+a2+--?+a?=/7-4/7+l則|&|+1及I+…+1a。1=.

8.若。+1叼+3勺+5并且為+為+…+須=8,則

由二

9.等差數(shù)列｛4｝,伉｝的前〃項和分別為S.和北，若零-￡+1,則14

■nu/+“+1

0若—，則舉爐

.

11.若｛a〃｝是無窮等比數(shù)列，a,為正整數(shù)，且滿足禺+繞=48,logia-z?logA^

log2a2?log2a吐log2a2?log2alog2a^?/o度%=36,求的通項。

12.已知數(shù)列｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列｛“??｝是公比為g的等比數(shù)

列，且61,列5,夕=17,求:⑴g的值;(2)數(shù)列伉｝的前〃項和S.。

四、高考水平訓(xùn)練題

2x-l

x-1"ND7

1.已知函數(shù)/'(*)=，若數(shù)列｛%｝滿足a產(chǎn)W,

a.尸/■(a)(〃￡4),則員006：

2.已知數(shù)列｛aj滿足3i=l,a?=ai+2a2+3a3+—+(zrl)ari(心2)，則｛4｝的通項

a,;C?^2)

3.若a.=1+融,且｛8,｝是遞增數(shù)列，則實數(shù)？的取值范圍是.

4.設(shè)正項等比數(shù)列｛a｝的首項團(tuán)=2，前〃項和為S”,且2“近(2'0+1)

S20+S10=0,貝Ua尸?

jyI

5.已知**?L+(d一丫3,則a的取值范圍是.

6.數(shù)列⑷滿足a.尸3aN),存在_______個4值，使｛4｝成等差

數(shù)列；存在個團(tuán)值，使E｝成等比數(shù)列。

7.已知-?--/402(nGN),則在數(shù)列｛a｝的前50項中，最大項與最小

項分別是

8.有4個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一

個數(shù)與第四個數(shù)的和中16,第二個數(shù)與第三個數(shù)的和是12,則這四個數(shù)分別為

9.設(shè)｛4｝是由正數(shù)組成的數(shù)列，對于所有自然數(shù)〃，為與2的等差中項等于

S“與2的等比中項，則a尸.

10.在公比大于1的等比數(shù)列中，最多連續(xù)有項是在100與1000

之間的整數(shù).

11.已知數(shù)列｛4｝中，a產(chǎn)0,求證：數(shù)列｛4｝成等差數(shù)列的充要條件是

—!-

01A1al■■(〃22)①恒成立。

b八

12.已知數(shù)列｛a』和｛4｝中有a產(chǎn)卻也切」一胃4(〃22),當(dāng)&=p,h=q(p)0,

勺

<7>0)且p^q=\時，(1)求證：a?>0,力〃>0且a〃+A=l(/V)；(2)求證：a?+l=；

(3)求數(shù)列處4.

13.是否存在常數(shù)a,b,c,使題設(shè)等式

1?22+2,3'+'"+n,(/?+1)2=12(an+bn+c)

對于一切自然數(shù)〃都成立？證明你的結(jié)論。

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題

1.設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負(fù)整數(shù)，項數(shù)不少于3,且各項和為972,

這樣的數(shù)列共有個。

F+2

2.設(shè)數(shù)列｛*〃｝滿足%=1,行幼—+7,則通項x,尸.

3.設(shè)數(shù)列｛4｝滿足&=3,a>0,且M=4i,則通項a尸.

4.已知數(shù)列匈，&,&,…，a?,…滿足關(guān)系式(3-a,Q?(6+a?)=18,且切=3,

E-

則iq=.

5.等比數(shù)列a+/儂3,a+log,3,a+/儂3的公比為=.

6.各項均為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項的平方與其余各項之和不超

過100,這樣的數(shù)列至多有項.

聯(lián)+4

7.數(shù)列｛4｝滿足a=2,a2=6,且。-<+1=2,則

%標(biāo)+向+…+兀

***M1

8.數(shù)列｛4｝稱為等差比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)此數(shù)列滿足a=0,｛ae「qa〃｝構(gòu)成公

比為q的等比數(shù)列，q稱為此等差比數(shù)列的差比。那么，由100以內(nèi)的自然數(shù)構(gòu)

成等差比數(shù)列而差比大于1時，項數(shù)最多有

.■翔值

9.設(shè)數(shù)列｛a〃｝定義為：切=1,a〃“=0,+A。.為奇數(shù)。問：對于

怎樣的h,存在大于0的整數(shù)〃，使得4=1?

10.設(shè)面｝⑶為一非負(fù)整數(shù)列，且對任意A21,滿足a*2a2/+a2“(1)求

證：對任意正整數(shù)〃，數(shù)列中存在〃個連續(xù)項為0；(2)求出一個滿足以上條件,

且其存在無限個非零項的數(shù)列。

11.求證：存在唯一的正整數(shù)數(shù)列口色,…，使得

ai=l,@2>1,2"|（*「1）=典.討一1+〔

六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題

1.設(shè)當(dāng)為下述自然數(shù)N的個數(shù)：N的各位數(shù)字之和為〃旦每位數(shù)字只能取1,

3或4,求證：是完全平方數(shù)，這里上1,2,….

2.設(shè)前a2)a〃表示整數(shù)1,2,〃的任一排列，/是