2021年中考二輪數(shù)學(xué)復(fù)習 第7講 平行四邊形教案

第7講平行四邊形

知識點1一般的平行四邊形

1.平行四邊形的性質(zhì)與判定

定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

平行四邊形的性質(zhì)：

貝（J①ABllCD,ADllBC,AB=CD,AD=BC;

（2）zDAB=zDCB,zADC=zABC;

@OA=OC,OB=OD.

拓展：①平行四邊形的鄰角互補；

②平行四邊形具有中心對稱性（自身旋轉(zhuǎn)180。后與原圖形重合）.

平行四邊形的判定方法：

①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；

④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

⑤一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

2.兩條平行線之間的距離

兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離.

如圖：ABllCD,EF±CD.

E

A--1--B

C------°-D

F

EF是平行線AB,CD之間的距離.

結(jié)論：兩條平行線之間的距離處處相等.

拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四邊形面積相等.

3.三角形的中位線

圖形：D,E分別為SBC的邊AB,AC的中點

W

B------C

定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.（DE）

中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.（DEIIBC,

且DE*C）

注：三角形的中位線定理可利用平行四邊形的性質(zhì)與判定進行證明.（見課本P48探究）

拓展：梯形的中位線（兩腰中點的連線）等于上底加下底和的一半.（連接梯形一條對角線，

由中位線定理可證）

【典例】

1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD,E,F分別是AD,BC的中點，連接FE并延長，分

別與BA,CD的延長線交于點M,N.求證：zBME=zCNE.

（提示：取BD的中點H,連接FH,HE作輔助線）

工。尸C

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AB、CD上，AE=CF,連接AF,BF,DE,

CE,分別交于H、G.

求證：（1）四邊形AECF是平行四邊形

（2）EF與GH互相平分.

AD

Bc

【方法總結(jié)】

經(jīng)典模型：

如圖，E,F分別是四邊形ABCD的邊AD,BC的中點，連接FE并延長，分別與BA,CD

的延長線交于點M,N.

若AB=CD,貝UNBME=NCNE.

方法：

要證明線段（或角）相等、兩直線平行等，若這兩條線段在一個四邊形中，一般先判定這個

四邊形為平行四邊形，然后再利用平行四邊形的性質(zhì)去解決.

【隨堂練習】

1.如圖,四邊形ABCD中，ADllBC,AC與BD相交于點0,若S，ABD=10cm2,S’ACD為

（）

A.5B.10C.20D.無法確定

2.如圖所示，在四邊形ABCD中，AD=BC,P是對角線BD的中點，M是DC的中點，N

是AB的中點.則VMN的形狀是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.任意三角形

3.如圖，SBC的周長為19,點D,E在邊BC上，NABC的平分線垂直于AE,垂足為N,

NACB的平分線垂直于AD,垂足為M,若BC=7,則MN的長度為（）

A.|B.2C.|D.3

4.如圖，0ABCD的對角線AC與BD相交于點0,AB^AC,若AB=4,AC=6,貝UBD的

長是（）

A.8B.9C.10D.11

5.如圖，SBC是等邊三角形，點P是三角形內(nèi)的任意一點，PDllAB,PEllBC,PFIIAC,

若SBC的周長為12,貝?。軵D+PE+PF=()

A.8B.6C.4D.3

6.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6cm,AD=10cm，點P在AD邊上以每秒1cm的

速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上，以每秒4cm的速度從點C出發(fā)，在CB間往

返運動，兩個點同時出發(fā)，當點P到達點D時停止（同時點Q也停止），在運動以后，以

P、D、Q、B四點組成平行四邊形的次數(shù)有（）

A.1次B.2次C.3次D.4次

知識點2矩形

矩形：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.如圖：矩形ABCD.

AB

F--、--------------/--xH

、/

二八、

Q___________

DC

1.矩形的性質(zhì)

矩形除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有自己特有的性質(zhì)，如下：

①矩形的四個角者B是直角；（zBAD=zADC=zDCB=zCBA=90°）

②矩形的對角線相等；（AC=BD）

③對稱性：矩形是一個軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.（對稱軸是對邊中點的連線）

推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.（在Rt△ADC中，DO為斜邊AC的中線,

貝UDO=|AC）

拓展：若三角形一邊上的中線等于該邊的一半，則該三角形為直角三角形.

2.矩形的判定

矩形的判定方法：

①有一個角時直角的平行四邊形是矩形；

②對角線相等的平行四邊形是矩形；

③三個角都是直角的四邊形是矩形.

3.拓展

矩形的兩條對角線把矩形分成四個面積相等的等腰三角形.

【典例】

1.如圖,在AABC中，AC=9,AB=12,BC=15,P為BC邊上一動點，PG±AC于點G,

PHJ_AB于點H.

（1）求證：四邊形AGPH是矩形；

（2）在點P的運動過程中，GH的長度是否存在最小值？若存在，請求出最小值，若不存

在，請說明理由.

【方法總結(jié)】

方法：

矩形的兩條對角線相等，當求其中一條對角線的長（最小值或取值范圍）時，可以轉(zhuǎn)化為求

另一條對角線的長（最小值或取值范圍）.

總結(jié)：

證明一個四邊形是不是矩形，有兩條證明思路：①直接證明（證明該四邊形有3個直角）;

②先證該四邊形為平行四邊形，再證明它是矩形（有一個角相等或?qū)蔷€相等）.

【隨堂練習】

L如圖，在SBC中，D,E分別是AB,AC的中點，AC=10,F是DE上一點，連接AF,

CF,DF=1.若NAFC=90°,貝BC的長度為()

A.10B.12C.14D.16

2.如圖，在RfABC中，/ACB=90。，點E,點F分別是AC,BC的中點，D是斜邊AB上

一點，則添加下列條件可以使四邊形DECF成為矩形的是（）

A.zACD=zBCDB.AD=BDC.CD±ABD.CD=AC

3.矩開鄉(xiāng)ABCD與CEFG如圖放置，點B,C,E共線，點C,D,G共線，連接AF,取AF

的中點H,連接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,貝！JGH的值為（)

4.如圖：點P是RNABC斜邊AB上的一點，PE_LAC于E,PF_LBC于F,BC=15,AC=20,

則線段訐的最小值為（）

A.12B.6C.12.5D.25

知識點3菱形

菱形：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.如圖：菱形ABCD.

1.菱形的性質(zhì)

菱形除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有自己特有的性質(zhì)，如下：

①菱形的四條邊都相等；（AB=BC=CD=AD）

②菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（AC±BD,AC是/DAB

和NDCB的角平分線，BD是NADC和NCBA的角平分線）

③對稱性：菱形是一個軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.（對稱軸是它的兩條對角線所在的直

線（AC,BD））

2.菱形的判定

菱形的判定方法：

①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

③四條邊相等的四邊形是矩形.

3.拓展

①菱形的兩條對角線把菱形分成四個全等的直角三角形；

②菱形的面積等于兩對角線乘積的一半.

【典例】

1.如圖，口ABCD的對角線AC,BD相交于點。，且AEIIBD,BEllAC,OE=CD.

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若0E=2,OA=1,求四邊形ABCD的面積.

【方法總結(jié)】

方法：

判定一個四邊形是不是菱形，從2個角度出發(fā)：①四邊形，直接證明四條邊都相等或?qū)?/p>

線互相垂直平分；②先證四邊形為平行四邊形，再證有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直.

【隨堂練習】

1.如圖，已知四邊形ABCD的四邊相等，等邊AAMN的頂點M、N分別在BC、CD上，且

AM=AB,貝UN(：為()

A

B>D

A.100°B.105°C.110°D.120°

2.如圖，在平行四邊形ABCD中，zBAD的平分線交BC于點E,zABC的平分線交AD于

點F.若BF=12,AB=10,則AE的長為()

A.10B.12C.16D.18

3.如圖『ABC是邊長為2的等邊三角形，將AABC沿射線BC向右平移到^DCE,連接AD、

BD,下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AD=BCB.BD±DE

C.四邊形ACED是菱形D.四邊形ABCD的面積為4國

知識點4正方形

正方形:有一組鄰邊相等，且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.如圖正方形ABCD.

AB

1.正方形的性質(zhì)

正方形除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有矩形和菱形的所有性質(zhì)，如下：

①正方形的對邊平行且相等；(ABllCD,AB=CD;BCllAD,BC=AD)

②正方形的四條邊都相等；(AB=BC=CD=AD)

③正方形的四個角者B是直角；(zBAD=zADC=zDCB=zCBA=90°)

④正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角；(AC=BD,

AC±BD,OA=OB=OC=OD,AC是NDAB和NDCB的角平分線，BD是NADC和NCBA

的角平分線)

⑤對稱性：正方形是一個軸對稱圖形，它有四條對稱軸.(對稱軸是它對邊中點的連線和它

的兩條對角線所在的直線(AC,BD))

2.正方形的判定

正方形的判定方法：

①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

②有一個角是直角的菱形是正方形.

判定正方形的思路圖：

菱形

3.拓展

正形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形.

【典例】

1.如圖,已知四邊形ABCD為正方形，AB=2V2,點E為對角線AC上一動點，連接DE,

過點E作EF_LDE.交射線BC于點F,以DE、訐為鄰邊作矩形DEFG,連接CG.

(1)求證：矩形DEFG是正方形；

(2)探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是,請說明理由.

【方法總結(jié)】

正方形的證明思路：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形；

②先判定四邊形是菱形，在判定這個菱形是矩形.

【隨堂練習】

1.平行四邊形ABCD的對角線交于點0，有五個條件@AC=BDX2)ZABC=90°③AB=AC,

@AB=BC,⑤AC±BD,則下列哪個組合可判別這個四邊形是正方形()

A.①②B.①③C.①④D.④⑤

2.如圖，AD是SBC的角平分線,DE,DF分別是"ABD和"ACD的高，得到下面四個結(jié)

論：@OA=OD;②AD_LEF;③當NBAC=90°時，四邊形AEDF是正方形；④

AE2+DF2=AF2+DE2.其中正確的是（）

A.②③B.②④C.②③④D.①③④

3.如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD,AD上的點，且CE=DF,AE,BF相交于點0,

下列結(jié)論①AE=BF;②AEJ_BF;③AO=OE;@S，AOB=S四邊形DEOF中，正確結(jié)論的個數(shù)為

A.4個B.3個C.2個D.1個

4.如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E是正方形外一動點，NAED=45°,P為AB的中點，

當E運動時，線段PE的最大值為（）

A.4V3B.3V2C.2+2汽D.2+2或

知識點4中點四邊形

1.中點四邊形：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形，我們稱之為中點四邊形.

如圖，點E,F,G,H分別為四邊形ABCD各邊的中點,則四邊形EFGH為中點四邊形.

2.常見中點四邊形

①四邊形的中點四邊形為平行四邊形；

②矩形的中點四邊形為菱形；

③菱形的中點四邊形為矩形；

④正方形的中點四邊形為正方形；

⑤等腰梯形的中點四邊形為菱形；

⑥對角線相等的中點四邊形為菱形；

⑦對角線互相垂直的中點四邊形為矩形.

【典例】

1.觀察探究，解決問題.在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA

的中點，順次連接E、F、G、H得到的四邊形EFGH叫做中點四邊形.

(1)如圖，求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)請你探究并填空：

①當四邊形ABCD變成平行四邊形時,它的中點四邊形是；

②當四邊形ABCD變成矩形時，它的中點四邊形是；

③當四邊形ABCD變成正方形時，它的中點四邊形是.

【方法總結(jié)】

總結(jié)：依次連接四邊形各邊中點所得到的新四邊形的形狀與原四邊形對角線的關(guān)系有關(guān).

①若兩對角線相等，新四邊形為菱形；

②若兩對角線互相垂直，新四邊形為矩形；

③若兩對角線相等且互相垂直，新四邊形為正方形.

【隨堂練習】

1.已知E、F、G、H四點分別是平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，若四

邊形EFGH是菱形，則下列結(jié)論：@zA=90°;②AB=BC;?AC=BD;④ACJLBD.其中正

確的是（）

A.①②B.①③C.②④D.③④

2.某花木場有一塊如等腰梯形ABCD的空地（如圖），各邊的中點分別是E、F、G、H,用

籬笆圍成的四邊形EFGH場地的周長為40cm,則對角線AC的長度為（）

A.20cmB.15cmC.10cmD.5cm

3.如圖，任意四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA上的點，對于四

邊形EFGH的形狀，某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)活動課中，通過動手實踐，探索出如下結(jié)論，其

A.當E,F,G,H是各邊中點，且AC=BD時，四邊形EFGH為菱形

B.當E,F,G,H是各邊中點，且AC_LBD時，四邊形EFGH為矩形

C.當E,F,G,H不是各邊中點時，四邊形EFGH可以為平行四邊形

D.當E,F,G,H不是各邊中點時，四邊形EFGH不可能為菱形

綜合運用

1.在一次數(shù)學(xué)課上，張老師出示了一個題目："如圖，-ABCD的對角線相交于點0,過點

0作EF垂直于BD交AB,CD分別于點F,E,連接DF,BE.請根據(jù)上述條件，寫出一個

正確結(jié)論."其中四位同學(xué)寫出的結(jié)論如下：

小青：OE=OF;小何：四邊形DFBE是正方形；

夏：S四邊形AFED=S四邊形FBCE；4、雨：zACE=zCAF.

這四位同學(xué)寫出的結(jié)論中不正確的是________.

2.如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=9,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，

EG2+FH2