2020-2021學年新教材高中數(shù)學數(shù)列5.4數(shù)列的應用課時素養(yǎng)檢測含解析

十一數(shù)列的應用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.某工廠購買一臺機器價格為a萬元,實行分期付款,每期付款b萬元,每期為一月,共付12次,若按月利率5‰,每月復利一次,則a,b滿足 ()A.b=QUOTE B.b=QUOTEC.b=QUOTE D.QUOTE<b<QUOTE【解析】QUOTE+QUOTE+…+QUOTE=a,所以12b<a(1+0.005)12,所以b<QUOTE.又顯然12b>a,所以b>QUOTE.2.《周髀算經》中有這樣一個問題:從冬至日起,依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣,其日影長依次成等差數(shù)列,冬至、立春、春分日影長之和為尺,前九個節(jié)氣日影長之和為尺,則立夏日影長為 ()尺 尺尺 尺【解析】選D.設數(shù)列為{an},公差為d,a1+a4+a7=3a1+9d=31.5,S9=9a1+36d=85.5,解得a1=13.5,d=-1,所以立夏日影長為a10.3.現(xiàn)存入銀行10000元錢,年利率是3.60%,那么按照復利,第5年末的本利和是()3 45 6【解析】選C.由題意得S=10000×(1+3.60%)5=10000×5.4.某采摘園的櫻桃前n年的總產量Sn與n之間的關系如圖所示,從圖中記錄的結果看,前x年的平均產量最高,第y年的年產量最高,則x和y的值分別為()和4 和8和4 和10【解析】n與n在圖中對應PQUOTE點,則前n年的年平均產量為直線OP的斜率,由題干圖易知當n=7時,直線OP的斜率最大,即前7年的年平均產量最高,x=7;又an=Sn-Sn-1,所以變化量最大的是第4年,即y=4.5.某鋼廠的年產值由2000年的40萬噸,增加到2010年的50萬噸,經歷了10年的時間,如果按此年增長率計算,該鋼廠2020年的年產值將接近 ()萬噸 萬噸萬噸 萬噸【解析】選C.設年增長率為x,則2010年為:40(1+x)10=50,則(1+x)10=QUOTE.2020年為:40(1+x)20=40×[(1+x)10]2=40×QUOTE×QUOTE≈63(萬噸).6.某林廠現(xiàn)在的森林木材存量是1800萬立方米,木材以每年25%的增長率生長,而每年要砍伐固定的木材量為x萬立方米,為達到經兩次砍伐后木材存量增加50%的目標,則x的值是 () B.45 【解析】選C.經過一次砍伐后,木材存量為1800(1+25%)-x=2250-x;經過兩次砍伐后,木材存量為(2250-x)×(1+25%)-x=2812.5-2.25x.由題意應有2812.5-2.25x=1800×(1+50%),解得x=50.二、填空題(每小題5分,共10分)7.一件家用電器,現(xiàn)價2000元,實行分期付款,一年后還清,購買后一個月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款數(shù)相同,共付12次,月利率為0.8%,并按復利計息,那么每期應付款________元.

(參考數(shù)據11≈12≈11≈12≈2.518)【解析】設每期應付款x元,第n期付款后欠款An元,則A1=2000(1+0.008)-x=2000×1.008-x,A2=(2000×08-x)×1.008-x=2000×2-1.008x-x,…A12=2000×121110+…+1)x,因為A12=0,所以2000×121110+…+1)x=0,解得x=QUOTE=QUOTE≈176.即每期應付款176元.答案:1768.某人買了一輛價值10萬元的新車,專家預測這種車每年按10%的速度折舊,n年后這輛車的價值為an元,則an=______,若他打算用滿4年時賣掉這輛車,他大約能得到______元.

【解析】n年后這輛車的價值構成等比數(shù)列{an},其中,a1=100000×(1-10%),q=1-10%,所以an=100000×(1-10%)n,所以a4=100000×(1-10%)4=65610(元).答案:100000×(1-10%)n65610三、解答題(每小題10分,共20分)9.某種汽車,購車費用是10萬元,第一年維修費用是萬元,以后逐年遞增萬元,且每年的保險費、養(yǎng)路費、汽油費等約為萬元.(1)設這種汽車使用x年(x∈N*)的維修費用的和為gQUOTE萬元,求gQUOTE的表達式;(2)這種汽車使用多少年時,它的年平均費用最小?【解析】(1)由題意,維修費是以0.2為首項,0.2為公差的等差數(shù)列,則汽車使用x年的維修費用的和為g(x)=0.2x+QUOTE×2+0.1x,x∈N*.2+0.1x,x∈N*;(2)設汽車使用x年年平均費用為f(x),則f(x)=QUOTE=0.1x+QUOTE+1,因為0.1x+QUOTE≥2,當且僅當0.1x=QUOTE,即x=10時,f(x)最小.所以這種汽車使用10年時,它的年平均費用最小.10.在中國綠化基金會的支持下,庫布齊沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的綠化率已達30%,從2018年開始,每年將出現(xiàn)這樣的情況:上一年底沙漠面積的16%被栽上樹改造為綠洲,而同時,上一年底綠洲面積的4%又被侵蝕,變?yōu)樯衬?(1)設庫布齊沙漠面積為1,由綠洲面積和沙漠面積構成.2017年底綠洲面積為a1=0.3,經過1年綠洲面積為a2,經過n年綠洲面積為an+1,試用an表示an+1;(2)問至少需要經過多少年的努力才能使庫布齊沙漠的綠洲面積超過60%(年數(shù)取整數(shù)).【解析】(1)第n+1年綠洲面積由上一年即第n年綠洲面積、增加上一年底沙漠面積的16%以及減少上一年底綠洲面積的4%這三部分構成,即an+1=an+0.16(1-annn+0.16;(2)因為an+1n+0.16,所以an+1-0.8=0.8(an-0.8),所以數(shù)列{an-0.8}構成以a1-0.8=-0.5為首項,0.8為公比的等比數(shù)列,因此an×n-1,所以an×n-1,由an×n-1>0.6,得n-1<0.4,所以n≥6,因此至少需要經過6-1=5年的努力才能使庫布齊沙漠的綠洲面積超過60%.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.某學校餐廳每天供應500名學生用餐,每星期一有A,B兩種菜可供選擇,調查資料表明,凡是在星期一選A種菜的學生,下星期一會有20%改選B種菜;而選B種菜的學生,下星期一會有30%改選A種菜.用an,bn分別表示在第n個星期的星期一選A種菜和選B種菜的學生人數(shù),則an+1與an的關系可以表示為 ()n+1=QUOTEan+150 n+1=QUOTEan+200n+1=QUOTEan+300 n+1=QUOTEan+180【解析】QUOTE消去bn,得an+1=QUOTEan+150.2.某公司今年獲利5000萬元,如果以后每年的利潤都比上一年增加10%,那么總利潤達3億元時大約還需要 ()(參考數(shù)據≈≈≈≈0.20)年 年 年 年【解析】選A.根據題意,每年的利潤構成一個等比數(shù)列{an},其中首項a1=5000,公比q=1+10%=1.1,SnQUOTEn=1.6,兩邊取對數(shù),得nlg1.1=lg1.6,解得n=QUOTE≈5,故還需要4年.3.某純凈水廠在凈化過程中,每增加一次過濾可減少水中雜質的20%,要使水中雜質減少到原來的5%以下,則至少需過濾的次數(shù)為(lg2≈0) () B.10 【解析】選C.設原雜質數(shù)為1,由題意,得各次過濾雜質數(shù)成等比數(shù)列,且a1=1,公比q=1-20%,故an+1=(1-20%)n.由題意可知(1-20%)nn<0.05.兩邊取對數(shù),得nlg0.8<lg0.05,因為lg0.8<0,所以n>QUOTE,即n>QUOTE=QUOTE=QUOTE≈QUOTE≈13.41,故取n=14.4.根據市場調查結果,預測某種家用商品從年初開始的n個月內累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足Sn=QUOTE(21n-n2-5)(n=1,2,…,12).按此預測,在本年度內,需求量超過萬件的月份是 ()月、6月 月、7月月、8月 月、9月【解析】n-Sn-1=QUOTE(21n-n2-5)-QUOTE[21(n-1)-(n-1)2-5]=QUOTE;令QUOTE>1.5,即n2-15n+54<0,解得6<n<9.二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知某火箭在點火第一秒通過的路程為2km,以后每秒通過的路程都增加2km,在達到離地面240km的高度時,火箭與飛船分離,【解析】設每一秒通過的路程依次為a1,a2,a3,…,an,則數(shù)列{an}是首項a1=2,公差d=2的等差數(shù)列.由求和公式得na1+QUOTE=240,即2n+n(n-1)=240,解得n=15.答案:156.甲、乙兩人于同一天分別攜款1萬元到銀行儲蓄,甲存5年定期儲蓄,年利率為2.88%,乙存一年定期儲蓄,年利率為2.25%,并在每年到期時將本息續(xù)存一年期定期儲蓄,按規(guī)定每次計息時,儲戶須交納利息的20%作為利息稅.若存滿五年后兩人同時從銀行中取出存款,則甲、乙所得利息之差為__________元.

【解析】由已知甲所得本息和a=10000+10000×2.88%×5×80%,而乙實際上的年利率在去掉利息稅后為QUOTE×2.25%,故乙所得本息和b=10000×QUOTE,經計算a-b≈219.01(元).答案:7.有n臺型號相同的聯(lián)合收割機,現(xiàn)收割一片土地上的小麥,若同時投入工作,則收割完畢需要24小時.現(xiàn)在這些收割機每隔相同的時間依次投入工作,每一臺投入工作后都一直工作到小麥收割完畢.如果第一臺收割機工作的時間是最后一臺的5倍,則用這種方法收割完這片土地上的小麥需要________小時.

【解析】設這n臺收割機工作的時間(單位:小時)依次為a1,a2,…,an,依題意,{an}是一個等差數(shù)列,且QUOTE,由②得QUOTE=24n,所以a1+an=48③.將①③聯(lián)立,解得a1=40.故用這種方法收割完這片土地上的小麥需要40小時.答案:408.小明用數(shù)列{an}記錄某地區(qū)2019年12月份31天中每天是否下過雨,方法為:當?shù)趉天下過雨時,記ak=1,當?shù)趉天沒下過雨時,記ak=-1(1≤k≤31);他用數(shù)列{bn}記錄該地區(qū)該月每天氣象臺預報是否有雨,方法為:當預報第k天有雨時,記bk=1,當預報第k天沒有雨時,記bk=-1(1≤k≤31);記錄完畢后,小明計算出a1b1+a2b2+…+a31b31=25,那么該月氣象臺預報準確的總天數(shù)為______;若a1b1+a2b2+…+akbk=m,則氣象臺預報準確的天數(shù)為________(用m,k表示).

【解析】依題意,若akbk=1(1≤k≤31),則表示第k天預報正確;若akbk=-1(1≤k≤31),則表示第k天預報錯誤,當a1b1+a2b2+…+akbk=m時,假設其中有x天預報正確,即等式的左邊有x個1,QUOTE個-1,則x-QUOTE=m,解得x=QUOTE,即氣象臺預報準確的天數(shù)為QUOTE;于是當a1b1+a2b2+…+a31b31=25時,則氣象臺預報準確的天數(shù)為QUOTE=28.答案:28QUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)9.某公司進行共享單車的投放與損耗統(tǒng)計,到去年2016年底單車的市場保有量(已投入市場且能正常使用的單車數(shù)量)為10000輛,預計今后每年新增單車1000輛,隨著單車的頻繁使用,估計每年將有200輛車的損耗,并且今后若干年內,年平均損耗在上一年損耗基礎上增加10%.(1)預計2019年底單車的市場保有量是多少?(2)到哪一年底,市場的單車保有量達到最多?該年的單車保有量是多少輛(最后結果精確到整數(shù))?【解析】(1)2019年底單車的市場保有量是10000+1000×3-200-200××2=12338.(2)到2016+n年底,市場的單車保有量為an=10000+1000×n-200-200××2-…-200×n-1=10000+1000n-200×QUOTE=12000+1000n-2000×n,因為an+1-an=1000-200×nn),所以n≤16,an+1>an;n≥17,an+1<an;即n=17,an取最大值18891,此時為2033年底;即到2033年底,市場的單車保有量達到最多,為18891輛.10.甲、乙兩超市同時開業(yè),第一年的全年銷售額均為a萬元,由于經營方式不同,甲超市前n年的總銷售額為QUOTE(n2-n+2)萬元,乙超市第n年的銷售額比前一年的銷售額多aQUOTE萬元.(1)求甲、乙兩超市第n年銷售額的表達式;(2)若其中某一超市的年銷售額不足另一超市的年銷售額的50%,則該超市將被另一超市收購,判斷哪一超市有可能被收購?如果有這種情況,將會出現(xiàn)在第幾年?【解析】(1)設甲、乙兩超市第n年的銷售額分別為an,bn.則有a1=a,當n≥2時,an=QUOTE(n2-n+2)-QUOTE[(n-1)2-(n-1)+2]=(n-1)a,所以an=QUOTEbn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=QUOTEa(n∈N+).(2)易知bn<3a,所以乙超市將被甲超市收購,由bn<QUOTEan,得QUOTEa<QUOTE(n-1)a.所以n+4×QUOTE>7,所以n≥7,即第7年乙超市的年銷售額不足甲超市的一半,乙超市將被