高考數(shù)學二輪復習 四 概率與統(tǒng)計學案 理-人教版高三全冊數(shù)學學案

專題四概率與統(tǒng)計

［全國卷3年考情分析］

題型考點年份考題統(tǒng)計命題分析

2018卷IT31.概率與統(tǒng)計是高考命題的熱點與重

點.題目包含“一小(選擇題或填空

1.樣本估計總體2017卷IDT3

題)一大(解答題)

卷

2016DIT42.小題的命題角度主要有三個方面：

選2018卷ITio,卷DT8(1)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析，多以統(tǒng)計圖表的

擇形式提供數(shù)據(jù),進行數(shù)據(jù)的特征分析；

題2.古典概型、幾何概型2017卷IT2

(2)概率的求解，以古典概型或幾何

與

卷IT4,卷HT1。

填2016概型為主；

空排列組合與二項式定理問題.試

2018卷IT15,卷D1T5(3)

題題難度一般.

排列組合、二項式定理2017卷IT6,卷HT6,卷川74

3.3.解答題具有一定的綜合性，命題角度

2016卷ITM,卷HT5,卷IDT12主要有兩個方面：

(1)統(tǒng)計圖表與分布列的綜合，涉及

2018卷IDT8

4.二項分布的應(yīng)用用頻率估計概率、互斥事件、對立事

2017?HT13件以及相互獨立事件等的概率求解，

概率求法及隨機變量的以離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期

解L2018卷IT20,卷UT]8,卷IDT18

答期望與方差；望的求解為核心；

卷IT19,卷DT18,卷IHT18

題2017

2.回歸分析與獨立性檢驗；(2)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)學特征與回歸分析、

3.正態(tài)分布的應(yīng)用2016卷IT19,卷DT18,卷IHT18獨立性檢驗等的綜合.試題難度中等.

第一講小題考法一一排列、組合與二項式定理

考點(一)

主要考查兩個計數(shù)原理、排列、組合

排列、組合的應(yīng)用

的簡單綜合應(yīng)用，有時會與概率問題

相結(jié)合考查.

［典例感悟］

［典例］(1)(2017?全國卷H)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每

項工作由1人完成，則不同的安排方式共有()

A.12種B.18種

C.24種D.36種

(2)某班班會上老師準備從甲、乙等7名學生中選派4名學生發(fā)言，要求甲、乙2名學

生至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的

種數(shù)為()

A.360B.520

C.600D.720

(3)(2018?青島模擬)將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導交通，每個路口至

少一人，則甲、乙在同一路口的分配方案共有()

A.18種B.24種C.36種D.72種

［解析］(1)因為安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人

ClCsC；

完成，所以必有1人完成2項工作.先把4項工作分成3組，即2,1,1,有=6(種),

-AT

再分配給3個人，有A：=6(種)，所以不同的安排方式共有6X6=36(種).

(2)若甲、乙同時被選中，則只需再從剩下的5人中選取2人，有森種選法，因為在安

排順序時，甲、乙不相鄰需“插空”，所以安排的方式有心屋種，從而此種情況下不同的發(fā)

言順序的種數(shù)為界第A：=120.若甲、乙只有一人被選中，則先從甲、乙中選一人，有C；種選

法，再從剩下的5人中選取3人，有心種選法，因為在安排順序時無要求，所以此種情況下

不同的發(fā)言順序的種數(shù)為或狀；=480.綜上，不同的發(fā)言順序的種數(shù)為120+480=600.故選

(3)一個路口有3人的分配方法有C；A；種；兩個路口各有2人的分配方法有CA：種.

由分類加法計數(shù)原理，甲、乙在同一路口的分配方案為履+《用=36(種).

［答案］(DD(2)C(3)C

［方法技巧］

1.解答排列組合問題的4個角度

解答排列組合問題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手.

「就?而葡掇瓦:編面面由小系;，贏

：是“位置”：

:辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有無

:限制等：

J對于較復雜的應(yīng)用題中的元素，將其分成互相

;排斥的幾類，然后逐類解決:

：把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都

：是簡單的排列組合問題，然后逐步解決：

2.解決分組分配問題的3種策略

(1)不等分組：只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以

不需要除以全排列數(shù).

(2)整體均分：解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組

后一定要除以解(〃為均分的組數(shù))，避免重復計數(shù).

(3)部分均分：解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有力組元素個數(shù)相等,

則分組時應(yīng)除以m\,一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù).

［演練沖關(guān)］

1.（2018?廣州模擬）某學校獲得5個高校自主招生推薦名額，其中甲大學2個，乙大

學2個，丙大學1個，并且甲大學和乙大學都要求必須有男生參加，學校通過選拔定下3

男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有（）

A.36種B.24種

C.22種D.20種

解析：選B根據(jù)題意，分兩種情況討論：第一種，3名男生每個大學各推薦1人，2

名女生分別推薦給甲大學和乙大學，共有眉鼠=12種推薦方法；第二種，將3名男生分成兩

組分別推薦給甲大學和乙大學，共有心鹿8=12種推薦方法.故共有24種推薦方法，選B.

2.（2017?天津高考）用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復數(shù)字，且至多有一個數(shù)

字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有個.（用數(shù)字作答）

解析：一個數(shù)字是偶數(shù)、三個數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)有C；C孤；=960（個），四個數(shù)字都是奇

數(shù)的四位數(shù)有A：=120（個），則至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)一共有960+120-1

080（個）.

答案：1080

3.（2018?全國卷I）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女

生入選，則不同的選法共有種.（用數(shù)字填寫答案）

解析：法一：（直接法）按參加的女生人數(shù)可分兩類：

只有1位女生參加有心《種，有2位女生參加有C出種.

故共有饋-+C丈;=2X6+4=16（種）.

法二：（間接法）從2位女生，4位男生中選3人，共有點種情況，沒有女生參加的情況

有C；種，故共有一一切=20—4=16（種）.

答案：16

4.（2017?浙江高考）從6男2女共8名學生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員

2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有種不同的選法.（用數(shù)

字作答）

解析：法一：分兩步，第一步，選出4人，由于至少1名女生，故有C；—或=55種不同

的選法；第二步，從4人中選出隊長、副隊長各1人，有解=12種不同的選法.根據(jù)分步

乘法計數(shù)原理知共有55X12=660種不同的選法.

法二：不考慮限制條件，共有解心種不同的選法，而沒有女生的選法有A；弓種，故至少

有1名女生的選法有M森一解倒=840—180=660(種).

答案:660

考點(二)二項式定理及其應(yīng)用主要考查二項式定理的通項公式、二項式系

數(shù)、二項式特定項、二項展開式系數(shù)的和等.

［典例感悟］

［典例］(1)(2017?全國卷1)(1+今(1+入)6展開式中1的系數(shù)為()

A.15B.20

C.30D.35

(2)(2017?全國卷HI)(x+y)(2x—y)s的展開式中//的系數(shù)為()

A.-80B.-40

C.40D.80

(3)若(3/-1尸‘""uao+aix+azfH---Fa2018Vli"(xeR),則----卜3黑;

［解析］(1)(l+x)s展開式的通項z；+i=av,所以(i+3(i+x)s的展開式中f的系數(shù)

為lXa+lX《=30.

(2)當?shù)谝粋€括號內(nèi)取x時，第二個括號內(nèi)要取含*"的項，即點(2x)2(一力:當?shù)谝?/p>

個括號內(nèi)取y時，第二個括號內(nèi)要取含f/的項，即C；(2x)3(一。2,所以f射的系數(shù)為戲X吸

-CSX22=10X(8-4)=40.

(3)令x=0,可得如=1.由通項可得詡=技湍?3,?(-1)2°”=-6054.令x=J,得？?+

OO

&\、I均018<E/1Ia21a31,Ql0181(HlI&［aI、女018、1

77I73+***十今2018=-1，則3+-ITii~十…十.201H-~彳十厘十示十…十展018=——=

33333al3dl3d336Ja

1

6054,

［答案］(1)C(2)C⑶昌彳

6054

［方法技巧］

求解二項式定理相關(guān)問題的常用思路

（1）二項式定理中最關(guān)鍵的是通項公式，求展開式中特定的項或者特定項的系數(shù)均是利

用通項公式和方程思想解決的.

（2）二項展開式的系數(shù)之和通常是通過對二項式及其展開式中的變量賦值得出的，注意

根據(jù)展開式的形式給變量賦值.

［演練沖關(guān)］

1.（2018?全國卷的展開式中的系數(shù)為（）

A.10B.20

C.40D.80

解析：選c僅+。的展開式的通項公式為7^=C”（V）i?2'?令

10-3r=4,得r=2.故展開式中f的系數(shù)為Cs-2?=40.

2.（2018?長郡中學模擬）若二項式（丁+野，的展開式的各項系數(shù)之和為一1,則含V項

的系數(shù)為（）

A.560B.-560

C.280D.-280

解析：選A取x=l,得二項式1+：）的展開式的各項系數(shù)之和為（l+a）l即（1+a），

=-1,解得a=-2.二項式（？一：）的展開式的通項方+尸C7?（/）”?㈢』”（-

2）'?1令14—37=2,得r=4.因11匕，二項式卜3一彳）的展開式中含f項的系數(shù)為心?（-

2）4=560,選A.

3.（*z+2）g—3）的展開式中含丁項的系數(shù)為250,則實數(shù)加的值為（）

A.±5B.5

C.士小D.4

解析：選C仁一小，’的展開式的通項為？；+1=/（2*力（一儂）'=《（一加'/~‘°,由3r

-10=2,得r=4,系數(shù)為a（一而'=5".因為第二個因式中沒有常數(shù)項，所以展開式中含

V項的系數(shù)為2X5川=250,求得R=土小.故選C.

4.（2018?陜西模擬）己知（X+2）9=%+功X+/*2_|--Fa咒則（a+3&+5a5+74+

9聞2—（2/+4&+6a6+8備）*的值為（）

A.39B.310

C.3"D.312

解析：選D對（x+2）9=a）+ax+&fHFa/兩邊同時求導，得9（x+2）*=a+2a2X

+3a3x-\F8ax'+9a9/，令x=l,得囪+2a2+3aHF8a+9a9=3嗎令x=-1,得a

—2/+3%—8色+9惻=3；所以（劭+34+5晶+7與+9加‘一（2%+4&1+6a+8及）2=（科

+2忿+3念+…+8a+9d9）（&-2/+3&—…—8a+9徐）=3"，故選D.

［必備知能?自主補缺］依據(jù)學情課下看，針對自身補缺漏；臨近高考再瀏覽，考前

溫故熟主干

［主干知識要記牢］

1.排列、組合數(shù)公式

(1)排列數(shù)公式

n!

A：=n(/?-1)....(n~~m+1)=----------.

n-m!

(2)組合數(shù)公式

K$nn—1..../?—/?+1n\

r?=———---------------------------——--------------

"A：mlmln-m!’

2.二項式定理

(1)二項式定理

(a+6)…+C5/+-+CX

(2)通項與二項式系數(shù)

*1=C#忱其中C(%=0,1,2,…，〃)叫做二項式系數(shù).

［二級結(jié)論要用好］

1.各二項式系數(shù)之和

(1)C；+C：+Cj+…+C：=2".

(2)C：+C+“=C：+d+…=2"-'.

2.二項式系數(shù)的性質(zhì)

(l)c；；=crr,C；；+CL=C”.

(2)二項式系數(shù)最值問題

當"為偶數(shù)時，中間一項即第區(qū)+i)項的二項式系數(shù)(J最大；當〃為奇數(shù)時，中間兩

項即第8K早項的二項式系數(shù)c±,C洲1等且最大.

［針對練］若(w+三)展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項

是()

A.360B.180

C.90D.45

解析：選B依題意知〃=10,

；?/?+i—Cio('sjx)10,(y)=C；o2',x5

5

令5-jr=0,得r=2,.?.常數(shù)項為戊。22=180.

［易錯易混要明了］

二項式（a+6）"與（6+a）"的展開式相同，但通項公式不同，對應(yīng)項也不相同，在遇到類

似問題時，要注意區(qū)分.還要注意二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系，同時要明確二項式

系數(shù)最大項與展開式系數(shù)最大項的不同.

［課時跟蹤檢測］

A級——12+4提速練

一、選擇題

1.在1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的

共有（）

A.36個B.24個

C.18個D.6個

解析：選B各位數(shù)字之和是奇數(shù)，則這三個數(shù)字中三個都是奇數(shù)或兩個偶數(shù)一個奇數(shù)，

所以符合條件的三位數(shù)有A；+C展=6+18=24（個）.

2.（2018?廣西南寧模擬）（2x—0$的展開式中f項的系數(shù)為（）

A.80B.-80

C.-40D.48

解析：選B?.?（2%—3一,的展開式的通項為指產(chǎn)點（2M5-（—0==（一1）啰-七4-2，，令

5—2r=3,解得r=l.于是展開式中V項的系數(shù)為（-1）X21?以=-80,故選B.

3.（2019屆高三?南寧、柳州聯(lián)考）從｛1,2,3,…，10｝中選取三個不同的數(shù)，使得其

中至少有兩個數(shù)相鄰，則不同的選法種數(shù)是（）

A.72B.70

C.66D.64

解析：選D從｛1,2,3,…，10｝中選取三個不同的數(shù)，恰好有兩個數(shù)相鄰，共有

+以?C：=56種選法，三個數(shù)相鄰共有以=8種選法，故至少有兩個數(shù)相鄰共有56+8=64

種選法，故選D.

4.（2018?新疆二檢）（/—3）?+1）的展開式的常數(shù)項是（）

A.-2B.2

C.-3D.3

解析：選B?+1）的通項為方+產(chǎn)點令2「-10=-2或0,解得r

=4,5,...展開式的常數(shù)項是森+（—3）X戊=2.

5.（2018?益陽、湘潭聯(lián)考）若（1—3x）""=如+a/H----加版*—R,則a?3+

?3'+…+色01B?3'的值為（）

A.22018-1B.820,8-1

C.22018D.82018

解析：選B由已知，令x=0,得如=1,令x=3,得選+團?3+a?----Fazois,3"

38=（1-9）238=82°。所以d?3+檢?黑+…+檢?3,°加=+—勖=+小-1,故選B.

6.現(xiàn)有5本相同的《數(shù)學家的眼光》和3本相同的《數(shù)學的神韻》，要將它們排在同一

層書架上，并且3本相同的《數(shù)學的神韻》不能放在一起，則不同的放法種數(shù)為（）

A.20B.120

C.2400D.14400

解析：選A根據(jù)題意，可分兩步：

第一步，先放5本相同的《數(shù)學家的眼光》，有1種情況；

第二步，5本相同的《數(shù)學家的眼光》排好后，有6個空位，在6個空位中任選3個，

把3本相同的《數(shù)學的神韻》插入，有森=20種情況.

故不同的放法有20種，故選A.

7.（2019屆高三?山西八校聯(lián)考）已知（l+x）〃的展開式中第5項與第7項的二項式系

數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）

A.29B.210

C.2'1D.2“

解析：選A由題意得C=C,由組合數(shù)性質(zhì)得〃=10,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為2"

~'=29,故選A.

8.（2018?惠州模擬）旅游體驗師小明受某網(wǎng)站邀請，決定對甲、乙、丙、丁這四個景

區(qū)進行體驗式旅游，若不能最先去甲景區(qū)旅游，不能最后去乙景區(qū)和丁景區(qū)旅游，則小明可

選的旅游路線數(shù)為（）

A.24B.18

C.16D.10

解析：選D分兩種情況，第一種：最后體驗甲景區(qū)，則有用種可選的路線；第二種：

不在最后體驗甲景區(qū)，則有Ci?A濾巾可選的路線.所以小明可選的旅游路線數(shù)為扇+以-忘=

10.選D.

9.現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對如圖所示的四個不同區(qū)域進行著色，要求有公共邊的

兩個區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的著色方法的種數(shù)是（）

A.120B.140

C.240D.260

解析：選D由題意，先涂/處，有5種涂法，再涂6處有4種涂法，第三步涂G若

C與力所涂顏色相同，則。有1種涂法，〃有4種涂法，若C與/所涂顏色不同，則C有3

種涂法，〃有3種涂法，由此得不同的著色方法有5X4X（1X4+3X3）=26O（種），故選D.

10.（2018?鄭州模擬）若二項式一3"的展開式的二項式系數(shù)之和為8,則該展開式

每一項的系數(shù)之和為（）

A.-1B.1

C.27D.-27

解析：選A依題意得2"=8,解得〃=3.取x=l得，該二項展開式每一項的系數(shù)之和

為（1一2”=-1,故選A.

11.（2018?開封模擬）某地實行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學、英語統(tǒng)一考試外，

還需從物理、化學、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科.學生甲要想報考某高校的法

學專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學生甲的選考方法種數(shù)為

（）

A.6B.12

C.18D.19

解析：選D法一：在物理、政治、歷史中選一科的選法有C；C：=9（種）；在物理、政治、

歷史中選兩科的選法有《以=9（種）；物理、政治、歷史三科都選的選法有1種.所以學生

甲的選考方法共有9+9+1=19（種），故選D.

法二：從六科中選考三科的選法有盤種，其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科,

這種選法有1種，因此學生甲的選考方法共有《一1=19（種），故選D.

12.（2018?甘肅蘭州檢測）某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個人玩搶紅包游戲，現(xiàn)

有4個紅包，每人最多搶一個，且紅包被全部搶完，4個紅包中有2個6元，1個8元，1

個10元（紅包中金額相同視為相同紅包），則甲、乙都搶到紅包的情況有（）

A.18種B.24種

C.36種D.48種

解析：選C若甲、乙搶的是一個6元和一個8元的，剩下2個紅包，被剩下的3人中

的2個人搶走,有A派=12（種）；

若甲、乙搶的是一個6元和一個10元的，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶

走，有A北=12（種）；

若甲、乙搶的是一個8元和一個10元的，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人搶

走，有A久：=6（種）；若甲、乙搶的是兩個6元，剩下2個紅包，被剩下的3人中的2個人

搶走，有片=6（種），根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，共有12+12+6+6=36（種）.故選C.

二、填空題

13.（2018?貴州模擬的展開式中系的系數(shù)為-84,則展開式的各項系數(shù)之和

為________.

解析：二項展開式的通項21=總產(chǎn)（：）=才以產(chǎn)3令9—2r=3,得r=3,所以我；=

-84,所以a=-l,所以二項式為卜一J"，令x=l,則（1一1/=0,所以展開式的各項系

數(shù)之和為0.

答案：0

14.（2018?福州四校聯(lián)考）在（1—力（2+4的展開式中，￡的系數(shù)是（用數(shù)字

作答）.

解析：二項展開式中，含系的項是森2片一系森2y=-228咒所以f的系數(shù)是-228.

答案：-228

15.（2018?合肥質(zhì)檢）在口一1一1）的展開式中，常數(shù)項為.

解析:易知口一：一1）=-1+,一''的展開式的通項Z+尸又

24r

（十-3的展開式的通項&+1=C：/^（-rr=C：（-l）V",A7；+1=C；（-l）--C：?（-

1)V-JAV,令i-2初=0,得r=2m,V0^r^4,%W2,，當勿=0,1,2時，r=0,2,4,

故常數(shù)項為方+石+n=/（—1）"+、（-1）2?cK-D'+cX-D0?d（-i）2=-5.

答案：一5

16.（2018?洛陽模擬）某校有4個社團向高一學生招收新成員，現(xiàn)有3名同學，每人只

選報1個社團，恰有2個社團沒有同學選報的報法有種（用數(shù)字作答）.

解析：法一：第一步，選2名同學報名某個社團，有點?C：=12種報法；第二步，從剩

余的3個社團里選一個社團安排另一名同學，有C；?C；=3種報法.由分步乘法計數(shù)原理得

共有12X3=36種報法.

法二：第一步，將3名同學分成兩組，一組1人，一組2人，共成種方法；第二步，從

4個社團里選取2個社團讓兩組同學分別報名，共屈種方法.由分步乘法計數(shù)原理得共有

C?相=36種報法.

答案：36

B級一一難度小題強化練

1.（2018?南昌模擬）某校畢業(yè)典禮上有6個節(jié)目，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有

如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起.則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出

順序的編排方案共有（）

A.120種B.156種

C.188種D.240種

解析：選A法一：記演出順序為1?6號，對丙、丁的排序進行分類，丙、丁占1和2

號,2和3號,3和4號，4和5號，5和6號,其排法分別為A比，A遮,C臧,C1A賽,C；

A比，故總編排方案有A源+A筑+C；A筑+C4然+C；A源=120（種）.

法二：記演出順序為1?6號，按甲的編排進行分類，①當甲在1號位置時，丙、丁相

鄰的情況有4種，則有C：A需=48（種）；②當甲在2號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，

共有CiA加=36（種）；③當甲在3號位置時，丙、丁相鄰的情況有3種，共有CiA逐=36（種）.所

以編排方案共有48+36+36=120（種）.

2.（2018?洛陽模擬）若a=rsinxdx,則二項式（a而一的展開式中的常數(shù)項為

J0

（）

4-15B.15

C.-240D.240

解析：選Da=fnsinxok=(—cosx)\o=(—cos不)一(一cos0)=1—(—1)=2,

則（2市一十）的展開式的通項為Tf=G26r（—左，令6-3r=0得r=2,所以展開

式中的常數(shù)項為《?2」?（-1尸=240.故選D.

3.定義“規(guī)范01數(shù)列”｛a.｝如下：｛&,｝共有2m項，其中m項為0,m項為1,且對任

意kW2m,a”a,,…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù).若m=4,則不同的''規(guī)范01數(shù)列”

共有（）

A.18個B.16個

C.14個D.12個

解析：選C由題意知：當m=4時，"規(guī)范01數(shù)列”共含有8項，其中4項為0,4項

為1,且必有為=0,as=l.不考慮限制條件''對任意kW2m,a”a2,ak中0的個數(shù)不

少于1的個數(shù)”，則中間6個數(shù)的情況共有4=20（種），其中存在kW2m,a”a?,…，ak

中。的個數(shù)少于1的個數(shù)的情況有：①若a2=a3=l,則有&=4（種）；②若a2=l,a3=0,

則&i=l,a5=l,只有1種；③若a2=0,則23=&1=%=1,只有1種.綜上，不同的“規(guī)

范01數(shù)列”共有20—6=14（種）.故共有14個.故選C

4.某公司有五個不同部門，現(xiàn)有4名在校大學生來該公司實習，要求安排到該公司的

兩個部門，且每個部門安排兩人，則不同的安排方案種數(shù)為（）

A.60B.40

C.120D.240

解析：選/由題意得，先將4名大學生平均分為兩組，共有太=3（種）不同的分法，

再將兩組安排在其中的兩個部門，共有3X/=60（種）不同的安排方法.故選/.

5.（2018?鄭州一模）由數(shù)字2,0,1,9組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為_______.

解析：根據(jù)所組成的沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個位是否為。進行分類計數(shù)：第一類，

個位是0時，滿足題意的四位偶數(shù)的個數(shù)為@=6；第二類，個位是2時，滿足題意的四位

偶數(shù)的個數(shù)為d-4=4.由分類加法計數(shù)原理得，滿足題意的四位偶數(shù)的個數(shù)為6+4=10.

答案：10

6.（2018?濟南模擬）已知（l+ax+by）"a,b為常數(shù),aCN*,的展開式中不含字

母x的項的系數(shù)和為243,則函數(shù)f（的=sin”[子]的最小值為________.

/sin（x+7）

解析：令x=0,y=L得（1+Z?）°=243,解得力=2.

,nnn3n

因為xG0)—,所以~

，/、sin2x-\~bsin2x+2

所以F(x)=------

sinx+cosx

■sin

2sinx?cosx+2

sinx+cosx

[

=sin%+cosx-

sin%+cosx

22、/sin%+cosx?------;------=2,

Msmx十cosx

當且僅當sinx+cosx=\時取,

所以f(x)的最小值為2.

答案：2

第二講小題考法一一概率、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例

考點（一）用樣本估計總體

主要考查用統(tǒng)計圖表以及利用樣本的數(shù)字特

征估計總體，且以統(tǒng)計圖表的考查為主.

［典例感悟］

［典例］（1）（2017?全國卷I）為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了〃塊地作試驗田.這

〃塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為兩，自，…，X；下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)

作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是（）

A.小，物…，藥的平均數(shù)

B.小，在，…，X”的標準差

C.X、,生，…，x〃的最大值

D.Xi,照，…，照的中位數(shù)

（2）（2017?全國卷m）某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并

整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的

折線圖.

月接待游客最/萬人

45

40

35

30

25

0123456789101112123456789101112123456789101112

根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是()

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

(3)(2018?寶雞質(zhì)檢)對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進行抽樣檢測，樣本容量為200,

如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，根據(jù)產(chǎn)品標準，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間［25,30)的為一等

品，在區(qū)間［20,25)和［30,35)的為二等品，其余均為三等品，則該樣本中三等品的件數(shù)為

()

頻率/組距

0.0625

0.0500

0.0375

0.0250

0.0125

10152025303540長度/毫米

［解析］(1)標準差能反映一組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度.故選B.

(2)根據(jù)折線圖可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在減

少，所以A錯誤.由圖可知，B、C、D正確.

(3)根據(jù)題中的頻率分布直方圖可知，三等品的頻率為1-(0.0500+0.0625+0.037

5)X5=625,因此該樣本中三等品的件數(shù)為200X0.25=50,故選D.

［答案］(DB(2)A(3)D

［方法技巧］

1.樣本方差、標準差的計算與含義

(1)計算：計算方差或標準差首先要計算平均數(shù)，然后再按照方差或標準差的計算公式

進行計算.

(2)含義：方差和標準差是描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)，方差和標準差大

說明波動大.

2.頻率分布直方圖中常見問題及解題策略

(1)已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù).可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)

求出樣本與整體的關(guān)系，利用頻率和等于1就可以求出其他數(shù)據(jù).

(2)已知頻率分布直方圖，求某個范圍內(nèi)的數(shù)據(jù).可利用圖形及某范圍結(jié)合求解.

［演練沖關(guān)］

1.(2018?全國卷I)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實

現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計r該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村

的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:

第三產(chǎn)業(yè)收入第三產(chǎn)業(yè)收入

其他收入

種植種植其他收入

收入收入

養(yǎng)殖收入養(yǎng)殖收入

建設(shè)前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是()

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

解析：選A設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前，農(nóng)村的經(jīng)濟收入為a,則新農(nóng)村建設(shè)后，農(nóng)村經(jīng)濟收入

為2a.

新農(nóng)村建設(shè)前后，各項收入的對比如下表:

新農(nóng)村建設(shè)后

新農(nóng)村建設(shè)前新農(nóng)村建設(shè)后結(jié)論

變化情況

種植收入60%a37%X2a=74%d增加A錯

其他收入4%a5%X2a=10%.3增加一倍以上B對

養(yǎng)殖收入30%a30%X25=60%5增加了一倍C對

養(yǎng)殖收入+第(30%+28%)X2a超過經(jīng)濟收入

(30%+6%)a=36%aD對

三產(chǎn)業(yè)收入=116%a2a的一半

故選A.

2.某課外小組的同學們在社會實踐活動中調(diào)查了20戶家庭某月的用電量如下表所示:

用電量/度120140160180200

戶數(shù)23582

則這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.180,170B.160,180

C.160,170D.180,160

解析：選A用電量為180度的家庭最多，有8戶，故這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)

是180,排除B,C；將用電量按從小到大的順序排列后，處于最中間位置的兩個數(shù)是160,180,

故

這20戶家庭該月用電量的中位數(shù)是170.故選A.

3.（2018?武漢調(diào)研）從某選手的7個得分中去掉1個最高分，去

掉一個最低分后，剩余5個得分的平均數(shù)為91分，如圖所示是該選877