集合論的誕生

關(guān)于集合論的誕生第九章分析的嚴(yán)格化第三節(jié)集合論的誕生第2頁,共19頁，星期六，2024年，5月

小學(xué)數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求：結(jié)合有關(guān)知識(shí)的教學(xué)，適當(dāng)滲透集合、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法，以加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解。第3頁,共19頁，星期六，2024年，5月認(rèn)識(shí)數(shù)字1～5認(rèn)識(shí)數(shù)字01、小學(xué)數(shù)學(xué)中的集合第4頁,共19頁，星期六，2024年，5月元素與集合間的關(guān)系集合與集合間的關(guān)系維恩圖第5頁,共19頁，星期六，2024年，5月交集第6頁,共19頁，星期六，2024年，5月一一對(duì)應(yīng)第7頁,共19頁，星期六，2024年，5月2、康托的一一對(duì)應(yīng)柏拉圖——實(shí)無限：“全體自然數(shù)”是存在的，因?yàn)槊總€(gè)自然數(shù)都是可以數(shù)到的；既然每個(gè)都存在，為什么“全體”就不存在呢？亞里士多德——潛無限：自然數(shù)的產(chǎn)生是個(gè)無限無盡的過程，這個(gè)過程永不結(jié)束，因而無法得到自然數(shù)的全體。第8頁,共19頁，星期六，2024年，5月

我必須最強(qiáng)烈地反對(duì)你使用無窮大作為某種完善的東西，因?yàn)檫@在數(shù)學(xué)上是從來不允許的。無窮大只不過是一種講話方式，意味著一種極限……——高斯在1831年給舒馬赫的信

在1638年出版的《兩門新科學(xué)的對(duì)話》一書中，伽利略把全體自然數(shù)與它們的平方一一對(duì)應(yīng)起來：第9頁,共19頁，星期六，2024年，5月1845年，康托出生在俄國的圣彼得堡，后來移居德國。

1867年，他在柏林大學(xué)得到博士學(xué)位。他曾經(jīng)發(fā)表過一篇有關(guān)實(shí)數(shù)定義的論文，用收斂的有理數(shù)給出了無理數(shù)的定義?！耙灰粚?duì)應(yīng)”概念：給定兩個(gè)集合A與B，假如有映射f:A→B，使得A中任何一個(gè)元素a都有一個(gè)元素b∈B與之對(duì)應(yīng)，并且不同的a對(duì)應(yīng)于不同的b，而且B中每個(gè)元素都被對(duì)應(yīng)到，我們就稱映射f:A→B是一個(gè)一一對(duì)應(yīng)。集合的基數(shù)概念：給定兩個(gè)集合A與B，如果A與B之間有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，則稱它們有相同的基數(shù)。集合定義：一個(gè)集合是若干確定的、可區(qū)別的事物的總體。第10頁,共19頁，星期六，2024年，5月例1在中世紀(jì)時(shí)有人注意到，把兩個(gè)同心圓上的點(diǎn)用公共半徑連起來，就構(gòu)成兩個(gè)圓上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例2長度不相等的兩條線段上的點(diǎn)集可以建立一一對(duì)應(yīng)，即兩個(gè)點(diǎn)集有相同的基數(shù)，與線段長度無關(guān)。第11頁,共19頁，星期六，2024年，5月例3單位線段上的點(diǎn)與半直線上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。例4區(qū)間（0,1）的點(diǎn)集與實(shí)數(shù)集R有相同的基數(shù)。事實(shí)上，區(qū)間（0,1）和半圓周的點(diǎn)集可以建立一一對(duì)應(yīng)，半圓周點(diǎn)集又能與整個(gè)數(shù)軸建立一一對(duì)應(yīng)。第12頁,共19頁，星期六，2024年，5月3、可數(shù)集合

康托把任何能與正整數(shù)集一一對(duì)應(yīng)的集合稱為可數(shù)集。換句話說，一個(gè)集合是可數(shù)集的充要條件是它的元素能夠排成一個(gè)序列。1874年，康托獲得了一個(gè)歷史性的發(fā)現(xiàn)：盡管有理數(shù)具有稠密性，但它們是可數(shù)的。（0,1）區(qū)間中的所有有理數(shù)：第13頁,共19頁，星期六，2024年，5月全體有理數(shù)集合Q也是可數(shù)的。第14頁,共19頁，星期六，2024年，5月命題：區(qū)間（0,1）中的全體實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。1873年，康托發(fā)現(xiàn)：實(shí)數(shù)集R是不可數(shù)的。4、不可數(shù)集合證明：我們可以用反證法證明。如果全體實(shí)數(shù)能排成一隊(duì)，我們把所有0到1之間的實(shí)數(shù)都排出來：將γn都寫成10進(jìn)位無限小數(shù)。我們約定將其中的有理數(shù)也寫成無限小數(shù)，比如0.9=0.8999…，這樣保證每一個(gè)小數(shù)表示方式唯一。第15頁,共19頁，星期六，2024年，5月

中沒有把0到1之間的實(shí)數(shù)排完，這就推出了一個(gè)矛盾，故“（0,1）區(qū)間中的全體實(shí)數(shù)能排成一隊(duì)”的假設(shè)不成立。第16頁,共19頁，星期六，2024年，5月1877年，康托又意外發(fā)現(xiàn)：單位正方形的點(diǎn)集與（0,1）區(qū)間的點(diǎn)集能夠建立一一對(duì)應(yīng)。分析：要做到這一點(diǎn)，需要先把區(qū)間（0,1）內(nèi)的點(diǎn)都表示成無限小數(shù)，并規(guī)定這里出現(xiàn)的有限小數(shù)可以化成含有無窮個(gè)9的小數(shù)，如0.49=0.48999…。任取一點(diǎn)，比如說0.35768291…，把這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位、偶數(shù)位分別取出來，得到兩個(gè)新數(shù)：0.3789…與0.5621…，以這兩個(gè)數(shù)作為橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)得到的點(diǎn)將落在單位正方形中。第17頁,共19頁，星期六，2024年，5月一般地，設(shè)區(qū)間（0,1）內(nèi)的任意一點(diǎn)為它對(duì)應(yīng)著單位正方形內(nèi)的唯一的點(diǎn)反過來，如果任給單位正方形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)