備考2024高考一輪總復習數(shù)學人教a版第十章§10.9　概率與統(tǒng)計的綜合問題

§10.9概率與統(tǒng)計的綜合問題題型一頻率分布直方圖與分布列的綜合問題例1(2022·湖北九師聯(lián)盟模擬)某校高三年級舉行了高校強基計劃模擬考試(滿分100分)，將不低于50分的考生的成績分為5組，即[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并繪制頻率分布直方圖如圖所示，其中在[90,100]內(nèi)的人數(shù)為3.(1)求a的值，并估計不低于50分考生的平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)；(2)現(xiàn)把[50,60)和[90,100]內(nèi)的所有學生的考號貼在質(zhì)地、形狀和大小均相同的小球上，并放在盒子內(nèi)，現(xiàn)從盒中隨機抽取2個小球，若取出的兩人成績差不小于30，則稱這兩人為“黃金搭檔組”．現(xiàn)隨機抽取4次，每次取出2個小球，記下考號后再放回盒內(nèi)，記取出“黃金搭檔組”的次數(shù)為X，求X的分布列和均值E(X)．解(1)由題意，得(0.005＋0.01＋0.015＋a＋0.045)×10＝1，解得a＝0.025，不低于50分考生的平均成績估計為55×0.1＋65×0.25＋75×0.45＋85×0.15＋95×0.05＝73(分)．(2)在[90,100]上的頻率為0.005×10＝0.05，由條件得總?cè)藬?shù)為eq\f(3,0.05)＝60，所以在[50,60]內(nèi)的人數(shù)為60×0.1＝6，每次抽取出‘黃金搭檔組”的概率P＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,3),C\o\al(2,9))＝eq\f(1,2)，因此X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))4＝eq\f(1,16)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(1,4)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))2＝eq\f(3,8)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))1＝eq\f(1,4)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(4,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))0＝eq\f(1,16)，X的分布列為X01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)E(X)＝np＝4×eq\f(1,2)＝2.教師備選(2022·湛江模擬)某高三學生小明準備利用暑假的7月和8月勤工儉學，現(xiàn)有“送外賣員”和“銷售員”兩份工作可供其選擇．已知“銷售員”工作每日底薪為50元，每日銷售的前5件每件獎勵20元，超過5件的部分每件獎勵30元．小明通過調(diào)查，統(tǒng)計了100名銷售員1天的銷售記錄，其柱狀圖如圖1；“送外賣員”沒有底薪，收入與送的單數(shù)相關，在一日內(nèi)：1至20單(含20單)每送一單3元，超過20單且不超過40單的部分每送一單4元，超過40單的部分，每送一單4.5元．小明通過隨機調(diào)查，統(tǒng)計了100名送外賣員的日送單數(shù)，并繪制成如下頻率分布直方圖(如圖2)．圖1圖2(1)分別求出“銷售員”的日薪y(tǒng)1(單位：元)與銷售件數(shù)x1的函數(shù)關系式、“送外賣員”的日薪y(tǒng)2(單位：元)與所送單數(shù)x2的函數(shù)關系式；(2)若將頻率視為概率，根據(jù)統(tǒng)計圖，試分別估計“銷售員”的日薪X1和“送外賣員”的日薪X2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)的均值，分析選擇哪種工作比較合適，并說明你的理由．解(1)“銷售員”的日薪y(tǒng)1(單位：元)與銷售件數(shù)x1的函數(shù)關系式為y1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20x1＋50，x1≤5，x1∈N，,30x1，x1>5，x1∈N，))“送外賣員”的日薪y(tǒng)2(單位：元)與所送單數(shù)x2的函數(shù)關系式為y2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2，x2≤20，x2∈N，,4x2－20，20<x2≤40，x2∈N，,4.5x2－40，x2>40，x2∈N.))(2)由柱狀圖知，日平均銷售量滿足如下表格：銷售量/件34567頻率0.050.20.250.40.1所以X1的分布列為X1110130150180210P0.050.20.250.40.1所以E(X1)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋210×0.1＝162(元)．由頻率分布直方圖可知，日送單數(shù)滿足如下表格：單數(shù)/單1030507090頻率0.050.250.450.20.05所以X2的分布列為X230100185275365P0.050.250.450.20.05所以E(X2)＝30×0.05＋100×0.25＋185×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元)．由以上計算得E(X2)>E(X1)，做“送外賣員”掙的更多，故小明選擇做“送外賣員”的工作比較合適．思維升華高考常將頻率分布直方圖與分布列等交匯在一起進行考查，因此在解答此類題時，準確的把題中所涉及的事件進行分解，明確所求問題所屬的事件類型是關鍵．跟蹤訓練1(2022·太原模擬)國家發(fā)改委、住建部發(fā)布了《生活垃圾分類制度實施方案》規(guī)定46個城市實施生活垃圾強制分類，垃圾回收利用率要達35%以上．某市在實施垃圾分類之前，對該市大型社區(qū)(即人口數(shù)量在1萬左右)一天產(chǎn)生的垃圾量(單位：噸)進行了調(diào)查．已知該市這樣的大型社區(qū)有200個，如圖是某天從中隨機抽取50個社區(qū)所產(chǎn)生的垃圾量繪制的頻率分布直方圖．現(xiàn)將垃圾量超過14噸/天的社區(qū)稱為“超標”社區(qū)．(1)根據(jù)上述資料，估計當天這50個社區(qū)垃圾量的平均值eq\x\to(x)(四舍五入精確到整數(shù))；(2)若當天該市這類大型社區(qū)的垃圾量X～N(μ，9)，其中μ近似為(1)中的樣本平均值eq\x\to(x)，請根據(jù)X的分布估計這200個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)(四舍五入精確到整數(shù))；(3)市環(huán)保部門決定對樣本中“超標”社區(qū)的垃圾來源進行調(diào)查，現(xiàn)從這些社區(qū)中隨機抽取3個進行重點監(jiān)控，設Y為其中當天垃圾量至少為16噸的社區(qū)個數(shù)，求Y的分布列與均值．解(1)由頻率分布直方圖得該樣本中垃圾量為[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18]的頻率分別為0.08,0.10,0.20，0.24，0.18,0.12,0.08，eq\x\to(x)＝5×0.08＋7×0.10＋9×0.20＋11×0.24＋13×0.18＋15×0.12＋17×0.08＝11.04≈11，∴當天這50個社區(qū)垃圾量的平均值為11噸．(2)由(1)知μ＝11，∵σ2＝9，∴σ＝3，∴P(X>14)＝P(X>μ＋σ)＝eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865，∴這200個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)為200×0.15865≈32.(3)由(1)得樣本中當天垃圾量為[14,16)的社區(qū)有50×0.12＝6(個)，垃圾量為[16,18)的社區(qū)有50×0.08＝4(個)，∴Y的所有可能取值為0,1,2,3，P(Y＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(Y＝1)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(Y＝2)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(Y＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，∴Y的分布列為Y0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)∴E(Y)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).題型二回歸模型與分布列的綜合問題例2學習于才干信仰，猶如運動于健康體魄，持之以恒、行之愈遠愈受益．為了順利實現(xiàn)中華民族偉大復興，全國各行各業(yè)掀起了“學習強國”的高潮．某市教育局為了解全市教職工在“學習強國”中每天學習得分情況，從全市教職工中隨機抽取1000名教職工，得到他們平均每天的學習得分，得分都在[15,50]內(nèi)，將他們的得分分為七組：[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50]后得到頻率分布直方圖如圖所示．(1)從樣本中得分不低于40的教職工中用分層隨機抽樣的方法抽取12人，然后從這12人中隨機抽取3人進行學習體會交流，用X表示參加學習體會交流且得分不低于45分的人數(shù)，求X的分布列和均值；(2)某老師很喜歡“學習強國”中“挑戰(zhàn)答題”模塊，他記錄了自己連續(xù)七天每天一次最多答對的題數(shù)如下表：天數(shù)1234567一次最多答對題數(shù)12151618212427由表中數(shù)據(jù)可知該老師每天一次最多答對題數(shù)y與第x天之間可用線性模型擬合，請用樣本相關系數(shù)加以說明，并求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程．參考數(shù)據(jù)：eq\r(6)≈2.45，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝600，eq\i\su(i＝1,7,)(xi－eq\x\to(x))2＝28，eq\i\su(i＝1,7,)(yi－eq\x\to(y))2＝168.參考公式：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中斜率和截距的最小二乘估計公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)在抽取的1000名教職工中得分在[40,45)的有0.016×5×1000＝80(人)，得分在[45,50]的有0.008×5×1000＝40(人)，所以在得分為[40,45)的人中應抽取eq\f(80,80＋40)×12＝8(人)，在得分為[45,50]的人中應抽取12－8＝4(人)．由題可得X的所有可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(3,8),C\o\al(3,12))＝eq\f(14,55)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,8),C\o\al(3,12))＝eq\f(28,55)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,8),C\o\al(3,12))＝eq\f(12,55)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,8),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,55)，所以X的分布列為X0123Peq\f(14,55)eq\f(28,55)eq\f(12,55)eq\f(1,55)E(X)＝0×eq\f(14,55)＋1×eq\f(28,55)＋2×eq\f(12,55)＋3×eq\f(1,55)＝1.(2)由條件可知eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝19，則y關于x的樣本相關系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xiyi－7\x\to(x)\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2\o(∑,\s\up6(7),\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))＝eq\f(600－7×4×19,28\r(6))≈eq\f(68,68.6)≈0.99.因為0.99與1非常接近，所以y關于x有較強的線性相關關系，因為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)＝eq\f(17,7)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝19－eq\f(17,7)×4＝eq\f(65,7)’所以y關于x的經(jīng)驗回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(65,7)＋eq\f(17,7)x.教師備選設某幼苗從觀察之日起，第x天的高度為y(cm)，測得的一些數(shù)據(jù)如下表所示：第x度y(cm)0479111213作出這組數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)：y(cm)與x(天)之間近似滿足關系式y(tǒng)＝beq\r(x)＋a，其中a，b均為大于0的常數(shù)．(1)試借助一元線性回歸模型，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用最小二乘法對a，b作出估計，并求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程；(2)在作出的這組數(shù)據(jù)的散點圖中，甲同學隨機圈取了其中的3個點，記這3個點中幼苗的高度大于eq\x\to(y)的點的個數(shù)為ξ，其中eq\x\to(y)為表格中所給的幼苗高度的平均數(shù)，試求隨機變量ξ的分布列和均值．附：對于一組數(shù)據(jù)(v1，μ1)，(v2，μ2)，…，(vn，μn)，其經(jīng)驗回歸方程eq\o(μ,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))v的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,v)iμi－n\x\to(v)\x\to(μ),\i\su(i＝1,n,v)\o\al(2,i)－n\x\to(v)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(μ)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(v).解(1)令μ＝eq\r(x)，則y＝bμ＋a，根據(jù)已知數(shù)據(jù)表得到下表：＝eq\r(x)1234567y0479111213eq\x\to(μ)＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7,7)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(0＋4＋7＋9＋11＋12＋13,7)＝8，通過上表計算可得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,μ)iyi－n\x\to(μ)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,μ)\o\al(2,i)－n\x\to(μ)2)＝eq\f(283－7×4×8,140－7×16)＝eq\f(59,28)，因為回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))μ＋eq\o(a,\s\up6(^))過點(eq\x\to(μ)，eq\x\to(y))，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(μ)＝－eq\f(3,7)，故y關于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(59,28)eq\r(x)－eq\f(3,7).(2)7天中幼苗高度大于eq\x\to(y)＝8的有4天，小于等于8的有3天，從散點圖中任取3個點，即從這7天中任取3天，所以這3個點中幼苗的高度大于eq\x\to(y)的點的個數(shù)ξ的所有可能取值為0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(0,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)；P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(0,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35).所以隨機變量ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)隨機變量ξ的均值E(ξ)＝0×eq\f(1,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(18,35)＋3×eq\f(4,35)＝eq\f(12,7).思維升華高考常將回歸模型與分布列等交匯在一起進行考查，求解時注意概率模型的應用，明確所求問題所屬的事件類型是關鍵．跟蹤訓練2數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學游戲，玩家需要根據(jù)9×9盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮(3×3)內(nèi)的數(shù)字均含1～9，且不重復．數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽．(1)賽前小明在某數(shù)獨APP上進行了一段時間的訓練，每天解題的平均速度y(秒/題)與訓練天數(shù)x(天)有關，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：x(天)1234567y(秒/題)910800600440300240210現(xiàn)用eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\f(\o(b,\s\up6(^)),x)作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程；(a，b用分數(shù)表示)(2)小明和小紅在數(shù)獨APP上玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，不存在平局，兩人約定先勝3局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為eq\f(2,3)，且各局之間相互獨立，設比賽X局后結束，求隨機變量X的分布列及均值．參考數(shù)據(jù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中t＝\f(1,xi)))：eq\i\su(i＝1,7,t)iyieq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,t)eq\o\al(2,i)－7eq\x\to(t)217500.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗回歸方程eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\x\to(u)\x\to(v),\i\su(i＝1,n,u)\o\al(2,i)－n\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up6(^))eq\x\to(u).解(1)因為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\f(\o(b,\s\up6(^)),x)，ti＝eq\f(1,xi)，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t.因為eq\x\to(y)＝eq\f(910＋800＋600＋440＋300＋240＋210,7)＝500，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,t)iyi－7\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,t)\o\al(2,i)－7\x\to(t)2)＝eq\f(1750－7×0.37×500,0.55)＝eq\f(455,0.55)＝eq\f(9100,11)，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝500－eq\f(9100,11)×0.37＝eq\f(2133,11)，所以eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(2133,11)＋eq\f(9100,11)t，所以所求回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(2133,11)＋eq\f(9100,11x).(2)隨機變量X的所有可能取值為3,4,5，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,3)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(10,27)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(8,27).所以隨機變量X的分布列為X345Peq\f(1,3)eq\f(10,27)eq\f(8,27)E(X)＝3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(10,27)＋5×eq\f(8,27)＝eq\f(107,27).題型三獨立性檢驗與分布列的綜合問題例3(2022·蘇州模擬)為落實十三五規(guī)劃節(jié)能減排的國家政策，某職能部門對市場上兩種設備的使用壽命進行調(diào)查統(tǒng)計，隨機抽取A型和B型設備各100臺，得到如下頻率分布直方圖：A型B型(1)將使用壽命超過2500小時和不超過2500小時的臺數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過2500小時不超過2500小時合計A型B型合計根據(jù)上面的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否認為使用壽命是否超過2500小時與型號有關？(2)用分層隨機抽樣的方法從不超過2500小時的A型和B型設備中抽取8臺，再從這8臺設備中隨機抽取3臺，其中A型設備為X臺，求X的分布列和均值；(3)已知用頻率估計概率，現(xiàn)有一項工作需要10臺同型號設備同時工作2500小時才能完成，工作期間設備損壞立即更換同型號設備(更換設備時間忽略不計)，A型和B型設備每臺的價格分別為1萬元和0.6萬元，A型和B型設備每臺每小時耗電分別為2度和6度，電價為0.75元/度．只考慮設備的成本和電費，你認為應選擇哪種型號的設備，請說明理由．參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.參考數(shù)據(jù)：α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解(1)由頻率分布直方圖可知，A型超過2500小時的有100×(0.0006＋0.0005＋0.0003)×＋0.0003＋0.0001)×500＝50(臺)，則B型不超過2500小時的有50臺．列聯(lián)表如下：超過2500小時不超過2500小時合計A型7030100B型5050100合計12080200零假設為H0：使用壽命是否超過2500小時與型號無關，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝eq\f(200×70×50－30×502,100×100×120×80)≈8.333>6.635＝，所以依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為使用壽命是否超過2500小時與型號有關．(2)由(1)和分層隨機抽樣的定義可知A型設備有3臺，B型設備有5臺，所以X的所有可能取值為0,1,2,3，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(2,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,5),C\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,8))＝eq\f(1,56)，所以X的分布列為X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)所以E(X)＝0×eq\f(5,28)＋1×eq\f(15,28)＋2×eq\f(15,56)＋3×eq\f(1,56)＝eq\f(9,8).(3)由頻率分布直方圖中的頻率估計概率知：A型設備每臺更換的概率為0.3，所以10臺A型設備估計要更換3臺；B型設備每臺更換的概率為0.5，所以10臺B型設備估計要更換5臺，選擇A型設備的總費用y1＝(10＋3)×1＋10×2×0.75×2500×10－4＝16.75(萬元)，選擇B型設備的總費用y2＝(10＋5)×0.6＋10×6×0.75×2500×10－4＝20.25(萬元)，y1<y2，所以選擇A型設備．教師備選(2022·大連模擬)某醫(yī)療用品生產(chǎn)企業(yè)對原有的生產(chǎn)線進行技術升級，為了更好地對比技術升級前和升級后的效果，其中甲生產(chǎn)線繼續(xù)使用舊的生產(chǎn)模式，乙生產(chǎn)線采用新的生產(chǎn)模式．質(zhì)檢部門隨機抽檢了甲、乙兩條生產(chǎn)線的各200件該醫(yī)療用品，在抽取的400件產(chǎn)品中，根據(jù)檢測結果將它們分為“A”“B”“C”三個等級，A，B等級都是合格品，C等級是次品，統(tǒng)計結果如表所示：(表一)等級ABC頻數(shù)20015050(表二)合格品次品合計甲160乙10合計在相關政策扶持下，確保每件該醫(yī)療用品的合格品都有對口銷售渠道，但按照國家對該醫(yī)療用品產(chǎn)品質(zhì)量的要求，所有的次品必須由廠家自行銷毀．(1)請根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，完成上面的2×2列聯(lián)表(表二)，依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，能否認為產(chǎn)品的合格率與技術升級有關？(2)在抽檢的所有次品中，按甲、乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的次品比例進行分層隨機抽樣抽取10件該醫(yī)療用品，然后從這10件中隨機抽取5件，記其中屬于甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的有X件，求X的分布列和均值；(3)每件該醫(yī)療用品的生產(chǎn)成本為20元，A，B等級產(chǎn)品的出廠單價分別為m元、40元．若甲生產(chǎn)線抽檢的該醫(yī)療用品中有70件為A等級，用樣本的頻率估計概率，若進行技術升級后，平均生產(chǎn)一件該醫(yī)療用品比技術升級前多盈利不超過9元，則A等級產(chǎn)品的出廠單價最高為多少元？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.050.0250.0100.0050.001xα3.8415.0246.6357.87910.828解(1)根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：合格品次品合計甲16040200乙19010200合計35050400零假設為H0：產(chǎn)品的合格率與技術升級無關，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝eq\f(400×190×40－160×102,200×200×350×50)＝eq\f(144,7)≈20.571>10.828＝x0.001，所以依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為產(chǎn)品的合格率與技術升級有關．(2)由于所有次品中，甲、乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的次品比例為4∶1，故抽取的10件中有8件甲生產(chǎn)線的，2件乙生產(chǎn)線的，從中隨機抽取5件中屬于甲生產(chǎn)線的數(shù)量X的所有可能取值為3,4,5，則P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,8)C\o\al(2,2),C\o\al(5,10))＝eq\f(2,9)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,8)C\o\al(1,2),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,9)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(5,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(2,9)，所以X的分布列為X345Peq\f(2,9)eq\f(5,9)eq\f(2,9)所以E(X)＝3×eq\f(2,9)＋4×eq\f(5,9)＋5×eq\f(2,9)＝4.(3)甲生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有70件A等級，90件B等級，40件C等級；乙生產(chǎn)線抽檢的產(chǎn)品中有130件A等級，60件B等級，10件C等級，因為用樣本的頻率估計概率，所以對于甲生產(chǎn)線，單件產(chǎn)品的利潤eq\x\to(x)甲＝eq\f(70m＋90×40－200×20,200)＝eq\f(7,20)m－2，對于乙生產(chǎn)線，單件產(chǎn)品的利潤eq\x\to(x)乙＝eq\f(130m＋60×40－200×20,200)＝eq\f(13,20)m－8.eq\x\to(x)乙－eq\x\to(x)甲＝eq\f(13,20)m－8－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,20)m－2))≤9，所以m≤50.即A等級產(chǎn)品的出廠單價最高為50元．思維升華高考常將獨立性檢驗與分布列等交匯在一起進行考查，由頻率分布直方圖解決相跟蹤訓練3(2022·邯鄲模擬)暑假期間，學生居家生活和學習，教育部門特別強調(diào)，身體健康與學習成績同樣重要．某校對300名學生的鍛煉時間進行調(diào)查，數(shù)據(jù)如表：平均每天鍛煉的時間(分鐘)[0，10)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60]總?cè)藬?shù)305060705535將學生日均鍛煉的時間在[40,60]的學生評價為“體育合格”．(1)請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，能否認為“體育合格”與性別無關？體育不合格體育合格合計男60160女合計(2)從上述體育合格的學生中，按性別用分層隨機抽樣的方法抽取9名學生，再從這9名學生中隨機抽取3人了解他們鍛煉時間較多的原因，記所抽取的3人中男生的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和均值．參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數(shù)據(jù)：α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)列聯(lián)表如下：體育不合格體育合格合計男10060160女11030140合計21090300零假設為H0：“體育合格”與性別無關，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝eq\f(300×100×30－110×602,210×90×140×160)≈9.184<10.828＝x0.001，所以依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，沒有充分的證據(jù)推斷H0不成立，即認為“體育合格”與性別無關．(2)易知，所抽取的9名學生中，男生為9×eq\f(60,90)＝6(名)，女生為3名．X的所有可能取值為0,1,2,3，且P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,84)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(3,14)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(15,28)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,21).所以X的分布列為X0123Peq\f(1,84)eq\f(3,14)eq\f(15,28)eq\f(5,21)所以E(X)＝0×eq\f(1,84)＋1×eq\f(3,14)＋2×eq\f(15,28)＋3×eq\f(5,21)＝2.課時精練1．(2022·日照模擬)近年來，隨著豬肉價格的上漲，作為飼料原材料之一的玉米，價格也出現(xiàn)了波動．為保證玉米銷售市場穩(wěn)定，相關部門某年9月份開始采取宏觀調(diào)控措施．該部門調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，這一年某地各月份玉米的銷售均價(元/斤)走勢如圖所示：(1)該部門發(fā)現(xiàn)，3月到7月，各月玉米銷售均價y(元/斤)與月份x之間具有較強的線性相關關系，試建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，若不調(diào)控，依據(jù)相關關系預測12月份玉米的銷售均價；(2)該部門在這一年的12個月份中，隨機抽取3個月份的數(shù)據(jù)作樣本分析，若關注所抽三個月份的所屬季度，記不同季度的個數(shù)為X，求X的分布列和均值．參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝3,7,x)i＝25，eq\i\su(i＝3,7,y)i＝5.36，eq\i\su(i＝3,7,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝0.64.經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)由題意知，月份x34567均價y0.950.981.111.121.20計算可得eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝1.072，eq\i\su(i＝3,7,)(xi－eq\x\to(x))2＝10，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝3,7,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝3,7,)xi－\x\to(x)2)＝0.064，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝0.752，∴從3月到7月，y關于x的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.06x＋0.75，當x＝12時，代入經(jīng)驗回歸方程得y＝1.47，即可預測12月份玉米銷售均價為1.47元/斤．(2)X的所有可能取值為1,2,3，則P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,55)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,55)，P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝eq\f(27,55)，∴X的分布列為X123Peq\f(1,55)eq\f(27,55)eq\f(27,55)E(X)＝1×eq\f(1,55)＋2×eq\f(27,55)＋3×eq\f(27,55)＝eq\f(136,55).2．(2022·沈陽模擬)第24屆冬奧會于2022年在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，冬奧會志愿者的服務工作是成功舉辦的重要保障．在冬奧會的志愿者選拔工作中，某高校承辦了冬奧會志愿者選拔的面試工作，面試成績滿分100分，現(xiàn)隨機抽取了80名候選者的面試成績分五組，第一組[45,55)，第二組[55,65)，第三組[65,75)，第四組[75,85)，第五組[85,95]，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知圖中從左到右前三個組的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同．(1)求a，b的值，并估計這80名候選者面試成績的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)和中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.1)；(2)已知抽取的80名候選人中，男生和女生各40人，男生希望參加張家口賽區(qū)志愿服務的有10人，女生希望參加張家口賽區(qū)志愿服務的有20人，補全下面2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為參加張家口賽區(qū)志愿者服務的候選人與性別有關？男生女生合計希望去張家口賽區(qū)1020不希望去張家口賽區(qū)合計4040(3)冰球項目的場地服務需要5名志愿者，有4名男生和3名女生通過該項志愿服務的選拔，需要通過抽簽的方式?jīng)Q定最終的人選，現(xiàn)將5張寫有“中簽”和2張寫有“未中簽”字樣的字條隨機分配給每一位候選人，記男生中簽的人數(shù)為X，求X的分布列及均值E(X)．參考數(shù)據(jù)及公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解(1)由題意可知20b＝10a＋0.45，(2a＋b＋0.065)×10＝1，解得a＝0.005，b＝0.025，所以平均值為50×0.05＋60×0.25＋70×0.45＋80×0.2＋90×0.05＝69.5，中位數(shù)為65＋eq\f(0.2,0.45)×10＝eq\f(625,9)≈69.4.(2)補全2×2列聯(lián)表：男生女生合計希望去張家口賽區(qū)102030不希望去張家口賽區(qū)302050合計404080零假設為H0：參加張家口賽區(qū)志愿者服務的候選人與性別無關，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到χ2＝eq\f(80×10×20－20×302,40×40×30×50)≈5.333>3.841＝x0.05，所以依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為參加張家口賽區(qū)志愿者服務的候選人與性別有關．(3)X的所有可能取值為2,3,4，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(3,3),C\o\al(5,7))＝eq\f(2,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(2,3),C\o\al(5,7))＝eq\f(4,7)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(1,3),C\o\al(5,7))＝eq\f(1,7)，所以X的分布列為X234Peq\f(2,7)eq\f(4,7)eq\f(1,7)所以E(X)＝2×eq\f(2,7)＋3×eq\f(4,7)＋4×eq\f(1,7)＝eq\f(20,7).3．(2022·南京模擬)某乒乓球教練為了解某同學近期的訓練效果，隨機記錄了該同學40局接球訓練成績，每局訓練時教練連續(xù)發(fā)100個球，該同學每接球成功得1分，否則不得分，且每局訓練結果相互獨立，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表，①求該同學40局接球訓練成績的樣本平均數(shù)eq\x\to(x)；②若該同學的接球訓練成績X近似地服從正態(tài)分布N(μ，100)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\x\to(x)，求P(54≤X≤64)的值；(2)為了提高該同學的訓練興趣，教練與他進行比賽．一局比賽中教練連續(xù)發(fā)100個球，該同學得分達到80分為獲勝，否則教練獲勝．若有人獲勝達3局，則比賽結束，記比賽的局數(shù)為Y.以頻率分布直方圖中該同學獲勝的頻率作為概率，求均值E(Y)．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)①由頻率分布直方圖可得eq\x\to(x)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.45＋85