廣東省揭陽市惠來縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第二次月考 數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023—2024學(xué)年度下學(xué)期惠來一中高一級第二次階段考數(shù)學(xué)試題滿分150分，時間120分鐘一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）．A．1 B． C． D．2．已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9，則另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（

）A． B． C．4 D．33．已知，是平面內(nèi)的一組基底，，，，若，，三點共線，則實數(shù)的值為（

）A．9 B．13 C．15 D．184．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且圖像上相鄰最高點的距離為，將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，得到的圖像，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．6．為了測量、兩島嶼之間的距離，一艘測量船在處觀測，、分別在處的北偏西、北偏東方向．再往正東方向行駛48海里至處，觀測在處的正北方向，在處的北偏西方向，則、兩島嶼之間的距離為（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里7．在直三棱柱中，為等邊三角形，，則三棱柱的外接球的體積為（

）A． B． C． D．8．在平行四邊形中，為的中點，，與交于點，過點的直線分別與射線，交于點，，，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多頂符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分;若只有3個正確選項，每選對一個得2分．9．某校為了更好地支持學(xué)生個性發(fā)展，開設(shè)了學(xué)科拓展類?科技創(chuàng)新類?體藝特長類三種類型的校本課程，每位同學(xué)從中選擇一門課程學(xué)習(xí).現(xiàn)對該校5000名學(xué)生的選課情況進行了統(tǒng)計，如圖1，并用分層隨機抽樣的方法從中抽取2%的學(xué)生對所選課程進行了滿意率調(diào)查，如圖2.則下列說法正確的是（

）

A．滿意度調(diào)查中抽取的樣本容量為5000B．該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類課程的人數(shù)為1250C．該校學(xué)生中對體藝特長類課程滿意的人數(shù)約為875D．若抽取的學(xué)生中對科技創(chuàng)新類課程滿意的人數(shù)為30，則10．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A．是周期為的周期函數(shù) B．的值域為C．是圖象的一條對稱軸 D．的圖象關(guān)于點對稱11．如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，，點C是圓周上異于A，B的任意一點，D，E分別是PA、PC的中點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．平面DEBC．三棱錐外接球的表面積是D．若，則直線BD與平面PAC所成角的余弦值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分．12．某醫(yī)院急救中心隨機抽取20位病人等待急診的時間記錄如表：等待時間/分頻數(shù)48521用上述分組資料計算出病人平均等待時間的估計值＝分．13．已知中角所對的邊分別為，，則的面積，該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出.若的周長為18，，則的面積為.14．在近期學(xué)校組織的論文展示大賽中，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)在音樂欣賞中起著重要的作用純音的數(shù)學(xué)模型是三角函數(shù)如音叉發(fā)出的純音振動可表示為，其中表示時間，表示純音振動時音叉的位移我們聽到的每個音是由純音合成的，若某合音的數(shù)學(xué)模型為函數(shù)，且聲音的質(zhì)感與的參數(shù)有關(guān)，比如：音調(diào)與聲波的振動頻率有關(guān)，頻率低的聲音低沉，頻率高的聲音尖利．（1）當(dāng)時，函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時，合音的音調(diào)比純音（填寫“高”或“低”）．四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．如圖，在斜坐標(biāo)系中，分別是與軸?軸正方向同向的單位向量，且的夾角為，定義向量在該斜坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為有序數(shù)對，記為.在斜坐標(biāo)系中，完成如下問題：(1)若，求；(2)若，求（用表示）；(3)若，求向量的夾角的大小.16．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，，求；(3)若，，求邊上的高.17．已知平面，平面，為等邊三角形，，，為的中點.

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線和平面所成角的正弦值.18．為了深入學(xué)習(xí)領(lǐng)會黨的二十大精神，某高級中學(xué)高一全體學(xué)生參加了《二十大知識競賽》．試卷滿分為100分，所有學(xué)生成績均在區(qū)間分內(nèi)．已知該校高一選物理方向、歷史方向的學(xué)生人數(shù)分別為180、120．現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取了30名學(xué)生的答題成績，繪制了如下樣本頻率分布直方圖．(1)根據(jù)樣本頻率分布直方圖，計算圖中的值，并估計該校全體學(xué)生成績的平均數(shù)和第71百分位數(shù)；(2)已知所抽取選物理方向和歷史方向?qū)W生答題成績的平均數(shù)、方差的數(shù)據(jù)如下表，且根據(jù)頻率分布直方圖估計出全體學(xué)生成績的方差為140，求高一年級選物理方向?qū)W生成績的平均數(shù)和高一年級選歷史方向?qū)W生成績的方差．選科方向樣本平均數(shù)樣本方差物理方向75歷史方向6019．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且(1)求的解析式；(2)用定義證明在上是增函數(shù)；(3)設(shè)，當(dāng)時，試求函數(shù)的最大值．1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求出復(fù)數(shù)，然后根據(jù)模的公式求解即可【詳解】，所以，故選：C．2．D【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義求解即可.【詳解】由題意得，得，所以所求的平均數(shù)為.故選：D.3．C【分析】先計算出，，根據(jù)三點共線得到方程，求出，.【詳解】因為，，，所以，，又因為，，三點共線，所以，即，所以解得，．故選：C4．A【分析】結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再借助單調(diào)性求解不等式作答.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且連續(xù)不斷，可知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A.5．D【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的解析式為，然后求出，再利用整體代換法求出正弦型函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，從而可求解.【詳解】因為的圖像上相鄰最高點的距離為，所以的最小正周期，從而．又的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，所以，所以，將的圖像向右平移個單位后，得到，所以，當(dāng)，即時，單調(diào)遞減．因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，故D正確.故選：D.6．D【分析】畫出圖形，由題意可知，，，在中，利用正弦定理求出，再由為等腰直角三角形，求出，再在中利用余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：由題意知，，，所以，在中，由正弦定理得：解得，又，，所以，，又，在中，由余弦定理得：，解得，所以、兩島嶼之間的距離為海里．故選：D．7．D【分析】分別是正三棱柱上、下底面中心，則的中點是該三棱柱外接球的球心，求出球半徑后可得體積．【詳解】如圖，分別是正三棱柱上、下底面中心，是棱柱的高，則的中點是該三棱柱外接球的球心，外接球半徑．其中點為外接圓圓心，為外接圓半徑，為正三角形，（是邊中點）．所以外接球半徑．從而外接球體積為．故選：D．8．C【分析】根據(jù)平面向量基本定理，將用和表示，再利用，，三點共線，求得，再利用基本不等式求得最值.【詳解】由，，共線，可設(shè)，由,,三點共線，故可設(shè)，則有，解得：，故，由題意，，，三點共線，故可設(shè)，則，整理得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，則的最小值為；故選：C9．BC【分析】根據(jù)滿意率調(diào)查圖表即可判斷A選項，根據(jù)扇形統(tǒng)計圖計算即可判斷B選項，根據(jù)題意計算即可判斷C選項，列出方程即可判斷D選項.【詳解】滿意率調(diào)查中抽取的樣本容量為錯誤；由扇形統(tǒng)計圖知，則人，B正確；該校學(xué)生中對體藝特長類課程滿意的人數(shù)約為人，C正確；抽取的學(xué)生中對科技創(chuàng)新類課程滿意的人數(shù)為30，則，則，D錯誤.故選：BC.10．BCD【分析】利用函數(shù)的奇偶性以及已知的恒等式，變形可得，從而得到的周期，即可判斷選A，然后作出函數(shù)的圖象，由圖象判斷選項B，C，D即可．【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，又，所以，所以，故，所以是周期為的周期函數(shù)，故選項A錯誤；由題意可知，的圖象如圖所示，

由的圖象可得的值域為，其中是函數(shù)圖象的一條對稱軸，的圖象關(guān)于點對稱，故選項B，C，D正確．故選：BCD．11．BC【分析】對于A：反證，假設(shè)，根據(jù)線面垂直可得，得出矛盾；對于B：根據(jù)線面平行的判定定理分析判斷；對于C：由題意可證，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)可知三棱錐外接球的球心為的中點，進而可求半徑和表面積；對于D：分析可知直線BD與平面PAC所成角為，即可得結(jié)果.【詳解】對于選項A：因為平面，平面，則，又因為D，E分別是PA、PC的中點，則∥，假設(shè)，則，且，平面，可知平面，由平面，可得，這與題意不符，故A錯誤；對于選項B：因為∥，平面DEB，平面DEB，所以平面DEB，故B正確；對于選項C：因為平面，平面，則，由題意可知：，且，平面，可知平面，由平面，可得，由可知：三棱錐外接球的球心為的中點，則三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，故C正確；對于選項D：連接，因為平面，且，可知直線BD與平面PAC所成角為，其余弦值為，故D錯誤；故選：BC.12．9.5【分析】根據(jù)平均數(shù)定義每組數(shù)據(jù)用中點值代替直接計算即可得解.【詳解】由題（分）.故答案為：9.5.13．【分析】由正弦定理邊角互化可求，代入已知面積公式可求．【詳解】由題意得，，所以，則，所以．故答案為：．14．低【分析】（1）求出及正弦函數(shù)的對稱中心即得；（2）求出函數(shù)的周期，結(jié)合頻率的意義判斷即得.【詳解】當(dāng)時，時，函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)為；當(dāng)時，，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，，函數(shù)的最小正周期為，因此函數(shù)的最小正周期為，頻率為，的周期為，頻率為，所以比的頻率低，即合音的音調(diào)比純音音調(diào)低．故答案為：；低15．(1)(2)(3)【分析】（1）由題意，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求；（2）由，進而兩邊平方即可求結(jié)果.（3）求得，，利用向量的夾角公式計算即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，得到，所以（2）（3），又因為16．(1)(2)(3)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出，即可得解；（2）首先求出，再由正弦定理計算可得；（3）利用余弦定理求出，再由計算可得.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，所以，又，所以，所以，又，所以.（2）因為，，所以，由正弦定理，即，解得；（3）因為，，，由余弦定理，所以，又，即，解得.17．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）添加輔助線構(gòu)成平行四邊形按線面平行的判定定理證明即可；（2）由題意先證明平面，再證明平面平面，即由線面垂直證明面面垂直；（3）添加輔助線，依題意找出為和平面所成的角，結(jié)合圖形求出即可.【詳解】（1）

證明：如圖取的中點，連接、.為的中點，且，由平面，平面，，.又，，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面.（2）證明：為等邊三角形，為的中點，.平面，平面，，，所以，，又，、平面，平面，平面，平面平面.（3）

如圖：在平面內(nèi)，過作于點，連接，平面平面，平面平面，平面，平面.為和平面所成的角，因為，，則，，在中，，直線和平面所成角的正弦值為.18．(1)，估計該校全體學(xué)生成績的平均數(shù)為69，第71百分位數(shù)為75．(2)，．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為得到方程求出，再根據(jù)平均數(shù)、百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得；（2）首先求出物理、歷史方向的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得.【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，，解得，學(xué)生成績在區(qū)間內(nèi)的頻率依次為：，樣本平均數(shù)，顯然學(xué)生成績在區(qū)間內(nèi)的頻率為，在區(qū)間內(nèi)的頻率為，因此第71百分位數(shù)，，解得，所以，估計該校全體學(xué)生成績的平均數(shù)為69，第71百分位數(shù)為75．（2）依題意，抽取的30名學(xué)生中，物理方向有（人），則歷史方向有12人，由（1）知，，解得，物理方向的樣本數(shù)據(jù)為，歷史方向的樣本數(shù)據(jù)為，依題意，，，全體學(xué)生成績的方差，解得，所以，．19．(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）利用奇函數(shù)定義及性質(zhì)求出值，再驗證即得.（2）由函數(shù)的單調(diào)性定義，推理論證