一元線性回歸模型及其應(yīng)用高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件.2.針對(duì)實(shí)際問題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測.重點(diǎn)：一元線性回歸模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義及求解方法,求一元線性回歸模型,用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測.難點(diǎn)：最小二乘法，一元線性回歸模型參數(shù)的求解，回歸思想的建立.知識(shí)梳理一、一元線性回歸模型生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，兒子的身高與父親的身高不僅線性相關(guān)，而且還是正相關(guān)，即父親的身高較高時(shí)，兒子的身高通常也較高.為了進(jìn)一步研究兩者之間的關(guān)系，有人調(diào)查了14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表8.2-1所示.表8.2-1編號(hào)1234567891011121314父親身高/cm174170173169182172180172168166182173164180兒子身高/cm176176170170185176178174170168178172165182利用前面表示數(shù)據(jù)的方法，以橫軸表示父親身高、縱軸表示兒子身高建立直角坐標(biāo)系，再將表8.2-1中的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)表示為散點(diǎn)圖，如圖8.2-1所示.可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明兒子身高和父親身高線性相關(guān).利用統(tǒng)計(jì)軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r≈0.886，表明兒子身高和父親身高正線性相關(guān)，且相關(guān)程度較高.圖8.2-1思考：根據(jù)表8.2-1中的數(shù)據(jù)，兒子身高和父親身高這兩個(gè)變量之間的關(guān)系可以用函數(shù)模型刻畫嗎？在表8.2-1的數(shù)據(jù)中，存在父親身高相同，而兒子身高不同的情況.例如，第6個(gè)和第8個(gè)觀測的父親身高均為172cm，而對(duì)應(yīng)的兒子身高分別為176cm和174cm；同樣，第3，4兩個(gè)觀測中，兒子身高都是170cm，而父親身高分別為173cm和169cm.可見兒子身高和父親身高之間不是函數(shù)關(guān)系，也就不能用函數(shù)模型刻畫.

我們稱（1）式為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.模型中的Y也是隨機(jī)變量，其值雖然不能由變量x的值確定，但是卻能表示為bx+a與e的和（疊加），前一部分由x所確定，后一部分是隨機(jī)的.如果e＝0，那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線性函數(shù)模型來描述.二、一元線性回歸模型隨機(jī)誤差的產(chǎn)生原因在研究兒子身高與父親身高的關(guān)系時(shí)，產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因有：（1）除父親身高外，其他可能影響兒子身高的因素，比如母親身高、生活環(huán)境、飲食習(xí)慣和鍛煉時(shí)間等；（2）在測量兒子身高時(shí)，由于測量工具、測量精度所產(chǎn)生的測量誤差；（3）實(shí)際問題中，我們不知道兒子身高和父親身高的相關(guān)關(guān)系是什么，可以利用一元線性回歸模型來近似這種關(guān)系，這種近似也是產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因.三、經(jīng)驗(yàn)回歸方程

四、殘差分析

一般地，建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程后，通常需要對(duì)模型刻畫數(shù)據(jù)的效果進(jìn)行分析.借助殘差分析還可以對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，使我們能根據(jù)改進(jìn)模型作出更符合實(shí)際的預(yù)測與決策.五、用R2比較模型的擬合效果可以用決定系數(shù)R2來比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2的計(jì)算公式為在R2表達(dá)式中，

與經(jīng)驗(yàn)回歸方程無關(guān)，殘差平方和與經(jīng)驗(yàn)回歸方程有關(guān).因此R2越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差.對(duì)R2的理解要注意以下三點(diǎn)（1）在一元線性回歸模型中，R2＝r2，因此0≤R2≤1，且在一元線性模型中，R2和r都能刻畫用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果，|r|越大，即R2越大，用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好，即相關(guān)程度越強(qiáng).（2）當(dāng)兩個(gè)變量x，y非線性相關(guān)時(shí)，用擬合系數(shù)R2判斷擬合效果，R2越大，擬合效果越好.（3）R2可以作為衡量任何模型擬合效果的一個(gè)指標(biāo)，它越大，擬合效果越好.常考題型一、隨機(jī)誤差例1［2020·重慶高二期末］若某地財(cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程y＝bx+a+e（單位：億元），其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年該地區(qū)財(cái)政收入10億元，年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過 （）A.9億元

B.9.5億元 C.10億元

D.10.5億元【解析】因?yàn)樨?cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程y＝bx+a+e，其中b＝0.7，a＝3，所以得到y(tǒng)＝0.7x+3+e，當(dāng)x＝10時(shí)，得y＝0.7×10+3+e＝10+e，而|e|≤0.5，即-0.5≤e≤0.5，所以9.5≤y≤10.5，所以年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過10.5億元.故選D.【答案】D◆產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因1.所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差；2.忽略了某些因素的影響；3.存在觀測誤差.訓(xùn)練題在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí)，若求得相關(guān)指數(shù)R2≈0.85，則表明氣溫解釋了

的熱茶銷售杯數(shù)變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的

，所以氣溫對(duì)熱茶銷售杯數(shù)的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多.85%15%二、一元線性回歸模型BDA右下三、殘差分析◆殘差分析1.殘差分析即通過殘差發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果.2.其步驟為（1）計(jì)算殘差；（2）畫殘差圖；（3）在殘差圖中分析殘差特征.3.殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高.DCA0.06四、非線性回歸模型◆解決非線性回歸問題的步驟1.確定變量：確定解釋變量為x，預(yù)報(bào)變量為y.2.畫散點(diǎn)圖：通過觀察散點(diǎn)圖，與學(xué)過的函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等）的圖象比較，選取擬合效果好的函數(shù)模型.3.變量置換：通過變量置換把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題.4.分析擬合效果：（1）可以通過原始數(shù)據(jù)及y和x之間的非線性回歸方程列出殘差對(duì)比分析表，一般通過殘差平方和比較兩種模型的擬合效果，顯然殘差平方和較小的擬合效果較好；（2）還可以用相關(guān)指數(shù)R2來比較兩