備考2024高考一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)人教a版第七章§7.3　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

§7.3空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系考試要求1．借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義．2．了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題．知識梳理1．平面基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面．基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．“三個”推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線，,平行直線，)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有,

公共點.))4．空間中直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況．5．空間中平面與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．6．等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補．7．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(×)(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面．(√)(3)如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合．(×)(4)沒有公共點的兩條直線是異面直線．(×)教材改編題1．(多選)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法正確的是()A．AB與CD是異面直線B．GH與CD相交C．EF∥CDD．EF與AB異面答案ABC解析把展開圖還原成正方體，如圖所示．還原后點G與C重合，點B與F重合，由圖可知ABC正確，EF與AB相交，故D錯．2．如果直線a?平面α，直線b?平面β．且α∥β，則a與b()A．共面B．平行C．是異面直線D．可能平行，也可能是異面直線答案D解析α∥β，說明a與b無公共點，∴a與b可能平行也可能是異面直線．3．如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四邊形EFGH為菱形，∴EF＝EH，∵EF綉eq\f(1,2)AC，EH綉eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD．(2)∵四邊形EFGH為正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF綉eq\f(1,2)AC，EH綉eq\f(1,2)BD，∴AC＝BD且AC⊥BD．題型一基本事實應(yīng)用例1如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，連接D1F，CE．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點．證明(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，∴EF∥A1B，且EF＝eq\f(1,2)A1B．又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF與CD1能夠確定一個平面ECD1F，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，∴四邊形CD1FE是梯形，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點為P，則P∈CE，且P∈D1F，∵CE?平面ABCD，D1F?平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1．又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點．教師備選如圖所示，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線．證明(1)∵EF是△D1B1C1的中位線，∴EF∥B1D1．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD．∴EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面．(2)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)平面A1ACC1為α，平面BDEF為β．∵Q∈A1C1，∴Q∈α．又Q∈EF，∴Q∈β，則Q是α與β的公共點，同理，P是α與β的公共點，∴α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，∴R∈A1C．∴R∈α，且R∈β，則R∈PQ，故P，Q，R三點共線．思維升華共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)．(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點共面的圖是()答案ABC解析對于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四點共面；同理，B，C圖中四點也共面；D中四點不共面．(2)在三棱錐A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF∩HG＝P，則點P()A．一定在直線BD上B．一定在直線AC上C．在直線AC或BD上D．不在直線AC上，也不在直線BD上答案B解析如圖所示，因為EF?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD．又因為平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC．題型二空間線面位置關(guān)系命題點1空間位置關(guān)系的判斷例2(1)下列推斷中，錯誤的是()A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝ABC．l?α，A∈l?A?αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線?α，β重合答案C解析對于A，因為M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事實3可知M∈l，A對；對于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直線AB?α，AB?β，即α∩β＝AB，B對；對于C，若l∩α＝A，則有l(wèi)?α，A∈l，但A∈α，C錯；對于D，有三個不共線的點在平面α，β中，故α，β重合，D對．(2)已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是長方形A1B1C1D1與長方形BCC1B1的中心，則下列說法正確的是()A．直線MN與直線A1B是異面直線B．直線MN與直線DD1相交C．直線MN與直線AC1是異面直線D．直線MN與直線A1C平行答案C解析如圖，因為M，N分別是長方形A1B1C1D1與長方形BCC1B1的中心，所以M，N分別是A1C1，BC1的中點，所以直線MN與直線A1B平行，所以A錯誤；因為直線MN經(jīng)過平面BB1D1D內(nèi)一點M，且點M不在直線DD1上，所以直線MN與直線DD1是異面直線，所以B錯誤；因為直線MN經(jīng)過平面ABC1內(nèi)一點N，且點N不在直線AC1上，所以直線MN與直線AC1是異面直線，所以C正確；因為直線MN經(jīng)過平面A1CC1內(nèi)一點M，且點M不在直線A1C上，所以直線MN與直線A1C是異面直線，所以D錯誤．命題點2異面直線所成角例3(1)(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為()A．eq\f(π,2)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)答案D解析方法一如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP．又BP?平面B1BP，所以C1P⊥BP．連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角．設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在Rt△C1PB中，C1P＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6)．方法二如圖所示，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成的角等于直線PB與BC1所成的角．根據(jù)P為正方形A1B1C1D1的對角線B1D1的中點，易知A1，P，C1三點共線，且P為A1C1的中點．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠A1BC1＝eq\f(π,3)，又P為A1C1的中點，所以可得∠PBC1＝eq\f(1,2)∠A1BC1＝eq\f(π,6)．(2)(2022·衡水檢測)如圖，在圓錐SO中，AB，CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝eq\f(1,4)SB，則異面直線SC與OE所成角的正切值為()A．eq\f(\r(22),2)B．eq\f(\r(5),3)C．eq\f(13,16)D．eq\f(\r(11),3)答案D解析如圖，過點S作SF∥OE，交AB于點F，連接CF，則∠CSF(或其補角)為異面直線SC與OE所成的角．∵SE＝eq\f(1,4)SB，∴SE＝eq\f(1,3)BE．又OB＝3，∴OF＝eq\f(1,3)OB＝1．∵SO⊥OC，SO＝OC＝3，∴SC＝3eq\r(2)．∵SO⊥OF，∴SF＝eq\r(SO2＋OF2)＝eq\r(10)．∵OC⊥OF，∴CF＝eq\r(10)．∴在等腰△SCF中，tan∠CSF＝eq\f(\r(\r(10)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))2),\f(3\r(2),2))＝eq\f(\r(11),3)．教師備選1．(多選)設(shè)a，b，c是三條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列結(jié)論不正確的是()A．若a?α，b?β，則a與b是異面直線B．若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C．若a，b不同在平面α內(nèi)，則a與b異面D．若a，b不同在任何一個平面內(nèi)，則a與b異面答案ABC2．在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(\r(5),6)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(\r(2),2)答案C解析如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM．易知O為BD1的中點，所以AD1∥OM，則∠MOD為異面直線AD1與DB1所成角或其補角．因為在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，AD1＝eq\r(AD2＋DD\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))2)＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(5)．所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))2,2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)．思維升華(1)點、直線、平面位置關(guān)系的判定，注意構(gòu)造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型．(2)求異面直線所成的角的三個步驟一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角．二證：證明作出的角是異面直線所成的角．三求：解三角形，求出所作的角．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有________．(填序號)答案②④(2)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列結(jié)論正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交答案D解析如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確．圖1圖2題型三空間幾何體的切割(截面)問題例4(1)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點，MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方體中過M，N，C1的截面圖形是()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形答案C解析先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的交點．如圖，設(shè)直線C1M，CD相交于點P，直線C1N，CB相交于點Q，連接PQ交直線AD于點E，交直線AB于點F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形．(2)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2．以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為______．答案eq\f(π,2)解析以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線是以C1為圓心，1為半徑的圓與正方形BCC1B1相交的一段弧(圓周的四分之一)，其長度為eq\f(1,4)×2π×1＝eq\f(π,2)．延伸探究將本例(2)中正方體改為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°．以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．答案eq\f(\r(2)π,2)解析如圖，設(shè)B1C1的中點為E，球面與棱BB1，CC1的交點分別為P，Q，連接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD為等邊三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1為等邊三角形，則D1E＝eq\r(3)且D1E⊥平面BCC1B1，∴E為球面截側(cè)面BCC1B1所得截面圓的圓心，設(shè)截面圓的半徑為r，則r＝eq\r(R\o\al(2,球)－D1E2)＝eq\r(5－3)＝eq\r(2)．又由題意可得EP＝EQ＝eq\r(2)，∴球面與側(cè)面BCC1B1的交線為以E為圓心的圓弧PQ．又D1P＝eq\r(5)，∴B1P＝eq\r(D1P2－D1B\o\al(2,1))＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分別為BB1，CC1的中點，∴∠PEQ＝eq\f(π,2)，知eq\o(PQ,\s\up9(︵))的長為eq\f(π,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2)π,2)，即交線長為eq\f(\r(2)π,2)．教師備選如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中點，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為________．答案eq\f(9,2)解析如圖，過點B作BM∥C1E交B1C1于點M，過點M作BD的平行線，交C1D1于點N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面α，由圖可知M，N分別為B1C1，C1D1的中點，故BD＝2eq\r(2)，MN＝eq\r(2)，且BM＝DN＝eq\r(5)，∴等腰梯形MNDB的高為h＝eq\r(\r(5)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(3\r(2),2)，∴梯形MNDB的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2)．思維升華(1)作截面應(yīng)遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．(2)作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．跟蹤訓(xùn)練3(1)(多選)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，已知平面α⊥AC1，則關(guān)于α截此正方體所得截面的判斷正確的是()A．截面形狀可能為正三角形B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀可能為正六邊形D．截面面積最大值為3eq\r(3)答案ACD解析易知A，C正確，B不正確，下面說明D正確，如圖，截面為正六邊形，當(dāng)六邊形的頂點均為棱的中點時，其面積最大，MN＝2eq\r(2)，GH＝eq\r(2)，OE＝eq\r(OO′2＋O′E2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(6),2)，所以S＝2×eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(\r(6),2)＝3eq\r(3)，故D正確．(2)(2022·蘭州模擬)如圖，正方體A1C的棱長為1，點M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為________．答案3eq\r(2)解析在平面A1D1DA中尋找與平面A1BC1平行的直線時，只需要ME∥BC1，如圖所示，因為A1M＝2MD1，故該截面與正方體的交點位于靠近D1，A，C的三等分點處，故可得截面為MIHGFE，設(shè)正方體的棱長為3a，則ME＝2eq\r(2)a，MI＝eq\r(2)a，IH＝2eq\r(2)a，HG＝eq\r(2)a，F(xiàn)G＝2eq\r(2)a，EF＝eq\r(2)a，所以截面MIHGFE的周長為ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9eq\r(2)a，又因為正方體A1C的棱長為1，即3a＝1，故截面多邊形的周長為3eq\r(2)．課時精練1．下列敘述錯誤的是()A．若P∈α∩β，且α∩β＝l，則P∈lB．若直線a∩b＝A，則直線a與b能確定一個平面C．三點A，B，C確定一個平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α答案C解析選項A，點P是兩平面的公共點，當(dāng)然在交線上，故正確；選項B，由基本事實的推論可知，兩相交直線確定一個平面，故正確；選項C，只有不共線的三點才能確定一個平面，故錯誤；選項D，由基本事實2，直線上有兩點在一個平面內(nèi)，則這條直線在平面內(nèi)．2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列判斷正確的是()A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n可能相交或異面B．若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n一定平行答案A解析m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，對于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則直線m與n相交垂直或異面垂直，故A正確；對于B，若α⊥β，m?α，n?β，則直線m與n相交、平行或異面，故B錯誤；對于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，則直線m與n相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若m∥α，n∥β，α∥β，則直線m與n平行或異面，故D錯誤．3．(2022·營口模擬)已知空間中不過同一點的三條直線a，b，l，則“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案A解析空間中不過同一點的三條直線a，b，l，若a，b，l在同一平面，則a，b，l相交或a，b，l有兩個平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行．所以a，b，l在同一平面，則a，b，l兩兩相交不一定成立；而若a，b，l兩兩相交，則a，b，l在同一平面成立．故“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的充分不必要條件．4．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F(xiàn)分別是B1C1，CC1，AB的中點，則下列說法正確的是()A．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行B．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF平行C．MN＝eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面D．MN≠eq\f(1,2)EF，且MN與EF異面答案D解析設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2a，則MN＝eq\r(MC\o\al(2,1)＋C1N2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))2)＝eq\r(2)a，作點E在平面ABCD內(nèi)的射影點G，連接EG，GF，所以EF＝eq\r(EG2＋GF2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,2)))2＋\r(2)a2)＝eq\r(3)a，所以MN≠eq\f(1,2)EF，故選項A，C錯誤；連接DE，因為E為平面ADD1A1的中心，所以DE＝eq\f(1,2)A1D，又因為M，N分別為B1C1，CC1的中點，所以MN∥B1C，又因為B1C∥A1D，所以MN∥ED，且DE∩EF＝E，所以MN與EF異面，故選項B錯誤．5．(多選)(2022·臨沂模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結(jié)論正確的是()A．C1，M，O三點共線B．C1，M，O，C四點共面C．C1，O，B1，B四點共面D．D1，D，O，M四點共面答案AB解析∵O∈AC，AC?平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1．∵O∈BD，BD?平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點，同理可得，點M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點，∴三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，故A，B正確；根據(jù)異面直線的判定定理可得BB1與C1O為異面直線，故C1，O，B1，B四點不共面，故C不正確；根據(jù)異面直線的判定定理可得DD1與MO為異面直線，故D1，D，O，M四點不共面，故D不正確．6．(多選)(2022·廈門模擬)下列說法不正確的是()A．兩組對邊分別相等的四邊形確定一個平面B．和同一條直線異面的兩直線一定共面C．與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行D．一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交答案ABD解析兩組對邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，故A錯誤；如圖1，直線DD1與B1C1都是直線AB的異面直線，同樣DD1與B1C1也是異面直線，故B錯誤；如圖2，設(shè)直線AB與CD是異面直線，則直線AC與BD一定不平行，否則AC∥BD，有AC與BD確定一個平面α，則AC?α，BD?α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB?α，CD?α，這與假設(shè)矛盾，故C正確；如圖1，AB∥CD，而直線AA1與AB相交，但與直線CD不相交，故D錯誤．圖1圖27．(2022·哈爾濱模擬)已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為________．答案eq\f(\r(10),5)解析如圖所示，補成直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，則所求角為∠BC1D或其補角，∵BC1＝eq\r(2)，BD＝eq\r(22＋1－2×2×1×cos60°)＝eq\r(3)，C1D＝AB1＝eq\r(5)，易得C1D2＝BD2＋BCeq\o\al(2,1)，即BC1⊥BD，因此cos∠BC1D＝eq\f(BC1,C1D)＝eq\f(\r(2),\r(5))＝eq\f(\r(10),5)．8．(2022·本溪模擬)在空間中，給出下面四個命題，其中假命題為________．(填序號)①過平面α外的兩點，有且只有一個平面與平面α垂直；②若平面β內(nèi)有不共線三點到平面α的距離都相等，則α∥β；③若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α；④兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影一定是兩條相交直線．答案①②④解析對于①，當(dāng)平面α外兩點的連線與平面α垂直時，此時過兩點有無數(shù)個平面與平面α垂直，所以①不正確；對于②，若平面β內(nèi)有不共線三點到平面α的距離都相等，平面α與β可能平行，也可能相交，所以②不正確；對于③，直線l與平面內(nèi)的任意直線垂直時，得到l⊥α，所以③正確；對于④，兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影可能是兩條相交直線或兩條平行直線或直線和直線外的一點，所以④不正確．9．(2022·上海市靜安區(qū)模擬)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，CC1的中點．(1)求異面直線A1E與D1F所成的角的余弦值；(2)求三棱錐A1－D1EF的體積．解(1)如圖，設(shè)BB1的中點為H，連接HF，EH，A1H，因為F是CC1的中點，所以A1D1∥CB∥HF，A1D1＝CB＝HF，因此四邊形A1D1FH是平行四邊形，所以D1F∥A1H，D1F＝A1H，因此∠EA1H是異面直線A1E與D1F所成的角或其補角，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E是AB的中點，所以A1E＝A1H＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，EH＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，由余弦定理可知，cos∠EA1H＝eq\f(A1E2＋A1H2－EH2,2A1E·A1H)＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，所以異面直線A1E與D1F所成的角的余弦值為eq\f(4,5)．(2)因為A1D1∥HF，HF?平面A1D1E，A1D1?平面A1D1E，所以HF∥平面A1D1E，因此點H，F(xiàn)到平面A1D1E的距離相等，即，＝eq\f(1,3)D1A1·＝eq\f(1,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22－\f(1,2)×2×1×2－\f(1,2)×1×1))＝1，所以三棱錐A1－D1EF的體積為1．10．如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點，M為AB上一點．(1)若D1E與CM相交于點K，求證D1E，CM，DA三條直線相交于同一點；(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝eq\f(π,3)，求點D1到平面FBD的距離．(1)證明∵D1E與CM相交于點K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E?平面ADD1A1，CM?平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三條直線相交于同一點K．(2)解∵四邊形ABCD為菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝2，而四棱柱的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中點，CC1＝4，∴CF＝2，∴BF＝DF＝2eq\r(2)，又∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，∴BD＝AB＝2，∴S△FBD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2\r(2)2－1)＝eq\r(7)．設(shè)點D1到平面FBD的距離為h，點B到平面DD1F的距離為d，則d＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，又∵，∴eq\f(1,3)×S△FBD×h＝eq\f(1,3)××d，∴eq\f(1,3)×eq\r(7)×h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×2×eq\r(3)，解得h＝eq\f(4\r(21),7)．即點D1到平面FBD的距離為eq\f(4\r(21),7)．11．(多選)(2022·太原模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，下列結(jié)論正確的是()A．GH與EF平行B．BD與MN為異面直線C．GH與MN成60°角D．DE與MN垂直答案BCD解析如圖，還原成正四面體A－DEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合，連接GM，易知GH與EF異面，BD與MN異面．又△GMH為等邊三角形，∴GH與MN成60°角，易證DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE．∴B，C，D正確．12．(多選)(2022·廣州六校聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，下列結(jié)論正確的是()A．AP與CM是異面直線B．AP，CM，DD1相交于一點C．MN∥BD1D．MN∥平面BB1D1D答案BD解析如圖，連接MP，AC，因為MP∥AC，MP≠AC，所以AP與CM是相交直線，又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一點，則A不正確，B正確；令A(yù)C∩BD＝O，連接OD1，ON．因為M，N分別是C1D1，BC的中點，所以O(shè)N∥D1M∥CD，ON＝D1M＝eq\f(1,2)CD，則四邊形MNOD1為平行四邊形，所以MN∥OD1，因為MN?平面BB1D1D，OD1?平面BB1D1D，所以MN∥平面BB1D1D，C不正確，D正確．13．(2022·玉林模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，P，Q分別為A1B，B1D1，A1D，CD1的中點，則直線EF與PQ所成角的大小是________．答案eq\f(π,3)解析如圖，連接A1C1，BC1，則F是A1C1的中點，又E為A1B的中點，所以EF∥BC1，連接DC1，則Q是DC1的中點，又P為A1D的中點，所以PQ∥A1C1，于是∠A1C1B是直線EF與PQ所成的角或其補角．易知△A1C1B是正三角形，所以∠A1C1B＝eq\f(π,3)．14．(2022·鹽城模擬)在棱長為4的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分別為棱A1D1，CC1的中點，過P，Q，A作正方體的截面，則截面多邊形的周長是________．答案eq\f(25＋9\r(5)＋2\r(13),3)解析如圖所示，過Q作QM∥AP交BC于M，由A1P＝CQ＝2，tan∠APA1＝2，則tan∠CMQ＝2，CM＝eq\f(CQ,tan∠CMQ)＝1，延長MQ交B1C1的延長線于E點，連接PE，交D1C1于N點，則多邊形AMQNP即為截面，根據(jù)平行線性質(zhì)有C1E＝CM＝1，eq\f(C1N,ND1)＝eq\f(C1E,PD1)＝eq\f(1,2)，則C1N＝eq\f(4,3)，D1N＝eq\f(8,3)，因此NQ＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2)＝eq\f(2\r(13),3)，NP＝eq\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)))2)＝eq\f(10,3)，又AP＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，AM＝eq\r(42＋32)＝5，MQ＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以多邊形AMQNP的周長為AM＋MQ＋QN＋NP＋PA＝5＋eq\r(5)＋eq\f(2\r(13),3)＋eq\f(10,3)＋2eq\r(5)＝eq\f(25＋9\r(5)＋2\r(13),3)．15．(2022·大連模擬)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為2