第11講 軸對(duì)稱（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10個(gè)考點(diǎn)）-新八年級(jí)《數(shù)學(xué)》暑假自學(xué)提升講義（人教版）解析版

第第頁第11講軸對(duì)稱（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10個(gè)考點(diǎn)）模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測了解軸對(duì)稱圖形、兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的意義會(huì)識(shí)別軸對(duì)稱圖形及軸對(duì)稱。掌握線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，會(huì)用集合的觀點(diǎn)解釋線段的垂直平分線。能用尺規(guī)準(zhǔn)確地作出線段的垂直平分線，并會(huì)作軸對(duì)稱圖形及成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)1.軸對(duì)稱圖形（重點(diǎn)）軸對(duì)稱圖形的定義一個(gè)圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，該直線就是它的對(duì)稱軸.要點(diǎn)歸納：軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.知識(shí)點(diǎn)2.軸對(duì)稱（難點(diǎn)）兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)歸納：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線；軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形的區(qū)別主要是：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是一個(gè)圖形；軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是軸對(duì)稱圖形；反過來，若把軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線（原對(duì)稱軸）對(duì)稱.知識(shí)點(diǎn)3.線段的垂直平分線（重點(diǎn)）（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．求做線段AB的垂直平分線作法：（1）分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；（2）作直線CD，CD即為所求直線．要點(diǎn)歸納：作弧時(shí)的半徑必須大于AB的長，否則就不能得到交點(diǎn)了．知識(shí)點(diǎn)4.軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)（難點(diǎn)）在軸對(duì)稱圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)歸納：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．知識(shí)點(diǎn)5.對(duì)稱軸的畫法（重點(diǎn)）畫軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸的步驟(1)找出軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn);(2)連接這對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn);(3)畫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線這條垂直平分線就是該軸對(duì)稱圖形或成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸注意：畫對(duì)稱軸的依據(jù)是軸對(duì)稱圖形或兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱的性質(zhì)，即對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線考點(diǎn)1.軸對(duì)稱圖形的識(shí)別【例1】下列體育運(yùn)動(dòng)標(biāo)志中，從圖案看不是軸對(duì)稱圖形的有()A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)解析：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念可得(1)(2)(4)都不是軸對(duì)稱圖形，只有(3)是軸對(duì)稱圖形．故選B.方法總結(jié)：要確定一個(gè)圖形是否是軸對(duì)稱圖形要根據(jù)定義進(jìn)行判斷，關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式1-1】（2023?益陽）如圖所示正方體的展開圖中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義分別判斷可得出結(jié)果．【解答】解：由軸對(duì)稱圖形定義可知D選項(xiàng)中的圖形是軸對(duì)稱圖形，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要是考查了軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．【變式1-2】（2023?衡陽）下面四種化學(xué)儀器的示意圖是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、B，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；C選項(xiàng)中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式1-3】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，已有兩個(gè)正方形涂黑，請(qǐng)?jiān)賹⑵渲械囊粋€(gè)空白正方形涂黑，使涂黑部分圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形（最少三種不同方法）．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，結(jié)合題意，補(bǔ)充圖形即可【詳解】如圖：有5種方法：【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2.判斷對(duì)稱軸的條數(shù)【例2】下列軸對(duì)稱圖形中，恰好有兩條對(duì)稱軸的是()A．正方形B．等腰三角形C．長方形D．圓解析：A.正方形有四條對(duì)稱軸；B.等腰三角形有一條對(duì)稱軸；C.長方形有兩條對(duì)稱軸；D.圓有無數(shù)條對(duì)稱軸．故選C.方法總結(jié)：判斷對(duì)稱軸的條數(shù)，仍然是根據(jù)定義進(jìn)行判斷，判斷軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，注意不要遺漏．【變式2-1】如圖所示的圖形是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸共有（

）A．1條 B．2條 C．4條 D．無數(shù)條【答案】C【解析】略【變式2-2】（22-23八年級(jí)上·江蘇·期中）在“線段、銳角、等邊三角形、圓、正方形”這五個(gè)圖形中，對(duì)稱軸最多圖形的是．【答案】圓【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．寫出每個(gè)圖形的對(duì)稱軸的數(shù)量即可得答案.【詳解】解：線段是軸對(duì)稱圖形，有2條對(duì)稱軸；銳角是軸對(duì)稱圖形，有1條對(duì)稱軸；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸；圓是軸對(duì)稱圖形，有無數(shù)條對(duì)稱軸；正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸；故在“線段、銳角、等邊三角形、圓、正方形”這五個(gè)圖形中，對(duì)稱軸最多的圖形是圓．故答案為：圓．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，解題的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．同時(shí)要熟記一些常見圖形的對(duì)稱軸條數(shù)．【變式2-3】.如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，從空白的小正方形中再選擇一個(gè)涂黑，使得3個(gè)涂黑的正方形成軸對(duì)稱圖形，則選擇的方法有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【解答】解：如圖，將圖中剩余的編號(hào)為1至7的小正方形中任意一個(gè)涂黑共7種情況，其中涂黑1，3，5，6，7有5種情況可使所得圖案是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，故選：C．考點(diǎn)3.應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求值或證明【例3-1】如圖，一種滑翔傘的形狀是左右成軸對(duì)稱的四邊形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，則∠BCD的度數(shù)是()A．130°B．150°C．40°D．65°解析：∵這種滑翔傘的形狀是左右成軸對(duì)稱的四邊形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，∴∠D＝40°，∴∠BCD＝360°－150°－40°－40°＝130°.故選A.方法總結(jié)：軸對(duì)稱其實(shí)就是一種全等變換，所以軸對(duì)稱往往和三角形的內(nèi)角和、外角的性質(zhì)綜合考查．【例3-2】如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，則圖中陰影部分的面積為()A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2解析：根據(jù)正方形的軸對(duì)稱性可得，陰影部分的面積等于正方形ABCD面積的一半，∵正方形ABCD的邊長為4cm，∴S陰影＝eq\f(1,2)×42＝8(cm)2.故選B.方法總結(jié)：正方形是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)圖形判斷出陰影部分的面積等于正方形面積的一半是解題的關(guān)鍵．【例3-3】如圖，O為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，OB＝eq\f(7,2)，P、R為O分別以直線AB、BC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)．(1)請(qǐng)指出當(dāng)∠ABC是什么角度時(shí)，會(huì)使得PR的長度等于7？并完整說明PR的長度為何在此時(shí)等于7的理由．(2)承(1)小題，請(qǐng)判斷當(dāng)∠ABC不是你指出的角度時(shí)，PR的長度小于7還是大于7？并完整說明你判斷的理由．解析：(1)連接PB、RB，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得PB＝OB，RB＝OB，然后判斷出點(diǎn)P、B、R三點(diǎn)共線時(shí)PR＝7，再根據(jù)平角的定義求解；(2)根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊解答．解：(1)如圖，∠ABC＝90°時(shí)，PR＝7.證明如下：連接PB、RB，∵P、R為O分別以直線AB、BC為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴PB＝OB＝eq\f(7,2)，RB＝OB＝eq\f(7,2).∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠CBR＝∠ABO＋∠CBO＝∠ABC＝90°，∴點(diǎn)P、B、R三點(diǎn)共線，∴PR＝2×eq\f(7,2)＝7；(2)PR的長度小于7，理由如下：∠ABC≠90°，則點(diǎn)P、B、R三點(diǎn)不在同一直線上，∴PB＋BR＞PR，∵PB＋BR＝2OB＝2×eq\f(7,2)＝7，∴PR＜7.方法總結(jié)：利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可以將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)予以解答，總之熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】．（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，，E為上一點(diǎn)，A和E關(guān)于對(duì)稱，B點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到．根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵A和E關(guān)于對(duì)稱，∴，∵B點(diǎn)和C點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，設(shè)，則，在中，解得，即．故選：B．【變式3-2】．（23-24八年級(jí)上·廣西柳州·期中）如圖，四邊形是軸對(duì)稱圖形，直線是它的對(duì)稱軸，若，，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)；先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出的度數(shù)，然后可計(jì)算的大小．【詳解】解：∵，，∴，∵四邊形是軸對(duì)稱圖形，∴，∴，故選：A．【變式3-3】．（23-24八年級(jí)上·全國·課堂例題）如圖所示，已知和關(guān)于直線對(duì)稱，延長，，分別交，于點(diǎn)D，E，則與有什么數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由．【答案】【分析】此題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)找出兩個(gè)三角形中對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊相等是解題關(guān)鍵．根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，再利用與所在的兩個(gè)三角形全等解答即可．【詳解】解：∵和關(guān)于直線對(duì)稱，∴，．在和中，，∴，∴．考點(diǎn)4.軸對(duì)稱在折疊問題中的應(yīng)用【例4】如圖，將長方形紙片先沿虛線AB向右對(duì)折，接著將對(duì)折后的紙片沿虛線CD向下對(duì)折，然后剪下一個(gè)小三角形，再將紙片打開，那么打開后的展開圖是()解析：∵第三個(gè)圖形是三角形，∴將第三個(gè)圖形展開，可得，即可排除答案A.∵再展開可知兩個(gè)短邊正對(duì)著，∴選擇答案D，排除B與C.故選D.方法總結(jié)：對(duì)于此類問題，要充分發(fā)揮空間想象能力，或親自動(dòng)手操作答案即可呈現(xiàn)．【變式4-1】將一個(gè)正方形紙片依次按圖a，b的方式對(duì)折，然后沿圖c中的虛線裁剪，成圖d樣式，將紙展開鋪平，所得到的圖形是圖中的（）【思路點(diǎn)撥】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)將最后一個(gè)圖形一步一步的還原，做出他關(guān)于某條對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形，即可得到最后的答案.【答案】D；【解析】【總結(jié)升華】只需要根據(jù)對(duì)稱軸補(bǔ)全圖形就能找到答案，或者就真正的實(shí)際動(dòng)手操作一下，這里推薦利用我們所學(xué)過的軸對(duì)稱的知識(shí)解決問題．【變式4-2】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將長方形沿翻折，使點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)F處，，那么等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由由翻折可知，，推出，．據(jù)此求解即可．【詳解】解：方法一

∵四邊形是長方形，∴．由翻折可知，，∴，．∵，∴，∴；方法二

∵四邊形是長方形，∴，，∴．由翻折可知，，∴，．∵，，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查翻折變換（折疊問題），解題關(guān)鍵在于利用折疊的性質(zhì)進(jìn)行解答．【變式4-3】（2023秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，將四邊形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置，點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置，若，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】延長交于點(diǎn)E，利用四邊形的內(nèi)角和定理得到：，利用四邊形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等量代換的性質(zhì)求得的值，即可求解．【詳解】解：延長交于點(diǎn)E，設(shè)交于點(diǎn)F，如圖，∵四邊形的內(nèi)角和為，∴，，∴．由折疊的性質(zhì)可得：．∵，∴．在和中，∵，∴，∵，∴．∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和為360度和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5.應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長【例5】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm解析：∵△DBC的周長＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故選C.方法總結(jié)：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長．【變式5-1】（2023秋·全國·八年級(jí)課堂例題）如圖，在中，的垂直平分線與的垂直平分線的交點(diǎn)恰好在上，且，則的長為

【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，問題隨之得解．【詳解】解：∵的垂直平分線與的垂直平分線的交點(diǎn)恰好在上，∴，，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線分別交于點(diǎn)的垂直平分線分別交于點(diǎn)，則的周長為．【答案】11【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，∴的周長，故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．【變式5-3】（2023春·江西九江·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．已知的周長為10，，求與的長．

【答案】，【分析】根據(jù)題意可知，然后根據(jù)，可得出的長度，即可獲得答案．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，∵的周長為10，即，∴，即，∵，∴，，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)．考點(diǎn)6.線段垂直平分線的性質(zhì)與全等三角形的綜合運(yùn)用【例6】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB＝BF即可．證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.方法總結(jié)：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí)．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，利用它可以證明線段相等．【變式6-1】（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)，連接，垂直平分，垂足為F，交于點(diǎn)D．連接．

(1)若的周長為19，的周長為7，求的長．(2)若，，求∠CDE的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵是線段的垂直平分線，∴，∵的周長為19，的周長為7，∴，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】．（23-24八年級(jí)上·安徽六安·階段練習(xí)）如圖，中，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于，交的平行線于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接、．(1)求證：；(2)請(qǐng)你判斷與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題考查三角形全等的判定方法，垂直平分線的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）先利用判定，從而得出；（2）再利用全等的性質(zhì)可得，再有，從而得出，兩邊和大于第三邊從而得出．【詳解】（1）證明：，．為的中點(diǎn)，又，在與中，．．（2）證明：．，，．又，（垂直平分線到線段端點(diǎn)的距離相等）．在中，，即．考點(diǎn)7.線段垂直平分線與角平分線的綜合運(yùn)用【例7】如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點(diǎn)O.(1)找出圖中相等的線段；(2)OE，OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AD，,OC＝OD，,AO＝AO，))∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法總結(jié)：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】．（23-24八年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，垂直平分于點(diǎn)D．

(1)求證：(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理及線段垂直平分線的性質(zhì)定理；（1）由題意易得，然后問題可求證；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可知，然后問題可求解．【詳解】（1）解：，平分，，，在和中，，；（2）解：由（1）可知：，∵垂直平分，∴，．【變式7-2】（2023春·陜西榆林·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，垂直平分，平分，，交的延長線于點(diǎn)．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，與的周長之差為8cm，且的面積為，求的面積．【答案】(1)(2)的面積為【分析】（1）由角平分線的定義可得，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到，由三角形外角的性質(zhì)可求出，最后由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，由與的周長之差為8cm計(jì)算可得，由角平分線的性質(zhì)可得，由三角形的面積可求得，最后由三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵平分，∴．垂直平分，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：垂直平分，∴，，∵與的周長之差為8cm，∴，∵平分，，∴，∵，的面積為，∴，∴，∴的面積，答：的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)8.線段垂直平分線的判定【例8】如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，試說明AD與EF的關(guān)系．解析：先利用角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF，再證△AED≌△AFD，易證AD垂直平分EF.解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF.在△ADE和△ADF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠DAF，,∠AED＝∠AFD，,AD＝AD，))∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.方法總結(jié)：當(dāng)一條直線上有兩點(diǎn)都在同一線段的垂直平分線上時(shí)，這條直線就是該線段的垂直平分線，解題時(shí)常需利用此性質(zhì)進(jìn)行線段相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化．【變式8-1】（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，為的角平分線，，請(qǐng)判斷線段所在的直線是否為線段的垂直平分線，如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．

【分析】方法一：定義法：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為O．通過證明，得到，．進(jìn)而得出．即可得出線段所在的直線是線段EF的垂直平分線．方法二：判定定理法：通過證明，得出．則點(diǎn)D在線段EF的垂直平分線上．根據(jù)，得出點(diǎn)A在線段的垂直平分線上．即可得出線段所在的直線是線段EF的垂直平分線．【詳解】線段所在的直線是線段EF的垂直平分線．證明如下：方法一：定義法：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為O．∵是的平分線，∴．在和中，∴，∴（此處得到后，也可根據(jù)判定定理法證明），．又∵，∴，即．∴線段所在的直線是線段EF的垂直平分線．方法二：判定定理法：∵是的平分線，∴．在和中，∴，∴．∴點(diǎn)D在線段的垂直平分線上．又∵，∴點(diǎn)A在線段的垂直平分線上．∴線段所在的直線是線段EF的垂直平分線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；垂直平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等．【變式8-2】（2023秋·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？贾軠y）如圖，已知，點(diǎn)P為的平分線上一點(diǎn)，，，垂足分別為E、F(1)求證∶(2)若，求證：點(diǎn)P在的垂直平分線上．【分析】（1）通過證明，即可求證；（2）連接、，通過證明，得到，即可求證．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)P為的平分線上一點(diǎn)∴∵，∴在和中∴∴（2）證明：連接、，如下圖：由（1）可得：又∵，∴∴∴點(diǎn)P在的垂直平分線上【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)．【變式8-3】（2023春·湖南郴州·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，在中，為的平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若的面積是，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，說明點(diǎn)D在的垂直平分線上，證明，得出，說明點(diǎn)A在的垂直平分線上，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)，，得出求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：∵為的平分線，，，∴，∴點(diǎn)D在的垂直平分線上，∵，∴，∴，∴點(diǎn)A在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線；（2）解：∵，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂線平分線的判定和角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．考點(diǎn)9.垂直平分線的作法【例9】如圖，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，你能作出這條直線嗎？(注：作一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的對(duì)稱軸就是作線段AB的垂直平分線)解析：本題其實(shí)就是作線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的作法作出即可．解：作法：(1)分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于eq\f(1,2)AB的長為半徑作弧，兩弧相交于E、F兩點(diǎn)；(2)作直線EF，EF即為所求的直線．同樣，對(duì)于軸對(duì)稱圖形，只要找到任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對(duì)稱軸．方法總結(jié)：要熟練掌握線段垂直平分線的作法，作出的圖形中的作圖痕跡要保留．【變式9-1】如圖，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B以及直線l.(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA＝PB.(保留作圖痕跡，不要求寫出作法)；(2)在(1)中所作的圖中，若AM＝PN，BN＝PM，求證：∠MAP＝∠NPB.解析：(1)利用線段垂直平分線的作法作出即可；(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性質(zhì)得出即可．解：(1)如圖所示：(2)在△AMP和△BNP中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AM＝PN，,PM＝BN，,AP＝BP，))∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.方法總結(jié)：解決此類問題首先要正確作出圖形，然后運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)解決其他問題．【變式9-2】如圖，某地由于居民增多，要在公路l邊增加一個(gè)公共汽車站，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，這個(gè)公共汽車站C建在什么位置，能使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法)?解析：作線段AB的垂直平分線，由垂直平分線的定理可知，垂直平分線上的點(diǎn)到A，B的距離相等．解：連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于O，交AB于E.∵EO是線段AB的垂直平分線，∴點(diǎn)O到A，B的距離相等，∴這個(gè)公共汽車站C應(yīng)建在O點(diǎn)處，才能使到兩個(gè)小區(qū)的路程一樣長．方法總結(jié)：對(duì)于作圖題首先要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．【變式9-3】如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)解析：到兩條公路的距離相等，在這兩條公路的夾角的平分線上；到兩所大學(xué)的距離相等，在這兩所大學(xué)兩個(gè)端點(diǎn)的連線的垂直平分線上，所畫兩條直線的交點(diǎn)即為所求的位置．解：如圖，點(diǎn)P為所求．方法總結(jié)：通過本題要熟練地掌握角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法．考點(diǎn)10.對(duì)稱軸的畫法【例10】畫出下列軸對(duì)稱圖形的所有對(duì)稱軸(不考慮顏色)．解析：利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分別得出其對(duì)稱軸即可．解：如圖所示：方法總結(jié)：畫軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，先找出對(duì)稱點(diǎn)，然后作對(duì)稱點(diǎn)的垂直平分線即可．【變式10-1】作出下列各圖形的一條對(duì)稱軸，和同學(xué)比較一下，你們作出的對(duì)稱軸一樣嗎？【答案】見解析【分析】依據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，即在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是其對(duì)稱軸，據(jù)此即可解答．【詳解】解：根據(jù)分析畫各圖的對(duì)稱軸如下：．【點(diǎn)睛】本題考查了畫對(duì)稱軸，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特征，作一個(gè)圖形的對(duì)稱軸時(shí)，可連結(jié)兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱軸就是對(duì)稱點(diǎn)連線的垂直平分線．【變式10-2】試確定如圖所示的正多邊形的對(duì)稱軸的條數(shù)，一般地，一個(gè)正n邊形有多少條對(duì)稱軸？【答案】3條，4條，5條，6條，8條；一個(gè)正n邊形有n條對(duì)稱軸．【分析】根據(jù)圖形的性質(zhì)，分別找出對(duì)稱軸的條數(shù)【詳解】正三角形的對(duì)稱軸為三條高線所在的直線，共3條對(duì)稱軸，正方形的對(duì)稱軸為兩條對(duì)角線所在的直線，和兩條對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線，共4條對(duì)稱軸，正五邊形的對(duì)稱軸為各邊中點(diǎn)與其所對(duì)的角的頂點(diǎn)的連線所在的直線，共5個(gè)頂點(diǎn)，則共5條對(duì)稱軸，正六邊形的對(duì)稱軸與正方形的類似，3條對(duì)角線所在的直線，和3條對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線，共6條對(duì)稱軸，正八邊形的對(duì)稱軸與正方形，正六邊形的類似，4條對(duì)角線所在的直線，和4條對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線，共8條對(duì)稱軸，一般地，一個(gè)正n邊形有n條對(duì)稱軸．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的對(duì)稱軸的條數(shù)，理解軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式10-3】如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，陰影部分是由4個(gè)正方形組成的一個(gè)圖形，請(qǐng)你用兩種方法分別在如圖方格內(nèi)填涂2個(gè)小正方形，使這6個(gè)小正方形組成的圖形是軸對(duì)稱圖形，并畫出其對(duì)稱軸．解析：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)畫出圖形即可．解：如圖所示：方法總結(jié)：解答此類問題，一般要先設(shè)計(jì)出軸對(duì)稱圖形，然后根據(jù)圖形的特點(diǎn)，畫出對(duì)稱軸．一．選擇題（共5小題）1．（2024?大連一模）下列手機(jī)中的圖標(biāo)是軸對(duì)稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；．是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是軸對(duì)稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．2．（2024?河北）如圖，與交于點(diǎn)，和關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)，的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)，．下列不一定正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)和關(guān)于直線對(duì)稱得出，，，然后逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：如圖，連接、，和關(guān)于直線對(duì)稱，，，，，故、、選項(xiàng)正確，不一定垂直，故選項(xiàng)不一定正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)三角形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分，對(duì)稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)應(yīng)的角、線段都相等．3．（2023秋??？谄谀┤鐖D，中，是的垂直平分線，若，的周長為19，則的周長為A．13 B．14 C．15 D．16【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得，；根據(jù)的周長為19，則，可得到，即可得到的周長．【解答】解：是的垂直平分線，，，，的周長為19，，，的周長為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段的垂直平分線，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長公式．4．（2023秋?太和縣期中）墻上有一面鏡子，鏡子對(duì)面的墻上有一個(gè)數(shù)字式電子鐘．如果在鏡子里看到該電子鐘的時(shí)間顯示如圖所示，那么它的實(shí)際時(shí)間是A． B． C． D．【分析】如果一個(gè)平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．由此即可求解．【解答】解：如圖所示，根據(jù)題意作對(duì)稱圖，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軸對(duì)稱的圖形的識(shí)別，掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋?鳳山縣期末）如圖，在的方格紙中有一個(gè)以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的，則與成軸對(duì)稱且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形共有A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【分析】解答此題首先找到的對(duì)稱軸，、、，等都可以是它的對(duì)稱軸，然后依據(jù)對(duì)稱找出相應(yīng)的三角形即可．【解答】解：與成軸對(duì)稱且以格點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形有、、、，共5個(gè)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軸對(duì)稱的性質(zhì)；找著對(duì)稱軸后畫圖是正確解答本題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2023秋?陽谷縣期中）數(shù)學(xué)在我們的生活中無處不在，就連小小的臺(tái)球桌上都有數(shù)學(xué)問題，如圖所示，，若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時(shí)，必須保證為．【分析】根據(jù)圖形得出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【解答】解：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了臺(tái)球桌上的軸對(duì)稱問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．7．（2023秋?閔行區(qū)期末）如圖，在中，分別作、的垂直平分線，交于點(diǎn)、，垂足為、，若，則40度．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，得到，，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：，，邊，的垂直平分線分別交于點(diǎn)，，，，，，，，故選：40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．（2024春?新鄭市期末）如圖，中，的垂直平分線交于點(diǎn)，若的周長