2024年高中數學專題3-5重難點題型培優(yōu)精講冪函數學生版新人教A版必修第一冊

專題3.5冪函數1．冪函數的概念(1)冪函數的概念：一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．(2)冪函數的特征：①xα的系數為1；

②xα的底數是自變量；

③xα的指數為常數.

只有同時滿足這三個條件，才是冪函數.2．常見冪函數的圖象與性質溫馨提示：冪函數在區(qū)間(0，＋∞)上，當a>0時，y＝xα是增函數；當α<0時，y＝xα是減函數．3．一般冪函數的圖象與性質(1)一般冪函數的圖象：①當α=1時，y=x的圖象是一條直線.

②當α=0時，y==1(x≠0)的圖象是一條不包括點(0,1)的直線.

③當α為其他值時，相應冪函數的圖象如下表：(2)一般冪函數的性質：通過分析冪函數的圖象特征，可以得到冪函數的以下性質：

①全部的冪函數在(0,+)上都有定義，并且圖象都過點(1,1).

②α>0時，冪函數的圖象過原點，并且在區(qū)間[0,+)上是增函數.

③α<0時，冪函數在區(qū)間(0,+)上是減函數.在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地靠近y軸正半軸，當x趨于+時，圖象在x軸上方無限地靠近x軸正半軸.

④任何冪函數的圖象與坐標軸僅相交于原點，或不相交，任何冪函數的圖象都不過第四象限.

⑤任何兩個冪函數的圖象最多有三個公共點.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一點都不是兩個冪函數的公共點.4．對勾函數的圖象與性質參考冪函數的性質，探究函數的性質.(1)圖象如圖：與直線y=x，y軸無限接近.(2)函數的定義域為；

(3)函數的值域為(-,-2]∪[2,+).

(4)奇偶性：，函數為奇函數.

(5)單調性：由函數的圖象可知，函數在(-,-1)，(1,+)上單調遞增，在(-1,0)，(0,1)上單調遞減.【題型1冪函數的概念、解析式】【方法點撥】(1)推斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y＝xα(α為常數)的形式，即函數的解析式為一個冪的形式，且需滿足：①指數為常數；②底數為自變量；③系數為1.(2)對于冪函數過已知的某一點，求冪函數解析式問題：先設出冪函數的解析式y(tǒng)＝xα(α為常數)，再將已知點代入解析式，求出α，即可得出解析式.【例1】（2024春?楊陵區(qū)校級期末）現有下列函數：①y＝x3；②y=(12)x；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝axA．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（2024秋?陽春市校級月考）已知冪函數y＝f（x）的圖象過點(3，3)，則fA．﹣2 B．1 C．2 D．4【變式1-2】（2024春?榆林期末）下列函數是冪函數的是（）A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y＝x3 D．y＝2x【變式1-3】（2024春?廣陵區(qū)校級月考）若冪函數f（x）＝xa的圖象經過點(2，316)，則函數A．f(x)=x43 B．f【題型2冪函數的定義域、值域】【方法點撥】依據冪函數的解析式，可以將分數指數冪化成根式形式，依據根式有意義求定義域，再依據定義域來求冪函數的值域.【例2】（2024秋?房山區(qū)期末）下列函數中，值域是R的冪函數是（）A．y=x13 B．y=(1【變式2-1】（2024秋?呂梁期末）已知冪函數f（x）的圖象過點(2，2)，則fA．R B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）【變式2-2】（2024秋?廣南縣校級期中）已知冪函數f（x）＝xα的圖象過點(2，12)，則函數A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）【變式2-3】（2024秋?天山區(qū)校級期中）若冪函數y=(m2-2m-2)x-m2A．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝3【題型3冪函數的圖象】【方法點撥】依據一般冪函數的圖象特征，對所給的冪函數解析式或圖象進行分析，即可得解；溫馨提示：①若冪函數的圖象與坐標軸相交，則交點確定是原點.

②無論為何實數，冪函數的圖象最多只能出現在兩個象限內，且確定經過第一象限，確定不經過第四

象限.【例3】（2024秋?成都校級期中）冪函數y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關系是（）A．a＞b＞c＞d B．d＞b＞c＞a C．d＞c＞b＞a D．b＞c＞d＞a【變式3-1】（2024秋?涼山州期末）如圖，①②③④對應四個冪函數的圖像，其中①對應的冪函數是（）A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．y【變式3-2】（2024秋?湖北期末）冪函數y＝f（x）的圖象過點（4，2），則冪函數y＝f（x）的圖象是（）A． B． C． D．【變式3-3】（2024秋?徐匯區(qū)校級期中）如圖是冪函數y＝xα的部分圖像，已知α分別取13、3、﹣3、-13這四個值，則與曲線C1、C2、C3、C4A．3，13，-13，﹣3 B．﹣3，-1C．-13，3，﹣3，13 D．3，13，【題型4比較冪值的大小】【方法點撥】(1)干脆法：當冪指數相同時，可干脆利用冪函數的單調性來比較.

(2)轉化法：當冪指數不同時，可以先轉化為相同冪指數，再運用單調性比較大小.

(3)中間量法：當底數不同且冪指數也不同時，不能運用單調性比較大小，可選取適當的中間值，從而達到比較大小的目的.【例4】（2024秋?岳陽期中）設a=(34)12，A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【變式4-1】（2024秋?武昌區(qū)校級期末）已知冪函數y＝xa的圖象過點(3，19)，則下列兩函數的大小關系為：（x2﹣2x+4）a（）（A．≤ B．≥ C．＜ D．＞【變式4-2】（2024?湖北開學）若a=(2)25，b=32A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞b＞d＞c【變式4-3】（2024秋?香坊區(qū)校級期中）三個數a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之間的大小關系是（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a【題型5利用冪函數的性質求參數】【方法點撥】①依據所給函數解析式是冪函數，可列式求出參數的值；②結合冪函數的單調性或奇偶性，進行分析，得出滿足條件的參數值.【例5】（2024秋?張掖期末）已知冪函數f（x）＝（m2﹣4m﹣4）?xm在（0，+∞）上單調遞減，則m＝（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1【變式5-1】（2024春?延吉市校級期末）若函數y=(m2-3m+3)xA．0 B．1或2 C．1 D．2【變式5-2】（2024秋?凌河區(qū)校級期末）已知冪函數f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm2+m-2在（0，+∞）上是減函數，則A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【變式5-3】（2024秋?廣陵區(qū)校級月考）冪函數f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上為增函數，則實數m的值為（）A．﹣2 B．0或2 C．0 D．2【題型6利用冪函數的性質解不等式】【方法點撥】利用冪函數解不等式，實質是已知兩個函數值的大小，推斷自變量或冪指數的大小，常與冪函數的單調性、奇偶性等綜合命題.求解步驟如下:(1)確定可以利用的冪函數；(2)借助相應的冪函數的單調性、奇偶性，將不等式的大小關系轉化為自變量或冪指數的大小關系；(3)解不等式(組)求參數范圍，留意分類探討思想的應用.【例6】（2024秋?安徽期中）已知冪函數f（x）的圖象經過點（13，9），且f（a+1）＜f（2），則aA．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣3，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【變式6-1】（2024秋?迎江區(qū)校級期中）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是冪函數，且在（0，+∞）上單調遞增，則滿足f（a﹣1）＞1的實數a的范圍為（）A．（﹣∞，0） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【變式6-2】（2024秋?江蘇月考）已知冪函數