第11講 軸對稱（5個知識點+10個考點）-新八年級《數(shù)學》暑假自學提升講義（人教版）解析版

第第頁第11講軸對稱（5個知識點+10個考點）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測了解軸對稱圖形、兩個圖形成軸對稱的意義會識別軸對稱圖形及軸對稱。掌握線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，會用集合的觀點解釋線段的垂直平分線。能用尺規(guī)準確地作出線段的垂直平分線，并會作軸對稱圖形及成軸對稱的兩個圖形的對稱軸。知識點1.軸對稱圖形（重點）軸對稱圖形的定義一個圖形沿著某直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，該直線就是它的對稱軸.要點歸納：軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合．一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定.知識點2.軸對稱（難點）兩個成軸對稱的圖形中，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等.要點歸納：若兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別主要是：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形；軸對稱圖形和軸對稱的關系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形；反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關于這條直線（原對稱軸）對稱.知識點3.線段的垂直平分線（重點）（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．求做線段AB的垂直平分線作法：（1）分別以點A，B為圓心，以大于AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；（2）作直線CD，CD即為所求直線．要點歸納：作弧時的半徑必須大于AB的長，否則就不能得到交點了．知識點4.軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)（難點）在軸對稱圖形中，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等.要點歸納：軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應點所連線段的垂直平分線．知識點5.對稱軸的畫法（重點）畫軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的步驟(1)找出軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的任意一對對應點;(2)連接這對對應點;(3)畫出對應點所連線段的垂直平分線這條垂直平分線就是該軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸注意：畫對稱軸的依據(jù)是軸對稱圖形或兩個圖形成軸對稱的性質(zhì)，即對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線考點1.軸對稱圖形的識別【例1】下列體育運動標志中，從圖案看不是軸對稱圖形的有()A．4個B．3個C．2個D．1個解析：根據(jù)軸對稱圖形的概念可得(1)(2)(4)都不是軸對稱圖形，只有(3)是軸對稱圖形．故選B.方法總結：要確定一個圖形是否是軸對稱圖形要根據(jù)定義進行判斷，關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式1-1】（2023?益陽）如圖所示正方體的展開圖中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義分別判斷可得出結果．【解答】解：由軸對稱圖形定義可知D選項中的圖形是軸對稱圖形，故選：D．【點評】此題主要是考查了軸對稱圖形的定義，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，那么這樣的圖形就叫做軸對稱圖形．【變式1-2】（2023?衡陽）下面四種化學儀器的示意圖是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【解答】解：A、B，D選項中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；C選項中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．【變式1-3】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，已有兩個正方形涂黑，請再將其中的一個空白正方形涂黑，使涂黑部分圖形是一個軸對稱圖形（最少三種不同方法）．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，結合題意，補充圖形即可【詳解】如圖：有5種方法：【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．考點2.判斷對稱軸的條數(shù)【例2】下列軸對稱圖形中，恰好有兩條對稱軸的是()A．正方形B．等腰三角形C．長方形D．圓解析：A.正方形有四條對稱軸；B.等腰三角形有一條對稱軸；C.長方形有兩條對稱軸；D.圓有無數(shù)條對稱軸．故選C.方法總結：判斷對稱軸的條數(shù)，仍然是根據(jù)定義進行判斷，判斷軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，注意不要遺漏．【變式2-1】如圖所示的圖形是軸對稱圖形，其對稱軸共有（

）A．1條 B．2條 C．4條 D．無數(shù)條【答案】C【解析】略【變式2-2】（22-23八年級上·江蘇·期中）在“線段、銳角、等邊三角形、圓、正方形”這五個圖形中，對稱軸最多圖形的是．【答案】圓【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．寫出每個圖形的對稱軸的數(shù)量即可得答案.【詳解】解：線段是軸對稱圖形，有2條對稱軸；銳角是軸對稱圖形，有1條對稱軸；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸；圓是軸對稱圖形，有無數(shù)條對稱軸；正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸；故在“線段、銳角、等邊三角形、圓、正方形”這五個圖形中，對稱軸最多的圖形是圓．故答案為：圓．【點睛】此題考查了軸對稱圖形的概念，解題的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．同時要熟記一些常見圖形的對稱軸條數(shù)．【變式2-3】.如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，從空白的小正方形中再選擇一個涂黑，使得3個涂黑的正方形成軸對稱圖形，則選擇的方法有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【解答】解：如圖，將圖中剩余的編號為1至7的小正方形中任意一個涂黑共7種情況，其中涂黑1，3，5，6，7有5種情況可使所得圖案是一個軸對稱圖形，故選：C．考點3.應用軸對稱的性質(zhì)求值或證明【例3-1】如圖，一種滑翔傘的形狀是左右成軸對稱的四邊形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，則∠BCD的度數(shù)是()A．130°B．150°C．40°D．65°解析：∵這種滑翔傘的形狀是左右成軸對稱的四邊形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，∴∠D＝40°，∴∠BCD＝360°－150°－40°－40°＝130°.故選A.方法總結：軸對稱其實就是一種全等變換，所以軸對稱往往和三角形的內(nèi)角和、外角的性質(zhì)綜合考查．【例3-2】如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，則圖中陰影部分的面積為()A．4cm2B．8cm2C．12cm2D．16cm2解析：根據(jù)正方形的軸對稱性可得，陰影部分的面積等于正方形ABCD面積的一半，∵正方形ABCD的邊長為4cm，∴S陰影＝eq\f(1,2)×42＝8(cm)2.故選B.方法總結：正方形是軸對稱圖形，根據(jù)圖形判斷出陰影部分的面積等于正方形面積的一半是解題的關鍵．【例3-3】如圖，O為△ABC內(nèi)部一點，OB＝eq\f(7,2)，P、R為O分別以直線AB、BC為對稱軸的對稱點．(1)請指出當∠ABC是什么角度時，會使得PR的長度等于7？并完整說明PR的長度為何在此時等于7的理由．(2)承(1)小題，請判斷當∠ABC不是你指出的角度時，PR的長度小于7還是大于7？并完整說明你判斷的理由．解析：(1)連接PB、RB，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得PB＝OB，RB＝OB，然后判斷出點P、B、R三點共線時PR＝7，再根據(jù)平角的定義求解；(2)根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊解答．解：(1)如圖，∠ABC＝90°時，PR＝7.證明如下：連接PB、RB，∵P、R為O分別以直線AB、BC為對稱軸的對稱點，∴PB＝OB＝eq\f(7,2)，RB＝OB＝eq\f(7,2).∵∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠CBR＝∠ABO＋∠CBO＝∠ABC＝90°，∴點P、B、R三點共線，∴PR＝2×eq\f(7,2)＝7；(2)PR的長度小于7，理由如下：∠ABC≠90°，則點P、B、R三點不在同一直線上，∴PB＋BR＞PR，∵PB＋BR＝2OB＝2×eq\f(7,2)＝7，∴PR＜7.方法總結：利用軸對稱的性質(zhì)可以將線段進行轉(zhuǎn)化，然后結合三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)予以解答，總之熟記各性質(zhì)是解題的關鍵．【變式3-1】．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）如圖，，E為上一點，A和E關于對稱，B點和C點關于對稱，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關鍵是根據(jù)對稱的性質(zhì)得到．根據(jù)對稱的性質(zhì)得到，然后利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵A和E關于對稱，∴，∵B點和C點關于對稱，∴，∴，設，則，在中，解得，即．故選：B．【變式3-2】．（23-24八年級上·廣西柳州·期中）如圖，四邊形是軸對稱圖形，直線是它的對稱軸，若，，則的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，軸對稱的性質(zhì)；先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出的度數(shù)，然后可計算的大小．【詳解】解：∵，，∴，∵四邊形是軸對稱圖形，∴，∴，故選：A．【變式3-3】．（23-24八年級上·全國·課堂例題）如圖所示，已知和關于直線對稱，延長，，分別交，于點D，E，則與有什么數(shù)量關系，請說明理由．【答案】【分析】此題考查了軸對稱的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，利用軸對稱的性質(zhì)找出兩個三角形中對應角和對應邊相等是解題關鍵．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，再利用與所在的兩個三角形全等解答即可．【詳解】解：∵和關于直線對稱，∴，．在和中，，∴，∴．考點4.軸對稱在折疊問題中的應用【例4】如圖，將長方形紙片先沿虛線AB向右對折，接著將對折后的紙片沿虛線CD向下對折，然后剪下一個小三角形，再將紙片打開，那么打開后的展開圖是()解析：∵第三個圖形是三角形，∴將第三個圖形展開，可得，即可排除答案A.∵再展開可知兩個短邊正對著，∴選擇答案D，排除B與C.故選D.方法總結：對于此類問題，要充分發(fā)揮空間想象能力，或親自動手操作答案即可呈現(xiàn)．【變式4-1】將一個正方形紙片依次按圖a，b的方式對折，然后沿圖c中的虛線裁剪，成圖d樣式，將紙展開鋪平，所得到的圖形是圖中的（）【思路點撥】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)將最后一個圖形一步一步的還原，做出他關于某條對稱軸的對稱圖形，即可得到最后的答案.【答案】D；【解析】【總結升華】只需要根據(jù)對稱軸補全圖形就能找到答案，或者就真正的實際動手操作一下，這里推薦利用我們所學過的軸對稱的知識解決問題．【變式4-2】（2023秋·八年級課時練習）如圖，將長方形沿翻折，使點D落在邊上的點F處，，那么等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由由翻折可知，，推出，．據(jù)此求解即可．【詳解】解：方法一

∵四邊形是長方形，∴．由翻折可知，，∴，．∵，∴，∴；方法二

∵四邊形是長方形，∴，，∴．由翻折可知，，∴，．∵，，∴，∴．故選：B．【點睛】此題考查翻折變換（折疊問題），解題關鍵在于利用折疊的性質(zhì)進行解答．【變式4-3】（2023秋·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學?？奸_學考試）如圖，將四邊形紙片沿折疊，使點落在四邊形外點的位置，點落在四邊形內(nèi)點的位置，若，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】延長交于點E，利用四邊形的內(nèi)角和定理得到：，利用四邊形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等量代換的性質(zhì)求得的值，即可求解．【詳解】解：延長交于點E，設交于點F，如圖，∵四邊形的內(nèi)角和為，∴，，∴．由折疊的性質(zhì)可得：．∵，∴．在和中，∵，∴，∵，∴．∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．

【點睛】本題主要考查了四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握四邊形的內(nèi)角和為360度和折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．考點5.應用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長【例5】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm解析：∵△DBC的周長＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故選C.方法總結：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以實現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長．【變式5-1】（2023秋·全國·八年級課堂例題）如圖，在中，的垂直平分線與的垂直平分線的交點恰好在上，且，則的長為

【答案】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，問題隨之得解．【詳解】解：∵的垂直平分線與的垂直平分線的交點恰好在上，∴，，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關鍵．【變式5-2】（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在中，的垂直平分線分別交于點的垂直平分線分別交于點，則的周長為．【答案】11【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴，∵是線段的垂直平分線，∴，∴的周長，故答案為：11．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．【變式5-3】（2023春·江西九江·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，的垂直平分線交于點，交于點．已知的周長為10，，求與的長．

【答案】，【分析】根據(jù)題意可知，然后根據(jù)，可得出的長度，即可獲得答案．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點，交于點，∴，∵的周長為10，即，∴，即，∵，∴，，∵，∴．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相關性質(zhì)．考點6.線段垂直平分線的性質(zhì)與全等三角形的綜合運用【例6】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.解析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出AB＝BF即可．證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等．【變式6-1】（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在中，點E是邊上的一點，連接，垂直平分，垂足為F，交于點D．連接．

(1)若的周長為19，的周長為7，求的長．(2)若，，求∠CDE的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算即可．【詳解】（1）解：∵是線段的垂直平分線，∴，∵的周長為19，的周長為7，∴，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵．【變式6-2】．（23-24八年級上·安徽六安·階段練習）如圖，中，是的中點，過點的直線交于，交的平行線于點，，交于點，連接、．(1)求證：；(2)請你判斷與的大小關系，并說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)【分析】本題考查三角形全等的判定方法，垂直平分線的性質(zhì)，掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．（1）先利用判定，從而得出；（2）再利用全等的性質(zhì)可得，再有，從而得出，兩邊和大于第三邊從而得出．【詳解】（1）證明：，．為的中點，又，在與中，．．（2）證明：．，，．又，（垂直平分線到線段端點的距離相等）．在中，，即．考點7.線段垂直平分線與角平分線的綜合運用【例7】如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.(1)找出圖中相等的線段；(2)OE，OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AD，,OC＝OD，,AO＝AO，))∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.方法總結：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關鍵．【變式7-1】．（23-24八年級上·山東德州·階段練習）如圖，在中，，平分交于點，垂直平分于點D．

(1)求證：(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理及線段垂直平分線的性質(zhì)定理；（1）由題意易得，然后問題可求證；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理可知，然后問題可求解．【詳解】（1）解：，平分，，，在和中，，；（2）解：由（1）可知：，∵垂直平分，∴，．【變式7-2】（2023春·陜西榆林·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，垂直平分，平分，，交的延長線于點．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，與的周長之差為8cm，且的面積為，求的面積．【答案】(1)(2)的面積為【分析】（1）由角平分線的定義可得，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到，由三角形外角的性質(zhì)可求出，最后由三角形內(nèi)角和定理進行計算即可；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，由與的周長之差為8cm計算可得，由角平分線的性質(zhì)可得，由三角形的面積可求得，最后由三角形的面積公式進行計算即可．【詳解】（1）解：∵平分，∴．垂直平分，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：垂直平分，∴，，∵與的周長之差為8cm，∴，∵平分，，∴，∵，的面積為，∴，∴，∴的面積，答：的面積為．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．考點8.線段垂直平分線的判定【例8】如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試說明AD與EF的關系．解析：先利用角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF，再證△AED≌△AFD，易證AD垂直平分EF.解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF.在△ADE和△ADF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAE＝∠DAF，,∠AED＝∠AFD，,AD＝AD，))∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.方法總結：當一條直線上有兩點都在同一線段的垂直平分線上時，這條直線就是該線段的垂直平分線，解題時常需利用此性質(zhì)進行線段相等關系的轉(zhuǎn)化．【變式8-1】（2023秋·八年級課時練習）如圖，為的角平分線，，請判斷線段所在的直線是否為線段的垂直平分線，如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

【分析】方法一：定義法：如圖，設與的交點為O．通過證明，得到，．進而得出．即可得出線段所在的直線是線段EF的垂直平分線．方法二：判定定理法：通過證明，得出．則點D在線段EF的垂直平分線上．根據(jù)，得出點A在線段的垂直平分線上．即可得出線段所在的直線是線段EF的垂直平分線．【詳解】線段所在的直線是線段EF的垂直平分線．證明如下：方法一：定義法：如圖，設與的交點為O．∵是的平分線，∴．在和中，∴，∴（此處得到后，也可根據(jù)判定定理法證明），．又∵，∴，即．∴線段所在的直線是線段EF的垂直平分線．方法二：判定定理法：∵是的平分線，∴．在和中，∴，∴．∴點D在線段的垂直平分線上．又∵，∴點A在線段的垂直平分線上．∴線段所在的直線是線段EF的垂直平分線．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定，解題的關鍵是掌握全等三角形對應邊相等，對應角相等；垂直平分線上的點到兩端距離相等．【變式8-2】（2023秋·江蘇·八年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）如圖，已知，點P為的平分線上一點，，，垂足分別為E、F(1)求證∶(2)若，求證：點P在的垂直平分線上．【分析】（1）通過證明，即可求證；（2）連接、，通過證明，得到，即可求證．【詳解】（1）證明：∵點P為的平分線上一點∴∵，∴在和中∴∴（2）證明：連接、，如下圖：由（1）可得：又∵，∴∴∴點P在的垂直平分線上【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)．【變式8-3】（2023春·湖南郴州·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，為的平分線，于點E，于點F．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若的面積是，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，說明點D在的垂直平分線上，證明，得出，說明點A在的垂直平分線上，即可證明結論；（2）根據(jù)，，得出求出結果即可．【詳解】（1）證明：∵為的平分線，，，∴，∴點D在的垂直平分線上，∵，∴，∴，∴點A在的垂直平分線上，∴是的垂直平分線；（2）解：∵，∴，即，解得：．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形面積的計算，解題的關鍵是熟練掌握垂線平分線的判定和角平分線上的點到角的兩邊距離相等．考點9.垂直平分線的作法【例9】如圖，點A和點B關于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？(注：作一對對應點的對稱軸就是作線段AB的垂直平分線)解析：本題其實就是作線段AB的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的作法作出即可．解：作法：(1)分別以點A、B為圓心，以大于eq\f(1,2)AB的長為半徑作弧，兩弧相交于E、F兩點；(2)作直線EF，EF即為所求的直線．同樣，對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應點，作出對應點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸．方法總結：要熟練掌握線段垂直平分線的作法，作出的圖形中的作圖痕跡要保留．【變式9-1】如圖，已知點A、點B以及直線l.(1)用尺規(guī)作圖的方法在直線l上求作一點P，使PA＝PB.(保留作圖痕跡，不要求寫出作法)；(2)在(1)中所作的圖中，若AM＝PN，BN＝PM，求證：∠MAP＝∠NPB.解析：(1)利用線段垂直平分線的作法作出即可；(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性質(zhì)得出即可．解：(1)如圖所示：(2)在△AMP和△BNP中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AM＝PN，,PM＝BN，,AP＝BP，))∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.方法總結：解決此類問題首先要正確作出圖形，然后運用相關的知識解決其他問題．【變式9-2】如圖，某地由于居民增多，要在公路l邊增加一個公共汽車站，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，這個公共汽車站C建在什么位置，能使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法)?解析：作線段AB的垂直平分線，由垂直平分線的定理可知，垂直平分線上的點到A，B的距離相等．解：連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于O，交AB于E.∵EO是線段AB的垂直平分線，∴點O到A，B的距離相等，∴這個公共汽車站C應建在O點處，才能使到兩個小區(qū)的路程一樣長．方法總結：對于作圖題首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．【變式9-3】如圖，某地有兩所大學和兩條交叉的公路．圖中點M，N表示大學，OA，OB表示公路，現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫P應該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設計．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)解析：到兩條公路的距離相等，在這兩條公路的夾角的平分線上；到兩所大學的距離相等，在這兩所大學兩個端點的連線的垂直平分線上，所畫兩條直線的交點即為所求的位置．解：如圖，點P為所求．方法總結：通過本題要熟練地掌握角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法．考點10.對稱軸的畫法【例10】畫出下列軸對稱圖形的所有對稱軸(不考慮顏色)．解析：利用軸對稱圖形的性質(zhì)分別得出其對稱軸即可．解：如圖所示：方法總結：畫軸對稱圖形的對稱軸，先找出對稱點，然后作對稱點的垂直平分線即可．【變式10-1】作出下列各圖形的一條對稱軸，和同學比較一下，你們作出的對稱軸一樣嗎？【答案】見解析【分析】依據(jù)軸對稱圖形的概念，即在平面內(nèi)，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線就是其對稱軸，據(jù)此即可解答．【詳解】解：根據(jù)分析畫各圖的對稱軸如下：．【點睛】本題考查了畫對稱軸，根據(jù)軸對稱圖形的特征，作一個圖形的對稱軸時，可連結兩個對稱點，對稱軸就是對稱點連線的垂直平分線．【變式10-2】試確定如圖所示的正多邊形的對稱軸的條數(shù)，一般地，一個正n邊形有多少條對稱軸？【答案】3條，4條，5條，6條，8條；一個正n邊形有n條對稱軸．【分析】根據(jù)圖形的性質(zhì)，分別找出對稱軸的條數(shù)【詳解】正三角形的對稱軸為三條高線所在的直線，共3條對稱軸，正方形的對稱軸為兩條對角線所在的直線，和兩條對邊中點連線所在的直線，共4條對稱軸，正五邊形的對稱軸為各邊中點與其所對的角的頂點的連線所在的直線，共5個頂點，則共5條對稱軸，正六邊形的對稱軸與正方形的類似，3條對角線所在的直線，和3條對邊中點連線所在的直線，共6條對稱軸，正八邊形的對稱軸與正方形，正六邊形的類似，4條對角線所在的直線，和4條對邊中點連線所在的直線，共8條對稱軸，一般地，一個正n邊形有n條對稱軸．【點睛】本題考查了正多邊形的對稱軸的條數(shù)，理解軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵．【變式10-3】如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，陰影部分是由4個正方形組成的一個圖形，請你用兩種方法分別在如圖方格內(nèi)填涂2個小正方形，使這6個小正方形組成的圖形是軸對稱圖形，并畫出其對稱軸．解析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出圖形即可．解：如圖所示：方法總結：解答此類問題，一般要先設計出軸對稱圖形，然后根據(jù)圖形的特點，畫出對稱軸．一．選擇題（共5小題）1．（2024?大連一模）下列手機中的圖標是軸對稱圖形的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，進行判斷即可．【解答】解：．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；．是軸對稱圖形，故此選項符合題意；．不是軸對稱圖形，故此選項不合題意．故選：．【點評】本題考查的是軸對稱圖形的概念，正確掌握相關定義是解題關鍵．2．（2024?河北）如圖，與交于點，和關于直線對稱，點，的對稱點分別是點，．下列不一定正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)和關于直線對稱得出，，，然后逐項判斷即可．【解答】解：如圖，連接、，和關于直線對稱，，，，，故、、選項正確，不一定垂直，故選項不一定正確，故選：．【點評】本題考查軸對稱的性質(zhì)，關于某條直線對稱的兩個三角形全等，對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．3．（2023秋?海口期末）如圖，中，是的垂直平分線，若，的周長為19，則的周長為A．13 B．14 C．15 D．16【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得，；根據(jù)的周長為19，則，可得到，即可得到的周長．【解答】解：是的垂直平分線，，，，的周長為19，，，的周長為，故選：．【點評】本題考查線段的垂直平分線，解題的關鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長公式．4．（2023秋?太和縣期中）墻上有一面鏡子，鏡子對面的墻上有一個數(shù)字式電子鐘．如果在鏡子里看到該電子鐘的時間顯示如圖所示，那么它的實際時間是A． B． C． D．【分析】如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．由此即可求解．【解答】解：如圖所示，根據(jù)題意作對稱圖，故選：．【點評】本題主要考查軸對稱的圖形的識別，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關鍵．5．（2023秋?鳳山縣期末）如圖，在的方格紙中有一個以格點為頂點的，則與成軸對稱且以格點為頂點三角形共有A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】解答此題首先找到的對稱軸，、、，等都可以是它的對稱軸，然后依據(jù)對稱找出相應的三角形即可．【解答】解：與成軸對稱且以格點為頂點三角形有、、、，共5個，故選：．【點評】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)；找著對稱軸后畫圖是正確解答本題的關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2023秋?陽谷縣期中）數(shù)學在我們的生活中無處不在，就連小小的臺球桌上都有數(shù)學問題，如圖所示，，若，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證為．【分析】根據(jù)圖形得出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【解答】解：，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了臺球桌上的軸對稱問題，利用數(shù)形結合的思想解決問題是解題關鍵．7．（2023秋?閔行區(qū)期末）如圖，在中，分別作、的垂直平分線，交于點、，垂足為、，若，則40度．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，得到，，結合圖形計算，得到答案．【解答】解：，，邊，的垂直平分線分別交于點，，，，，，，，故選：40．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．8．（2024春?新鄭市期末）如圖，中，的垂直平分線交于點，若的周長