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關(guān)于集合論的誕生第九章分析的嚴(yán)格化第三節(jié)集合論的誕生第2頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月
小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求:結(jié)合有關(guān)知識(shí)的教學(xué),適當(dāng)滲透集合、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法,以加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解。第3頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月認(rèn)識(shí)數(shù)字1~5認(rèn)識(shí)數(shù)字01、小學(xué)數(shù)學(xué)中的集合第4頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月元素與集合間的關(guān)系集合與集合間的關(guān)系維恩圖第5頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月交集第6頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月一一對(duì)應(yīng)第7頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月2、康托的一一對(duì)應(yīng)柏拉圖——實(shí)無(wú)限:“全體自然數(shù)”是存在的,因?yàn)槊總€(gè)自然數(shù)都是可以數(shù)到的;既然每個(gè)都存在,為什么“全體”就不存在呢?亞里士多德——潛無(wú)限:自然數(shù)的產(chǎn)生是個(gè)無(wú)限無(wú)盡的過(guò)程,這個(gè)過(guò)程永不結(jié)束,因而無(wú)法得到自然數(shù)的全體。第8頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月
我必須最強(qiáng)烈地反對(duì)你使用無(wú)窮大作為某種完善的東西,因?yàn)檫@在數(shù)學(xué)上是從來(lái)不允許的。無(wú)窮大只不過(guò)是一種講話方式,意味著一種極限……——高斯在1831年給舒馬赫的信
在1638年出版的《兩門新科學(xué)的對(duì)話》一書中,伽利略把全體自然數(shù)與它們的平方一一對(duì)應(yīng)起來(lái):第9頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月1845年,康托出生在俄國(guó)的圣彼得堡,后來(lái)移居德國(guó)。
1867年,他在柏林大學(xué)得到博士學(xué)位。他曾經(jīng)發(fā)表過(guò)一篇有關(guān)實(shí)數(shù)定義的論文,用收斂的有理數(shù)給出了無(wú)理數(shù)的定義。“一一對(duì)應(yīng)”概念:給定兩個(gè)集合A與B,假如有映射f:A→B,使得A中任何一個(gè)元素a都有一個(gè)元素b∈B與之對(duì)應(yīng),并且不同的a對(duì)應(yīng)于不同的b,而且B中每個(gè)元素都被對(duì)應(yīng)到,我們就稱映射f:A→B是一個(gè)一一對(duì)應(yīng)。集合的基數(shù)概念:給定兩個(gè)集合A與B,如果A與B之間有一個(gè)一一對(duì)應(yīng),則稱它們有相同的基數(shù)。集合定義:一個(gè)集合是若干確定的、可區(qū)別的事物的總體。第10頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月例1在中世紀(jì)時(shí)有人注意到,把兩個(gè)同心圓上的點(diǎn)用公共半徑連起來(lái),就構(gòu)成兩個(gè)圓上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例2長(zhǎng)度不相等的兩條線段上的點(diǎn)集可以建立一一對(duì)應(yīng),即兩個(gè)點(diǎn)集有相同的基數(shù),與線段長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。第11頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月例3單位線段上的點(diǎn)與半直線上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。例4區(qū)間(0,1)的點(diǎn)集與實(shí)數(shù)集R有相同的基數(shù)。事實(shí)上,區(qū)間(0,1)和半圓周的點(diǎn)集可以建立一一對(duì)應(yīng),半圓周點(diǎn)集又能與整個(gè)數(shù)軸建立一一對(duì)應(yīng)。第12頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月3、可數(shù)集合
康托把任何能與正整數(shù)集一一對(duì)應(yīng)的集合稱為可數(shù)集。換句話說(shuō),一個(gè)集合是可數(shù)集的充要條件是它的元素能夠排成一個(gè)序列。1874年,康托獲得了一個(gè)歷史性的發(fā)現(xiàn):盡管有理數(shù)具有稠密性,但它們是可數(shù)的。(0,1)區(qū)間中的所有有理數(shù):第13頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月全體有理數(shù)集合Q也是可數(shù)的。第14頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月命題:區(qū)間(0,1)中的全體實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。1873年,康托發(fā)現(xiàn):實(shí)數(shù)集R是不可數(shù)的。4、不可數(shù)集合證明:我們可以用反證法證明。如果全體實(shí)數(shù)能排成一隊(duì),我們把所有0到1之間的實(shí)數(shù)都排出來(lái):將γn都寫成10進(jìn)位無(wú)限小數(shù)。我們約定將其中的有理數(shù)也寫成無(wú)限小數(shù),比如0.9=0.8999…,這樣保證每一個(gè)小數(shù)表示方式唯一。第15頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月
中沒(méi)有把0到1之間的實(shí)數(shù)排完,這就推出了一個(gè)矛盾,故“(0,1)區(qū)間中的全體實(shí)數(shù)能排成一隊(duì)”的假設(shè)不成立。第16頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月1877年,康托又意外發(fā)現(xiàn):?jiǎn)挝徽叫蔚狞c(diǎn)集與(0,1)區(qū)間的點(diǎn)集能夠建立一一對(duì)應(yīng)。分析:要做到這一點(diǎn),需要先把區(qū)間(0,1)內(nèi)的點(diǎn)都表示成無(wú)限小數(shù),并規(guī)定這里出現(xiàn)的有限小數(shù)可以化成含有無(wú)窮個(gè)9的小數(shù),如0.49=0.48999…。任取一點(diǎn),比如說(shuō)0.35768291…,把這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位、偶數(shù)位分別取出來(lái),得到兩個(gè)新數(shù):0.3789…與0.5621…,以這兩個(gè)數(shù)作為橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)得到的點(diǎn)將落在單位正方形中。第17頁(yè),共19頁(yè),星期六,2024年,5月一般地,設(shè)區(qū)間(0,1)內(nèi)的任意一點(diǎn)為它對(duì)應(yīng)著單位正方形內(nèi)的唯一的點(diǎn)反過(guò)來(lái),如果任給單位正方形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)
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