浙江省寧波市慈溪市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末測(cè)試 數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2023學(xué)年第二學(xué)期期末測(cè)試卷高一數(shù)學(xué)學(xué)科試卷說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘，本次考試不得使用計(jì)算器，請(qǐng)考生將所有題目都做在答題卡上.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知向量則（

）A． B． C． D．3．在如圖所示的兩種分布形態(tài)中（

）A．（1）中的中位數(shù)大于平均數(shù)B．（1）中的眾數(shù)大于平均數(shù)C．（2）中的眾數(shù)小于中位數(shù)D．（2）中的平均數(shù)小于中位數(shù)4．將一個(gè)半徑為的鐵球熔化后，澆鑄成一個(gè)正四棱錐形狀的鐵錠，若鐵錠的底面邊長(zhǎng)為，則鐵錠的高為（

）A． B． C． D．5．若一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋兩次，則點(diǎn)數(shù)之和不小于8的概率是（

）A． B． C． D．6．在梯形ABCD中，∥，且（），若則（

）A． B． C． D．7．已知長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與經(jīng)過同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面所成的角分別為，若，則（

）A． B． C． D．8．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列命題正確的是（

）A．若某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事件“至少一次中靶”與“兩次都沒中靶”是對(duì)立事件B．若學(xué)校田徑隊(duì)有49名運(yùn)動(dòng)員，其中男運(yùn)動(dòng)員有28人，現(xiàn)按性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，從全體運(yùn)動(dòng)員中抽出一個(gè)容量為14的樣本，則女運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽取8人C．設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，方差為：，若將這組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)都乘以2得到一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2x，方差為D．設(shè)A和B是兩個(gè)概率大于0的隨機(jī)事件，若A和B相互獨(dú)立，則A和B一定不互斥10．已知,則（

）A． B．C． D．11．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，.若⊥底面，，點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．對(duì)于動(dòng)點(diǎn)E，線段PC上存在動(dòng)點(diǎn)F（不與端點(diǎn)重合），使得平面B．C．AE與平面PBC所成角的范圍為D．過點(diǎn)A，且與直線AP和BC所成角均為60°的直線有4條第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．總體由編號(hào)為01，02，，19，20的20個(gè)個(gè)體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取8個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字（即65）開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字（作為個(gè)體的編號(hào)）：如果選取的兩個(gè)數(shù)字不在總體內(nèi)，則將它去掉，繼續(xù)向右選取兩個(gè)數(shù)字，那么選出來的第6個(gè)個(gè)體的編號(hào)為7816

6527

0802

6314

0704

4369

9728

11983204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

748113．已知海島在海島的北偏東的方向上，且兩島的直線距離為.一艘海盜船以的速度沿著北偏東方向從海島出發(fā)，同時(shí)海警船以的速度從海島進(jìn)行追趕，經(jīng)過小時(shí)后兩船相遇，則海警船的航行方向是北偏東.14．設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，記為事件A，B的對(duì)立事件，且，則=四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（用坐標(biāo)法不給分）如圖，在長(zhǎng)方體.中，，若E為的中點(diǎn).(1)求證：平面ACE：(2)求異面直線與AE所成角的余弦值.16．某高校的社團(tuán)招聘面試中有4道難度相當(dāng)?shù)念}目，李明答對(duì)每道題目的概率都是若每位面試者共有四次機(jī)會(huì)，一旦2次答對(duì)抽到的題目，則面試通過：否則就一直抽題到第4次為止，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的.(1)求李明第三次答題通過面試的概率；(2)求李明最終通過面試的概率.17．已知向量滿足，且與互相垂直.(1)求向量在向量上的投影向量（用表示）；(2)定義平面非零向量之間的一種運(yùn)算“*”：（其中是非零向量和的夾角），求18．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，(1)已知，（i）求；（ii）若，為邊上的中點(diǎn)，求的長(zhǎng).(2)若為銳角三角形，求證：19．（用坐標(biāo)法不給分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面和底面均為正三角形，且(1)求證:(2)已知（i）若，求二面角的大小:（ii）若直線與平面所成角的正弦值為，求實(shí)數(shù)的值.1．A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第一象限.故選：A.2．B【分析】利用向量減法法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】.故選：B3．D【分析】根據(jù)直方圖矩形高低以及數(shù)據(jù)的分布趨勢(shì)，判斷即可得出結(jié)論【詳解】眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此（1）中的眾數(shù)在第二列矩形的中點(diǎn)處，（1）中的數(shù)據(jù)第二、三列較多，且右側(cè)拖尾，所以平均數(shù)大于中位數(shù)，即在（1）中，眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)；同理在（2）中，平均數(shù)<中位數(shù)<眾數(shù).故選：D.4．A【分析】根據(jù)條件，利用球的體積公式及棱錐的體積公式，建立等量關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)鐵錠的高為，因?yàn)殍F球熔化前后體積不變，由，得到，解得，故選：A.5．C【分析】列舉出點(diǎn)數(shù)之和不小于8的情況數(shù)，結(jié)合兩次點(diǎn)數(shù)共有36種情況，求出概率.【詳解】一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋兩次，兩次點(diǎn)數(shù)共有36種情況，其中點(diǎn)數(shù)之和為8的情況如下：，點(diǎn)數(shù)之和為9的情況如下：，點(diǎn)數(shù)之和為10的情況如下：，點(diǎn)數(shù)之和為11的情況如下：，點(diǎn)數(shù)之和為12的情況如下：，故點(diǎn)數(shù)之和不小于8的情況共有種，則點(diǎn)數(shù)之和不小于8的概率為.故選：C6．D【分析】根據(jù)平面向量基本定理結(jié)合已知條件將用表示，再對(duì)照可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椴还簿€，所以，所以，故選：D7．B【分析】結(jié)合長(zhǎng)方體的性質(zhì)和線面成角的定義計(jì)算可得，從而可求.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)為，體對(duì)角線為AD，由長(zhǎng)方體可得體對(duì)角線長(zhǎng)，由平面，可得平面所成的角為，所以，同理可得平面所成的角為，所以，可得平面所成的角為，所以，所以，由，因?yàn)?，所以，又，代入可得，又因?yàn)?，所?故選：B.8．B【分析】根據(jù)，利用正弦定理結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)得到，化簡(jiǎn)得到，求得，再利用余弦定理結(jié)合基本不等式求解.【詳解】在中，有由正弦定理得，又，所以，因?yàn)?，所以，即，則，即，由余弦定理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.故選：B.9．ACD【分析】對(duì)于A，根據(jù)對(duì)立事件的定義分析判斷，對(duì)于B，根據(jù)分層抽樣的定義結(jié)合題意求解判斷，對(duì)于C，根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)分析判斷，對(duì)于D，根據(jù)獨(dú)立事件和互斥事件的定義分析判斷.【詳解】對(duì)于A，若某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，則事件“至少一次中靶”與“兩次都沒中靶”是對(duì)立事件，所以A正確，對(duì)于B，由題意可知女運(yùn)動(dòng)員應(yīng)抽取人，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x，方差為，若將這組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)都乘以2得到一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2x，方差為，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)锳和B是兩個(gè)概率大于0的隨機(jī)事件，A和B相互獨(dú)立，所以，所以A和B一定不互斥，所以D正確，故選：ACD10．AC【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和加法運(yùn)算就可以得到結(jié)果并作出判斷.【詳解】由，所以A正確；由，所以B，D錯(cuò)誤；由，所以C正確；故選：AC.11．BC【分析】A選項(xiàng)，證明出線面平行，要想平面，則，而兩者不會(huì)平行，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出與梯形的面積之比，從而得到體積之比；C選項(xiàng)，作出輔助線，證明出線面垂直，得到即為AE與平面PBC所成角，結(jié)合圖形，得到線面角的最大和最小的情況，并求出范圍；D選項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)A，且與直線AP和AD所成角均為60°的直線條數(shù)，結(jié)合可做出兩個(gè)符合要求的正四棱錐，得到結(jié)論.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，由于平面與平面不平行，要想平面，則，又點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PC（不與端點(diǎn)重合）上，故不平行，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，連接，因?yàn)椋?，所以，梯形的面積，故，又三棱錐與三棱錐的高均為，故，B正確；C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作⊥交于點(diǎn)，因?yàn)椋?，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，故⊥，因?yàn)椤偷酌?，平面，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴?，又，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，連接，則即為AE與平面PBC所成角，因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，，故?dāng)與重合時(shí)，最大，最大為，又對(duì)稱性可知，當(dāng)與或重合時(shí)，最小，由勾股定理得，故，故，所以AE與平面PBC所成角的范圍為，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，故過點(diǎn)A，且與直線AP和BC所成角均為60°的直線條數(shù)等價(jià)于過點(diǎn)A，且與直線AP和AD所成角均為60°的直線條數(shù)，以為鄰邊作正四棱錐，且側(cè)面均為等邊三角形，可以作兩個(gè)，故過點(diǎn)A，且與直線AP和BC所成角均為60°的直線可作2條，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】求解線面角的大小，需作出輔助線，找到線面角，再結(jié)合余弦定理等工具進(jìn)行求解，也可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.12．11【分析】按照隨機(jī)數(shù)表根據(jù)規(guī)則要求依次選取即可求解.【詳解】按照規(guī)則要求，所選編號(hào)依次為：08，02，14，07，04，11，所以第6個(gè)個(gè)體編號(hào)為：11.故答案為：11.13．【分析】設(shè)海警船的航行方向是北偏東，根據(jù)條件，利用正弦定理得到，即可求解.【詳解】設(shè)海警船的航行方向是北偏東，由題知，，，在中，由正弦定理得到，得到，又，所以，得到，故答案為：.14．0.3##【分析】先求出，根據(jù)得到，結(jié)合，求出，從而得到.【詳解】由題意得，為互斥事件，即，，又①，②，式子①②相加得，故，所以，則.故答案為：0.3【點(diǎn)睛】若事件A，B互斥，則有，若事件A，B不互斥，則有.15．(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面平行的判定即可得證；（2）利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)，結(jié)合解三角形的余弦定理可以求解.【詳解】（1）連結(jié)，設(shè)連結(jié)因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，E為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以又面，面，所以平面ACE.（2）取中點(diǎn)設(shè)為，連結(jié)易得，所以是異面直線與AE所成角的平面角（或補(bǔ)角），在中，由余弦定理知16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由前2次有一次答對(duì)，第3次答對(duì)，利用獨(dú)立事件的概率求解；，（2）根據(jù)題意，由前2次都答對(duì)，前2次有一次答對(duì)，第3次答對(duì)和前3次有一次答對(duì)，第4次答對(duì)求解.【詳解】（1）由題意得：前2次有一次答對(duì)，第3次答對(duì)，所以李明第三次答題通過面試的概率為：（2）李明最終通過面試的概率.17．(1)(2)3【分析】（1）由與互相垂直得，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得答案；（2）利用定義對(duì)平方再開方計(jì)算可得答案.【詳解】（1）因?yàn)榕c互相垂直，所以，可得，所以，向量在向量上的投影向量為；（2）因?yàn)椋?，所以，?18．(1)（i）或；（ii）(2)證明見解析【分析】（1）（i）由，結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)可得結(jié)果；（ii）由，，利用正弦定理求出，，在，由余弦定理求出的長(zhǎng)即可得解；（2）求出，將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用，化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【詳解】（1）（i）因?yàn)?，，所以，由正弦定理可得：，即，因?yàn)樵?，，，則，因?yàn)?，所以或；（ii），所以，則，則，由正弦定理可得：，即，又，解得，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，在中，由余弦定理可得：，即，則.（2）因?yàn)闉殇J角三角形，，則，則，要證，即證，由于，由，則，所以，故，則，則，證畢.19．(1)證明見解析(2)（i）二面角的大小為（ii）【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，通過線線垂直可得平面，進(jìn)而可證結(jié)論；（2）（i）由題意可得為的中點(diǎn)，進(jìn)而可得是二面角的平面角，計(jì)算可求二面角的大?。唬╥i）由已知可得與平面的距離為進(jìn)而利用等體積法可求得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連