高考高中數(shù)學(xué)79個(gè)解題方法

高考高中數(shù)學(xué)79個(gè)解題方法匯總

1.判斷兩者集合關(guān)系的3種常用方法

(1)判斷兩集合關(guān)系的3種常用方法

源兼金,限定泰祥整橐合元翥裹示足泉，Mibb

列舉法

(較集合元素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系

J一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一J

以靈翥而M而祥《大子；篇看兔一5「欣福「羹法

變形法

(等技巧，從元素結(jié)構(gòu)上找差異進(jìn)行判斷

J一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一/

;五同一個(gè)薪■工裝示出兩個(gè)橐合，比展端點(diǎn)之間、

數(shù)軸法

i的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系

、_________________________________________________________________________________________________________________________________________________J

2.根據(jù)兩者的關(guān)系求參數(shù)的方法

（2）根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法

方法一:1集舐翥點(diǎn)二二列一褊工展羹羹看扁磋豪通函:

：解方程（組）求解，此時(shí)注意集合中元素的互異性，

J一一一一_____X

:需靠春蓑宗廟亮不-攣全麻球豪-曾祓至加嘉盛五百禾

方法二

，等式（組）求解，此時(shí)需注意端點(diǎn)值能否取到;

J____________________________________________/

3.利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法

Q）與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取.

（2）若集合能一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系,再列方程（組）求解.

4.全稱命題與特稱命題真假的判斷方法

命題名稱真假判斷方法一判斷方法二

全稱命題真所有對(duì)象使命題為真否定為假

假存在一個(gè)對(duì)象的使命題為假否定為真

特稱命題真存在一個(gè)對(duì)象的使命問題為真否定為假

假所有對(duì)象的使命題為假否定為真

5.充分條件、必要條件的兩種判斷方法

（1）定義法：根據(jù)P=q,q=P進(jìn)行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

（2）集合法：根據(jù)p,q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷,適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題.

6.比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的方法

［注意］

Q)與命題真假判斷相結(jié)合問題.解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外,還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法.

(2)在求式子的范圍時(shí)，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等號(hào)不能同時(shí)取到，會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大.

7.利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍的方法

已知Ml<fl(a,b)<Nl,M2<f2(a,b)<N2，求g(a,b)的取值范圍.

⑴設(shè)g(a,b)=pfl(a,b)+qf2(a,b);

(2)根據(jù)恒等變形求得待定系數(shù)p,q;

(3)再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范圍.

8.解一元二次不等式的方法和步驟

fl訐算需應(yīng)于卷面出畫款;

「錄一出一好應(yīng)屆二元三正方7羹前寢;/廉朝另『：

f1式說明方程有沒有實(shí)根：

、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一

寫一閑為“大于取兩邊，小于取中間”寫由不奉式的露場(chǎng)

9.解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟

①二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論參數(shù)是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式；

②判斷一元二次不等式所對(duì)應(yīng)的方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，即討論判別式△與0的關(guān)系；

③確定方程無實(shí)根或有兩個(gè)相同實(shí)根時(shí)，可直接寫出解集；確定方程有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)，要討論兩個(gè)實(shí)根的大小關(guān)系，從而確定解集.

10.消元法求最值的方法

消元法，即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解.有時(shí)會(huì)出現(xiàn)多元的問題，解決方法是消元后利用基本不等式求解.但

應(yīng)注意保留元的范圍.

n.求函數(shù)定義域的兩種方法

方法解讀適合題型

直接法構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解已知函數(shù)的具體表達(dá)式，求f(x)的定義域

轉(zhuǎn)移法若y=f(x)的定義域?yàn)?a,b),則解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定義域已知f(x)的定義域,求f(g(x))的定義域

若y=f(g(x))的定義域?yàn)棰莃),則求出g(x)在⑶b)上的值域即得電)的定義域已知f(g(x))的定義域,求f(x)的定義域

12.求函數(shù)解析式的4種方法

法一由已知條件/(g(%))二F⑺，可將歹(")改寫成關(guān)

于g㈤的解析式，然后以％替代g(%),便得/(%)

配湊法的解痂式

對(duì)于形如y/g(%))的函數(shù)解析式，令力=g(%),

法二從中求出%=W(力)，然后代入解析式求出/(力)，

換元法再將力換成％，得到了(%)的解析式，要注意新元

的取值范圍

先設(shè)出含有待定系數(shù)的解析式，再利用恒等

法三

式的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程

待定系數(shù)法

V_______7(組)，通過解方程(組)求出相應(yīng)的待定系數(shù)

已知莢于/(%)與/(工)礪-%)而林花可寢

,法四、

據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方

解方程組法

\_______y程組，通過解方程組求出/(%)

13.利用定義法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

14.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法

定義法一；亮親兔父嬴-葡前瓦事詞屜比Q是策；

__________________一一/

屆-威豪贏兔-函-莪茁革詞氏向￥>±1說或「二-亮〕

圖象法1單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象i

，不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開寫，用“和”或“，”

1聯(lián)結(jié)，不能用“U”聯(lián)結(jié)：

導(dǎo)數(shù)法一；鼠用易藏取福的正、/瀛定函薪初竄函應(yīng)M

15.求函數(shù)最值的五種常用方法

單調(diào)性法—1先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值

先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低

圖象法―

?點(diǎn)，求出最值

先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三

基本不等式法一

相等”的條件后用基本不等式求出最值

形如片上［（女聲0）的函數(shù)常使用“分離

ax+b

分離常數(shù)法一?

常數(shù)法”求解

對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉

換元法—?的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值

16.利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小的方法

t俄函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同f單調(diào)區(qū)間內(nèi)，則要利用函數(shù)性質(zhì),將自變量的值轉(zhuǎn)化到同f單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行也交,對(duì)于選擇題、填空題通常

選用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解.

17.求二次函數(shù)解析式的方法

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：

［頂點(diǎn)坐

1對(duì)稱軸)1宜選用頂點(diǎn)式〕

［最大(小)值)

18比較指數(shù)鬲大小的常用方法

一是單調(diào)性法,不同底的指數(shù)函數(shù)化同底后就可施用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所以能夠化同底的盡可能化同底.

二是取中間值法，不同底、不同指數(shù)的指數(shù)函數(shù)比較大小時(shí)，先與中間值(特別是0,1)比較大小，然后得出大小關(guān)系.

三是圖解法，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象，借助圖象比較大小.

19.求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域的方法

⑴形如y=af(x)(a>o，且a,1)的函數(shù)求值域時(shí)，要借助換元法：令u=f(x),先求出u=f(x)的值域，再利用y=au的單調(diào)性求出y=af(x)的值域.

⑵形如y=af(x)(a>0,且awl)的函數(shù)單調(diào)性的判斷，首先確定定義域D,再分兩種情況討論：

當(dāng)a>l時(shí)，若f(x)在區(qū)間(m,n)上(其中(m,n)uD)具有單調(diào)性，則函數(shù)y=af(x)在區(qū)間(m,n)上的單調(diào)性與f(x)在區(qū)間(m,n)上的單調(diào)性相同；

當(dāng)0<a<l時(shí)，若f(x)在區(qū)間(m,n)上(其中(m,n)uD)具有單調(diào)性，則函數(shù)y=af(x)在區(qū)間(m,n)上的單調(diào)性與f(x)在區(qū)間(m,n)上的單調(diào)性相反.

20.對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值方法

首先利用薛的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化

成分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的形式，使倦的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后再

用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并

、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一?一■一一一一一一一一一一一一一一一一一一.

'花露］新】務(wù)扃-鹿薪彳藪初薪］至「福薪五最一

合并然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)

的積、商、塞的運(yùn)算

21.對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法

Q)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).

⑵一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

22.比較對(duì)數(shù)值的大小的方法

「:面底或」甘麗軒藪南羲由單源桂山轉(zhuǎn)

(對(duì)數(shù)值中同真期f印俑囪藜樂最矮花方向面藪舟藪而倒藪瓦帽

L：底更真藪可示同"可x審面量(如m朝：

23.解對(duì)數(shù)不等式的函數(shù)及方法

(1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定，需分a>l與0<a<l兩種情況討論；

(2)形如logax>b的不等式，需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式.

24.函數(shù)圖象的畫法

;當(dāng)函數(shù)解析式（或變形后的解析式）是熟悉的基

直接法，本函數(shù)時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征找出圖象的

（關(guān)鍵點(diǎn)直接作出圖象

像看鹿金福'容碧廟畝薪「二轉(zhuǎn)一

轉(zhuǎn)化法

；化為分段函數(shù)來畫圖象

1若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、

翻折、對(duì)稱得到，可利用圖象變換作出，但要注

圖象1

:意變換順序，對(duì)不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的

變換法

，要先變形，并應(yīng)注意平移變換的順序?qū)ψ儞Q單位

;及解析式的影響

25.函數(shù)圖象的辨識(shí)方法

⑴抓住函數(shù)的性質(zhì),定性分析

①?gòu)暮瘮?shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象上下位置；

②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；

④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性.

(2)抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算

利用函數(shù)的特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算，分析解決問題.

26.判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法

方法解讀適合題型

定理法利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷能夠容易判斷區(qū)間端點(diǎn)值所對(duì)應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)

圖象法畫出函數(shù)圖象，通過觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷容易畫出函數(shù)的圖象

27.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法

(1)方程法：令f(x)=O,如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2淀理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a>f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性)

才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)圖形法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

28.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)有三種常用方法

(D直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解.

29.判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的方法

(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.

(2)驗(yàn)證法:根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇符合實(shí)際情況的答案.

30.嵌套函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

破解此類問題的主要步驟

⑴換元解套，轉(zhuǎn)化為t=g(x)與y=f(t)的零點(diǎn).

(2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判斷圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

31.求曲線切線方程的步驟

⑴求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=xO處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(xO,f(xO))處切線的斜率.

⑵由點(diǎn)斜式方程求得切線方程為y-f(xO)=f'(xO)-(x-xO).

32.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算方法

:連乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)1

導(dǎo)、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一J

:分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函，

數(shù)

，數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo);

的、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一J

運(yùn):對(duì)數(shù)形式：先化為和、差的形式，再求導(dǎo);

、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一J

算

:根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)氟的形式，再求導(dǎo)1

方、一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一「

法「三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形1

:式再求導(dǎo):

33.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍.

34.討論函數(shù)f(x)單調(diào)性的步驟

⑴確定函數(shù)f(x)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)f,(x),并求方程f'(x)=0的根;

(3)利用f'(x)=O的根將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論f'(x)的正負(fù)，由符號(hào)確定f(x)在該區(qū)間上的單調(diào)性.

35.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法

⑴當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f'(x)>0或f,(x)<0求出單調(diào)區(qū)間.

(2)當(dāng)方程f'(x)=O可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分區(qū)間，確定各區(qū)間內(nèi)f'(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間.

(3)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解時(shí),根據(jù)f'(x)的結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f'(x)的符號(hào),從而確定單調(diào)區(qū)間.

36.由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法

Q)由可導(dǎo)函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增(或遞減)求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f'(x?O(或f'(x)sO)對(duì)XWD恒成立問題，再參變分離，轉(zhuǎn)化為求最值問題，要注意"="

是否取到.

(2)可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化成不等式問題.

(3)若已知f(x)在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出f(x)的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍.

37.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般步驟

38.求函數(shù)f(x)在［a,b］上最值的方法

(1)若函數(shù)在區(qū)間［a,b］上單調(diào)遞增或遞減，f(a)與f(b)一介為最大值,一個(gè)為最小值.

(2)若函數(shù)在閉區(qū)間［a,b］內(nèi)有極值,要先求出［a,b］上的極值，與f(a),f(b)比較,最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.

(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上有唯一個(gè)極值點(diǎn)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.

39.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的3種方法

直接法令f(x)=O,則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

畫圖法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)易畫出圖象的函數(shù)，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)

定理法利用零點(diǎn)存在性定理判定，可結(jié)合最值、極值去解決

40.象限角的2種判斷方法

圖象法在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角

轉(zhuǎn)化法先將已知角化為k-36(r+a((rwV360。，kez)的形式，即找出與已知角終邊相同的角a,再由角a終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角

41.求或n9(neN*)所在象限的步驟

①將。的范圍用不等式(含有k,且kwZ)表示；

②兩邊同除以n或乘以n;

③對(duì)k進(jìn)行討論,得到或ne(neN*)所在的象限.

42.三角函數(shù)值符號(hào)的判斷方法

要判定三角函數(shù)值的符號(hào),關(guān)鍵是要搞清三角函數(shù)中的角是第幾象限角,再根據(jù)正、余弦函數(shù)值在各象限的符號(hào)確定值的符號(hào).如果不能確定角所在的象限,

那就要進(jìn)行分類討論求解.

43.sina±cosa與sinacosa關(guān)系的應(yīng)用方法

(1)通過平方,sina+cosa,sina-cosa,sinacos間可建立聯(lián)系，若令sina+cosa=t,則sinacosa=,sina-cosa=士(注意根據(jù)a的范圍選

取正、負(fù)號(hào)).

(2)對(duì)于sina+cosa,sina-cosa,sinacosa這三個(gè)式子,可以知一求二.

44.誘導(dǎo)公式的用法

①化負(fù)為正，化大為小，化到銳角為止；

②角中含有加減的整數(shù)倍時(shí)，用公式去掉的整數(shù)倍.

45.常見的互余和互補(bǔ)的角寫法

①常見的互余的角：-a與+a;+a與-a;+a與-a等；

②常見的互補(bǔ)的角：+e與-e；+e與-e等.

46.三角函數(shù)公式活用方法

①逆用公式應(yīng)準(zhǔn)確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；

②tanatanB,tana+tan0(或tana-tanP),tan(a+位(或tan(a邛))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用.

47.三角函數(shù)公式逆用和變形使用方法

①公式逆用時(shí)一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系；

②注意特殊角的應(yīng)用，當(dāng)式子中出現(xiàn)，1,,等這些數(shù)值時(shí)，一定要考慮引入特殊角，把"值變角"以便構(gòu)造適合公式的形式.

48.三角公式求值中變角的解題方法

①當(dāng)"已知角"有兩個(gè)時(shí)，"所求角"一般表示為兩個(gè)“已知角"的和或差的形式；

②當(dāng)"已知角"有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角"與"已知角"的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把"所求角"變成"已知角”.

49.常見的配角方法

2a=(a+P)+(a-P),a=(a+P)-p,p=-,a=+,=-等.

50.三角函數(shù)名的變換方法

明確各個(gè)三角函數(shù)名稱之間的聯(lián)系，常常用到同角關(guān)系、誘導(dǎo)公式，把正弦、余弦化為正切，或者把正切化為正弦、余弦.

51.求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的兩種方法

Q)代換法：就是將I：匕較復(fù)雜的三角函數(shù)含自變量的代數(shù)式整體當(dāng)作一個(gè)角u(或t),利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解.

(2)圖象法：畫出三角函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求它的單調(diào)區(qū)間.

52.三角函數(shù)值域的求法

Q)利用y=sinx和y=cosx的值域直接求.

⑵把所給的三角函數(shù)式變換成y=Asin(3x+⑹+b(或y=Acos(wx+⑹+b)的形式求值域.

⑶把sinx或cosx看作一個(gè)整體，將原函數(shù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

(4)利用sinx±cosx和sinxcosx的關(guān)系將原函數(shù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.

53.已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)必須明確一個(gè)不同，掌握兩種方法

Q)明確一個(gè)不同."函數(shù)f(x)在區(qū)間M上單調(diào)"與"函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為N"兩者的含義不同，顯然M是N的子集.

(2)掌握兩種方法.已知函數(shù)在區(qū)間M上單調(diào)求解參數(shù)問題，主要有兩種方法：一是利用已知區(qū)間與單調(diào)區(qū)間的子集關(guān)系建立參數(shù)所滿足的關(guān)系式求解；二是

利用導(dǎo)數(shù),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間M上的保號(hào)性，由此列不等式求解.

54.三角函數(shù)奇偶性的判斷方法

三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y=Asin3X或y=Atanu)x的形式，而偶函數(shù)可化為y=Acostox+b的形式.

55.三角函數(shù)周期的計(jì)算方法

利用函數(shù)y=Asin(3x+(p)(3>0),y=Acos(3x+<p)(3>0)的最小正周期為，函數(shù)丫=人1211(3*+平)(3>0)的最小正周期為求解

56.三角函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心的求解思路和方法

(1)思路：函數(shù)y=Asin(ujx+⑹圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心可結(jié)合y=sinx圖象的對(duì)稱ffl和對(duì)稱中心求解.

(2)方法：利用整體代換的方法求解，令3x+<p=kn+,kez,解得x=,kez,即對(duì)稱軸方程；令3x+(p=kn,kez,解得x=,kez,即對(duì)稱中心的橫

坐標(biāo)(縱坐標(biāo)為0).對(duì)于y=Acos(3x+(p),y=Atan(wx+(p),可以利用類似方法求解(注意y=Atan(3x+cp)的圖象無對(duì)稱軸).

57.解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的方法

先將y=f(x)化為y=asinx+bcosx的形式，然后用輔助角公式化為y=Asin(wx+⑹的形式，再借助y=Asin(wx+cp)的性質(zhì)(如周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等)

解決相關(guān)問題.

58.三角函數(shù)中3值的求法

⑴利用三角函數(shù)的周期T求解

解決此類問題的關(guān)鍵在于結(jié)合條件弄清周期丁=與所給區(qū)間的關(guān)系，從而建立不等關(guān)系.

⑵利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，確定函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)g(x)=2sin3x(3>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，建立不等式，即可求3的取值范圍.

⑶利用三角函數(shù)的對(duì)稱性求解

三角函數(shù)兩條相鄰對(duì)稱軸或兩個(gè)相鄰對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的“水平間隔”為，這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)

稱性來研究其周期性，進(jìn)而可以研究"3"的取值.值得一提的是,三角函數(shù)的對(duì)稱軸必經(jīng)過其圖象上的最高點(diǎn)(極大值)或最低點(diǎn)(極小值),函數(shù)f(x)=Asin(3

x+<p)的對(duì)稱中心就是其圖象與x軸的交點(diǎn)，這就說明，我們也可利用三角函數(shù)的極值點(diǎn)(最值點(diǎn))、零點(diǎn)之間的“差距”來確定其周期，進(jìn)而可以確定"3"

的取值.

⑷利用三角函數(shù)的最值求解

利用三角函數(shù)的最值與對(duì)稱或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于3的不等式，進(jìn)而求出3的值或取值范圍.

59.函數(shù)y=Asin(3X+<p)(A>0,3>0)的圖象的兩種作法

五點(diǎn)法設(shè)z=3x+，，由z取0,,n,n,2n來求出相應(yīng)的x,通過列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象

圖象變換法由函數(shù)y=sinx的圖象通過變換得到y(tǒng)=Asin(3x+<t>)的圖象，有兩種主要途徑"先平移后伸縮"與"先伸縮后平移”

60.確定y=Asin(u>x+(p)+b(A>0,w>0)的步驟和方法

(1)求A,b,確定函數(shù)的最大值M和最小值m,

則A=,b=.

(2)求3,確定函數(shù)的最小正周期T,則可得3=.

(3)求中,常用的方法有：

①代入法：把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí)A,3,b已知)或代入圖象與直線y=b的交點(diǎn)求解(此時(shí)要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上);

②特殊點(diǎn)法：確定中值時(shí)，往往以尋找"最值點(diǎn)"為突破口.具體如下：

“最大值點(diǎn)"(即圖象的"峰點(diǎn)")時(shí)3x+(p=+2kn(kGZ);"最小值點(diǎn)"(即圖象的“谷點(diǎn)")時(shí)3x+<p=+2kn(keZ).

61.求解三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合問題的方法

先將y=f(x)化為y=Asin(3x+(p)+B的形式，再借助丫=人5沿(3*+⑹的圖象和性質(zhì)(如定義域、值域、最值、周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題.

Q)正、余弦定理的選用

①利用正弦定理可解決兩類三角形問題：一是已知兩角和一角的對(duì)邊，求其他邊或角；二是已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其他邊或角；

②利用余弦定理可解決兩類三角形問題：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊或角；二是已知三邊求角.由于這兩種情形下的三角形是唯一確定的，所以其

解也是唯T勺.

(2)三角形解的個(gè)數(shù)的判斷

已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行

判斷.

62.判定三角形形狀的兩種常用途徑

判奇彳通過正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)

力上二u口恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；1

定

途

徑通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三，

邊化角

角恒等變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行，

判斷:

63.求三角形面積的方法

(1)若三角形中已知一個(gè)角(角的大小或該角的正、余弦值),結(jié)合題意求解這個(gè)角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積；

(2)若已知三角形的三邊，可先求其中一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之,結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.

64.已知三角形面積求邊、角的方法

(1)若求角，就尋求這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；

(2)若求邊,就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解.

共

線:'證明向量共線：對(duì)于向量明瓦若存在實(shí)數(shù)人，)

向

；使a二人辦(萬關(guān)0)，則a與b共線;

量J—————————————―———————一———————————————————

定(證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)入，使存人公\

理

;則4,aC三點(diǎn)共線；

的一一_____一___一一一_________一__________一一___一

應(yīng)

用像彖藪曲德一前時(shí)其涯-向一基比至友而疊加攀的］

:條件列方程(組)求參數(shù)的值;

J_____________________________________________

65.巧建系妙解題，常見的建系方法如下

(1)利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系

若圖形中有明顯互相垂直且相交于一點(diǎn)的兩條直線(如矩形、直角梯形等)，可以利用這兩條直線建立坐標(biāo)系.

(2)利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系

圖形中雖沒有明顯互相垂直交于一點(diǎn)的兩條直線，但有一定對(duì)稱關(guān)系佼口：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身對(duì)稱性建系.建立平面直角坐標(biāo)系的基本原

則是盡可能地使頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,或在同一象限.

66.求向量的?；蚱浞秶姆椒?/p>

(1)定義法：同==,|a±b|==.

(2)坐標(biāo)法：設(shè)a=(x,y),則|a|=.

(3)幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用解三角形的相關(guān)知識(shí)求解.

67.處理平面向量與三角函數(shù)的綜合問題方法

(D題目條件給出的向量坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式，然后求解.

(2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo)，要求的是向量的?；蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式，解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算，利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性，求得值

域等.

68.由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用方法

；形如Gn=pa〃_i+m(p、加為常數(shù)，p*l,mXO)時(shí)，；

構(gòu)造法

；構(gòu)造等比數(shù)列：

/如冊(cè)二冊(cè)_1+/5)("(必可錄笳)衽用呈加短

累加法

:求解

y>————————————————————————————————————————————?

累積法一:形如^;二人切^八幾)｝可求積)時(shí)，用累積法求解

69.解決數(shù)列單調(diào)性問題的三種方法

①用作差匕匕較法，根據(jù)an+1-an的符號(hào)判斷數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列.遞減數(shù)列還是常數(shù)列；

②用作商比較法，根據(jù)(an>0或an<0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；

③結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷.

70.求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法

①可以利用不等式組(n22)找到數(shù)列的最大項(xiàng)；

②利用不等式組(n22)找到數(shù)列的最小項(xiàng).

71.解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

推斷數(shù)列的通項(xiàng)公式

解答此類問題的具體步驟：

Q)分式中分子、分母的特征；

(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；

⑶拆項(xiàng)后的特征；

⑷各項(xiàng)的符施正和絕對(duì)值特征；

(5)化異為同,對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；

⑹對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用(-l)k或(-l)k+1,kGN*處理.

72.等差數(shù)列的判定與證明方法

如果一個(gè)數(shù)列｛冊(cè)｝從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的

定義法前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么可以判斷

數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列

等差中如果一個(gè)數(shù)列｛冊(cè)｝對(duì)任意的正整數(shù)幾都滿足

項(xiàng)法計(jì)冊(cè)+2,那么可以判斷｛冊(cè)｝為等差數(shù)列