高一數(shù)學(xué)課堂抄重點講義(人教A版2019必修第二冊)9.2.2總體百分位數(shù)的估計(講義+例題+小練)(講義+例題+小練)(原卷版+解析)

9.2.2總體百分位數(shù)的估計（講義+例題+小練）百分位數(shù)：如果將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，并計算相應(yīng)的累計百分位，則某一百分位所對應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分位的百分位數(shù)?？杀硎緸椋阂唤Mn個\t"/item/%E7%99%BE%E5%88%86%E4%BD%8D%E6%95%B0/_blank"觀測值按\t"/item/%E7%99%BE%E5%88%86%E4%BD%8D%E6%95%B0/_blank"數(shù)值大小排列。如，處于p%位置的值稱第p百分位數(shù)。計算步驟下面的步驟來說明如何計算第p百分位數(shù)。第1步：以遞增順序排列原始數(shù)據(jù)（即從小到大排列）。第2步：計算指數(shù)i=np%第3步：l）若i不是整數(shù)，將i向上取整。大于i的毗鄰整數(shù)即為第p百分位數(shù)的位置。2)若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)是第i項與第(i+l)項數(shù)據(jù)的平均值。除了以上方法，再介紹另外一種方法，這種方法是SPSS所用方法，也是SAS所用方法之一。第一步：將n個變量值從小到大排列，X(j)表示此數(shù)列中第j個數(shù)。第二步：計算指數(shù)，設(shè)(n+1)P%=j+g，j為整數(shù)部分，g為小數(shù)部分。第三步：1)當(dāng)g=0時：P百分位數(shù)=X(j);2)當(dāng)g≠0時：P百分位數(shù)=g*X(j+1)+(1-g)*X(j)=X(j)+g*[X(j+1)-X(j)]。例1．某數(shù)學(xué)老師記錄了班上8名同學(xué)的數(shù)學(xué)考試成績，得到如下數(shù)據(jù)：90，98，100，108，111，115，115，125.則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（

）A．100 B．111 C．113 D．1152．?dāng)?shù)據(jù)20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位數(shù)為________.3．某小學(xué)制訂了一份調(diào)查問卷，讓學(xué)生家長對該校實行“雙減”的效果進行評分，評分都在內(nèi)，將所有數(shù)據(jù)按，，，，，進行分組，整理得到頻率分布直方圖如下，則這次調(diào)查數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為___________.舉一反三1.從800件產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)檢，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將800件產(chǎn)品按001，002，…，800進行編號．如果從隨機數(shù)表第8行第8列的數(shù)8開始往右讀數(shù)（隨機數(shù)表第7行至第9行的數(shù)如下），則抽取的6件產(chǎn)品的編號的75%分位數(shù)是（

）……8442175331

5724550688

77047447672176335025

83921206766301637859

1695566711

69105671751286735807

44395238793321123429

7864560782

52420744381551001342

9966027954A．105 B．556 C．671 D．1692．某班學(xué)號的學(xué)生鉛球測試成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)號12345678成績8.08.1可以估計這8名學(xué)生鉛球測試成績的第25百分位數(shù)為___________.3．某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；(2)試估計測評成績的75%分位數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．鞏固提升一、單選題1．?dāng)?shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位數(shù)為（

）A．7 B．7．2 C．7．5 D．82．下表為12名畢業(yè)生的起始月薪：畢業(yè)生123456789101112起始月薪285029503050288027552710289031302940332529202880根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)計算75%分位數(shù)為（

）A．2950 B．3050 C．3130 D．30003．為普及冬奧知識，某校在各班選拔部分學(xué)生進行冬奧知識競賽．根據(jù)參賽學(xué)生的成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若要對40%成績較高的學(xué)生進行獎勵，則獲獎學(xué)生的最低成績可能為（

）A．B．C．D．954．以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，則這15人成績的70%分位數(shù)是（

）A．86 B．87 C．88 D．895．為了解某中學(xué)對新冠疫情防控知識的宣傳情況，增強學(xué)生日常防控意識，現(xiàn)從該校隨機抽取30名學(xué)生參加防控知識測試，得分（10分制）如圖所示，以下結(jié)論正確的是（

）A．這30名學(xué)生測試得分的中位數(shù)為6B．這30名學(xué)生測試得分的眾數(shù)與中位數(shù)相等C．這30名學(xué)生測試得分的平均數(shù)比中位數(shù)小D．從這30名學(xué)生的測試得分可預(yù)測該校學(xué)生對疫情防控的知識掌握不夠，建議學(xué)校加強學(xué)生疫情防控知識的學(xué)習(xí)，增強學(xué)生日常防控意識6．小李于年底貸款購置了一套房子，將通過年期每月向銀行還數(shù)額相同的房貸，且截止年底，他沒有再購買第二套房子．下圖是年和年小李的家庭收入用于各項支出的比例分配圖，根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論中正確的是（

）A．小李一家年用于飲食的支出費用與年相同B．小李一家年用于其他方面的支出費用是年的倍C．小李一家年的家庭收入比年增加了倍D．小李一家年用于房貸的支出費用比年減少了二、多選題7．某市為了考察一所高中全體學(xué)生參與第六屆全國中小學(xué)生“學(xué)憲法、講憲法”憲法小衛(wèi)士活動的完成情況，對本校名學(xué)生的得分情況進行了統(tǒng)計，按照、、、分成組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法正確的是（

）A．圖中的值為B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為C．由圖形中的數(shù)據(jù)，可估計分位數(shù)是D．分以上將獲得金牌小衛(wèi)士稱號，則該校有人獲得該稱號8．有“好事者”記錄了高州某山地區(qū)八月1日至10日的最高溫度，分別為：32，33，35，36，34，38，39，36，34，34．（單位為），下列說法正確的有（

）A．眾數(shù)為34 B．中位數(shù)與第50百分位數(shù)相等C．第80分位數(shù)是37 D．極差為6三、填空題9．?dāng)?shù)據(jù)、、、、、、、、的第百分位數(shù)是________．10．下列判斷正確的是______（1）若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其75%分位數(shù)大于25%分位數(shù)．（2）若一組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是23，則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23．（3）若一組樣本數(shù)據(jù)的24%分位數(shù)是24，則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24．四、解答題11．為了了解市民的環(huán)保意識，某校高一（1）班50名學(xué)生在6月5日(世界環(huán)境日)這一天調(diào)查了各自家庭丟棄舊塑料袋的情況，有關(guān)數(shù)據(jù)如表：每戶丟棄舊塑料袋個數(shù)2345戶數(shù)6171512(1)求這50戶居民6月5日這一天丟棄舊塑料袋的平均數(shù)、中位數(shù)；(2)求這50戶居民6月5日這一天丟棄舊塑料袋的75百分位數(shù)．12．“FMC”是由復(fù)旦大學(xué)陽屬中學(xué)聯(lián)合浦東分校?青浦分校?復(fù)旦中學(xué)舉行的數(shù)學(xué)學(xué)科知識競賽，歡迎在數(shù)學(xué)上有所特長?或是對數(shù)學(xué)學(xué)科感興趣的同學(xué)們報名參加，現(xiàn)將某次參加“FMC”的學(xué)生成績進行統(tǒng)計（折合百分制，得分為整數(shù)），考察該次競賽的成績分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右依次為第一組到第五組.各小組的小長方形的高的比為1∶3∶6∶4∶2，第五組的頻數(shù)為12.請結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問題：(1)該樣本的容量是多少？(2)成績落在哪一組中的人數(shù)最多？并求該小組的頻率；(3)該樣本的第75百分位數(shù)在第幾組中？9.2.2總體百分位數(shù)的估計（講義+例題+小練）百分位數(shù)：如果將一組數(shù)據(jù)從小到大排序，并計算相應(yīng)的累計百分位，則某一百分位所對應(yīng)數(shù)據(jù)的值就稱為這一百分位的百分位數(shù)?？杀硎緸椋阂唤Mn個\t"/item/%E7%99%BE%E5%88%86%E4%BD%8D%E6%95%B0/_blank"觀測值按\t"/item/%E7%99%BE%E5%88%86%E4%BD%8D%E6%95%B0/_blank"數(shù)值大小排列。如，處于p%位置的值稱第p百分位數(shù)。計算步驟下面的步驟來說明如何計算第p百分位數(shù)。第1步：以遞增順序排列原始數(shù)據(jù)（即從小到大排列）。第2步：計算指數(shù)i=np%第3步：l）若i不是整數(shù)，將i向上取整。大于i的毗鄰整數(shù)即為第p百分位數(shù)的位置。2)若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)是第i項與第(i+l)項數(shù)據(jù)的平均值。除了以上方法，再介紹另外一種方法，這種方法是SPSS所用方法，也是SAS所用方法之一。第一步：將n個變量值從小到大排列，X(j)表示此數(shù)列中第j個數(shù)。第二步：計算指數(shù)，設(shè)(n+1)P%=j+g，j為整數(shù)部分，g為小數(shù)部分。第三步：1)當(dāng)g=0時：P百分位數(shù)=X(j);2)當(dāng)g≠0時：P百分位數(shù)=g*X(j+1)+(1-g)*X(j)=X(j)+g*[X(j+1)-X(j)]。例1．某數(shù)學(xué)老師記錄了班上8名同學(xué)的數(shù)學(xué)考試成績，得到如下數(shù)據(jù)：90，98，100，108，111，115，115，125.則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（

）A．100 B．111 C．113 D．115【答案】D【解析】【分析】根據(jù)第p百分位數(shù)的定義直接計算，再判斷作答.【詳解】由知，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是按從小到大排列的第6個位置的數(shù)，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是115.故選：D2．?dāng)?shù)據(jù)20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22的70%分位數(shù)為________.【答案】28【解析】【詳解】把所給的數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列可得：12,14,18,20,22,24,26,26,28,30,33,35，因為有12個數(shù)據(jù)，所以12×70%＝8.4，不是整數(shù)，所以數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為第9個數(shù)28.3．某小學(xué)制訂了一份調(diào)查問卷，讓學(xué)生家長對該校實行“雙減”的效果進行評分，評分都在內(nèi)，將所有數(shù)據(jù)按，，，，，進行分組，整理得到頻率分布直方圖如下，則這次調(diào)查數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)為___________.【答案】80【解析】【分析】利用百分位數(shù)的概念以及頻率分布直方圖求解..【詳解】因為前4組數(shù)據(jù)的頻率之和為0.05+0.15+0.2+0.3=0.7，所以70%分位數(shù)為80.故答案為：80舉一反三1.從800件產(chǎn)品中抽取6件進行質(zhì)檢，利用隨機數(shù)表法抽取樣本時，先將800件產(chǎn)品按001，002，…，800進行編號．如果從隨機數(shù)表第8行第8列的數(shù)8開始往右讀數(shù)（隨機數(shù)表第7行至第9行的數(shù)如下），則抽取的6件產(chǎn)品的編號的75%分位數(shù)是（

）……8442175331

5724550688

77047447672176335025

83921206766301637859

1695566711

69105671751286735807

44395238793321123429

7864560782

52420744381551001342

9966027954A．105 B．556 C．671 D．169【答案】C【解析】【分析】由隨機表及編號規(guī)則確定抽取的6件產(chǎn)品編號，再從小到大排序，應(yīng)用百分位數(shù)的求法求75%分位數(shù).【詳解】由題設(shè)，依次讀取的編號為，根據(jù)編號規(guī)則易知：抽取的6件產(chǎn)品編號為，所以將它們從小到大排序為，故，所以75%分位數(shù)為.故選：C2．某班學(xué)號的學(xué)生鉛球測試成績?nèi)缦卤恚簩W(xué)號12345678成績8.08.1可以估計這8名學(xué)生鉛球測試成績的第25百分位數(shù)為___________.【答案】【解析】【分析】利用百分位數(shù)的計算方法即可求解.【詳解】將以上數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，，；%，則第25百分位數(shù)第項和第項的平均數(shù)，即為.故答案為：.3．某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；(2)試估計測評成績的75%分位數(shù)；(3)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例．【答案】(1)20人(2)(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖先求出樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的頻率，即可解出；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖判斷出75%分位數(shù)在[70，80）之間，即可根據(jù)分位數(shù)公式算出；（3）根據(jù)頻率分布直方圖知分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)中男女各占30人，從而可知樣本中男生有60人，女生有40人，即可求出總體中男生和女生人數(shù)的比例．(1)由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在[50，90）的頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在樣本中分?jǐn)?shù)在[50，90）的人數(shù)為100×0.9=90(人)，在樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為95人，所以分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為400×0.95=380(人)，總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人(2)測試成績從低到高排序，占人數(shù)75%的人分?jǐn)?shù)在[70，80）之間，所以估計測評成績的75%分位數(shù)為(3)由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)共有60人，由已知男女各占30人，從而樣本中男生有60人，女生有40人，故總體中男生與女生的比例為．鞏固提升一、單選題1．?dāng)?shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位數(shù)為（

）A．7 B．7．2 C．7．5 D．8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可得出答案．【詳解】解：因為，所以第80％分位數(shù)為第8個數(shù)，故數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位數(shù)為8.故選：D．2．下表為12名畢業(yè)生的起始月薪：畢業(yè)生123456789101112起始月薪285029503050288027552710289031302940332529202880根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)計算75%分位數(shù)為（

）A．2950 B．3050 C．3130 D．3000【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可.【詳解】由小到大排列12個數(shù)據(jù)為2710，2757,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325；因為，所以75%分位數(shù)為，故選：D3．為普及冬奧知識，某校在各班選拔部分學(xué)生進行冬奧知識競賽．根據(jù)參賽學(xué)生的成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖．若要對40%成績較高的學(xué)生進行獎勵，則獲獎學(xué)生的最低成績可能為（

）A．B．C．D．95【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖分別求出成績在，的頻率，進而得解.【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知，成績在的頻率為成績在的頻率為，又，所以40%成績較高的學(xué)生的分?jǐn)?shù)在之間，且最低分?jǐn)?shù)為故選：C4．以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，則這15人成績的70%分位數(shù)是（

）A．86 B．87 C．88 D．89【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義直接得出.【詳解】因為，所以這15人的70%分位數(shù)為第11位數(shù)：88.故選：C.5．為了解某中學(xué)對新冠疫情防控知識的宣傳情況，增強學(xué)生日常防控意識，現(xiàn)從該校隨機抽取30名學(xué)生參加防控知識測試，得分（10分制）如圖所示，以下結(jié)論正確的是（

）A．這30名學(xué)生測試得分的中位數(shù)為6B．這30名學(xué)生測試得分的眾數(shù)與中位數(shù)相等C．這30名學(xué)生測試得分的平均數(shù)比中位數(shù)小D．從這30名學(xué)生的測試得分可預(yù)測該校學(xué)生對疫情防控的知識掌握不夠，建議學(xué)校加強學(xué)生疫情防控知識的學(xué)習(xí)，增強學(xué)生日常防控意識【答案】D【解析】【分析】利用中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的計算方式可判斷各個選項.【詳解】對于A，這30名學(xué)生測試得分的中位數(shù)為，故A錯誤；對于B，這30名學(xué)生測試得分的眾數(shù)為5，故B錯誤；對于C，這30名學(xué)生測試得分的平均數(shù)為，故C錯誤；對于D，因為抽取的30名學(xué)生測試得分普遍偏低，所以預(yù)測該校學(xué)生對疫情防控的知識掌握不夠，建議學(xué)校加強學(xué)生疫情防控知識的學(xué)習(xí)，增強學(xué)生日常防控意識，故D正確．故選：D6．小李于年底貸款購置了一套房子，將通過年期每月向銀行還數(shù)額相同的房貸，且截止年底，他沒有再購買第二套房子．下圖是年和年小李的家庭收入用于各項支出的比例分配圖，根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論中正確的是（

）A．小李一家年用于飲食的支出費用與年相同B．小李一家年用于其他方面的支出費用是年的倍C．小李一家年的家庭收入比年增加了倍D．小李一家年用于房貸的支出費用比年減少了【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件可知年和年用于房貸的支出費用相同，由此根據(jù)的比例分配圖可計算出年和年家庭收入情況，然后即可分析各選項是否正確.【詳解】由于小李每月向銀行還數(shù)額相同的房貸，故可知年用于房貸方面的支出費用跟年相同，故D選項錯誤；設(shè)一年房貸支出費用為，則可知小李的家庭收入為年小李的家庭收入為所以小李一家年的家庭收入比年增加了故C選項錯誤；年，年用于飲食的支出費用分別為故A選項錯誤；年，年用于其他方面的支出費用分別為故B選項正確；故選：B二、多選題7．某市為了考察一所高中全體學(xué)生參與第六屆全國中小學(xué)生“學(xué)憲法、講憲法”憲法小衛(wèi)士活動的完成情況，對本校名學(xué)生的得分情況進行了統(tǒng)計，按照、、、分成組，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，下列說法正確的是（

）A．圖中的值為B．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為C．由圖形中的數(shù)據(jù)，可估計分位數(shù)是D．分以上將獲得金牌小衛(wèi)士稱號，則該校有人獲得該稱號【答案】BC【解析】【分析】由直方圖的面積之和為可判斷A選項；求出平均數(shù)可判斷B選項；求出分位數(shù)可判斷C選項；計算出該校獲得金牌小衛(wèi)士稱號的人數(shù)可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由頻率分布直方圖可知，解得，A錯；對于B選項，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，B對；對于C選項，，，所以，設(shè)這組數(shù)據(jù)分位數(shù)為，則，則，解得；對于D選項，由頻率分布直方圖可知，該校獲得金牌小衛(wèi)士稱號的人數(shù)為人，D錯.故選：BC.8．有“好事者”記錄了高州某山地區(qū)八月1日至10日的最高溫度，分別為：32，33，35，36，34，38，39，36，34，34．（單位為），下列說法正確的有（

）A．眾數(shù)為34 B．中位數(shù)與第50百分位數(shù)相等C．第80分位數(shù)是37 D．極差為6【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義可判斷A；求出中位數(shù)與第50百分位數(shù)可判斷B；求出第80分位數(shù)可判斷C；求出極差可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】將溫度數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：，，，，，，，，，，對于A：眾數(shù)為34，故選項A正確；對于B：中位數(shù)為，，所以第50百分位數(shù)為，所以中位數(shù)與第50百分位數(shù)相等，故選項B正確；對于C：，所以80分位數(shù)是，故選項C正確；對于D：極差為，故選項D不正確，故選：ABC.三、填空題9．?dāng)?shù)據(jù)、、、、、、、、的第百分位數(shù)是________．【答案】【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】將這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為、、、、、、、、，共個數(shù)，因為，故這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是.故答案為：.10．下列判斷正確的是______（1）若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其75%分位數(shù)大于25%分位數(shù)．（2）若一組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是23，則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23．（3）若一組樣本數(shù)據(jù)的24%分位數(shù)是24，則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24．【答案】（1）（3）【解析】【分析】結(jié)合百分位數(shù)概念直接判斷即可.【詳解】對于（1），因為一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，假設(shè)該組數(shù)據(jù)有10個數(shù)，25%分位數(shù)為第三個數(shù)，75%分位數(shù)為第八個數(shù)，故其75%分