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文檔簡介
1.2空間向量基本定理【考點梳理】考點一空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.我們把{a,b,c}叫做空間的一個基底,a,b,c都叫做基向量.考點二空間向量的正交分解1.單位正交基底如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,且長度都是1,那么這個基底叫做單位正交基底,常用{i,j,k}表示.2.向量的正交分解由空間向量基本定理可知,對空間任一向量a,均可以分解為三個向量xi,yj,zk使得a=xi+yj+zk.像這樣把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進行正交分解.考點三證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ,使a=λb.(2)如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.考點三求夾角、證明垂直問題(1)θ為a,b的夾角,則cosθ=eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a,b是非零向量,則a⊥b?a·b=0.知識點三求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))=eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))=eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)))).【題型歸納】題型一:空間向量基底概念1.(2021·廣東·廣州市海珠中學(xué)高二期中)下列說法正確的是(
)A.任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底B.空間的基底有且僅有一個C.兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一個基底D.直線的方向向量有且僅有一個2.(2021·云南師大附中高二期中)已知能構(gòu)成空間的一個基底,則下面的各組向量中,不能構(gòu)成空間基底的是(
)A. B. C. D.3.(2021·湖南·周南中學(xué)高二)設(shè)向量不共面,則下列可作為空間的一個基底的是(
)A. B.C. D.題型二:空間基底表示向量4.(2022·四川·成都外國語學(xué)校高二階段練習(xí)(理))如圖,在三棱錐中,設(shè),若,則=(
)A. B.C. D.5.(2022·江蘇常州·高二期中)在四面體中,,點在上,且為中點,則(
)A. B.C. D.6.(2022·湖北·武漢市第十九中學(xué)高二期末)如圖,在四面體OABC中,,,,點在線段上,且,為的中點,則等于(
)A. B.C. D.題型三:空間向量基本定理判斷共面7.(2022·全國·高二)已知,,三點不共線,為平面外一點,下列條件中能確定,,,四點共面的是(
)A. B.C. D.8.(2022·全國·高二)對空間任一點O和不共線三點A?B?C,能得到P?A?B?C四點共面的是(
)A. B.C. D.以上都錯9.(2022·全國·高二)下列向量關(guān)系式中,能確定空間四點P,Q,R,S共面的是(
)A. B.C. D.題型四:空間向量共面求參數(shù)10.(2022·江西·臨川一中高二期末(理))已知空間向量,,,若,,共面,則m+2t=(
)A.-1 B.0 C.1 D.-611.(2022·江蘇·高二課時練習(xí))已知,,是三個不共面的向量,,,,且,,,四點共面,則的值為(
).A. B.1C. D.212.(2021·山東省實驗中學(xué)高二期中)已知A,B,C三點不共線,O是平面外任意一點,若,則A,B,C,M四點共面的充要條件是(
)A. B.C. D.題型五:空間向量基本定理的應(yīng)用
13.(2022·四川·閬中中學(xué)高二階段練習(xí)(理))已知存在非零實數(shù)使得,且,則的最小值為(
)A. B.8 C. D.14.(2022·安徽蚌埠·高二期末)在下列命題中正確的是(
)A.已知是空間三個向量,則空間任意一個向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線,則不共面C.若三個向量兩兩共面,則共面D.已知A,B,C三點不共線,若,則A,B,C,D四點共面15.(2021·吉林·長春市第二十九中學(xué)高二)已知、、三點不共線,點是平面外一點,則在下列各條件中,能得到點與、、一定共面的是(
)A. B.C. D.題型六:空間向量基本定理16.(2022·全國·高二課時練習(xí))如圖所示,已知是平行六面體.(1)化簡;(2)設(shè)是底面的中心,是側(cè)面對角線上的分點,設(shè),試求,,的值.17.(2021·河北·石家莊市第六中學(xué)高二期中)如圖,已知正方體.點是上底面的中心,取為一個基底,在下列條件下,分別求的值.(1);(2).【雙基達標】一、單選題18.(2022·四川省成都市新都一中高二期中(理))已知,,,為空間中四點,任意三點不共線,且,若,,,四點共面,則的值為(
)A.0 B.1 C.2 D.319.(2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí))如圖,OABC是四面體,G是的重心,是OG上一點,且,則(
)A. B.=C.= D.=20.(2022·四川省綿陽南山中學(xué)高二期中(理))如圖,OABC是四面體,G是的重心,是OG上一點,且,則(
)A. B.C. D.21.(2022·四川省綿陽南山中學(xué)高二期中(理))已知O,A,B,C為空間四點,且向量,,不能構(gòu)成空間的一個基底,則一定有(
)A.,,共線 B.O,A,B,C中至少有三點共線C.與共線 D.O,A,B,C四點共面22.(2022·江蘇宿遷·高二期中)已知是所在平面外一點,是中點,且,則(
)A.0 B.1 C.2 D.323.(2022·福建龍巖·高二期中)在平行六面體中,點是線段的中點,,設(shè),,,則(
)A. B. C. D.24.(2022·全國·高二課時練習(xí))設(shè),,,且是空間的一個基底,給出下列向量組:①;②;③;④,則其中可以作為空間的基底的向量組有(
)A.1 B.2 C.3 D.425.(2022·廣東深圳·高二期末)如圖,在三棱柱中,E,F(xiàn)分別是BC,的中點,,則(
)A.B.C.D.26.(2022·全國·高二課時練習(xí))在平行六面體中,已知BA,BC,為三條不共面的線段,若,則的值為(
).A.1 B. C. D.27.(2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二階段練習(xí)(理))已知空間的一組基底,若與共線,則的值為(
).A.2 B. C.1 D.0【高分突破】一:單選題28.(2022·吉林·長春吉大附中實驗學(xué)校高二期末)已知空間向量,,,下列命題中正確的個數(shù)是(
)①若與共線,與共線,則與共線;②若,,非零且共面,則它們所在的直線共面;⑧若,,不共面,那么對任意一個空間向量,存在唯一有序?qū)崝?shù)組,使得;④若,不共線,向量,則可以構(gòu)成空間的一個基底.A.0 B.1 C.2 D.329.(2022·江蘇省阜寧中學(xué)高二期中)《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算,其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖,在塹堵中,分別是的中點,是的中點,若,則(
)A.1 B. C. D.30.(2022·安徽蕪湖·高二期末)下列命題中正確的個數(shù)為(
)①若向量,與空間任意向量都不能構(gòu)成基底,則;②若向量,,是空間一組基底,則,,也是空間的一組基底;③為空間一組基底,若,則;④對于任意非零空間向量,,若,則.A.1 B.2 C.3 D.4二、多選題31.(2022·福建福州·高二期中)如圖,在平行六面體中,,,.若,,則(
)A. B.C.A,P,三點共線 D.A,P,M,D四點共面32.(2022·河北邯鄲·高二期末)已知,,是空間的一個基底,則下列說法中正確的是(
)A.若,則B.,,兩兩共面,但,,不共面C.一定存在實數(shù)x,y,使得D.,,一定能構(gòu)成空間的一個基底33.(2022·廣東惠州·高二期末)下面四個結(jié)論正確的是(
)A.空間向量,,若,則B.若對空間中任意一點O,有,則P、A、B、C四點共面C.已知是空間的一組基底,若,則也是空間的一組基底D.任意向量,,滿足34.(2021·浙江·金華市曙光學(xué)校高二階段練習(xí))已知點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點,且(,),則,的值可能為(
)A., B., C., D.,35.(2021·湖南·郴州市第三中學(xué)高二期中)下列結(jié)論正確的是(
)A.三個非零向量能構(gòu)成空間的一個基底,則它們不共面B.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底,則這兩個向量共線C.若,是兩個不共線的向量,且,且,則,,構(gòu)成空間的一個基底D.若,,不能構(gòu)成空間的一個基底,則,,,四點共面36.(2021·浙江省杭州第二中學(xué)高二期中)已知是空間中的一個基底,則下列說法正確的是(
)A.存在不全為零的實數(shù),,,使得B.對空間任一向量,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使得C.在,,中,能與,構(gòu)成空間另一個基底的只有D.不存在另一個基底,使得37.(2021·重慶·高二階段練習(xí))下列命題中,正確的有(
)A.空間任意向量都是共面向量B.已知,,,四點共面,對空間任意一點,若,則C.在四面體中,若,,則D.若向量是空間一組基底,則也是空間的一組基底38.(2022·湖南省臨湘市教研室高二期末)已知M,A,B,C四點互不重合且任意三點不共線,則下列式子中能使成為空間的一個基底的是(
)A. B.C. D.三、填空題39.(2022·全國·高二課時練習(xí))如圖,在三棱柱中,M為的中點,若,,,則______.(用、、表示)40.(2022·江蘇常州·高二期中)已知是所在平面外一點,,且,則實數(shù)的值為____________.41.(2022·全國·高二)已知是平面上的兩個向量,有以下命題:①平面上任意一個向量;②若存在,使,則;③若不共線,則空間任意一個向量;④若不共線,且與共面,則都有.請?zhí)钌纤姓婷}的序號___________.42.(2022·廣東珠海·高二期末)已知四面體中,,分別在,上,且,,若,則________.43.(2021·福建·三明一中高二)如圖所示,M是四面體OABC的棱BC的中點,點N在線段OM上,點P在線段AN上,且AP=3PN,,設(shè),,則________(用來表示)44.(2022·全國·高二期末)已知三棱錐,點M,N分別為線段AB,OC的中點,且,,,用,,表示,則等于_____________.45.(2022·全國·高二)已知關(guān)于向量的命題,(1)是,共線的充分不必要條件;(2)若,則存在唯一的實數(shù),使;(3),,則;(4)若為空間的一個基底,則構(gòu)成空間的另一基底;(5).在以上命題中,所有正確命題的序號是________.四、解答題46.(2022·江蘇·徐州市王杰中學(xué)高二)如圖,在空間四邊形中,已知是線段的中點,在上,且.(1)試用,,表示向量;(2)若,,,,,求的值.47.(2022·全國·高二)如圖,在平行六面體中,,.(1)求證:、、三點共線;(2)若點是平行四邊形的中心,求證:、、三點共線.48.(2022·江蘇·揚州中學(xué)高二階段練習(xí))如圖,在四面體OABC中,M是棱OA上靠近A的三等分點,N是棱BC的中點,P是線段MN的中點.設(shè),,.(1)用,,表示向量;(2)若,且滿足(從下列三個條件中任選一個,填上序號:①;②;③,則可求出的值;并求出的大?。?9.(2021·山東濟寧·高二期中)已知平行六面體中,底面是邊長為1的正方形,,.(1)求;(2)求.【答案詳解】1.C【詳解】對于A,任何三個不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個基底,所以A錯誤,B錯誤;對于C,兩兩垂直的三個非零向量不共面,可構(gòu)成空間的一個基底,C正確;對于D,直線的方向向量有無數(shù)個,所以D錯誤.故選:C2.C【詳解】由圖形結(jié)合分析三個向量共面,不構(gòu)成基底,故選:C3.C選項A:由于,三個向量共面,故不能作為空間的一個基底;選項B:由于,三個向量共面,故不能作為空間的一個基底;選項C:若三個向量共面,則存在,使得,則向量共面,矛盾,故三個向量不共面,因此可以作為空間的一個基底;選項D:由于,三個向量共面,故不能作為空間的一個基底;故選:C4.A【詳解】連接.故選:A5.B【解析】【分析】利用空間向量的線性運算,空間向量基本定理求解即可.【詳解】解:點在線段上,且,為中點,,,.故選:B.6.D【解析】【分析】利用空間向量的加法與減法可得出關(guān)于、、的表達式.【詳解】.故選:D.7.D【解析】【分析】根據(jù)點與點共面,可得,驗證選項,即可得到答案.【詳解】設(shè),若點與點共面,則,對于選項A:,不滿足題意;對于選項B:,不滿足題意;對于選項C:,不滿足題意;對于選項D:,滿足題意.故選:D.8.B【解析】【分析】證明出若且,則、、、四點共面,進而可得出合適的選項.【詳解】設(shè)且,則,,則,所以,、、為共面向量,則、、、四點共面.對于A選項,,,、、、四點不共面;對于B選項,,,、、、四點共面;對于C選項,,,、、、四點不共面.故選:B.9.D【解析】【分析】由,得,即得解.【詳解】由,得,即,所以,為共面向量,故四點共面.故選:.10.D【解析】【分析】根據(jù)向量共面列方程,化簡求得.【詳解】,所以不共線,由于,,共面,所以存在,使,即,,,,,即.故選:D11.B【解析】【分析】根據(jù)已知條件用,,表示,,再由空間共面向量定理設(shè),再列方程組,解方程組即可求解.【詳解】因為,,所以,,由空間共面向量定理可知,存在實數(shù)滿足,即,所以,解得,所以的值為,故選:B.12.B【解析】【分析】由四點共面的充要可得,求解即可.【詳解】O是平面外任意一點,且,若A,B,C,M四點共面的充要條件是,即.故選:B.13.A【解析】【分析】根據(jù)向量的共面定理,得到,再結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意,存在非零實數(shù)使得,可得,即四點共面,因為,根據(jù)向量的共面定量,可得,即,又由,當且僅當時,即時,等號成立,所以的最小值為.故選:A.14.D【解析】【分析】對于A,利用空間向量基本定理判斷,對于B,利用向量的定義判斷,對于C,舉例判斷,對于D,共面向量定理判斷【詳解】對于A,若三個向量共面,在平面,則空間中不在平面的向量不能用表示,所以A錯誤,對于B,因為向量是自由向量,是可以自由平移,所以當所在的直線是異面直線時,有可能共面,所以B錯誤,對于C,當三個向量兩兩共面時,如空間直角坐標系中的3個基向量兩兩共面,但這3個向量不共面,所以C錯誤,對于D,因為A,B,C三點不共線,,且,所以A,B,C,D四點共面,所以D
正確,故選:D15.B【解析】【分析】證明出當,且,則點、、、共面.然后逐項驗證可得合適的選項.【詳解】若,且,則,則,即,所以,點、、、共面.對于A選項,,A選項中的點、、、不共面;對于B選項,,B選項中的點、、、共面;對于C選項,,C選項中的點、、、不共面;對于D選項,,D選項中的點、、、不共面.故選:B.16.(1);(2),,.【解析】【分析】(1)利用平行六面體的性質(zhì)及向量的線性運算即得;(2)利用向量線性運算的幾何表示可得,進而即得.(1)∵是平行六面體,∴(2)∵,又,∴,,.17.(1)(2)【解析】【分析】(1)利用空間向量的加法運算,結(jié)合相等向量,由空間向量的基本定理求解;(2)利用空間向量的加法運算,結(jié)合相等向量,由空間向量的基本定理求解;(1)解:,,又因為,所以;(2),,,,又因為,所以.18.D【解析】【分析】根據(jù)四點共面結(jié)論:若四點共面,則且,【詳解】若,,,四點共面,則,則故選:D.19.B【解析】【分析】利用向量加法減法的幾何意義并依據(jù)空間向量基本定理去求向量【詳解】連接AG并延長交BC于N,連接ON,由G是的重心,可得,則則故選:B20.D【解析】【分析】利用向量加法減法的幾何意義并依據(jù)空間向量基本定理去求向量【詳解】連接AG并延長交BC于N,連接ON,由G是的重心,可得,則則故選:D21.D【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理即可判斷【詳解】由于向量,,不能構(gòu)成空間的一個基底知,,共面,所以O(shè),A,B,C四點共面故選:D22.A【解析】【分析】利用向量減法的三角形法則進行計算即可.【詳解】因為M是PC中點,,又,,∴.故選:A.23.B【解析】【分析】利用向量加法的平行四邊形法則,減法的三角形法則即可求解【詳解】因為為中點,所以所以即故選:B24.C【解析】【分析】以為頂點作,,,作出平行六面體,根據(jù)空間向量的加法法則作出,,然后判斷各組向量是否共面可得結(jié)論.【詳解】如圖,作平行六面體,,,,則,,,,由平行六面體知,共面,不共面,不共面,不共面,因此可以作為空間的基底的有3組.故選:C.25.D【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運算的幾何意義進行求解即可.【詳解】,故選:D.26.B【解析】【分析】根據(jù)向量的加法法則及共面向量的基本定理即可求解.【詳解】根據(jù)向量的加法法則可得,又,且不共面,所以,解得,所以.故選:B.27.D【解析】【分析】根據(jù)與共線,由,即可求解.【詳解】因為與共線,空間的一組基底,所以,所以解得,所以x+y=0.故選:D.28.B【解析】【分析】用向量共線或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若與,與共線,,則不能判定,故①錯誤;若非零向量共面,則向量可以在一個與組成的平面平行的平面上,故②錯誤;不共面,意味著它們都是非零向量,可以作為一組基底,故③正確;,∴與共面,故不能組成一個基底,故④錯誤;故選:C.29.C【解析】【分析】連接,由,即可求出答案.【詳解】連接如下圖:由于是的中點,.根據(jù)題意知..故選:C.30.C【解析】【分析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運算即可判斷命題①②③,根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①:向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個基底,則與共線或與其中有一個為零向量,所以,故①正確;②:由向量是空間一組基底,則空間中任意一個向量,存在唯一的實數(shù)組使得,所以也是空間一組基底,故②正確;③:由為空間一組基底,若,則,所以,故③正確;④:對于任意非零空間向量,,若,則存在一個實數(shù)使得,有,又中可以有為0的,分式?jīng)]有意義,故④錯誤.故選:C31.BD【解析】【分析】根據(jù)空間向量運算判斷AB選項的正確性,根據(jù)三點共線、四點共面的知識判斷CD選項的正確性.【詳解】,A選項錯誤.,B選項正確.則是的中點,,,則不存在實數(shù)使,所以C選項錯誤.,由于直線,所以四點共面,所以D選項正確.故選:BD32.ABD【解析】【分析】利用空間向量的基底的概念及空間向量基本定理逐項分析即得.【詳解】∵,,是空間的一個基底,則,,不共面,且兩兩共面?不共線,∴若,則,A正確,B正確;若存在x,y使得,則,,共面,與已知矛盾,C錯誤;設(shè),則,此方程組無解,∴,,不共面,D正確.故選:ABD.33.ABC【解析】【分析】空間向量垂直的數(shù)量積表示可判斷A;由向量四點共面的條件可判斷B;由空間向量基底的定義可判斷C;是一個數(shù)值,也是一個數(shù)值,說明和存在倍數(shù)關(guān)系,或者說共線,可判斷D.【詳解】空間向量,,若,則,故A正確;對空間中任意一點O,有,且,則P、A、B、C四點共面,故B正確;因為是空間的一組基底,所以不共面,,則也不共面,即也是空間的一組基底,故C正確;任意向量,,滿足,由于是一個數(shù)值,也是一個數(shù)值,則說明和存在倍數(shù)關(guān)系,或者說共線,不一定相等,故D錯誤.故選:ABC.34.CD【解析】【分析】根據(jù)平面向量基本定理,結(jié)合空間向量加法的幾何意義進行求解即可.【詳解】因為點為三棱錐的底面所在平面內(nèi)的一點,所以由平面向量基本定理可知:,化簡得:,顯然有,而,所以有,當,時,,所以選項A不可能;當,時,,所以選項B不可能;當,時,,所以選項C可能;當,時,,所以選項D可能,故選:CD35.ABD【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理即可判斷出各個選項的正誤.【詳解】解:對于選項A:三個非零向量能構(gòu)成空間的一個基底,則三個非零向量不共面,所以選項A正確,對于選項B:三個非零向量不共面,則此三個向量可以構(gòu)成空間的一個基底,若兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底,則這三個向量共面,則已知的兩個向量共線,所以選項B正確,對于選項C:、且、,,,共面,不能構(gòu)成基底,所以選項C錯誤,對于選項D:、、共起點,若、、、四點不共面,則必能作為空間的一個基底,所以選項D正確,故選:ABD.36.BC【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底概念分別判斷即可.【詳解】對于A,若存在不全為零的實數(shù),,,使得,,,不能構(gòu)成空間的一個基底,所以A錯;對于B,因為,,構(gòu)成空間的一個基底,所以對空間任一向量,總存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,,,使得,所以B對;對于C,因為,,所以,,不能與,構(gòu)成空間另一個基底;又因為設(shè),,若,所以與,構(gòu)成空間另一個基底;所以在,,中,能與,構(gòu)成空間另一個基底的只有,所以C對;對于D,存在,根據(jù)向量運算幾何意義,表示以為頂點,以,,為相鄰三邊的長方體對角線,繞此對角線長方體旋轉(zhuǎn),基底也變?yōu)榱硪换?,,,都滿足,所以D錯誤.故選:BC37.ACD【解析】【分析】利用空間向量共面定理及數(shù)量積運算,逐一分析判斷即可.【詳解】解:對于,空間任意向量都是共面向量,所以A正確對于B,已知,,,四點共面,對空間任意一點,若則,解得,所以B錯誤對于C,在四面體中,若,,則,所以C正確對于D,因為向量是空間一組基底,則對于空間任一向量,都存在實數(shù),,,使得,即,所以也是空間的一組基底,所以D正確.故選:ACD.38.AC【解析】【分析】根據(jù)基底的性質(zhì),結(jié)合各選項中向量的線性關(guān)系、空間向量基本定理判斷M、A、B、C是否共面,即可知是否能成為空間基底.【詳解】A:因為,且,利用平面向量基本定理知:點M不在平面ABC內(nèi),向量能構(gòu)成一個空間基底;B:因為,利用平面向量基本定理知:向量共面,不能構(gòu)成一個空間基底;C:由,利用平面向量基本定理和空間平行六面體法知:OM是以點O為頂點的對角線,向量能構(gòu)成一個空間基底;D:由,根據(jù)平面向量的基本定理知:向量共面,不能構(gòu)成空間的一個基底.故選:AC.39.【解析】【分析】利用空間向量的線性運算,結(jié)合題意,求解即可.【詳解】根據(jù)題意,.故答案為:.40.【解析】【分析】由可得出關(guān)于的表達式,再利用空間向量的減法可求得、、的值,即可得解.【詳解】因為,則,所以,,所以,,,,因此,.故答案為:.41.④【解析】【分析】通過反例可知①②錯誤;根據(jù)平面向量基本定理、空間向量基本定理可判斷出
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