新高考版2024年高考數(shù)學(xué)必刷壓軸題專題02函數(shù)概念與基本初等函數(shù)選填壓軸題學(xué)生版

專題02函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（選填壓軸題）一、函數(shù)及其表示1．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．2．（2024·北京師大附中高一期末）已知函數(shù)，，其中，若，，使得成立，則（

）A． B． C． D．3．（2024·河南南陽·高一期末）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)開_____．4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是_______．5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，則的定義域?yàn)開______.6．（2024·江西·贛州市贛縣第三中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)的值域?yàn)開_____．7．（2024·上海·高三專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開____.8．（2024·上?！つM預(yù)料）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是________.9．（2024·全國·高一）函數(shù)的值域是________________．10．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在閉區(qū)間上的值域?yàn)?，則的最大值為________.二、函數(shù)的基本性質(zhì)1．（2024·江蘇·海安高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，則使不等式成立的的取值范圍是A． B．C． D．2．（2024·江蘇·高一單元測試）已知函數(shù)的定義域是，且滿意，，假如對于，都有，不等式的解集為

（

）A． B． C． D．3．（2024·吉林·梅河口市第五中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿意，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)，時，，，若對，，，，使得，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．， B．， C．， D．，5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（），函數(shù)（）.若隨意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．（多選）（2024·湖北·沙市中學(xué)高一期末）定義在R上的函數(shù)滿意，且當(dāng)時，，，若任給，存在，使得，則實(shí)數(shù)a的取值可以為（

）A． B． C． D．7．（2024·河北·高三階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為2，且在上單調(diào)遞增，則a的范圍是______，的最小值為______.8．（2024·全國·模擬預(yù)料）已知函數(shù)的定義域，對隨意的，，都有，若在上單調(diào)遞減，且對隨意的，恒成立，則的取值范圍是______．9．（2024·河北省唐縣第一中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_________．10．（2024·山西呂梁·高一期末）已知函數(shù)在區(qū)間（-1，2）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．11．（2024·安徽省舒城中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若對隨意的，總存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.12．（2024·上海·曹楊二中高一期末）已知常數(shù)，函數(shù)、的表達(dá)式分別為、．若對隨意，總存在，使得，則a的最大值為______．13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對隨意的正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.14．（2024·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知t為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則_____________15．（2024·重慶市萬州其次高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)（）假如對隨意，，則的取值范圍為_____________.16．（2024·浙江寧波·高一期末）已知，若對恒成立，則實(shí)數(shù)___________.17．（2024·湖南長沙·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，a為常數(shù).若對于隨意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.18．（2024·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對隨意的，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，對于隨意的實(shí)數(shù)a，b，總存在，使得成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.三、分段函數(shù)1．（2024·江蘇南京·三模）已知，若?x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A．（－1，＋∞） B．C．（0，＋∞） D．2．（2024·河南·二模（理））已知函數(shù)，若，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·寧夏·銀川一中三模（文））已知的最小值為2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·北京豐臺·一模）已知函數(shù)無最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·四川攀枝花·二模（文））已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)則當(dāng)時，函數(shù)有______個零點(diǎn)；記函數(shù)的最大值為，則的值域?yàn)開_____.7．（2024·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，給出下列命題：（1）無論取何值，恒有兩個零點(diǎn)；（2）存在實(shí)數(shù)，使得的值域是；（3）存在實(shí)數(shù)使得的圖像上關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)有兩對；（4）當(dāng)時，若的圖象與直線有且只有三個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.其中，全部正確命題的序號是___________.8．（2024·貴州·遵義市南白中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程（）恰好有6個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_______.9．（2024·河南·鶴壁中學(xué)模擬預(yù)料（文））已知，若存在，使得，則的取值范圍為___________.四、函數(shù)的圖象1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的圖象大致是（

）A． B．C． D．2．（2024·浙江省三門中學(xué)高三期中）已知函數(shù)的圖像如圖，則該函數(shù)的解析式可能是（

）A． B． C． D．3．（2024·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期中）已知函數(shù)，則其圖像可能是（

）A． B． C． D．4．（多選）（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．5．（多選）（2024·福建·莆田二中高三開學(xué)考試）函數(shù)的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．6．（多選）（2024·河北省唐縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知的圖像可能是（

）A． B．C． D．五、二次函數(shù)1．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模（理））已知二次函數(shù)（其中）存在零點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)和．記M為三個數(shù)，，的最大值，則M的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）設(shè)表示函數(shù)在閉區(qū)間I上的最大值．若正實(shí)數(shù)a滿意，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·界首中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，且在上的最大值為，若函數(shù)有四個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）4．（2024·湖南長沙·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，a為常數(shù).若對于隨意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.5．（2024·浙江·高三專題練習(xí)）對于函數(shù)，若存在，使，則稱是函數(shù)與圖象的一對“雷點(diǎn)”．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，恒有，且當(dāng)時，．若函數(shù)與的圖象恰好存在一對“雷點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____________________．6．（2024·江西·貴溪市試驗(yàn)中學(xué)高二期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.7．（2024·湖北·一模）若函數(shù)的定義域?yàn)?，對隨意的，當(dāng)時，都有，則稱函數(shù)f（x）是關(guān)于D關(guān)聯(lián)的.已知函數(shù)是關(guān)于{4}關(guān)聯(lián)的，且當(dāng)時，.則：①當(dāng)時，函數(shù)的值域?yàn)開__________；②不等式的解集為___________.六、指對冪函數(shù)1．（2024·山西·太原五中高三階段練習(xí)（理））正實(shí)數(shù)滿意，則實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（2024·山東·模擬預(yù)料）若，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東·模擬預(yù)料）已知，且，則之間的大小關(guān)系是__________.（用“”連接）4．（2024·上?！とA東師范高校附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對隨意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．5．（2024·云南·曲靖一中高二期中）函數(shù)，，對，都成立，則的取值范圍（用區(qū)間表示）是_______6．（2024·江西宜春·模擬預(yù)料（文））若，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.7．（2024·天津·二模）已知，則的最小值為__________.8．（2024·陜西·榆林市第十中學(xué)高二期中（文））要使函數(shù)在時恒大于0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.七、函數(shù)與方程1．（2024·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)料）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．2．（2024·安徽·蚌埠二中模擬預(yù)料（理））已知，，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·甘肅·臨澤縣第一中學(xué)高二期中（文））若函數(shù)在區(qū)間上有2個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·山西·太原五中高三階段練習(xí)（理））正實(shí)數(shù)滿意，則實(shí)數(shù)之間的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)料）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，是函數(shù)的零點(diǎn)，若，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2024·浙江·效實(shí)中學(xué)模擬預(yù)料）已知函數(shù)，對隨意的實(shí)數(shù)a，b，c，關(guān)于x的方程的解集不行能是（

）A． B． C． D．7．（2024·陜西·模擬預(yù)料（理））已知是方程的根，是方程的根，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．108．（2024·福建南平·三模）已知函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)___________.9．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（文））若，，，則x、y、z由小到大的依次是___________.八、新定義題1．（2024·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A．{0，} B．{，1} C．{0，1} D．{，0，1}2．（2024·廣東·華南師大附中高一期中）高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．3．（2024·上海民辦南模中學(xué)高三階段練習(xí)）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名命名狄利克雷函數(shù)的解析式為，關(guān)于狄利克雷函數(shù)，下列說法不正確的是（

）．A．對隨意，B．函數(shù)是偶函數(shù)C．隨意一個非零實(shí)數(shù)T都是的周期D．存在三個點(diǎn)、、，使得為正三角形4．（2024·新疆·一模（理））德國聞名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一．以其命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．的值域?yàn)镃．，D．隨意一個非零有理數(shù)T，對隨意恒成立5．（2024·河南·鶴壁中學(xué)模擬預(yù)料（文））黎曼函數(shù)是一個特別的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)覺并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用．黎曼函數(shù)定義在上，其解析式為：．若函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且對隨意x都有，當(dāng)時，，則（

）A． B． C． D．6．（2024·吉林長春·模擬預(yù)料（文））納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對數(shù)的獨(dú)創(chuàng)，著有《奇異的對數(shù)定律說明書》，并且獨(dú)創(chuàng)了對數(shù)尺，可以利用對數(shù)尺查詢出隨意一對數(shù)值．現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，假如物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻約5分鐘后，物體的溫度是30℃，若依據(jù)對數(shù)尺可以查詢出，則空氣溫度約是（

）A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃7．（2024·安徽·淮南其次中學(xué)高二階段練習(xí)）納皮爾在他的《奇異的對數(shù)表》一書中說過：沒有什么比大數(shù)的運(yùn)算更讓數(shù)學(xué)工作者頭痛，更阻礙了天文學(xué)的發(fā)展.許凱和斯蒂菲爾這兩個數(shù)學(xué)家都想到了構(gòu)造了如下一個雙數(shù)列模型的方法處理大數(shù)運(yùn)算.012345678910124816326412825651210241112…19202122232425…20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如，我們發(fā)覺512是9個2相乘，1024是10個2相乘.這兩者的積，其實(shí)就是2的個數(shù)做一個加法.所以只須要計算.那么接下來找到19對應(yīng)的數(shù)524288，這就是結(jié)果了.若，則落在區(qū)間（

）A． B． C． D．8．（2024·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學(xué)松山分校高一期末（文））納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對數(shù)的獨(dú)創(chuàng)，著有《奇異的對數(shù)定律說明書》，并且獨(dú)創(chuàng)了對數(shù)尺，可以利用對數(shù)尺查詢出隨意一對數(shù)值.現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，假如物體原來的溫度是（℃），空氣的溫度是（℃），經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻2.5236分鐘后，物體的溫度是50℃，若依據(jù)對數(shù)尺可以查詢出，則空氣溫度是（）A．5℃ B．10℃ C．15℃ D．20℃9．（2024·山西·朔州市平魯區(qū)李林中學(xué)高一階段練習(xí)）16、17世紀(jì)，隨著社會各領(lǐng)域的科學(xué)學(xué)問快速發(fā)展，浩大的數(shù)學(xué)計算需求對數(shù)學(xué)運(yùn)算提出了更高要求，改進(jìn)計算方法，提高計算速度和精確度成了當(dāng)務(wù)之急．蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾獨(dú)創(chuàng)了對數(shù)，是簡化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，恩格斯曾把納皮爾的對數(shù)稱為十七世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)獨(dú)創(chuàng)之一．已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（是自然對數(shù)的底數(shù)）（

）A． B． C． D．10．（2024·新疆石河子一中高三階段練習(xí)（理））16、17世紀(jì)之交，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾獨(dú)創(chuàng)了對數(shù)，在此基礎(chǔ)上，布里格斯制作了第一個常用對數(shù)表，在科學(xué)技術(shù)中，還常運(yùn)用以無理數(shù)e為底數(shù)的自然對數(shù)，其中稱之為“歐拉數(shù)”，也稱之為“納皮爾數(shù)”對數(shù)是簡化大數(shù)運(yùn)算的有效工具，依據(jù)下表數(shù)據(jù)，的計算結(jié)果約為（

）x1.31023.1903.7974.71557.3970.27000.69311.16001.33421.5501.60942.001A．3.797 B．4.715 C．5 D．7.39711．（2024·福建泉州·模擬預(yù)料）1883年，德國數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其具體構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間平均分成一段，去掉中間的一段，剩下兩個閉區(qū)間和；其次步，將剩下的兩個閉區(qū)間分別平均分為二段，各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：，，，；如此不斷的構(gòu)造下去，最終剩下的各個區(qū)間段就構(gòu)成了二分康托集.若閱歷步構(gòu)造后，不屬于剩下的閉區(qū)間，則的最小值是（

）A．7 B．8 C．9 D．1012．（2024·全國·高三專題練習(xí)）廣為人知的太極圖，其形態(tài)如陰陽兩魚互糾在一起，因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個圖形是一個圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個半圓．已知符號函數(shù)，則當(dāng)時，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（

）A． B．C． D．13．（多選）（2024·安徽·高一期中）高斯是德國聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)敘述正確的是（

）A．為奇函數(shù) B． C．在上單調(diào)遞增 D．有最大值無最小值14．（多選）（2024·貴州貴陽·高一期末）歷史上第一個給出函數(shù)一般定義的是19世紀(jì)數(shù)學(xué)家秋利克需（Dirichlet），他是最早提倡嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一，狄利克雷在1829年給出了聞名的狄利克雷函數(shù)：（Q是有理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家們對數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變更，從探討“算”轉(zhuǎn)變到了探討“概念?性質(zhì)?結(jié)構(gòu)”.一般地，廣文的秋利克雷函數(shù)可以定義為：（其中，且）.以下對說法正確的有（

）A．的定義域?yàn)镽 B．是非奇非偶函數(shù)C．在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性 D．隨意非零有理數(shù)均是的周期15．（多選）（2024·吉林·農(nóng)安縣老師進(jìn)修學(xué)校高一期末）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個特別重要的不動點(diǎn)定理，它可以應(yīng)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動點(diǎn)定理的基石.布勞威爾不動點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡潔地講就是對于滿意確定條件的連續(xù)函數(shù)，假如存在一個點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)函數(shù)”，下列為“不動點(diǎn)函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．16．（多選）（2024·吉林油田高級中學(xué)高一期中）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個特別重要的不動點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動點(diǎn)定理的基石.布勞威爾不動點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾（L.E.J.Brouwer），簡潔的講就是對于滿意確定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動點(diǎn)”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．17．（多選）（2024·山東·廣饒一中高一開學(xué)考試）中國傳統(tǒng)文化中許多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖呈現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美，定義：圓O的圓心在原點(diǎn)，若函數(shù)的圖像將圓O的周長和面積同時等分成兩部分，則這個函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”，則（

）A．對于圓O，其“太極函數(shù)”有1個B．函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”C．函數(shù)不是圓O的“太極函數(shù)”D．函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”18．（2024·山東·德州市教化科學(xué)探討院二模）十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，聞名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段：操作過程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”，第三次操作后，依次從左到右第三個區(qū)間為___________，若使前n次操作去掉的全部區(qū)間長度之和不小于，則須要操作的次數(shù)n的最小值為____________．(，)19．（2024·江蘇常州·高一期末）德國數(shù)學(xué)家康托（Cantor）創(chuàng)立的集合論奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．聞名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其構(gòu)造的操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第次操作；以此類推，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進(jìn)行下去，以至無窮，剩下的元素構(gòu)成的集合為“康托三分集”．定義區(qū)間長度為，則構(gòu)造“康托三分集”的第次操作去掉的各區(qū)間的長度之和為______，若第次操作去掉的各區(qū)間的長度之和小于，則的最小值為______．（參考數(shù)據(jù)：，）20．（2024·浙江·樂清市知臨中學(xué)高二期中）黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個特別函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)覺并提出，黎曼函數(shù)定義在上，其定義為，則________．21．（2024·河南新鄉(xiāng)·三模（理））黎曼函數(shù)是一個特別的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)覺并提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在上，其解析式如下：若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且對隨意x都有，當(dāng)時，，則___________.22．（2024·全國·高一單元測試）黎曼函數(shù)是一個特別的函數(shù)，由德國聞名的數(shù)學(xué)家波恩哈德·黎曼發(fā)覺提出，