高一數(shù)學(xué)同步備好課之題型全歸納(人教A版必修第一冊(cè))專(zhuān)題44任意角(原卷版+解析)

專(zhuān)題44任意角1．角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．2．角的表示如圖，(1)始邊：射線的起始位置OA，(2)終邊：射線的終止位置OB，(3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.這時(shí)，圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或簡(jiǎn)記為“α”．3．角的分類(lèi)按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分為三類(lèi)：名稱(chēng)定義圖示正角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角4．象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因?yàn)?°～360°之間的角的終邊與坐標(biāo)系中過(guò)原點(diǎn)的射線可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°范圍內(nèi)沒(méi)有兩個(gè)角終邊是相同的．(3)nα所在象限的判斷方法：確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判斷方法：已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對(duì)k的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結(jié)論．②作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域．從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針?lè)较虬堰@4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限，則標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域，就是eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀地看出．5．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在運(yùn)用時(shí)需注意以下四點(diǎn)：(1)k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°與α之間用“＋”連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍．(5)終邊相同的角常用的三個(gè)結(jié)論①終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍；②終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍；③終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍．提示：(1)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(2)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.題型一角的有關(guān)概念的判斷1．下列說(shuō)法正確的是()A．終邊相同的角一定相等B．鈍角一定是第二象限角C．第一象限角一定不是負(fù)角D．小于90°的角都是銳角2．給出下列說(shuō)法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．其中正確說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)_______(把正確說(shuō)法的序號(hào)都寫(xiě)上)．3．下列結(jié)論：①三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等；③鈍角比第三象限角小；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中正確的結(jié)論為_(kāi)_______(填序號(hào))．4．下列說(shuō)法正確的是()A．三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限角B．鈍角不一定是第二象限角C．終邊與始邊重合的角是零角D．鐘表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角是負(fù)角5．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則下面關(guān)系正確的是()A．A＝B＝C B．A?CC．A∩C＝B D．B∪C?C6．設(shè)A＝{小于90°的角}，B＝{銳角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有()A．BCAB．BACC．D(A∩C) D．C∩D＝B7．給出下列四個(gè)命題：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)8．下列說(shuō)法正確的是()A．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B．第四象限的角一定是負(fù)角C．60°角與600°角是終邊相同的角D．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為60°9．下列命題正確的是()A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等C．在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β不一定是鈍角D．小于90°的角是銳角10．若將鐘表?yè)苈?0分鐘，則時(shí)針轉(zhuǎn)了______度，分針轉(zhuǎn)了________度．11．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．①420°.②855°.③－510°.題型二終邊相同的角的表示及應(yīng)用1．50°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2周，所得角是________．2．下列各個(gè)角中與2019°終邊相同的是()A．－149°B．679°C．319° D．219°3．下面與－850°12′終邊相同的角是()A．230°12′ B．229°48′C．129°48′ D．130°12′4．已知0°≤α＜360°，且α與600°角終邊相同，則α＝________，它是第________象限角．5．角－870°的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．在－360°～0°范圍內(nèi)與角1250°終邊相同的角是()A．170° B．190°C．－190° D．－170°7．與600°角終邊相同的角可表示為()A．k·360°＋220°(k∈Z)B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z)D．k·360°＋260°(k∈Z)8．已知角α＝－3000°，則與角α終邊相同的最小正角是________．9．與2019°角的終邊相同的最小正角是________，絕對(duì)值最小的角是________．10．若α，β兩角的終邊互為反向延長(zhǎng)線，且α＝－120°，則β＝________.11．寫(xiě)出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫(xiě)出來(lái)．12．在－360°～360°之間找出所有與下列各角終邊相同的角，并判斷各角所在的象限．①790°；②－20°.13．在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角：(1)－120°；(2)640°.14．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角．(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.15．已知角α＝2020°.(1)把α改寫(xiě)成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且－360°≤θ<720°.16．在與角1030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最小的正角；(2)最大的負(fù)角．17．在與530°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．18．在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角β.(1)最大的負(fù)角和最小的正角；(2)[360°，720°)內(nèi)的角．19．已知角β為以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為始邊，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所成的角．(1)寫(xiě)出角β的集合S；(2)寫(xiě)出S中適合不等式－360°<β<720°的元素．20．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有幾種終邊不相同的角？(2)若－360°<α<360°，則集合中的α共有多少個(gè)？21．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列問(wèn)題：(1)集合M有幾類(lèi)終邊不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個(gè)？(3)寫(xiě)出集合M中的第二象限角β的一般表達(dá)式．22．若角α與β的終邊在一條直線上，則α與β的關(guān)系是__________．23．若角α，β的終邊相同，則α－β的終邊在()A．x軸的非負(fù)半軸 B．y軸的非負(fù)半軸C．x軸的非正半軸 D．y軸的非正半軸24．已知角α的終邊與角－690°的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則角α＝___________.25．角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則α與β的關(guān)系為()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z26．若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________.27．已知α，β都是銳角，且α＋β的終邊與－280°角的終邊相同，α－β的終邊與670°角的終邊相同，求角α，β的大?。?8．終邊在第一或第三象限的角的集合是________．29．終邊在直線y＝－x上的所有角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}30．終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為_(kāi)_______．31.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)單位圓(半徑為1的圓)上爬動(dòng)，兩只螞蟻均從點(diǎn)A(1,0)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻每秒爬過(guò)α角，黑螞蟻每秒爬過(guò)β角(其中0°<α<β<180°)，如果兩只螞蟻都在第14s時(shí)回到A點(diǎn)，并且在第2s時(shí)均位于第二象限，求α，β的值．題型三象限角的判定(任意角終邊位置的確定和表示)1．若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α2．已知α是第二象限的角，則180°－α是第________象限的角．3．若角α的終邊在y軸的負(fù)半軸上，則角α－150°的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．y軸的正半軸上 D．x軸的負(fù)半軸上4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，則α所在象限是()A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限5．若β是第二象限角，則270°＋β是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角6．若α是第二象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾象限的角？7．已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限8．若α是第一象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾象限角？9．(1)若α為第三象限角，試判斷90°－α的終邊所在的象限；(2)若α為第四象限角，試判斷eq\f(α,2)的終邊所在的象限．10．若α是第一象限角，則－eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角11．已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A．第一象限角 B．第一、二象限角C．第一、三象限角 D．第一、四象限角12．已知θ為第二象限角，那么eq\f(θ,3)是()A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角13．已知α是第一象限角，則角eq\f(α,3)的終邊可能落在________．(填寫(xiě)所有正確的序號(hào))①第一象限②第二象限③第三象限④第四象限題型四區(qū)域角的表示1．已知，如圖所示．分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；②寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．2．已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是________．3．已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)(不包括邊界)，那么α∈________.4．如圖，終邊落在陰影部分的角的集合是()A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}5．寫(xiě)出終邊落在陰影部分的角的集合．6．寫(xiě)出角的終邊在圖中陰影區(qū)域的角的集合(包括邊界)．7．寫(xiě)出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．8．如圖，分別寫(xiě)出適合下列條件的角的集合：(1)終邊落在射線OB上；(2)終邊落在直線OA上；(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)．9．如圖，α，β分別是終邊落在OA，OB位置上的兩個(gè)角，且α＝60°，β＝315°.(1)求終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角γ的集合；(2)求終邊落在陰影部分(不包括邊界)，且在0°～360°范圍內(nèi)的角的集合．10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐標(biāo)系中，表示出角α終邊所在區(qū)域；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，表示出角β終邊所在區(qū)域；(3)求A∩B.專(zhuān)題44任意角1．角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．2．角的表示如圖，(1)始邊：射線的起始位置OA，(2)終邊：射線的終止位置OB，(3)頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O.這時(shí)，圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或簡(jiǎn)記為“α”．3．角的分類(lèi)按旋轉(zhuǎn)方向，角可以分為三類(lèi)：名稱(chēng)定義圖示正角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角4．象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因?yàn)?°～360°之間的角的終邊與坐標(biāo)系中過(guò)原點(diǎn)的射線可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°范圍內(nèi)沒(méi)有兩個(gè)角終邊是相同的．(3)nα所在象限的判斷方法：確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判斷方法：已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對(duì)k的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結(jié)論．②作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域．從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針?lè)较虬堰@4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限，則標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域，就是eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀地看出．5．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在運(yùn)用時(shí)需注意以下四點(diǎn)：(1)k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°與α之間用“＋”連接，如k·360°－30°應(yīng)看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍．(5)終邊相同的角常用的三個(gè)結(jié)論①終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍；②終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍；③終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍．提示：(1)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.(2)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.(4)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)：若角α與β的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.題型一角的有關(guān)概念的判斷1．下列說(shuō)法正確的是()A．終邊相同的角一定相等B．鈍角一定是第二象限角C．第一象限角一定不是負(fù)角D．小于90°的角都是銳角[解析]因30°和390°的終邊相同，但兩個(gè)角不相等，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；鈍角一定是第二象限角，故B項(xiàng)正確；因－280°是第一象限角，但此角為負(fù)角，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；因－60°是小于90°的角，但它不是銳角，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上，選B．2．給出下列說(shuō)法：①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．其中正確說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)_______(把正確說(shuō)法的序號(hào)都寫(xiě)上)．[解析]①銳角是大于0°且小于90°的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以①正確；②－350°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以②錯(cuò)誤；③0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯(cuò)誤；④360°角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯(cuò)誤．3．下列結(jié)論：①三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等；③鈍角比第三象限角??；④小于180°的角是鈍角、直角或銳角．其中正確的結(jié)論為_(kāi)_______(填序號(hào))．[解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正確；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故②正確；③鈍角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故③不正確；④0°角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故④不正確．4．下列說(shuō)法正確的是()A．三角形的內(nèi)角一定是第一、二象限角B．鈍角不一定是第二象限角C．終邊與始邊重合的角是零角D．鐘表的時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角是負(fù)角[解析]A錯(cuò)，若一內(nèi)角為90°，則不屬于任何象限；B錯(cuò)，鈍角一定是第二象限角；C錯(cuò)，若角的終邊作了旋轉(zhuǎn)，則不是零角；D對(duì)．5．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，則下面關(guān)系正確的是()A．A＝B＝C B．A?CC．A∩C＝B D．B∪C?C[解析]由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正確．6．設(shè)A＝{小于90°的角}，B＝{銳角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有()A．BCAB．BACC．D(A∩C) D．C∩D＝B[解析]顯然第一象限角不是都小于90°，且小于90°的角不都在第一象限，故A，B錯(cuò)；0°不屬于任何象限，故C錯(cuò)；銳角為小于90°而大于0°的角，∴C∩D＝B，選D.7．給出下列四個(gè)命題：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)[解析]－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以這四個(gè)命題都是正確的．8．下列說(shuō)法正確的是()A．三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角B．第四象限的角一定是負(fù)角C．60°角與600°角是終邊相同的角D．將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角為60°[解析]A錯(cuò)誤，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；B錯(cuò)誤，280°角是第四象限角，但它不是負(fù)角；C錯(cuò)誤，600°－60°＝540°不是360°的倍數(shù)；D正確，分針轉(zhuǎn)一周為60分鐘，轉(zhuǎn)過(guò)的角度為－360°，將分針撥慢是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，撥慢10分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角為360°×eq\f(1,6)＝60°.9．下列命題正確的是()A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等C．在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β不一定是鈍角D．小于90°的角是銳角[解析]終邊與始邊重合的角還可能是360°，720°，…，故A錯(cuò)；終邊和始邊都相同的兩個(gè)角可能相差360°的整數(shù)倍，如30°與－330°，故B錯(cuò)；由于在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β包含90°角，所以不一定是鈍角，C正確；小于90°的角可以是0°，也可以是負(fù)角，故D錯(cuò)誤．[答案]C10．若將鐘表?yè)苈?0分鐘，則時(shí)針轉(zhuǎn)了______度，分針轉(zhuǎn)了________度．[解析]由題意可知，時(shí)針按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了10×eq\f(360°,12×60)＝5°，分針按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)了10×eq\f(360°,60)＝60°.11．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．①420°.②855°.③－510°.[解析]作出各角的終邊，如圖所示：由圖可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．題型二終邊相同的角的表示及應(yīng)用1．50°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，把終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2周，所得角是________．[解析]由題意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.2．下列各個(gè)角中與2019°終邊相同的是()A．－149°B．679°C．319° D．219°[解析]因?yàn)?019°＝360°×5＋219°，所以與2019°終邊相同的角是219°.3．下面與－850°12′終邊相同的角是()A．230°12′ B．229°48′C．129°48′ D．130°12′[解析]與－850°12′終邊相同的角可表示為α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，當(dāng)k＝3時(shí)，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′.4．已知0°≤α＜360°，且α與600°角終邊相同，則α＝________，它是第________象限角．[解析]因?yàn)?00°＝360°＋240°，所以240°角與600°角終邊相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角．5．角－870°的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析]－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故選C.6．在－360°～0°范圍內(nèi)與角1250°終邊相同的角是()A．170° B．190°C．－190° D．－170°[解析]與1250°角的終邊相同的角α＝1250°＋k·360°，k∈Z，因?yàn)椋?60°＜α＜0°，所以－eq\f(161,36)＜k＜－eq\f(125,36)，因?yàn)閗∈Z，所以k＝－4，所以α＝－190°.7．與600°角終邊相同的角可表示為()A．k·360°＋220°(k∈Z)B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z)D．k·360°＋260°(k∈Z)[解析]與600°終邊相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z.[答案]B8．已知角α＝－3000°，則與角α終邊相同的最小正角是________．[解析]設(shè)與角α終邊相同的角為β，則β＝－3000°＋k·360°，k∈Z，又因?yàn)棣聻樽钚≌牵嗜＝9，則β＝－3000°＋360°×9＝240°.9．與2019°角的終邊相同的最小正角是________，絕對(duì)值最小的角是________．[解析]與2019°角的終邊相同的角為2019°＋k·360°(k∈Z)．當(dāng)k＝－5時(shí)，219°為最小正角；當(dāng)k＝－6時(shí)，－141°為絕對(duì)值最小的角．10．若α，β兩角的終邊互為反向延長(zhǎng)線，且α＝－120°，則β＝________.[解析]在0°～360°范圍內(nèi)與α＝－120°的終邊互為反向延長(zhǎng)線的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．11．寫(xiě)出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β＜360°的元素β寫(xiě)出來(lái)．[解析]與α＝－1910°終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1910°＜360°(k∈Z)，∴3eq\f(11,36)≤k＜6eq\f(11,36)(k∈Z)，故取k＝4,5,6.k＝4時(shí)，β＝4×360°－1910°＝－470°；k＝5時(shí)，β＝5×360°－1910°＝－110°；k＝6時(shí)，β＝6×360°－1910°＝250°.12．在－360°～360°之間找出所有與下列各角終邊相同的角，并判斷各角所在的象限．①790°；②－20°.[解析]①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°，∴在－360°～360°之間與它終邊相同的角是70°和－290°，它們都是第一象限的角．②∵－20°＝－360°＋340°，∴在－360°～360°之間與它終邊相同的角是－20°和340°，它們都是第四象限的角．13．在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角：(1)－120°；(2)640°.[解析](1)與－120°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝1時(shí)，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范圍內(nèi)，與－120°終邊相同的角是240°，它是第三象限的角．(2)與640°終邊相同的角的集合為M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．當(dāng)k＝－1時(shí)，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范圍內(nèi)，與640°終邊相同的角為280°，它是第四象限的角．14．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角．(1)－120°；(2)660°；(3)－950°08′.[解析](1)∵－120°＝240°－360°，∴在0°～360°范圍內(nèi)，與－120°角終邊相同的角是240°角，它是第三象限的角．(2)∵660°＝300°＋360°，∴在0°～360°范圍內(nèi)，與660°角終邊相同的角是300°角，它是第四象限的角．(3)∵－950°08′＝129°52′－3×360°，∴在0°～360°范圍內(nèi)，與－950°08′終邊相同的角是129°52′，它是第二象限的角．15．已知角α＝2020°.(1)把α改寫(xiě)成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且－360°≤θ<720°.[解析](1)由2020°除以360°，得商為5，余數(shù)為220°.∴取k＝5，β＝220°，α＝5×360°＋220°.又β＝220°是第三象限角，∴α為第三象限角．(2)與2020°終邊相同的角為k·360°＋2020°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2020°<720°(k∈Z)，解得－6eq\f(109,180)≤k<－3eq\f(11,18)(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4.將k的值代入k·360°＋2020°中，得角θ的值為－140°，220°，580°.16．在與角1030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最小的正角；(2)最大的負(fù)角．[解析]1030°÷360°＝2……310°，所以1030°＝2×360°＋310°，所以與角1030°終邊相同的角的集合為{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)所求的最小正角為310°.(2)取k＝－1得所求的最大負(fù)角為－50°.17．在與530°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最大的負(fù)角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．[解析]與530°終邊相同的角為k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大負(fù)角為－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角為170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角為－550°.18．在與角10030°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角β.(1)最大的負(fù)角和最小的正角；(2)[360°，720°)內(nèi)的角．[解析]與10030°終邊相同的角的一般形式為β＝k·360°＋10030°(k∈Z)．由－360°<k·360°＋10030°<0°，得－10390°<k·360°<－10030°，解得k＝－28，故所求的最大負(fù)角為β＝－50°.由0°<k·360°＋10030°<360°，得－10030°<k·360°<－9670°，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310°.(2)由360°≤k·360°＋10030°<720°，得－9670°≤k·360°<－9310°，解得k＝－26，故所求的角為β＝670°.19．已知角β為以O(shè)為頂點(diǎn)，x軸為始邊，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所成的角．(1)寫(xiě)出角β的集合S；(2)寫(xiě)出S中適合不等式－360°<β<720°的元素．[解析](1)由題可知，角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中適合不等式－360°<β<720°的元素分別是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.20．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有幾種終邊不相同的角？(2)若－360°<α<360°，則集合中的α共有多少個(gè)？[解析](1)在給定的角的集合中終邊不相同的角共有四種，分別是與45°、135°、－135°、－45°終邊相同的角．(2)令－360°<k·90°＋45°<360°，得－eq\f(9,2)<k<eq\f(7,2).又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴滿足條件的角共有8個(gè)．21．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列問(wèn)題：(1)集合M有幾類(lèi)終邊不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個(gè)？(3)寫(xiě)出集合M中的第二象限角β的一般表達(dá)式．[解析](1)集合M的角可以分成四類(lèi)，即終邊分別與－150°角，－60°角，30°角，120°角的終邊相同的角．(2)令－360°<30°＋k·90°<360°，k∈Z，則－eq\f(13,3)<k<eq\f(11,3)，k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8個(gè)，分別是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(3)集合M中的第二象限角與120°角的終邊相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.22．若角α與β的終邊在一條直線上，則α與β的關(guān)系是__________．[解析]因?yàn)棣僚cβ的終邊在一條直線上，所以α與β相差180°的整數(shù)倍．[答案]α＝β＋k·180°，k∈Z23．若角α，β的終邊相同，則α－β的終邊在()A．x軸的非負(fù)半軸 B．y軸的非負(fù)半軸C．x軸的非正半軸 D．y軸的非正半軸[解析]∵角α，β終邊相同，∴α＝k·360°＋β(k∈Z)，∴α－β＝k·360°(k∈Z)，故α－β的終邊在x軸的非負(fù)半軸上．[答案]A24．已知角α的終邊與角－690°的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則角α＝___________.[解析]－690°＝－720°＋30°，則角α的終邊與30°角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，而與30°角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的角可取150°，故α＝k·360°＋150°，k∈Z.25．角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則α與β的關(guān)系為()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z[解析]法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，則α＋β＝180°.故α與β的關(guān)系為α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.法二：(直接法)因?yàn)榻铅僚c角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.26．若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________.[解析]由于5α與α的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應(yīng)是360°的整數(shù)倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.27．已知α，β都是銳角，且α＋β的終邊與－280°角的終邊相同，α－β的終邊與670°角的終邊相同，求角α，β的大?。甗解析]由題意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β為銳角，∴0°＜α＋β＜180°.取k＝1，得α＋β＝80°，①，α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.∵α，β為銳角，∴－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°，②由①②得：α＝15°，β＝65°.28．終邊在第一或第三象限的角的集合是________．[解析]因?yàn)榻K邊在第一象限的角的集合為{α|k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z}，終邊在第三象限的角的集合為{α|180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z}，故終邊在第一或第三象限的角的集合為{α|k·180°<α<90°＋k·180°，k∈Z}．29．終邊在直線y＝－x上的所有角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}[解析]因?yàn)橹本€y＝－x為二、四象限角平分線，所以角終邊落到第四象限可表示為k·360°－45°＝2k·180°－45°，k∈Z；終邊落到第二象限可表示為k·360°－180°－45°＝(2k－1)·180°－45°，k∈Z，綜上可得終邊在直線y＝－x上的所有角的集合為{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}．30．終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為_(kāi)_______．[解析]如圖所示，終邊落在射線y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在射線y＝eq\r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．31.一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個(gè)單位圓(半徑為1的圓)上爬動(dòng)，兩只螞蟻均從點(diǎn)A(1,0)同時(shí)逆時(shí)針勻速爬動(dòng)，紅螞蟻每秒爬過(guò)α角，黑螞蟻每秒爬過(guò)β角(其中0°<α<β<180°)，如果兩只螞蟻都在第14s時(shí)回到A點(diǎn)，并且在第2s時(shí)均位于第二象限，求α，β的值．[解析]根據(jù)題意，可知14α，14β均為360°的整數(shù)倍，故可設(shè)14α＝m·360°，m∈Z,14β＝n·360°，n∈Z，則α＝eq\f(m,7)·180°，m∈Z，β＝eq\f(n,7)·180°，n∈Z.由兩只螞蟻在第2s時(shí)均位于第二象限，知2α，2β均為第二象限角．因?yàn)?°<α<β<180°，所以0°<2α<2β<360°，所以2α，2β均為鈍角，即90°<2α<2β<180°，于是45°<α<90°，45°<β<90°.所以45°<eq\f(m,7)·180°<90°，45°<eq\f(n,7)·180°<90°，即eq\f(7,4)<m<eq\f(7,2)，eq\f(7,4)<n<eq\f(7,2)，又α<β，所以m<n，從而可得m＝2，n＝3，即α＝eq\f(360°,7)，β＝eq\f(540°,7).題型三象限角的判定(任意角終邊位置的確定和表示)1．若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α[解析]因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿?，所以－α為第四象限角，所?60°－α為第四象限角．2．已知α是第二象限的角，則180°－α是第________象限的角．[解析]由α是第二象限的角可得90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，則180°－(180°＋k·360°)<180°－α<180°－(90°＋k·360°)(k∈Z)，即－k·360°<180°－α<90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．3．若角α的終邊在y軸的負(fù)半軸上，則角α－150°的終邊在()A．第一象限 B．第二象限C．y軸的正半軸上 D．x軸的負(fù)半軸上[解析]因?yàn)榻铅恋慕K邊在y軸的負(fù)半軸上，所以α＝k·360°＋270°(k∈Z)，所以α－150°＝k·360°＋270°－150°＝k·360°＋120°(k∈Z)，所以角α－150°的終邊在第二象限．故選B.4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，則α所在象限是()A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限[解析]當(dāng)k＝0時(shí)，α＝45°為第一象限角，當(dāng)k＝1時(shí)，α＝225°為第三象限角．選A5．若β是第二象限角，則270°＋β是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]由于β是第二象限角，所以k·360°＋90°<β<k·360°＋180°，k∈Z，則(k＋1)·360°<β＋270°<(k＋1)·360°＋90°，k∈Z，所以270°＋β是第一象限角，故選A.6．若α是第二象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾象限的角？[解析]①∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，∴2α是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上．②∵α是第二象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)．解法一：A．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，45°＋n·360°<eq\f(α,2)<90°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第一象限角；b．當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，225°＋n·360°<eq\f(α,2)<270°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第三象限角．故eq\f(α,2)是第一或第三象限角．解法二：∵45°＋k·180°表示終邊為一、三象限角平分線的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示終邊為y軸的角，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)表示如圖中陰影部分圖形．即eq\f(α,2)是第一或第三象限角．7．已知α為第三象限角，則eq\f(α,2)所在的象限是()A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第一或第三象限 D．第二或第四象限[解析]由于k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z，得eq\f(k,2)·360°＋90°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋135°，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第二象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第四象限角．[答案]D8．若α是第一象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾象限角？[解析]因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵詋·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z.所以2k·360°<2α<180°＋2k·360°，k∈Z.所以2α是第一或第二象限角，或是終邊落在y軸的正半軸上的角．同理，k·180°<eq\f(α,2)<45°＋k·180°，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第一象限角，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)為第三象限角．9．(1)若α為第三象限角，試判斷90°－α的終邊所在的象限；(2)若α為第四象限角，試判斷eq\f(α,2)的終邊所在的象限．[解析](1)因?yàn)棣翞榈谌笙藿牵?80°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，則－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，所以90°－α的終邊在第三象限．(2)由于α為第四象限角，即α∈(k·360°－90°，k·360°)(k∈Z)，所以eq\f(α,2)∈(k·180°－45°，k·180°)(k∈Z)．當(dāng)k＝2n，n∈Z時(shí)，eq\f(α,2)∈(n·360°－45°，n·360°)(n∈Z)，eq\f(α,2)是第四象限角；當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z時(shí)，eq\f(α,2)∈(n·360°＋135°，n·360°＋180°)(n∈Z)，eq\f(α,2)是第二象限角．綜上，可知eq\f(α,2)的終邊所在的象限是第二或第四象限．10．若α是第一象限角，則－eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第一、四象限角C．第二象限角 D．第二、四象限角[解析]因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵詋·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜eq\f(α,2)＜k·180°＋45°，k∈Z，所以eq\f(α,2)是第一、三象限角，又因?yàn)椋璭q\f(α,2)與eq\f(α,2)的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以－eq\f(α,2)是第二、四象限角．11．已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A．第一象限角 B．第一、二象限角C．第一、三象限角 D．第一、四象限角[解析]由題意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性進(jìn)行討論．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．12．已知θ為第二象限角，那么eq\f(θ,3)是()A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角[解析]∵θ為第二象限角，∴90°＋k·360°＜θ＜180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k·120°＜eq\f(θ,3)＜60°＋k·120°，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，30°＜eq\f(θ,3)＜60°，屬于第一象限，當(dāng)k＝1時(shí)，150°＜eq\f(θ,3)＜180°，屬于第二象限，當(dāng)k＝－1時(shí)，－90°＜eq\f(θ,3)＜－60°，屬于第四象限，∴eq\f(θ,3)是第一、二或第四象限角．13．已知α是第一象限角，則角eq\f(α,3)的終邊可能落在________．(填寫(xiě)所有正確的序號(hào))①第一象限②第二象限③第三象限④第四象限[解析]∵α是第一象限角，∴k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，∴eq\f(k,3)·360°<eq\f(α,3)<eq\f(k,3)·360°＋30°，k∈Z.當(dāng)k＝3m，m∈Z時(shí)，m·360°<eq\f(α,3)<m·360°＋30°，∴角eq\f(α,3)的終邊落在第一象限．當(dāng)k＝3m＋1，m∈Z時(shí)，m·360°＋120°<eq\f(α,3)<m·360°＋150°，∴角eq\f(α,3)的終邊落在第二象限．當(dāng)k＝3m＋2，m∈Z時(shí)，m·360°＋240°<eq\f(α,3)<m·360°＋270°，∴角eq\f(α,3)的終邊落在第三象限，故選①②③.題型四區(qū)域角的表示1．已知，如圖所示．分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；②寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．[解析]①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．