高二數(shù)學(xué)考點講解練(人教A版2019選擇性必修第一冊)7.5正態(tài)分布-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考點講解練(人教A版2019選擇性必修第三冊)(原卷版+解析)

7.5正態(tài)分布備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：正態(tài)密度曲線；概率分布曲線的認(rèn)識；正態(tài)分布曲線的性質(zhì)；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用；特殊區(qū)間的概率；指定區(qū)間的概率；根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)；3原則的應(yīng)用；正態(tài)分布的實際應(yīng)用課堂知識小結(jié)考點鞏固提升知識歸納密度函數(shù)的概念：在頻率分布折線圖中，當(dāng)樣本容量取得足夠大，組距取得足夠小的時候頻率分布折線圖會變成一條光滑的曲線，我們就把這樣的曲線叫做連續(xù)性隨機變量的密度曲線；把他的解析式叫做密度函數(shù)；顯然，如果連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)是，則：；；；；2、正態(tài)分布的定義：如果連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)是：；則稱隨機變量服從正態(tài)分布，記為：；3、正態(tài)分布曲線的特點：（1）整條曲線都在軸的上方，即對恒成立；（2）是他的對稱軸，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；在時取得最大值；（3）正態(tài)分布曲線的兩個主要參數(shù)的幾何學(xué)意義：參數(shù)決定對稱軸的位置，也決定整條曲線的位置，所以也稱為位置參數(shù)；參數(shù)決定數(shù)據(jù)的離散程度，也就決定了曲線的高矮胖瘦；具體規(guī)律是：越大，數(shù)據(jù)越離散，曲線越矮越胖；越小，數(shù)據(jù)越集中，曲線越高越瘦；于是我們習(xí)慣于把參數(shù)稱為形狀參數(shù)；正態(tài)分布的期望與方差：若期望：；方差：；正態(tài)分布的原則：（1）；（2）；（3）；3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若，則稱隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；4、正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：考點講解若，則；考點講解考點1：正態(tài)密度曲線例1．設(shè)隨機變量的正態(tài)分布密度函數(shù)為，，則參數(shù)，的值分別是（

）A．， B．，C．， D．，【方法技巧】由正態(tài)分布密度函數(shù)的概念即得.【變式訓(xùn)練】1．設(shè)有一正態(tài)總體，它的正態(tài)曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且，則這個正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（

）A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與102．設(shè)隨機變量，X的正態(tài)密度函數(shù)為，則______.考點2：概率分布曲線的認(rèn)識例2．某市有甲乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為，已知均服從正態(tài)分布，，，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值大于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值B．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值C．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性【方法技巧】根據(jù)正態(tài)密度函數(shù)的圖象，得到，，即可求解.【變式訓(xùn)練】1．隨機變量服從正態(tài)分布，則標(biāo)準(zhǔn)差為（

）A．2 B．4 C．10 D．142．如圖是三個正態(tài)分布，，的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應(yīng)曲線的序號分別依次為（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②考點3：正態(tài)分布曲線的性質(zhì)例3．隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（

）附：概率P(μ－σ≤X＜μ＋σ)P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)近似值0.68270.95450.9973A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759【方法技巧】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對稱性運算求解.【變式訓(xùn)練】1．隨機變量的概率分布密度函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．2．已知某次考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從這次考試隨機抽取3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，則這3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績都在內(nèi)的概率為_____．考點4：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用例4．若隨機變量X的密度函數(shù)為，在區(qū)間和內(nèi)取值的概率分別為，則的關(guān)系為（

）A． B．C． D．不確定【方法技巧】根據(jù)密度函數(shù)可得，然后結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性可得曲線關(guān)于對稱，即可判斷得.【變式訓(xùn)練】1．已知隨機變量，且，則（

）A．0．25 B．0．3 C．0．75 D．0．652．已知兩個隨機變量，滿足，且，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1考點5：特殊區(qū)間的概率例4．設(shè)隨機變量，且，則___________.【方法技巧】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可直接求解.【變式訓(xùn)練】1．疫情期間，學(xué)校進(jìn)行網(wǎng)上授課，某中學(xué)參加網(wǎng)課的100名同學(xué)每天的學(xué)習(xí)時間（小時）服從正態(tài)分布，則這些同學(xué)中每天學(xué)習(xí)時間超過10小時的人數(shù)估計為（

）.附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，.A．12 B．16 C．30 D．322．紅外線自動測溫門能有效避免測溫者與被測溫者的近距離接觸，降低潛在的病毒感染風(fēng)險，為防控新冠肺炎，某廠生產(chǎn)的紅外線自動測溫門，其測量體溫誤差服從正態(tài)分布，從已經(jīng)生產(chǎn)出的測溫門中隨機取出一件，則其測量體溫誤差在區(qū)間內(nèi)的概率為（

）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則）A．27.1% B．34.5% C．13.55% D．17.08%考點6：指定區(qū)間的概率例6．某生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件尺寸X（單位：）都服從正態(tài)分布，且，在生產(chǎn)線上隨機取一個零件，尺寸在區(qū)間的概率為___________.【方法技巧】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性即可得出答案.【變式訓(xùn)練】1．已知隨機變量，且，則（

）A． B． C． D．2．某地有6000名學(xué)生參加考試，考試后數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，若，則估計該地學(xué)生數(shù)學(xué)成績在130分以上的人數(shù)為___________.考點7：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)例7．小強對重力加速度做n次實驗，若以每次實驗結(jié)果的平均值作為重力加速度的估值．已知估值的誤差，為使誤差在內(nèi)的概率不小于0.6827，至少要實驗___________次．（參考數(shù)據(jù)：若，則）．【方法技巧】直接由正態(tài)分布的對稱性及特殊區(qū)間的概率求解即可.【變式訓(xùn)練】1．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B．1 C． D．22．設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)（

）A． B．4 C．1 D．2考點8：3原則的應(yīng)用例7．（多選）某工廠生產(chǎn)的零件外直徑（單位：cm）服從正態(tài)分布，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為9.82cm和10.31cm，下列說法正確的是（

）A．上午生產(chǎn)情況正常 B．上午生產(chǎn)情況異常C．下午生產(chǎn)情況正常 D．下午生產(chǎn)情況異?！痉椒记伞坷迷瓌t求出正常零件外直徑的范圍，再判斷零件是否正常即可.【變式訓(xùn)練】1．某工廠生產(chǎn)的零件的尺寸（單位:）服從正態(tài)分布.任選一個零件，尺寸在的概率為（

）附:若，則，，.A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.95452．曲靖一中2023屆高二年級春節(jié)學(xué)期4月份月考中，理科考試學(xué)生人數(shù)為820人，假設(shè)數(shù)學(xué)成績，那么全年級數(shù)學(xué)成績在80-127.4分之間的理科學(xué)生人數(shù)大約是________人．參考統(tǒng)計數(shù)據(jù)：，，．考點9：正態(tài)分布的實際應(yīng)用例9．已知隨機變量，且其正態(tài)曲線在(－∞，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上為減函數(shù)，且.(1)求參數(shù)，的值．(2)求．附：若，則，.【方法技巧】(1)結(jié)合已知條件和所給數(shù)據(jù)，利用正態(tài)曲線的對稱性即可求解；(2)結(jié)合所給數(shù)據(jù)，并利用正態(tài)曲線的性質(zhì)即可求解指定區(qū)間的概率.【變式訓(xùn)練】1．某種品牌攝像頭的使用壽命服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于2年的概率為，使用壽命不少于6年的概率為，某單位同時安裝了5個這種品牌的攝像頭，則滿4年時至少還有4個攝像頭能正常工作的概率為（

）A． B． C． D．2．“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系．某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)，，則（

）A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D．隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大知識小結(jié)知識小結(jié)正態(tài)分布的期望與方差：若期望：；方差：；正態(tài)分布的原則：（1）；（2）；（3）；3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若，則稱隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；4、正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：若，則；鞏固提升鞏固提升一、單選題1．已知，且，則（

）A． B． C． D．2．已知兩個正態(tài)分布的密度函數(shù)圖像如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，3．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．某班50名同學(xué)參加體能測試，經(jīng)統(tǒng)計成績c近似服從N（90，），若，則可估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為（

）A．5 B．10 C．15 D．305．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.46．在某地舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N（70，100）．已知成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有14名．參加此次數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生數(shù)大約為（

）參考數(shù)據(jù)：；；A．1200 B．900 C．600 D．3007．已知兩個隨機變量，其中，若，且，則（

）A． B． C． D．8．已知服從正態(tài)分布的隨機變量在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率分別為68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年級1000名學(xué)生的某次考試成績服從正態(tài)分布N，則此次考試成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有（

）A．477人 B．136人 C．341人 D．131人二、多選題9．已知正態(tài)密度函數(shù)，，以下關(guān)于正態(tài)曲線的說法正確的是（

）A．曲線與軸之間區(qū)域的面積為1B．曲線在處達(dá)到峰值C．曲線關(guān)于直線對稱D．當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“矮胖”10．陽山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培歷史，產(chǎn)于中國著名桃鄉(xiāng)江蘇無錫陽山鎮(zhèn).水蜜桃果形大、色澤美，皮韌易剝、香氣濃郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美譽，陽山水蜜桃早桃品種5月底開始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也將大量上市.已知甲、乙兩個品種的陽山水蜜桃的質(zhì)量（單位：斤）分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示則下列說法正確的是（

）A．乙品種水蜜桃的平均質(zhì)量B．甲品種水蜜桃的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲品種水蜜桃的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙品種水蜜桃的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)三、填空題11．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則_______.12．首屆國家最高科學(xué)技術(shù)獎得主，雜交水稻之父袁隆平院士為全世界糧食問題和農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展貢獻(xiàn)了中國力量，某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若測量10000株水稻，株高在的約有______株．（若，，）13．某班有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績X服從正態(tài)分布.已知，估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120分以上的有________人.14．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取1000個零件，并測量其尺寸（單位：）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布，則可估計所抽取的1000個零件中尺寸高于24的個數(shù)大約為__________.（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則.四、解答題15．李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間（樣本數(shù)據(jù)），經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到如下結(jié)果：坐公交車：平均用時30min，方差為36騎自行車：平均用時34min，方差為4(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，李明平時選擇哪種交通方式更穩(wěn)妥？試說明理由.(2)分別用X和Y表示坐公交車和騎自行車上學(xué)所用的時間，X和Y的概率密度曲線如圖（a）所示，如果某天有38min可用，你應(yīng)選擇哪種交通方式？如果僅有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通方式？試說明理由.（提示：（2）中X和Y的概率密度曲線分別反映的是X和Y的取值落在某個區(qū)間的隨機事件的概率，例如，圖（b）中陰影部分的面積表示的就是X取值不大于38min時的概率.）16．為了解高三學(xué)生體能情況，某中學(xué)對所有高三男生進(jìn)行了擲實心球測試，測試結(jié)果表明所有男生的成績（單位：米）近似服從正態(tài)分布，且.(1)若從高三男生中隨機挑選1人，求他的成績在內(nèi)的概率.(2)為爭奪全省中學(xué)生運動會的比賽資格，甲?乙兩位同學(xué)進(jìn)行比賽.比賽采取“五局三勝制”，即兩人輪流擲實心球一次為一局，成績更好者獲勝（假設(shè)沒有平局）.一共進(jìn)行五局比賽，先勝三局者將代表學(xué)校出戰(zhàn)省運會.根據(jù)平時訓(xùn)練成績預(yù)測，甲在一局比賽中戰(zhàn)勝乙的概率為.①求甲代表學(xué)校出戰(zhàn)省運會的概率.②丙?丁兩位同學(xué)觀賽前打賭，丙對丁說：“如果甲獲勝，你給我100塊，如果甲獲勝，你給我50塊，如果甲獲勝，你給我10塊，如果乙獲勝，我給你200塊”，如果你是丁，你愿意和他打賭嗎？說明你的理由.7.5正態(tài)分布備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點分析及解題方法歸納：考點包含：正態(tài)密度曲線；概率分布曲線的認(rèn)識；正態(tài)分布曲線的性質(zhì)；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用；特殊區(qū)間的概率；指定區(qū)間的概率；根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)；3原則的應(yīng)用；正態(tài)分布的實際應(yīng)用課堂知識小結(jié)考點鞏固提升知識歸納密度函數(shù)的概念：在頻率分布折線圖中，當(dāng)樣本容量取得足夠大，組距取得足夠小的時候頻率分布折線圖會變成一條光滑的曲線，我們就把這樣的曲線叫做連續(xù)性隨機變量的密度曲線；把他的解析式叫做密度函數(shù)；顯然，如果連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)是，則：；；；；2、正態(tài)分布的定義：如果連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)是：；則稱隨機變量服從正態(tài)分布，記為：；3、正態(tài)分布曲線的特點：（1）整條曲線都在軸的上方，即對恒成立；（2）是他的對稱軸，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；在時取得最大值；（3）正態(tài)分布曲線的兩個主要參數(shù)的幾何學(xué)意義：參數(shù)決定對稱軸的位置，也決定整條曲線的位置，所以也稱為位置參數(shù)；參數(shù)決定數(shù)據(jù)的離散程度，也就決定了曲線的高矮胖瘦；具體規(guī)律是：越大，數(shù)據(jù)越離散，曲線越矮越胖；越小，數(shù)據(jù)越集中，曲線越高越瘦；于是我們習(xí)慣于把參數(shù)稱為形狀參數(shù)；正態(tài)分布的期望與方差：若期望：；方差：；正態(tài)分布的原則：（1）；（2）；（3）；3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若，則稱隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；4、正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：考點講解若，則；考點講解考點1：正態(tài)密度曲線例1．設(shè)隨機變量的正態(tài)分布密度函數(shù)為，，則參數(shù)，的值分別是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【詳解】由正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式知，.故選：D.【方法技巧】由正態(tài)分布密度函數(shù)的概念即得.【變式訓(xùn)練】1．設(shè)有一正態(tài)總體，它的正態(tài)曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且，則這個正態(tài)總體的均值與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（

）A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與10【答案】B【分析】結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)的定義和解析式，即可求解.【詳解】由正態(tài)密度函數(shù)的定義和解析式可知，總體的均值，方差，即.故選：B.2．設(shè)隨機變量，X的正態(tài)密度函數(shù)為，則______.【答案】0【分析】由正態(tài)密度函數(shù)結(jié)構(gòu)直接可得.【詳解】由正態(tài)密度函數(shù)結(jié)構(gòu)特征可知，.故答案為：0考點2：概率分布曲線的認(rèn)識例2．某市有甲乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為，已知均服從正態(tài)分布，，，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值大于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值B．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值C．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D．甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性【答案】C【詳解】由隨機變量均服從正態(tài)分布，，，結(jié)合正態(tài)概率密度函數(shù)的圖象，可得，，即甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性.故選：C.【方法技巧】根據(jù)正態(tài)密度函數(shù)的圖象，得到，，即可求解.【變式訓(xùn)練】1．隨機變量服從正態(tài)分布，則標(biāo)準(zhǔn)差為（

）A．2 B．4 C．10 D．14【答案】A【分析】根據(jù)正態(tài)分布中的參數(shù)意義可知當(dāng)差為4，進(jìn)而可得標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】因為服從正態(tài)分布可知:方差為4，故標(biāo)準(zhǔn)差為2，故選：A2．如圖是三個正態(tài)分布，，的密度曲線，則三個隨機變量X，Y，Z對應(yīng)曲線的序號分別依次為（

）.A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②【答案】A【分析】先利用正態(tài)分布求出三個變量的標(biāo)準(zhǔn)差，再利用當(dāng)較小時，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”進(jìn)行判定.【詳解】由題意，得，，，因為當(dāng)較小時，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，且，所以三個隨機變量X，Y，Z對應(yīng)曲線的序號分別依次為①，②，③.故選：A.考點3：正態(tài)分布曲線的性質(zhì)例3．隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤X＜μ＋σ)＝（

）附：概率P(μ－σ≤X＜μ＋σ)P(μ－2σ≤X＜μ＋2σ)P(μ－3σ≤X＜μ＋3σ)近似值0.68270.95450.9973A．0.8186 B．0.4772 C．0.84 D．0.9759【答案】A【詳解】由題意可得：∴故選：A.【方法技巧】根據(jù)題意結(jié)合正態(tài)分布的對稱性運算求解.【變式訓(xùn)練】1．隨機變量的概率分布密度函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：由題意可知，則，故圖中陰影部分的面積為.故選：C.2．已知某次考試的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從這次考試隨機抽取3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，則這3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績都在內(nèi)的概率為_____．【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得，進(jìn)而可求3位同學(xué)成績均在的概率.【詳解】由題意得，該正態(tài)曲線的對稱軸為，∵，∴，∴3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績都在的概率為．故答案為：考點4：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用例4．若隨機變量X的密度函數(shù)為，在區(qū)間和內(nèi)取值的概率分別為，則的關(guān)系為（

）A． B．C． D．不確定【答案】C【詳解】根據(jù)隨機變量X的密度函數(shù)可得，然后結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性可知，曲線關(guān)于對稱，所以.故選：C.【方法技巧】根據(jù)密度函數(shù)可得，然后結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性可得曲線關(guān)于對稱，即可判斷得.【變式訓(xùn)練】1．已知隨機變量，且，則（

）A．0．25 B．0．3 C．0．75 D．0．65【答案】C【分析】利用正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)求解即可.【詳解】由題得，所以.故選C【點睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，考查指定概率的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.2．已知兩個隨機變量，滿足，且，則的值為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】結(jié)合正態(tài)分布的方差，以及方差的性質(zhì)求解即可【詳解】由題，，則，又，，故選：D考點5：特殊區(qū)間的概率例4．設(shè)隨機變量，且，則___________.【答案】【詳解】正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，所以.故答案為：【方法技巧】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可直接求解.【變式訓(xùn)練】1．疫情期間，學(xué)校進(jìn)行網(wǎng)上授課，某中學(xué)參加網(wǎng)課的100名同學(xué)每天的學(xué)習(xí)時間（小時）服從正態(tài)分布，則這些同學(xué)中每天學(xué)習(xí)時間超過10小時的人數(shù)估計為（

）.附：隨機變量服從正態(tài)分布，則，.A．12 B．16 C．30 D．32【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出每天學(xué)習(xí)時間超過10小時的概率,進(jìn)而可求人數(shù).【詳解】由題意可知，所以,所以每天學(xué)習(xí)時間超過10小時的人數(shù)為，故選：B2．紅外線自動測溫門能有效避免測溫者與被測溫者的近距離接觸，降低潛在的病毒感染風(fēng)險，為防控新冠肺炎，某廠生產(chǎn)的紅外線自動測溫門，其測量體溫誤差服從正態(tài)分布，從已經(jīng)生產(chǎn)出的測溫門中隨機取出一件，則其測量體溫誤差在區(qū)間內(nèi)的概率為（

）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則）A．27.1% B．34.5% C．13.55% D．17.08%【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解.【詳解】由測量體溫誤差服從正態(tài)分布可知，所以故選:C考點6：指定區(qū)間的概率例6．某生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件尺寸X（單位：）都服從正態(tài)分布，且，在生產(chǎn)線上隨機取一個零件，尺寸在區(qū)間的概率為___________.【答案】【詳解】解：因為X服從正態(tài)分布，所以.故答案為：.【方法技巧】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性即可得出答案.【變式訓(xùn)練】1．已知隨機變量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正態(tài)分布的對稱性求解即可.【詳解】因為隨機變量，且，所以,故選：A.2．某地有6000名學(xué)生參加考試，考試后數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，若，則估計該地學(xué)生數(shù)學(xué)成績在130分以上的人數(shù)為___________.【答案】300【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可成績在130分以上的概率，進(jìn)而可求人數(shù).【詳解】由正態(tài)分布曲線的對稱軸為，以及可得，因此,故130分以上的人數(shù)為.故答案為：300考點7：根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求參數(shù)例7．小強對重力加速度做n次實驗，若以每次實驗結(jié)果的平均值作為重力加速度的估值．已知估值的誤差，為使誤差在內(nèi)的概率不小于0.6827，至少要實驗___________次．（參考數(shù)據(jù)：若，則）．【答案】6【詳解】，∴，∴，至少要實驗6次.故答案為：6.【方法技巧】直接由正態(tài)分布的對稱性及特殊區(qū)間的概率求解即可.【變式訓(xùn)練】1．已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.【詳解】由于隨機變量服從正態(tài)分布，且，而，所以，所以.故選：B2．設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數(shù)（

）A． B．4 C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：因為隨機變量服從正態(tài)分布，密度函數(shù)曲線關(guān)于對稱，因為，所以，則，故選：D．考點8：3原則的應(yīng)用例7．（多選）某工廠生產(chǎn)的零件外直徑（單位：cm）服從正態(tài)分布，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為9.82cm和10.31cm，下列說法正確的是（

）A．上午生產(chǎn)情況正常 B．上午生產(chǎn)情況異常C．下午生產(chǎn)情況正常 D．下午生產(chǎn)情況異常【答案】AD【詳解】因為零件外直徑服從正態(tài)分布，根據(jù)原則，當(dāng)零件外直徑在cm和cm之外時為異常，因為上、下午生產(chǎn)的零件外直徑分別為9.82cm和10.31cm，，所以下午生產(chǎn)的產(chǎn)品異常，上午產(chǎn)品正常.故選：AD.【方法技巧】利用原則求出正常零件外直徑的范圍，再判斷零件是否正常即可.【變式訓(xùn)練】1．某工廠生產(chǎn)的零件的尺寸（單位:）服從正態(tài)分布.任選一個零件，尺寸在的概率為（

）附:若，則，，.A．0.34135 B．0.47725 C．0.6827 D．0.9545【答案】B【分析】由題意可得，代入計算即可.【詳解】解：由題意可知，且圖象關(guān)于對稱，所以＝＝.故選：B.2．曲靖一中2023屆高二年級春節(jié)學(xué)期4月份月考中，理科考試學(xué)生人數(shù)為820人，假設(shè)數(shù)學(xué)成績，那么全年級數(shù)學(xué)成績在80-127.4分之間的理科學(xué)生人數(shù)大約是________人．參考統(tǒng)計數(shù)據(jù)：，，．【答案】672【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)成績，得到曲線關(guān)于對稱，根據(jù)原則知，然后求解數(shù)學(xué)成績在80-127.4分之間的學(xué)生人數(shù)【詳解】．，數(shù)學(xué)成績在80-127.4分之間的理科學(xué)生人數(shù)大約是672人．故答案為：672考點9：正態(tài)分布的實際應(yīng)用例9．已知隨機變量，且其正態(tài)曲線在(－∞，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上為減函數(shù)，且.(1)求參數(shù)，的值．(2)求．附：若，則，.【答案】(1)，；(2)0.1359.【詳解】(1)因為正態(tài)曲線在(－∞，80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，且正態(tài)曲線關(guān)于對稱，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線對稱，即，因為，所以，，解得，；(2)因為正態(tài)曲線關(guān)于對稱，所以，因為，所以，故，又，所以，【方法技巧】(1)結(jié)合已知條件和所給數(shù)據(jù)，利用正態(tài)曲線的對稱性即可求解；(2)結(jié)合所給數(shù)據(jù)，并利用正態(tài)曲線的性質(zhì)即可求解指定區(qū)間的概率.【變式訓(xùn)練】1．某種品牌攝像頭的使用壽命服從正態(tài)分布，且使用壽命不少于2年的概率為，使用壽命不少于6年的概率為，某單位同時安裝了5個這種品牌的攝像頭，則滿4年時至少還有4個攝像頭能正常工作的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知結(jié)合正態(tài)分布的對稱性先求得使用壽命不少于4年的概率，然后由二項分布的概率公式可得.【詳解】記攝像頭的使用壽命為X，則，由題知所以，所以，所以記滿4年時還能正常工作的攝像頭個數(shù)為Y，則所以.故選：B2．“世界雜交水稻之父”袁隆平發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術(shù)體系．某水稻種植研究所調(diào)查某地雜交水稻的株高，得出株高（單位：cm）服從正態(tài)分布，其分布密度函數(shù)，，則（

）A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多D．隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大【答案】AC【分析】由正態(tài)分布密度函數(shù)可知，，則可判斷出AB選項，再由正態(tài)曲線的特征即可判斷出CD選項.【詳解】因為正態(tài)分布密度函數(shù)為，所以，，即均值為100，標(biāo)準(zhǔn)差為10，方差為100，故A正確，B錯誤；根據(jù)正態(tài)曲線的特征可知函數(shù)關(guān)于軸對稱，所以該地雜交水稻株高在120cm以上的數(shù)量和株高在80cm以下的數(shù)量一樣多，故C正確，隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在和在的概率一樣大.故D錯誤．故選：AC.故.知識小結(jié)知識小結(jié)正態(tài)分布的期望與方差：若期望：；方差：；正態(tài)分布的原則：（1）；（2）；（3）；3、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若，則稱隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；4、正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：若，則；鞏固提升鞏固提升一、單選題1．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正態(tài)分布的對稱性求解指定區(qū)間的概率.【詳解】因為，所以，又，所以，所以，故選：B.2．已知兩個正態(tài)分布的密度函數(shù)圖像如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】由正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的性質(zhì)，觀察圖像可得結(jié)果.【詳解】解：由正態(tài)分布密度函數(shù)圖像的性質(zhì)可知：越大，圖像對稱軸越靠近右側(cè)；越大，圖像越“矮胖”，越小，圖像越“瘦高”.所以由圖像可知：，.故選：A.3．已知隨機變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2【答案】D【分析】根據(jù)隨機變量服從正態(tài)分布，求得其圖象的對稱軸，再根據(jù)曲線的對稱性，即可求解答案．【詳解】解：由題意，隨機變量服從正態(tài)分布，所以，即圖象的對稱軸為，又由，則，則，故選：D．4．某班50名同學(xué)參加體能測試，經(jīng)統(tǒng)計成績c近似服從N（90，），若，則可估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為（

）A．5 B．10 C．15 D．30【答案】B【分析】由已知可得正態(tài)分布曲線的對稱軸，再由已知條件結(jié)合對稱性求得，即可求得該班體能測試成績低于85分的人數(shù).【詳解】由c近似服從N（90，），可知正態(tài)分布曲線的對稱軸為，則，所以,則可估計該班體能測試成績低于85分的人數(shù)為人，故選：B.5．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【答案】D【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求解.【詳解】隨機變量X服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布的對稱軸為，根據(jù)對稱性可知：故選：D6．在某地舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N（70，100）．已知成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有14名．參加此次數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生數(shù)大約為（

）參考數(shù)據(jù)：；；A．1200 B．900 C．600 D．300【答案】C【分析】利用正態(tài)曲線的對稱性即可求解.【詳解】用表示參賽學(xué)生的競賽成績，由已知可得全體參賽學(xué)生的競賽成績,所以，，則，即，則參加此次數(shù)學(xué)競賽的學(xué)生數(shù)大約為，故選：C.7．已知兩個隨機變量，其中，若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由二項分布求得期望，從而得正態(tài)分布的值，然后由正態(tài)分布的對稱性求概率．【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以.故選：D．8．已知服從正態(tài)分布的隨機變量在區(qū)間，和內(nèi)取值的概率分別為68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年級1000名學(xué)生的某次考試成績服從正態(tài)分布N，則此次考試成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有（

）A．477人 B．136人 C．341人 D．131人【答案】B【分析】求得此次考試成績在區(qū)間的概率，再求在此區(qū)間的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，，則，故此次考試成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生大約有人.故選：B.二、多選題9．已知正態(tài)密度函數(shù)，，以下關(guān)于正態(tài)曲線的說法正確的是（

）A．曲線與軸之間區(qū)域的面積為1B．曲線在處達(dá)到峰值C．曲線關(guān)于直線對稱D．當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“矮胖”【答案】ABC【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)結(jié)合解析式依次判斷即可得出.【詳解】因正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1，則A正確；因，有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，即曲線在處達(dá)到峰值，B正確；因為，所以，即曲線關(guān)于直線對稱，故C正確；當(dāng)越小，曲線越“瘦高”，故D錯誤.故答案為：ABC10．陽山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培歷史，產(chǎn)于中國著名桃鄉(xiāng)江蘇無錫陽山鎮(zhèn).水蜜桃果形大、色澤美，皮韌易剝、香氣濃郁，汁多味甜，入口即化，有“水做骨肉”的美譽，陽山水蜜桃早桃品種5月底開始上市，7月15日前后，甜度最高的湖景桃也將大量上市.已知甲、乙兩個品種的陽山水蜜桃的質(zhì)量（單位：斤）分別服從正態(tài)分布，，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示則下列說法正確的是（

）A．乙品種水蜜桃的平均質(zhì)量B．甲品種水蜜桃的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲品種水蜜桃的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D．乙品種水蜜桃的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)【答案】ABC【分析】根據(jù)圖像以及正態(tài)密度曲線的性質(zhì)即可逐一分析四個選項得到結(jié)論.【詳解】對于選項A：，故A對；對于選項B：甲圖像相對乙更高瘦，故B對；對于選項C：，故C對；對于選項D：乙圖像的最高點為1.99，故對稱軸取值為，所以，故D錯.故選：ABC.三、填空題11．已知隨機變量X服從正態(tài)分布，且，則_______.【答案】0.1【分析】利用正態(tài)分布對稱性可求解.【詳解】由正態(tài)分布密度曲線對稱性可知，，所以，所以，故答案為:0.1.12．首屆國家最高科學(xué)技術(shù)獎得主，雜交水稻之父袁隆平院士為全世界糧食問題和農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展貢獻(xiàn)了中國力量，某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若測量10000株水稻，株高在的約有______株．（若，，）【答案】1359【分析】先根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到株高在的概率，再求出株高在的株數(shù).【詳解】根據(jù)題意可知，，所以，，所以，所以株高在的約有株.故答案為：1359.13．某班有50名同學(xué)，一次數(shù)學(xué)考試的成績X服從正態(tài)分布.已知，估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在120分以上的有________人.【答案】8【分析】正態(tài)曲線關(guān)于對稱，計算，得到答案.【詳解】因為考試的成績X服從正態(tài)分布，所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱，因為，所以.所以該班數(shù)學(xué)成績在120分以上的人數(shù)為.故答案為：814．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)