第01講 與三角形有關(guān)的線段5個知識點(diǎn)+5個考點(diǎn)+1個易錯分析-新八年級《數(shù)學(xué)》暑假自學(xué)提升講義（人教版）解析版

第第頁第01講與三角形有關(guān)的線段(5個知識點(diǎn)+5個考點(diǎn)+1個易錯分析）模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1.了解三角形的概念及基本要素(邊、角、頂點(diǎn)).2.掌握三角形的分類方法.3.理解三角形的三邊關(guān)系,并能運(yùn)用它解決問題4.理解三角形中線、高、角平分線和重心的概念,會畫三角形的“三線5.了解三角形的穩(wěn)定性,會解釋生活中與三角形穩(wěn)定性有關(guān)的現(xiàn)象,并在運(yùn)用三角形穩(wěn)定性解決生活中的問題時,體會數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.知識點(diǎn)1、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；③三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).（2）三角形的定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．【例1-1】一位同學(xué)用若干根木棒拼成圖形如下，則符合三角形概念的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了三角形的概念，由三條線段首尾順次連接構(gòu)成的圖形叫做三角形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：三角形是由三條線段首尾順次連接構(gòu)成的，則C選項(xiàng)符合三角形概念，故選：C【例1-2】如圖，圖中三角形的個數(shù)為；以為邊的三角形是，以為一個內(nèi)角的三角形是；在中，的對邊是．【答案】，，，，【分析】此題主要考查了三角形，關(guān)鍵是掌握三角形的相關(guān)概念．根據(jù)三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形可得圖中三角形的個數(shù)；根據(jù)組成三角形的線段叫做三角形的邊；根據(jù)相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內(nèi)角進(jìn)行分析．【詳解】圖中的三角形有、、、、、，共個；以為邊的三角形有、、，以為一個內(nèi)角的三角形是、、；中的對邊是故答案為：；；；．【例1-3】（23-24八年級上·新疆阿克蘇·階段練習(xí)）圖中有幾個三角形？用符號表示這些三角形．【答案】有5個三角形，分別是【分析】此題主要考查了三角形的定義及其表示．根據(jù)三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形進(jìn)行分析即可．【詳解】解：圖中共有5個三角形，分別是．【例1-4】（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）如圖所示：(1)圖中有幾個三角形？把它們一一說出來．(2)寫出的三個內(nèi)角．(3)含邊的三角形有哪些？【答案】(1)圖中有7個三角形，即(2)的三個內(nèi)角是(3)含邊的三角形有【分析】本題考查了三角形的定義，角的寫法，查找三角形時可按逆時針方向，先固定一條邊，再通過查第三個頂點(diǎn)的方法確定三角形．【詳解】（1）解：圖中有7個三角形，分別為：；（2）解：在中，它的三個內(nèi)角是；（3）解：由（1）知圖中有7個三角形，即，含邊的三角形有．【例1-5】圖中的銳角三角形有()A．2個B．3個C．4個D．5個【解析】(1)以A為頂點(diǎn)的銳角三角形有△ABC、△ADC共2個；(2)以E為頂點(diǎn)的銳角三角形有△EDC共1個．所以圖中銳角三角形的個數(shù)有2＋1＝3(個)．故選B.方法總結(jié)：數(shù)三角形的個數(shù)，可以按照數(shù)線段條數(shù)的方法，如果一條線段上有n個點(diǎn)，那么就有eq\f(n（n－1）,2)條線段，也可以與線段外的一點(diǎn)組成eq\f(n（n－1）,2)個三角形．知識點(diǎn)2、三角形的分類1.按角分類：要點(diǎn)詮釋：①銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點(diǎn)詮釋：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.【例2-1】如圖所示，小手蓋住了一個三角形的一部分，則這個三角形是（

）A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】本題考查的是三角形的分類，根據(jù)鈍角三角形的定義作答即可．【詳解】解：由三角形中有1個已知角為鈍角，∴這個三角形是鈍角三角形；故選C【例2-2】有下列兩種圖示均表示三角形分類，則正確的是（

）

A．①對，②不對 B．②對，①不對 C．①、②都不對 D．①、②都對【答案】B【分析】此題主要考查了三角形的分類，關(guān)鍵是掌握分類方法．按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．根據(jù)三角形的分類可直接選出答案．【詳解】解：按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．按角分類：直角三角形，銳角三角形和鈍角三角形．故①的分類不正確；圖②中的三角形的分類正確．故選：B．【例2-3】如圖，在中，，．動點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊，向點(diǎn)A運(yùn)動．在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，可能成為的特殊三角形依次是（

）A．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等邊三角形→直角三角形B．等腰三角形→直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形C．直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形【答案】C【分析】本題考查動點(diǎn)問題，掌握三角形的分類是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在點(diǎn)P運(yùn)動過程中，可能成為的特殊三角形依次是直角三角形→等邊三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，故選C．知識點(diǎn)3、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系．【例3-1】以下列各組線段為邊，能組成三角形的是()A．2cm，3cm，5cmB．5cm，6cm，10cmC．1cm，1cm，3cmD．3cm，4cm，9cm【解析】選項(xiàng)A中2＋3＝5，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)B中5＋6＞10，能組成三角形，故此選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C中1＋1＜3，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)D中3＋4＜9，不能組成三角形，故此選項(xiàng)錯誤．故選B.【例3-2】一個三角形的三邊長分別為4，7，x，那么x的取值范圍是()A．3＜x＜11B．4＜x＜7C．－3＜x＜11D．x＞3【解析】∵三角形的三邊長分別為4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.故選A.【例3-2】已知一個等腰三角形的兩邊長分別為4和9，求這個三角形的周長．【分析】先根據(jù)等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)可得出第三邊長的兩種情況，再根據(jù)兩邊和大于第三邊來判斷能否構(gòu)成三角形，從而求解．【解析】根據(jù)題意可知等腰三角形的三邊可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去；4＋9＞9，故4，9，9能構(gòu)成三角形，∴它的周長是4＋9＋9＝22.方法總結(jié)：判斷三角形邊的取值范圍要同時運(yùn)用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．有時還要結(jié)合不等式的知識進(jìn)行解決．【例3-3】若a，b，c是△ABC的三邊長，化簡|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，來判定絕對值里的式子的正負(fù)，然后去絕對值符號進(jìn)行計算即可．【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法總結(jié)：絕對值的化簡首先要判斷絕對值符號里面的式子的正負(fù)，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)將絕對值的符號去掉，最后進(jìn)行化簡．此類問題就是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，判斷絕對值符號里面式子的正負(fù)，然后進(jìn)行化簡．知識點(diǎn)4、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段．三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語言作圖語言過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點(diǎn)．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．【例4-1】畫△ABC的邊AB上的高，下列畫法中，正確的是()【分析】三角形的高即從三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足間的線段．根據(jù)概念可知．【解析】過點(diǎn)C作邊AB的垂線段，即畫AB邊上的高CD，所以畫法正確的是D.故選D.方法總結(jié)：三角形任意一邊上的高必須滿足：(1)過該邊所對的頂點(diǎn)；(2)垂足必須在該邊或在該邊的延長線上．【例4-2】下列說法中正確的是(

)A．直角三角形的高只有一條 B．銳角三角形的三條高交于三角形內(nèi)部C．直角三角形的高沒有交點(diǎn) D．鈍角三角形的三條高所在的直線沒有交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的高的特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．直角三角形的高有三條，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B．銳角三角形的三條高交于三角形內(nèi)部，故選項(xiàng)正確，符合題意；C．直角三角形的高交于直角頂點(diǎn)，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D．鈍角三角形的三條高所在的直線交于三角形外一點(diǎn)，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的高的特點(diǎn)，熟練掌握三角形高的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【例5-1】在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中線，若△ABD的周長比△ADC的周長大2cm，則BA＝________.【解析】如圖，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴△ABD的周長－△ADC的周長＝(BA＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝BA－AC，∴BA－5＝2，∴BA＝7cm.【例5-2】如圖所示，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，BC＝8cm，求邊AC的長．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，有下列數(shù)量關(guān)系：①AD＝BD，②△BCD的周長比△ACD的周長大3．【解析】解：依題意：△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵CD為△ABC的AB邊上的中線，∴AD＝BD，即BC-AC＝3．又∵BC＝8，∴AC＝5．答：AC的長為5cm．方法總結(jié)：通過本題要理解三角形的中線的定義，解決問題的關(guān)鍵是將△ABD與△ADC的周長之差轉(zhuǎn)化為邊長的差．【例6-1】如圖，，下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．是的角平分線 B．是的角平分線C． D．是的角平分線【答案】D【分析】本題考查了角平分線的定義，根據(jù)角平分線的定義作答即可．【詳解】∵，，∴是的角平分線，是的角平分線，∴，∴選項(xiàng)D錯誤，故選：D．【例6-2】．如圖，在中，，是的角平分線，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形角平分線的概念，正確理解三角形角平分線的概念是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵在中，，是的角平分線，∴．故選：B．【例6-3】如圖，已知：AD是△ABC的角平分線，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度數(shù)．【分析】根據(jù)AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，得出∠BAD＝30°，再利用CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，得出∠B的度數(shù)，進(jìn)而得出∠ADB的度數(shù)．【解析】∵AD是△ABC的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAD＝30°.∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，∴∠B＝50°，∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－50°－30°＝100°.方法總結(jié)：通過本題要靈活掌握三角形的角平分線的表示方法，同時此類問題往往和三角形的高綜合考查．知識點(diǎn)5、三角形的穩(wěn)定性三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【例7-1】下列圖形中，具有穩(wěn)定性的是（

）A．直角三角形 B．長方形 C．五邊形 D．正六邊形【答案】A【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性即可得到答案．【詳解】解：A、直角三角形具有穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)正確；B、長方形不具有穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)不正確；C、五邊形不具有穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)不正確；D、正六邊形不具有穩(wěn)定性，故此選項(xiàng)不正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形具有穩(wěn)定性．【例7-2】如圖所示，木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木板條(即AB、CD)，這樣做的數(shù)學(xué)道理是什么?【解析】解：三角形的穩(wěn)定性．【總結(jié)升華】本題考查三角形的穩(wěn)定性在生活中的具體應(yīng)用．實(shí)際生活中，將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形都是為了利用三角形的穩(wěn)定性．【例7-3】要使四邊形木架(用4根木條釘成)不變形，至少需要加釘1根木條固定，要使五邊形木架不變形，至少需要加2根木條固定，要使六邊形木架不變形，至少需要加3根木條固定，…，那么要使一個n邊形木架不變形，至少需要幾根木條固定？【分析】由于多邊形(三邊以上的)不具有穩(wěn)定性，將其轉(zhuǎn)化為三角形后木架的形狀就不變了．根據(jù)具體多邊形轉(zhuǎn)化為三角形的經(jīng)驗(yàn)及題中所加木條可找到一般規(guī)律．【解析】過n邊形的一個頂點(diǎn)可以作(n－3)條對角線，把多邊形分成(n－2)個三角形，所以，要使一個n邊形木架不變形，至少需要(n－3)根木條固定．方法總結(jié)：將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形時，所需要的木條根數(shù)，可從具體到一般去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，然后驗(yàn)證求解．易錯點(diǎn)解決求等腰三角形邊長的問題時，忽略分類討論，未用三邊關(guān)系檢驗(yàn)致錯特別提醒:解決求等腰三角形邊長的問題時,要注意:當(dāng)腰和底不確定時，必須進(jìn)行分類討論;②得出邊長后，要用三角形三邊關(guān)系檢驗(yàn)是否能夠組成三角形.考點(diǎn)一：三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用考查角度1：求等腰三角形的邊長或周長1．（23-24八年級上·云南昭通·階段練習(xí)）若一個三角形的兩邊長分別為3和6，則該三角形的周長可能是（

）A．9 B．12 C．15 D．12或15【答案】C【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理．設(shè)這個三角形的第三邊是x，周長是l，由三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，得到，推出，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)這個三角形的第三邊是x，周長是l，，，，，∴該三角形的周長可能是15．故選：C．2．（23-24八年級上·陜西安康·期中）兩根木棒分別長、，第三根木棒與這兩根木棒首尾依次相接構(gòu)成三角形，如果第三根木棒的長為偶數(shù)（單位：），那么一共可以構(gòu)成多少個不同的三角形？這些三角形的周長分別是多少？【答案】共可以構(gòu)成個不同的三角形，他們的周長分別為：，，，【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，先求得第三根木棒長的取值范圍，進(jìn)而求得滿足已知的第三根木棒長以及周長．【詳解】解：兩根木棒分別長、，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：第三根木棒的長大于而小于．又第三根木棒的長是偶數(shù)，則應(yīng)為，，，．共可以構(gòu)成個不同的三角形，他們的周長分別為：，，，．3．（23-24八年級上·湖北省直轄縣級單位·階段練習(xí)）已知的三邊a，b，c滿足，，且．(1)求c的取值范圍；(2)若的周長為，求c的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊得出|，結(jié)合，則，故，即可作答；（2）由的周長為，得，又因?yàn)?，所以，即可作答．【詳解】?）解：由題意有，且，，∴，∴又∵∴故又因?yàn)椤啵?）解：∵周長為∴又∵，∴∴，【點(diǎn)睛】此題考查三角形的三邊關(guān)系，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，建立不等式解決問題．4．（23-24八年級上·安徽合肥·期中）在中，，．(1)求的取值范圍；(2)若的周長為偶數(shù)，求的周長為多少？【答案】(1)(2)16【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，（1）直接根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求解即可；（2）先求出周長的范圍，再根據(jù)其為偶數(shù)進(jìn)行求解即可；熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵，，∴，即；（2）∵，設(shè)的周長為x，∴，即，∵的周長為偶數(shù)，∴其周長為16．考查角度2：與絕對值有關(guān)的綜合應(yīng)用5．（23-24八年級上·廣西玉林·階段練習(xí)）若a、b、c是的三邊的長，化簡．【答案】【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，絕對值，整式的加減，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理，絕對值的意義．由三角形三邊關(guān)系定理得，由絕對值的意義，即可化簡原式．【詳解】解：∵a、b、c是的三邊，∴，∴，∴．6．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知，，是的三邊長，滿足，為奇數(shù)，求的值及的周長．【答案】【分析】本題考查了絕對值、平方的非負(fù)性，三角形的三邊關(guān)系等知識點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是確定邊長c的取值范圍．根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出、的值，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出的取值范圍，再根據(jù)是奇數(shù)求出的值．【詳解】解：，滿足，，，解得，，，，，又是奇數(shù)，，的周長為．故答案為．7．（23-24八年級上·山東日照·階段練習(xí)）已知a，b，c是的三邊長，且a，b，c都是整數(shù)．(1)若a，b，c滿足，試判斷的形狀；(2)若，，且c是奇數(shù)，試判斷的形狀；(3)化簡：．【答案】(1)是等邊三角形；(2)是等腰三角形；(3)【分析】（1）根據(jù)非負(fù)式子和為0它們分別等于0直接求解判斷即可得到答案；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系結(jié)合c是奇數(shù)直接求解即可得到答案；（3）根據(jù)三角形三邊關(guān)系直接求解即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，解得：，∴是等邊三角形；（2）解：∵，，∴，即，∵c是奇數(shù)，∴，∴是等腰三角形；（3）解：由三邊關(guān)系得，，，，∴原式，．【點(diǎn)睛】本題考查三邊關(guān)系：任意兩邊之差小于第三邊，任意兩邊之和大于第三邊，絕對值非負(fù)性的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)式子和為0它們分別等于0．考查角度3：比較線段和差的大小8．（23-24八年級上·四川南充·期末）已知點(diǎn)A，B，C是不在同一條直線上的三點(diǎn)，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解不在同一直線上的三點(diǎn)確定一條直線，難度不大．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，，是不在一條直線上的三個點(diǎn)，，，三點(diǎn)構(gòu)成，滿足三邊關(guān)系：，、，∴A、B、D選項(xiàng)不正確，不符合題意，C選項(xiàng)正確，符合題意，故選：C．9．（23-24八年級上·安徽池州·期中）如圖，在中，，點(diǎn)在的延長線上．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查的是線段的和差關(guān)系，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，本題先證明，結(jié)合，從而可得答案．【詳解】證明，，，．10．（23-24八年級上·湖北鄂州·期中）數(shù)學(xué)課本第29頁復(fù)習(xí)題的第9題如下：如圖1，填空：由三角形兩邊的和大于第三邊，得________，________．將不等式左邊、右邊分別相加，得________，即________．(1)補(bǔ)全上面步驟；(2)仿照圖1的方法，請你利用圖2，過P作直線交，于M，N，證明：．【答案】(1)，，，(2)見解析【分析】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系；（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行解答即可；（2）利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行證明即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形任意兩邊的和大于第三邊．【詳解】（1）解：由三角形的兩邊之和大于第三邊，得，，將不等式兩邊相加得：，即；故答案為：；；；．（2）解：在中，，在中，在中，，將三個不等式相加得：，即．考查角度4：線段最值問題11．（23-24八年級上·安徽合肥·期中）已如三角形的三條邊長為3、5和.(1)若3是該三角形的最短邊長，求的取值范圍；(2)若為整數(shù)，求三角形周長的最大值.【答案】(1)；(2)15．【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系．（1）由三角形三邊關(guān)系解答；（2）利用（1）中求得的x的取值范圍，確定整數(shù)x的值；然后由三角形的周長公式解答．【詳解】（1）由題意得：，即．∵3是最短邊長，∴．∴x的取值范圍是；（2）由（1）可知，，∵x為整數(shù)，∴x的最大值為7．∴三角形周長的最大值為．12．（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）探究：如圖，用釘子把木棒、和分別在端點(diǎn)、處連接起來，用橡皮筋把連接起來，設(shè)橡皮筋的長是．

(1)若，，，試求的最大值和最小值；(2)在（1）的條件下要圍成一個四邊形，你能求出x的取值范圍嗎?【答案】(1)最大值為19，最小值為3(2)【分析】此題考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是確定取最值時木棒的位置及圍成四邊形時滿足的條件．（1）最大值應(yīng)該是所有其他三條線段的和，最小值是用最大的線段的長減去其他兩條相對較短的線段的長；（2）當(dāng)大于最小值，小于最大值時，可構(gòu)造四邊形，根據(jù)（1）中的最大值和最小值即可確定的取值范圍．【詳解】（1）要求的最大值，即將繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使其與在一條直線上；將繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)，使其與在一條直線上，即四點(diǎn)從左到右依次為、、、．，，，，要求的最小值，即將繞順時針方向旋轉(zhuǎn)，使其與共線；將繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使其與共線，即四點(diǎn)從左到右依次為、、、．，，，．綜上，的最大值是19，最小值是3．（2）要圍成四邊形，則的取值范圍為：．考點(diǎn)二：三角形高的應(yīng)用考查角度1：利用三角形高的性質(zhì)作圖13．（23-24八年級上·安徽合肥·期中）如圖，中，，是的兩條高，，．

(1)請畫出，；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了三角形的高、三角形的面積，三角形面積等于的底乘以高．（1）過點(diǎn)A作交延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作交的延長線于點(diǎn)D即可；（2）根據(jù)三角形面積公式得到，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示：，即為所求，

（2）解：∵，∴，∴．14．（22-23八年級上·江西九江·期中）如圖，為的中線，為的中線．(1)作的邊上的高線；(2)若的面積為，，求的邊上的高線長．【答案】(1)作圖見解析；(2)．【分析】（）以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧，交邊兩點(diǎn)，分別以這兩點(diǎn)為圓心，同樣的長度為半徑畫弧，兩弧相交于邊下一點(diǎn)，連接這點(diǎn)和點(diǎn)，與圖形相交于點(diǎn)，則即為邊上的高；（）利用中線的性質(zhì)易得到，，即可得結(jié)求解；本題考查了作三角形的高，三角形中線的性質(zhì)，掌握三角形中線與三角形面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖，線段即為所求；（2）∵是的中線，∴，∵是的中線，∴，∴，∴，∵，∴，即邊上的高線長為．15．（23-24八年級上·廣東江門·階段練習(xí)）畫圖并回答：在如圖所示的的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為，的頂點(diǎn)，，都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．

(1)作點(diǎn)到的垂線段；(2)求的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用網(wǎng)格的特征，三角形高的定義作出圖形即可；（2）利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）如圖，線段即為所求．

（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了畫三角形的高，三角形的面積公式，熟練掌握三角形的高的定義是解題的關(guān)鍵．16．（23-24八年級上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，．(1)畫出中邊上的高；(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】根據(jù)三角形的高求三角形面積是解決本題關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的高定義作圖即可．（2）因?yàn)?，所以是直角三角形，根?jù)等面積法即可求出的長．【詳解】（1）（2）解：，，．17．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）在中，，過點(diǎn)C作于D，

(1)在圖1中，若，，，則，邊上的高；(2)在圖2中，若點(diǎn)P是B，C所在直線上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作于E，作于F，請你補(bǔ)齊圖形，嘗試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)；(2)圖形見詳解，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊運(yùn)動時，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊運(yùn)動時，．理由見解析．【分析】（1），據(jù)此即可求解；（2）分類討論當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動、當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊運(yùn)動、當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊運(yùn)動，結(jié)合之間的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：，∵∴故答案為：；（2）解：當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，連接，如圖所示：

∵，，，，∴∵∴當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊運(yùn)動時，連接，如圖所示：

∵，，，，∴∵∴當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊運(yùn)動時，連接，如圖所示：

∵，，，，∴∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高線與三角形面積之間的關(guān)系．根據(jù)題意作出正確的幾何圖是解題關(guān)鍵．考查角度2：利用等面積法計算線段長度18．（23-24八年級上·廣西南寧·期中）我們發(fā)現(xiàn)，“用不同的方式表示同一圖形的面積”可以解決計算線段的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法．

(1)如圖1，是邊上的高，是邊上的高，我們知道，則______．(2)如圖1，若，，，，是斜邊上的高線，用等面積法求的長．(3)如圖2，在等腰三角形中，，，過A作于點(diǎn)H，且，P為底邊上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作，，垂足分別為M，N，連接，利用，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識點(diǎn)，正確理解“等面積法”并正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．（1）直接運(yùn)用三角形面積公式即可解答；（2）直接運(yùn)用（1）的結(jié)論進(jìn)行解答即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式計算即可解答．【詳解】（1）解：．故答案為．（2）解：由（1）可得：，則，解得：．（3）解：∵，∴，，∴．19．（23-24八年級上·廣東肇慶·階段練習(xí)）如圖，中，，，，，是邊上的高．求的長．

【答案】【分析】本題考查了直角三角形面積計算公式的應(yīng)用，掌握直角三角形面積的等于兩條直角邊的乘積的一半是解答此題的關(guān)鍵．在直角三角形中，兩條直角邊、斜邊、斜邊上的高四個量中，已知其中的三個，求第四個時，一般根據(jù)面積法進(jìn)行求解，即根據(jù)直角三角形面積的兩種計算方法：兩直角邊乘積的一半等于斜邊與斜邊上的高的乘積的一半．本題中已知兩條直角邊的長度，根據(jù)直角三角形的面積等于兩條直角邊的乘積的一半，即可得到的面積；接下來結(jié)合直角三角形的面積也等于斜邊與斜邊上的高的積的一半，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：，是邊上的高∴，，，解得20．（23-24八年級上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，在中，與是的高．(1)若，求；(2)若的高與的比是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形面積公式，即可求解；（2）利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，利用同一個三角形的面積的兩種表示列方程是解題的關(guān)鍵．21．（23-24八年級上·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，，是的兩條高，已知，，．(1)求的面積；(2)求的長．【答案】(1)10(2)【分析】本題考查了三角形的面積，熟記三角形的面積計算公式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形面積公式計算即可；（2）結(jié)合（1）中的面積利用三角形面積公式即可求出的長．【詳解】（1）解：是的高，，的面積為：；（2）是的高，，的面積為，，即，．22．（23-24八年級上·陜西延安·階段練習(xí)）如圖，分別是的高和中線，若，．(1)求的長；(2)求與的周長差．【答案】(1)的長為；(2)與的周長的差是．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的面積計算方法求解即可；（2）先按圖寫出兩個三角形的周長，再作差計算即可．【詳解】（1）解：是邊上的高，，，即的長為；（2）解：為邊上的中線，，的周長的周長，即與的周長的差是．【點(diǎn)睛】本題考查了利用直角三角形的面積計算斜邊上的高和三角形的中線等知識，難度不大，屬于基礎(chǔ)題型．23．（21-22八年級上·廣西南寧·期末）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．

(1)如圖1，在中，，則長為；(2)如圖2，在中，，則的高與的比是；(3)如圖3，在中，，點(diǎn)D，P分別在邊上，且，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．若，求的值．【答案】(1)(2)(3)5【分析】本題主要考查了求三角形的面積，熟練掌握利用等面積法求線段的長是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得，即可求解；（2）根據(jù)題意可得，即可求解；（3）根據(jù)可得，再由，可得，即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，∵，∴；故答案為：；（2）解：∵，，∴，∴，∴；故答案為：；（3）解：∵，且，∴，又∵，∴，即．考查角度3：與高有關(guān)的分類討論問題24．（22-23七年級下·廣東廣州·期中）如圖，為軸正半軸上一動點(diǎn)，，，且，滿足，．

(1)求的面積；(2)求點(diǎn)到的距離；(3)如圖，若，軸于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在射線上運(yùn)動，同時另一動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，到點(diǎn)A時兩點(diǎn)停止運(yùn)動，，的速度分別為個單位長度秒，個單位長度秒，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)到的距離為(3)或【分析】（1）先根據(jù)算術(shù)平方根和二次方的非負(fù)性求出，，得出，，即可得出答案；（2）過點(diǎn)作于，根據(jù)等積法求出即可；（3）由三角形的面積關(guān)系列出方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，，，點(diǎn)，點(diǎn)，，，∴；（2）解：如圖，過點(diǎn)作于，

∵，∴；點(diǎn)到的距離為；（3）解：設(shè)運(yùn)動時間為秒，則，，其中，∴，∵，，，，解得：，，，運(yùn)動時間為秒或秒．當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，算術(shù)平方根和平方的非負(fù)性，三角形的面積公式等知識，求出的長是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三：三角形中線的應(yīng)用考查角度1：三角形的面積問題25．（23-24八年級上·安徽宣城·期中）如圖，在中，E是中線的中點(diǎn)，的面積是1，求的面積．【答案】【分析】本題考查三角形的中線．根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：作于點(diǎn)H，∵E為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵是中線，∴同理可得．26．（23-24八年級上·廣東肇慶·階段練習(xí)）如圖，已知中，，．

(1)畫邊上的中線，并求長；(2)畫邊上的高，若，求的面積．【答案】(1)圖見解析，(2)圖見解析，【分析】本題考查了線段中點(diǎn)和三角形面積的計算，熟練掌握三角形面積計算公式是解題的關(guān)鍵（1）把線段分為兩條相等的線段的點(diǎn)，叫做這條線段的中點(diǎn)，根據(jù)是邊上的中線即可求出；（2）是邊的高，根據(jù)三角形面積=底高即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，是邊上的中線，，點(diǎn)D是線段的中點(diǎn)，；（2）邊上的高如圖所示：是邊的高，，．27．（23-24八年級上·廣東韶關(guān)·期中）圖所示，在中，已知點(diǎn)，，分別為邊，，的中點(diǎn)，且．求

(1)的面積；(2)的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了三角形面積及三角形面積的等積變換．（1）根據(jù)根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，由D是邊的中點(diǎn)，可得．（2）由E是的中點(diǎn)，可得．然后根據(jù)F是的中點(diǎn)，可得，即可求解．【詳解】（1）解：點(diǎn)為的中點(diǎn)，（2）∵E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，∴．點(diǎn)為的中點(diǎn)，，即陰影部分的面積為．28．（23-24八年級上·廣東潮州·階段練習(xí)）已知，是的中線，是的中線，求．

【答案】3【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，利用三角形中線的性質(zhì)可得，同理得到即可解答；掌握三角形中線將三角形分成面積相等的兩份是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，是的中線，∴，∵是的中線，∴．29．（23-24八年級上·河南安陽·階段練習(xí)）如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．(1)畫出的邊上的高；(2)畫出的邊上的中線；(3)的面積為______．【答案】(1)見詳解；(2)見詳解；(3)6；【分析】（1）本題考查作格點(diǎn)三角形的高，根據(jù)格點(diǎn)圖形的性質(zhì)直接作圖即可得到答案；（2）本題考查作格點(diǎn)三角形的中線，根據(jù)格點(diǎn)線段中點(diǎn)作中線即可得到答案；（3）本題考查求格點(diǎn)三角形的面積，根據(jù)（1）求出，再結(jié)合中線即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，的邊上的高如圖所示，；（2）解：由題意可得，的邊上的中線如圖所示，；（3）解：由（1）得，，∵是的邊上的中線，∴．30．（23-24八年級上·山東德州·階段練習(xí)）已知：如圖，、、分別是的三邊的延長線上一點(diǎn)，且，，，，求的值．

【答案】【分析】連接，，，由三角形中線等分三角形的面積，可得、和的面積相等，即可得到，同理可得：，，即可得出面積等于7倍的面積，即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接，，，如圖所示：

，三角形中線等分三角形的面積，；同理，；同理可得：，，；故選：．【點(diǎn)睛】本題是面積及等積變換綜合題目，考查了三角形的面積及等積變換，本題有一定難度，需要通過作輔助線，運(yùn)用三角形中線等分三角形的面積才能得出結(jié)果．31．（22-23八年級上·河南漯河·階段練習(xí)）如圖，在直角三角形中，，是邊上的高，，，．求：(1)作出的邊上的中線，并求出的面積；(2)作出的邊邊上的高，當(dāng)時，試求出的長．【答案】(1)圖見解析，(2)圖見解析，【分析】本題考查了直角三角形面積的計算方法，三角形的高、中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì)．（1）找的中點(diǎn)，連接，則是的邊上的中線，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可得，即可求解；（2）過點(diǎn)作，先根據(jù)，求出，再根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，找的中點(diǎn)，連接，則是的邊上的中線，在直角三角形中，，，，，是的中線，；（2）如圖，過點(diǎn)作，則為的邊邊上的高，，，，，，，，，，．考查角度2：三角形的周長問題32．（23-24八年級上·河南周口·階段練習(xí)）如圖，是的邊的中線，已知，求和的周長之差．

【答案】【分析】根據(jù)三角形的周長的計算方法得到的周長和的周長的差就是與的差．【詳解】解：是中邊上的中線，，和的周長的差．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中線的定義以及周長的計算方法，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對的頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．33．（23-24八年級上·河北滄州·期中）如圖，在中，是中線，是高，且，，．

(1)______；______；(2)求和的周長差．【答案】(1)84；14(2)【分析】本題考查的是三角形的中線與高的含義，三角形的面積與周長的計算；（1）由三角形的中線的含義可得，再利用等面積法可得的長；（2）由，，結(jié)合三角形的中線的含義列式計算周長差即可．【詳解】（1）解：∵是中線，，∴；∴，而，∴；（2）∵．∵的周長為，的周長為，且，∴和的周長差為．34．（23-24八年級上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，

(1)若是偶數(shù)，求的長；(2)已知是的中線，若的周長為，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形三邊的關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可；（2）根據(jù)中線的性質(zhì)，，根據(jù)的周長為，則，求出，再根據(jù)，即可．【詳解】（1）∵中，，，∴，∴，∵是偶數(shù)，∴．（2）∵是的中線，∴，∵的周長為，，，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊的關(guān)系，三角形的中線的知識，解題的關(guān)鍵是掌握三角形三邊的關(guān)系，三角形的中線的性質(zhì)．35．（23-24八年級上·湖南永州·階段練習(xí)）如圖，中，，于點(diǎn)D，為的中線，，，．求：

(1)的長(2)的面積(3)和的周長的差【答案】(1)4.8(2)12(3)2【分析】（1）利用“面積法”來求線段的長度；（2）與的等底同高的兩個三角形，它們的面積相等．據(jù)此即可得到答案；（3）由于是中線，那么，于是的周長的周長，化簡可得的周長的周長，易求其值．【詳解】（1），是邊上的高，，，即的長度為；（2）如圖，是直角三角形，，，，．又是邊的中線，，，即，．的面積是．（3）為邊上的中線，，的周長的周長，即和的周長的差是．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積、三角形中線、三角形的高等知識，（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即底高．（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．36．（23-24八年級上·湖南湘西·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，老師給大家展示了三幅圖，然后讓同學(xué)們?nèi)芜x一幅，自給條件，自設(shè)問題．有三名同學(xué)的作品如下：(1)小香：如圖1，已知的高，面積為，求的長度．(2)小涵：如圖2，已知D是中點(diǎn)，，，求．(3)小宇：如圖3，已知平分，，，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了三角形的高、中線、角平分線，掌握與三角形“三線”相關(guān)的結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)、、、即可求解；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可求解．【詳解】（1）解：∵，又∵，，∴，∴；（2）解：∵D是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，，∴；（3）解：∵，，∴，∵平分，∴．考點(diǎn)四：與三角形有關(guān)的設(shè)計問題37．（23-24八年級上·湖南邵陽·期中）發(fā)現(xiàn)與探究：三角形的重心三角形三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重心．重心是個物理名詞．從效果上看，我們可以認(rèn)為物體所受重力的合力集中于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫物體的重心．圖1，如果取一塊均勻的三角形紙板，用一根細(xì)線繩從重心O處將三角形提起來，紙板就會處于水平狀態(tài)．為什么會平衡呢？希望你經(jīng)過下面的探索過程能得到答案．圖2中，是的中線，與等底等高，面積相等，記作．圖3中，若三條中線、、交于點(diǎn)G，則是的中線，利用上述結(jié)論可得：，同理，．(1)若設(shè)，，，猜想x，y，z之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．(2)由（1）可知被三條中線分成的六個三角形面積，如果面積為m，用含有m的式子表示的面積為，=(3)圖4中點(diǎn)D、E在的邊上，交于G，G是重心，，，，求四邊形的面積．【答案】(1)，見解析(2)相等，；(3)12【分析】本題考查三角形中線的性質(zhì)、重心及三角形面積的計算．解題的關(guān)鍵是讀懂題中所給材料，并能正確運(yùn)用即可．根據(jù)被中線分成的兩個三角形“等底等高，面積相等”建立等式，再利用等式的基本性質(zhì)即可得出；由（1）中的結(jié)論即可得出；運(yùn)用以上兩題的方法，根據(jù)三角形的面積底高，先求出的面積進(jìn)而求出四邊形的面積即可．【詳解】（1）解：

由題意可知，，，，，，，，，．（2）由（1）可知被三條中線分成的六個三角形面積相等，每個小三角形的面積是大三角形面積的，所以的面積為．故答案為；相等，；

2∶1．（3）解：是的重心，，，，．考點(diǎn)五：動點(diǎn)問題與三線綜合38．（23-24八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，在長方形中，，．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿運(yùn)動，到點(diǎn)B停止運(yùn)動；同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿運(yùn)動，到點(diǎn)A停止運(yùn)動．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t秒．

(1)點(diǎn)P在上運(yùn)動時，

，

（用含t的式子表示）；點(diǎn)Q在上運(yùn)動時，

，

（用含t的式子表示）．(2)當(dāng)t值為

（秒）時，．(3)當(dāng)t為何值時，P，Q兩點(diǎn)在運(yùn)動路線上相距的路程為4個單位長度．(4)當(dāng)t為何值時，．【答案】(1)；；；(2)或(3)或(4)或【分析】（1）根據(jù)路程時間速度，結(jié)合圖形填空；（2）根據(jù)等量關(guān)系列出方程并解答；（3）需要分類討論：分P、Q兩點(diǎn)相遇前后兩種情況；（4）由三角形的面積公式列出方程并解答．【詳解】（1）解：點(diǎn)P在上運(yùn)動時，，．點(diǎn)Q在上運(yùn)動時，，．故答案是：；；；．（2）解：若Q在上運(yùn)動，則，解得：；若Q在上運(yùn)動，則，解得：，∴當(dāng)或時，；故答案為：或．（3）解：若P、Q兩點(diǎn)還未相遇，則，解得：；若P、Q兩點(diǎn)已經(jīng)相遇，則，解得：，∴當(dāng)或時，P、Q兩點(diǎn)相距的路程為；（4）解：若Q在上運(yùn)動，則，解得：；若Q在上運(yùn)動，則，解得：∴當(dāng)或時，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了動點(diǎn)問題，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程，準(zhǔn)確計算．39．（23-24八年級上·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，中，，，，，若動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動，且速度為每秒2cm，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．

(1)當(dāng)時，把的周長分成相等的兩部分？(2)當(dāng)時，把的面積分成相等的兩部分？(3)當(dāng)t為何值時，的面積為4？【答案】(1)3(2)(3)或【分析】（1）先求出的周長為，所以當(dāng)把的周長分成相等的兩部分時，點(diǎn)P在上，此時，再根據(jù)時間路程速度即可求解；（2）根據(jù)中線的性質(zhì)可知，點(diǎn)P在中點(diǎn)時，把的面積分成相等的兩部分，進(jìn)而求解即可；（3）分兩種情況：①P在上；②P在上．【詳解】（1）∵，∴的周長為，∵把的周長分成相等的兩部分，∴，∴，故當(dāng)時，把的周長分成相等的兩部分，故答案為：3；（2）當(dāng)把的面積分成相等的兩部分時，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P運(yùn)動的路程為，∴，∴當(dāng)時，把的面積分成相等的兩部分，故答案為：；（3）當(dāng)P在上時，∵的面積為，∴，∴，∴；當(dāng)P在上時，∵的面積為，的面積為，∴的面積為，∴，∴，∴點(diǎn)P運(yùn)動的路程為，∴，∴當(dāng)t為或時，的面積為4．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的周長、面積的計算，明確點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（23-24八年級上·山東德州·階段練習(xí)）下面各項(xiàng)都是由三條線段組成的圖形，其中是三角形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)三角形的定義即：由同一平面內(nèi)不在同一直線上的三條線段‘首尾’順次連接所組成的封閉圖形，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A，B，C，中的三條線段沒有首尾順次連接，故不是三角形，C中的三條線段首尾順次連接，且不在同一條直線上，故C滿足題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的定義與判定，能夠深刻理解三角形的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．（23-24八年級上·山西長治·期中）有一塊質(zhì)地均勻的三角形木板玩具，小明用手頂住三角板的一個點(diǎn)，木板玩具就保持平衡，這個平衡點(diǎn)就是這塊三角形木板的重心，三角形的重心是（

）A．三角形三條中線的交點(diǎn)處 B．三角形三條角平分線的交點(diǎn)處C．三角形三條高線的交點(diǎn)處 D．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處【答案】A【分析】本題考查的是三角形的重心的概念，熟記三角形的重心是三角形的三條中線的交點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)處，故選A3．（23-24八年級上·云南·階段練習(xí)）由于疫情，現(xiàn)在網(wǎng)課已經(jīng)成為我們學(xué)習(xí)的一種主要方式，網(wǎng)課期間我們常常把手機(jī)放在一個支架上面，就可以非常方便地使用，如圖，此手機(jī)能穩(wěn)穩(wěn)放在支架上利用的原理是（）A．三角形具有穩(wěn)定性 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．三角形的內(nèi)角和為180° D．垂線段最短【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性．根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進(jìn)行求解即可．【詳解】解：此手機(jī)能穩(wěn)穩(wěn)放在支架上利用的原理是三角形具有穩(wěn)定性，故選：A．4．（22-23八年級下·河北保定·階段練習(xí)）下列說法不正確的是（

）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等B．銳角三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部C．直角三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)D．鈍角三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)可能在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部【答案】D【分析】根據(jù)三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．【詳解】A、三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等，故正確；B、銳角三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，故正確；C、直角三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，故正確；D、鈍角三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)在三角形的外部，故錯誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（22-23八年級上·湖北咸寧·期中）如圖，是的高的線段是（）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【答案】C【分析】本題考查了三角形的高，“從三角形一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高”，根據(jù)三角形的高的畫法即可得，正確認(rèn)識三角形的高是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由三角形的高的定義可知，選項(xiàng)C中的線段是的高，故選：C．6．（22-23八年級上·海南三亞·期中）若三角形的兩條邊長分別為和，且第三邊長為偶數(shù)，則第三邊長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形三邊之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可解答．【詳解】解：∵三角形的兩邊長分別為和，∴第三邊，即第三邊，∵第三邊的邊長為偶數(shù)，∴第三邊長為，故選：A．7．（23-24八年級上·山西呂梁·階段練習(xí)）已知的三邊長a，b，c滿足等式，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】此題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，絕對值、偶次方和二次根式的性質(zhì)，得出的值是解題關(guān)鍵；先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求出、、的值，再判斷即可；【詳解】解:∵，∴，解得：，∴是等邊三角形，故選：D．8．（23-24八年級上·廣東湛江·期中）如圖，在中，角平分線與中線交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．是的角平分線C．是的中線 D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的中線，角平分線．熟練掌握三角形的中線，角平分線的定義，是解題的關(guān)鍵．三角形的中線：連接三角形一個頂點(diǎn)和它所對的邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線；三角形角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的平分線．先根據(jù)是中線，是角平分線得出，；根據(jù)這兩個條件逐一判斷即得．【詳解】∵是的中線，∴，故A正確，不符合題意；∴，故D正確，不符合題意；∵是的角平分線，∴，∴是的角平分線，故B正確，不符合題意；∵是的中線，但不是的中線，故C錯誤，符合題意．故選：C．二、填空題9．（23-24八年級上·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）已知，三角形的三邊長為3，5，m，則m的取值范圍是．【答案】/【詳解】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，進(jìn)行求解．本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式是解決問題的關(guān)鍵【分析】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得，∴，故答案為：．10．（23-24八年級上·安徽滁州·階段練習(xí)）如圖，以為邊的三角形有個．【答案】2【分析】本題考查的是三角形的認(rèn)識．根據(jù)三角形的概念、結(jié)合圖形寫出以為邊的三角形．【詳解】解：以為邊的三角形的有，，一共有2個．故答案為：2．11．如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長比的周長多，