新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第七章隨機變量及其分布7.4二項分布與超幾何分布7.4.1二項分布課后提能訓(xùn)練新人教A版選擇性必修第三冊

第七章7.47.4.1A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(多選)(2024年青島期中)若X～B(20，0.3)，則()A．E(X)＝3 B．P(X≥1)＝1－0.320C．D(X)＝4.2 D．P(X＝10)＝Ceq\o\al(10,20)×0.2110【答案】CD【解析】由X～B(20，0.3)，可知E(X)＝20×0.3＝6，A錯誤；P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.720，B錯誤；D(X)＝20×0.3×0.7＝4.2，C正確；P(X＝10)＝Ceq\o\al(10,20)×0.310×0.710＝Ceq\o\al(10,20)×0.2110，D正確．2．同時拋兩枚質(zhì)地勻整的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣出現(xiàn)不同面的次數(shù)為X，則D(X)＝()A．eq\f(15,8) B．eq\f(15,4)C．eq\f(5,2) D．5【答案】C【解析】每一次拋兩枚硬幣，出現(xiàn)不同面的概率為eq\f(1,2)，10次獨立重復(fù)試驗中，X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，所以D(X)＝10×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).3．設(shè)隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)＝()A．eq\f(5,16) B．eq\f(3,16)C．eq\f(5,8) D．eq\f(3,8)【答案】A【解析】X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，由二項分布可得P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(5,16).4．某電子管的正品率為eq\f(3,4)，次品率為eq\f(1,4)，現(xiàn)對該批電子管進(jìn)行測試，設(shè)第X次首次測到正品，則P(X＝3)＝()A．Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4) B．Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,4)【答案】C【解析】X＝3表示第3次首次測到正品，而前兩次都沒有測到正品，故其概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)×eq\f(3,4).5．(2024年天津期末)一名學(xué)生申請加入學(xué)校的3個社團，假設(shè)各個社團通過這名學(xué)生的申請是相互獨立的，并且概率都是eq\f(3,5)，設(shè)X是這名學(xué)生申請被通過的次數(shù)，則隨機變量X的期望為()A．eq\f(6,5) B．eq\f(36,25)C．eq\f(18,25) D．eq\f(9,5)【答案】D【解析】由題意，X聽從二項分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,5))).由二項分布的期望公式可得E(X)＝np＝3×eq\f(3,5)＝eq\f(9,5).故選D．6．若隨機變量ξ～B(n，0.6)，且E(ξ)＝3，則P(ξ＝1)的值是()A．2×0.44 B．2×0.45C．3×0.44 D．3×0.64【答案】C【解析】因為ξ～B(n，0.6)，所以E(ξ)＝n×0.6，故有0.6n＝3，解得n＝5.故P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,5)×0.6×0.44＝3×0.44.7．已知某同學(xué)每次射箭射中的概率為p，且每次射箭是否射中相互獨立，該同學(xué)射箭3次射中多于1次的概率為0.784，則p＝()A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8【答案】C【解析】由題意可得1－[Ceq\o\al(1,3)p(1－p)2＋Ceq\o\al(0,3)p0(1－p)3]＝0.784，解得p＝0.7.8．某次考試中，第一大題由12個選擇題組成，每題選對得5分，不選或錯選得0分．小王選對每題的概率為0.8，則其第一大題得分的均值為________．【答案】48【解析】設(shè)小王選對的個數(shù)為X，得分為Y＝5X，則X～B(12，0.8)，E(X)＝np＝12×0.8＝9.6，E(Y)＝E(5X)＝5E(X)＝5×9.6＝48.9．已知隨機變量X聽從二項分布B(n，p).若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝________．【答案】eq\f(1,3)【解析】由E(X)＝30，D(X)＝20，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np(1－p)＝20，))解得p＝eq\f(1,3).10．(2024年海口期末)某公司為了解會員對售后服務(wù)(包括退貨、換貨、修理等)的滿足度，從下半年的會員中隨機調(diào)查了20個會員，得到會員對售后服務(wù)滿足度評分的雷達(dá)圖如圖所示．規(guī)定評分不低于80分為滿足，否則為不滿足．(1)求這20個會員對售后服務(wù)滿足的頻率；(2)以(1)中的頻率作為全部會員對該公司售后服務(wù)滿足的概率，假設(shè)每個會員的評價結(jié)果相互獨立，現(xiàn)從下半年的全部會員中隨機選取3個會員，記這3個會員中對售后服務(wù)滿足的會員的個數(shù)為X，求X的均值與方差．解：(1)由雷達(dá)圖可知這20個會員對售后服務(wù)滿足的頻率為eq\f(14,20)＝0.7.(2)因為X～B(3，0.7)，所以E(X)＝3×0.7＝2.1，D(X)＝3×0.7×0.3＝0.63.B級——實力提升練11．若隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,3)))，則P(X＝k)最大時，k的值為()A．1 B．2C．1或2 D．3【答案】C【解析】依題意P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(k)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(5－k)，k＝0，1，2，3，4，5.可以求得P(X＝0)＝eq\f(32,243)，P(X＝1)＝eq\f(80,243)，P(X＝2)＝eq\f(80,243)，P(X＝3)＝eq\f(40,243)，P(X＝4)＝eq\f(10,243)，P(X＝5)＝eq\f(1,243).故當(dāng)k＝1或k＝2時P(X＝k)最大．12．(多選)已知X～B(4，p)(0<p<1)，則下列結(jié)論正確的有()A．若p＝eq\f(1,3)，則E(X)＝eq\f(8,9)B．若p＝eq\f(1,3)，則P(X＝0)＝eq\f(16,81)C．D(X)max＝1D．若P(X＝1)>P(X＝3)，則0<p<eq\f(1,2)【答案】BCD【解析】∵X～B(4，p)(0<p<1)，∴若p＝eq\f(1,3)，則E(X)＝4×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16,81)，故A選項錯誤，B選項正確；D(X)＝4p(1－p)＝4p－4p2＝－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋1≤1，∴當(dāng)p＝eq\f(1,2)時，D(X)max＝1，故C選項正確；∵P(X＝1)>P(X＝3)，∴Ceq\o\al(1,4)p(1－p)3>Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)，化簡整理可得(1－p)2>p2，解得0<p<eq\f(1,2)，故D選項正確．故選BCD．13．(2024年重慶期末)甲、乙兩隊進(jìn)行友情賽，實行三局兩勝制，每局都要分出輸贏，依據(jù)以往閱歷，單局競賽中甲隊獲勝的概率為eq\f(3,5)，設(shè)各局競賽相互間沒有影響，則甲隊?wèi)?zhàn)勝乙隊的概率為________．【答案】eq\f(81,125)【解析】甲隊?wèi)?zhàn)勝乙隊包含兩種狀況：①甲連勝2局，概率為p1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,25).②前兩局甲隊一勝一負(fù)，第三局甲隊勝，概率為p2＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(36,125).所以甲隊?wèi)?zhàn)勝乙隊的概率為p＝p1＋p2＝eq\f(9,25)＋eq\f(36,125)＝eq\f(81,125).14．(2024年龍巖模擬)某市有A，B，C，D四個景點，一位游客來該市巡游，已知該游客巡游A的概率為eq\f(2,3)，巡游B，C，D的概率都是eq\f(1,2)，且該游客是否巡游這四個景點相互獨立．用隨機變量X表示該游客巡游的景點個數(shù)，則該游客至多巡游一個景點的概率為________，E(X)＝________．【答案】eq\f(1,4)eq\f(13,6)【解析】X的全部可能取值為0，1，2，3，4，P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,24)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,24)，所以該游客至多巡游一個景點的概率為P(X＝0)＋P(X＝1)＝eq\f(1,24)＋eq\f(5,24)＝eq\f(1,4).P(X＝2)＝eq\f(2,3)×Ceq\o\al(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(1)＝eq\f(3,8)，P(X＝3)＝eq\f(2,3)×Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(7,24)，P(X＝4)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,12)，所以E(X)＝0×eq\f(1,24)＋1×eq\f(5,24)＋2×eq\f(3,8)＋3×eq\f(7,24)＋4×eq\f(1,12)＝eq\f(13,6).15．(2024年南通期末)假定人們對某種特殊的花粉過敏的概率為0.25，現(xiàn)在檢驗20名志愿者是否對這種花粉過敏．(1)求樣本中恰好有兩人過敏的概率；(2)要使樣本中至少檢測到1人過敏的概率大于99.9%，則抽取的樣本量至少要多大？參考數(shù)據(jù)：0.7518＝0.0056，0.7519＝0