備考2024高考一輪總復習數(shù)學人教a版第七章§7.2　球的切、接問題　培優(yōu)課

§7.2球的切、接問題題型一定義法例1(1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，則四面體PABC的外接球(頂點都在球面上)的體積為()A．πB.eq\r(3)πC．2πD.eq\f(\r(3)π,2)答案D解析如圖，取PC的中點O，連接OA，OB，由題意得PA⊥BC，又因為AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，在Rt△PBC中，OB＝eq\f(1,2)PC，同理OA＝eq\f(1,2)PC，所以OA＝OB＝OC＝eq\f(1,2)PC，因此P，A，B，C四點在以O為球心的球面上，在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(2).在Rt△PAC中，PC＝eq\r(PA2＋AC2)＝eq\r(3)，球O的半徑R＝eq\f(1,2)PC＝eq\f(\r(3),2)，所以球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))3＝eq\f(\r(3)π,2).延伸探究本例(1)條件不變，則四面體P－ABC的內(nèi)切球的半徑為________．答案eq\f(\r(2)－1,2)解析設四面體P－ABC的內(nèi)切球半徑為r.由本例(1)知，S△PAC＝eq\f(1,2)PA·AC＝eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),2)，S△PAB＝eq\f(1,2)PA·AB＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，S△PBC＝eq\f(1,2)PB·BC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×1＝eq\f(\r(2),2)，VP－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB·BC·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，VP－ABC＝eq\f(1,3)(S△PAC＋S△PAB＋S△ABC＋S△PBC)·r＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(\r(2),2)))·r＝eq\f(1,6)，∴r＝eq\f(\r(2)－1,2).(2)在矩形ABCD中，BC＝4，M為BC的中點，將△ABM和△DCM分別沿AM，DM翻折，使點B與點C重合于點P，若∠APD＝150°，則三棱錐M－PAD的外接球的表面積為()A．12π B．34πC．68π D．126π答案C解析如圖，由題意可知，MP⊥PA，MP⊥PD.且PA∩PD＝P，PA?平面PAD，PD?平面PAD，所以MP⊥平面PAD.設△ADP的外接圓的半徑為r，則由正弦定理可得eq\f(AD,sin∠APD)＝2r，即eq\f(4,sin150°)＝2r，所以r＝4.設三棱錐M－PAD的外接球的半徑為R，則(2R)2＝PM2＋(2r)2，即(2R)2＝4＋64＝68，所以4R2＝68，所以外接球的表面積為4πR2＝68π.思維升華到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點距離也是半徑，列關系式求解即可．跟蹤訓練1(1)一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為eq\f(9,8)，底面周長為3，則這個球的體積為________．答案eq\f(4π,3)解析設正六棱柱的底面邊長為x，高為h，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＝3，,\f(9,8)＝6×\f(\r(3),4)x2h，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,h＝\r(3).))∴正六棱柱的底面外接圓的半徑r＝eq\f(1,2)，球心到底面的距離d＝eq\f(\r(3),2).∴外接球的半徑R＝eq\r(r2＋d2)＝1.∴V球＝eq\f(4π,3).(2)(2022·哈爾濱模擬)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為()A.eq\f(16π,3)B.eq\f(76π,3)C.eq\f(64π,3)D.eq\f(19π,3)答案A解析如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，取AD的中點E，則PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，則PE⊥AB，由AD⊥AB，AD∩PE＝E，AD，PE?平面PAD，可知AB⊥平面PAD，由△PAD為等邊三角形，E為AD的中點知，PE的三等分點F(距離E較近的三等分點)是三角形的中心，過F作平面PAD的垂線，過矩形ABCD的中心O作平面ABCD的垂線，兩垂線交于點I，則I即外接球的球心．OI＝EF＝eq\f(1,3)PE＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，AO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(5),2)，設外接球半徑為R，則R2＝AI2＝AO2＋OI2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)))2＝eq\f(4,3)，所以四棱錐P－ABCD的外接球表面積為S＝4πR2＝4π×eq\f(4,3)＝eq\f(16π,3).題型二補形法例2(1)在四面體ABCD中，若AB＝CD＝eq\r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝eq\r(5)，則四面體ABCD的外接球的表面積為()A．2πB．4πC．6πD．8π答案C解析由題意可采用補形法，考慮到四面體ABCD的對棱相等，所以將四面體放入一個長、寬、高分別為x，y，z的長方體，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，則有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R為外接球的半徑)，得2R2＝3，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝6π.(2)(2022·重慶實驗外國語學校月考)如圖，在多面體中，四邊形ABCD為矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通過添加一個三棱錐可以將該多面體補成一個直三棱柱，那么添加的三棱錐的體積為________，補形后的直三棱柱的外接球的表面積為________．答案eq\f(1,3)6π解析如圖添加的三棱錐為直三棱錐E－ADF，可以將該多面體補成一個直三棱柱ADF－BCE，因為CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，所以S△CBE＝eq\f(1,2)CE×BC＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，直三棱柱ADF－BCE的體積為V＝S△EBC·DC＝eq\f(1,2)×2＝1，添加的三棱錐的體積為eq\f(1,3)V＝eq\f(1,3)；如圖，分別取AF，BE的中點M，N，連接MN，與AE交于點O，因為四邊形AFEB為矩形，所以O為AE，MN的中點，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，F(xiàn)D⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面為等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即為點O，連接DO，DO即為球的半徑，連接DM，因為DM＝eq\f(1,2)AF＝eq\f(\r(2),2)，MO＝1，所以DO2＝DM2＋MO2＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2)，所以外接球的表面積為4π·DO2＝6π.思維升華(1)補形法的解題策略①側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；②直三棱錐補成三棱柱求解．(2)正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(3)長方體的共頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).跟蹤訓練2已知三棱錐P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為()A.eq\f(7\r(14),3)πB．14πC．56πD.eq\r(14)π答案B解析以線段PA，PB，PC為相鄰三條棱的長方體PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱錐P－ABC符合要求，如圖，長方體PAB′B－CA′P′C′與三棱錐P－ABC有相同的外接球，其外接球直徑為長方體體對角線PP′，設外接球的半徑為R，則(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，則所求表面積S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.題型三截面法例3(1)(2021·全國甲卷)已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐O－ABC的體積為()A.eq\f(\r(2),12)B.eq\f(\r(3),12)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(3),4)答案A解析如圖所示，因為AC⊥BC，所以AB為截面圓O1的直徑，且AB＝eq\r(2).連接OO1，則OO1⊥平面ABC，OO1＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，所以三棱錐O－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC×OO1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),12).(2)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．答案eq\f(\r(2),3)π解析圓錐內(nèi)半徑最大的球即為圓錐的內(nèi)切球，設其半徑為r.作出圓錐的軸截面PAB，如圖所示，則△PAB的內(nèi)切圓為圓錐的內(nèi)切球的大圓．在△PAB中，PA＝PB＝3，D為AB的中點，AB＝2，E為切點，則PD＝2eq\r(2)，△PEO∽△PDB，故eq\f(PO,PB)＝eq\f(OE,DB)，即eq\f(2\r(2)－r,3)＝eq\f(r,1)，解得r＝eq\f(\r(2),2)，故內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(\r(2),3)π.思維升華(1)與球截面有關的解題策略①定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；②作截面：選準最佳角度作出截面，達到空間問題平面化的目的．(2)正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長)．跟蹤訓練3(1)(2022·成都模擬)已知圓柱的兩個底面的圓周在體積為eq\f(32π,3)的球O的球面上，則該圓柱的側(cè)面積的最大值為()A．4πB．8πC．12πD．16π答案B解析如圖所示，設球O的半徑為R，由球的體積公式得eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3)，解得R＝2.設圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，則r＝2cosα，圓柱的高為4sinα，∴圓柱的側(cè)面積為4πcosα×4sinα＝8πsin2α，當且僅當α＝eq\f(π,4)，sin2α＝1時，圓柱的側(cè)面積最大，∴圓柱的側(cè)面積的最大值為8π.(2)(2022·長沙檢測)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________．答案eq\f(9π,2)解析易知AC＝10.設△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.因為2r＝4>3，所以最大球的直徑2R＝3，即R＝eq\f(3,2)，此時球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9π,2).課時精練1．正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為()A.eq\r(3) B．3eq\r(3)C．3 D.eq\f(1,3)答案C解析設正方體的外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，棱長為1，則正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，即2R＝eq\r(3)，所以R＝eq\f(\r(3),2)，正方體內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長，即2r＝1，即r＝eq\f(1,2)，所以eq\f(R,r)＝eq\r(3)，正方體的外接球與內(nèi)切球的表面積之比為eq\f(4πR2,4πr2)＝eq\f(R2,r2)＝3.2．(2022·開封模擬)已知一個圓錐的母線長為2eq\r(6)，側(cè)面展開圖是圓心角為eq\f(2\r(3)π,3)的扇形，則該圓錐的外接球的體積為()A．36π B．48πC．36 D．24eq\r(2)答案A解析設圓錐的底面半徑為r，由側(cè)面展開圖是圓心角為eq\f(2\r(3)π,3)的扇形，得2πr＝eq\f(2\r(3)π,3)×2eq\r(6)，解得r＝2eq\r(2).作出圓錐的軸截面如圖所示．設圓錐的高為h，則h＝eq\r(2\r(6)2－2\r(2)2)＝4.設該圓錐的外接球的球心為O，半徑為R，則有R＝eq\r(h－R2＋r2)，即R＝eq\r(4－R2＋2\r(2)2)，解得R＝3，所以該圓錐的外接球的體積為eq\f(4πR3,3)＝eq\f(4π×33,3)＝36π.3．已知各頂點都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為()A．16π B．20πC．24π D．32π答案A解析如圖所示，在正四棱錐P－ABCD中，O1為底面對角線的交點，O為外接球的球心．VP－ABCD＝eq\f(1,3)×S正方形ABCD×3＝6，所以S正方形ABCD＝6，即AB＝eq\r(6).因為O1C＝eq\f(1,2)eq\r(6＋6)＝eq\r(3).設正四棱錐外接球的半徑為R，則OC＝R，OO1＝3－R，所以(3－R)2＋(eq\r(3))2＝R2，解得R＝2.所以外接球的表面積為4π×22＝16π.4．已知棱長為1的正四面體的四個頂點都在一個球面上，則這個球的體積為()A.eq\f(\r(6),8)πB.eq\f(\r(6),4)πC.eq\f(\r(3),8)πD.eq\f(\r(3),4)π答案A解析如圖將棱長為1的正四面體B1－ACD1放入正方體ABCD－A1B1C1D1中，且正方體的棱長為1×cos45°＝eq\f(\r(2),2)，所以正方體的體對角線AC1＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),2)，所以正方體外接球的直徑2R＝AC1＝eq\f(\r(6),2)，所以正方體外接球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))3＝eq\f(\r(6),8)π，因為正四面體的外接球即為正方體的外接球，所以正四面體的外接球的體積為eq\f(\r(6),8)π.5．(2021·天津)兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為eq\f(32π,3)，兩個圓錐的高之比為1∶3，則這兩個圓錐的體積之和為()A．3πB．4πC．9πD．12π答案B解析如圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點D，設圓錐AD和圓錐BD的高之比為3∶1，即AD＝3BD，設球的半徑為R，則eq\f(4πR3,3)＝eq\f(32π,3)，可得R＝2，所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，所以BD＝1，AD＝3，因為CD⊥AB，AB為球的直徑，所以△ACD∽△CBD，所以eq\f(AD,CD)＝eq\f(CD,BD)，所以CD＝eq\r(AD·BD)＝eq\r(3)，因此，這兩個圓錐的體積之和為eq\f(1,3)π×CD2·(AD＋BD)＝eq\f(1,3)π×3×4＝4π.6．(2022·蚌埠模擬)粽子，古時北方也稱“角黍”，是由粽葉包裹糯米、泰米等餡料蒸煮制成的食品，是中國漢族傳統(tǒng)節(jié)慶食物之一，端午食粽的風俗，千百年來在中國盛行不衰，粽子形狀多樣，餡料種類繁多，南北方風味各有不同，某四角蛋黃粽可近似看成一個正四面體，蛋黃近似看成一個球體，且每個粽子里僅包裹一個蛋黃，若粽子的棱長為9cm，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積約為(參考數(shù)據(jù)：eq\r(6)≈2.45，π≈3.14)()A．20cm3 B．22cm3C．26cm3 D．30cm3答案C解析如圖，正四面體ABCD，其內(nèi)切球O與底面ABC切于O1，設正四面體棱長為a，內(nèi)切球半徑為r，連接BO1并延長交AC于F，易知O1為△ABC的中心，點F為邊AC的中點．易得BF＝eq\f(\r(3),2)a，則S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，BO1＝eq\f(2,3)BF＝eq\f(\r(3),3)a，∴DO1＝eq\r(BD2－BO\o\al(2,1))＝eq\f(\r(6),3)a，∴VD－ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·DO1＝eq\f(\r(2),12)a3，∵VD－ABC＝VO－ABC＋VO－BCD＋VO－ABD＋VO－ACD＝4VO－ABC＝4×eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2·r＝eq\f(\r(3),3)a2r，∴eq\f(\r(3),3)a2r＝eq\f(\r(2),12)a3?r＝eq\f(\r(6),12)a，∴球O的體積V＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),12)a))3＝eq\f(4,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),12)×9))3＝eq\f(27\r(6),8)π≈eq\f(27,8)×2.45×3.14≈26(cm3)．7．(多選)已知三棱錐P－ABC的四個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，點D為AB的中點，過點D作球的截面，則截面的面積可以是()A.eq\f(π,2)B．πC．9πD．13π答案BCD解析三棱錐P－ABC的外接球即為以AB，AC，AP為鄰邊的長方體的外接球，∴2R＝eq\r(62＋22＋2\r(3)2)＝2eq\r(13)，∴R＝eq\r(13)，取BC的中點O1，∴O1為△ABC的外接圓圓心，∴OO1⊥平面ABC，如圖．當OD⊥截面時，截面的面積最小，∵OD＝eq\r(OO\o\al(2,1)＋O1D2)＝eq\r(32＋\r(3)2)＝2eq\r(3)，此時截面圓的半徑為r＝eq\r(R2－OD2)＝1，∴截面面積為πr2＝π，當截面過球心時，截面圓的面積最大為πR2＝13π，故截面面積的取值范圍是[π，13π]．8．(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M，N，若線段MN的最小值為eq\r(3)－1，則下列說法中正確的是()A．正方體的外接球的表面積為12πB．正方體的內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)C．正方體的棱長為2D．線段MN的最大值為2eq\r(3)答案ABC解析設正方體的棱長為a，則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半，即eq\f(\r(3),2)a；內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即eq\f(a,2).∵M，N分別為外接球和內(nèi)切球上的動點，∴MNmin＝eq\f(\r(3),2)a－eq\f(a,2)＝eq\f(\r(3)－1,2)a＝eq\r(3)－1，解得a＝2，即正方體的棱長為2，∴正方體外接球的表面積為4π×(eq\r(3))2＝12π，內(nèi)切球體積為eq\f(4π,3)，則A，B，C正確；線段MN的最大值為eq\r(3)＋1，則D錯誤．9．已知三棱錐S－ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，則三棱錐S－ABC的外接球的半徑是________．答案eq\f(3,2)解析如圖所示，將三棱錐補為長方體，則該棱錐的外接球直徑為長方體的體對角線，設外接球半徑為R，則(2R)2＝12＋22＋22＝9，∴4R2＝9，R＝eq\f(3,2).即這個外接球的半徑是eq\f(3,2).10．已知正三棱錐的高為1，底面邊長為2eq\r(3)，內(nèi)有一個球與四個面都相切，則正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．答案eq\r(2)－1解析如圖，過點P作PD⊥平面ABC于點D，連接AD并延長交BC于點E，連接PE.因為△ABC是正三角形，所以AE是BC邊上的高和中線