2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)全國卷2試題及答案

2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.作答時,務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1./A./ B./ C./ D./2．已知集合/,則/中元素的個數(shù)為A.9 B.8 C.5 D.43.函數(shù)/的圖像大致為4.已知向量/,/滿足/,/,則/A.4 B.3 C.2 D.05．雙曲線/的離心率為/,則其漸近線方程為A./ B./ C./ D./6．在/中,/,/,/,則/A./ B./ C./ D./7．為計算/,設(shè)計了右側(cè)的程序框圖,則在空白框中應(yīng)填入A./B./C./D./8.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”,如/.在不超過30的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于30的概率是A./ B./ C./ D./9．在長方體/中,/,/,則異面直線/與/所成角的余弦值為A./ B./ C./ D./10．若/在/是減函數(shù),則/的最大值是A./ B./ C./ D./11．已知/是定義域為/的奇函數(shù),滿足/．若/,則/A./ B.0 C.2 D.5012．已知/,/是橢圓/的左、右焦點,/是/的左頂點,點/在過/且斜率為/的直線上,/為等腰三角形,/,則/的離心率為/ B./ C./ D./二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分．13.曲線/在點/處的切線方程為__________.14.若/滿足約束條件/則/的最大值為__________.15.已知/,/,則/__________.16.已知圓錐的頂點為/,母線/,/所成角的余弦值為/,/與圓錐底面所成角為45°,若/的面積為/,則該圓錐的側(cè)面積為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題,每個試題考生都必須作答．第22.23為選考題,考生根據(jù)要求作答．學(xué)科*網(wǎng)（一）必考題:共60分。17.（12分）記/為等差數(shù)列/的前/項和,已知/,/．（1）求的通項公式；（2）求/,并求/的最小值.18.（12分）下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額/（單位：億元）的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額,建立了/與時間變量/的兩個線性回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量/的值依次為/）建立模型①:/；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量/的值依次為/）建立模型②:/.（1）分別利用這兩個模型,求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值；（2）你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠?并說明理由.19.（12分）設(shè)拋物線/的焦點為/,過/且斜率為/的直線/與/交于/,/兩點,/．（1）求的方程；學(xué)科&網(wǎng)（2）求過點/,/且與/的準(zhǔn)線相切的圓的方程.20.（12分）如圖,在三棱錐/中,/,/,/為/的中點．（1）證明:/平面/；（2）若點/在棱/上,且二面角/為/,求/與平面/所成角的正弦值．21.（12分）已知函數(shù)/.（1）若/,證明:當(dāng)/時,/；（2）若/在/只有一個零點,求/.（二）選考題:共10分．請考生在第22.23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題計分．22.[選修4－4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系/中,曲線/的參數(shù)方程為/（/為參數(shù)）,直線/的參數(shù)方程為/（/為參數(shù)）.（1）求和的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線/截直線/所得線段的中點坐標(biāo)為/,求/的斜率.23.[選修4－5:不等式選講]（10分）設(shè)函數(shù)/.（1）當(dāng)/時,求不等式/的解集；（2）若/,求/的取值范圍．

2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D二、填空題13./ 14.9 15./ 16./三、解答題17.解:（1）設(shè)/的公差為d,由題意得/．由/得d=2.所以/的通項公式為/.（2）由（1）得/.所以當(dāng)n=4時,/取得最小值,最小值為?16．18.解:（1）利用模型①,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為/(億元).利用模型②,該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為/(億元).（2）利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.理由如下:（?。恼劬€圖可以看出,2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點沒有隨機散布在直線/上下.這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點位于一條直線的附近,這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢,利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型/可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢,因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.學(xué)科*網(wǎng)（ⅱ）從計算結(jié)果看,相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元,由模型①得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低,而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理.說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠.以上給出了2種理由,考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．19.解:（1）由題意得/,l的方程為/.設(shè)/,由/得/./,故/．所以/.由題設(shè)知/,解得/（舍去）,/．因此l的方程為/.（2）由（1）得AB的中點坐標(biāo)為/,所以AB的垂直平分線方程為/,即/.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為/,則解得或因此所求圓的方程為/或/.20.解:（1）因為/,/為/的中點,所以/,且/.連結(jié)/.因為/,所以/為等腰直角三角形,且/,/．由/知/.由/知/平面/.（2）如圖,以/為坐標(biāo)原點,/的方向為/軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系/．由已知得/取平面/的法向量/.設(shè)/,則/．設(shè)平面/的法向量為/.由/得/,可取/,所以/.由已知可得/.所以/．解得/（舍去）,/．所以/.又/,所以/．所以/與平面/所成角的正弦值為/.21.解:（1）當(dāng)/時,/等價于/.設(shè)函數(shù)/,則/.當(dāng)/時,/,所以/在/單調(diào)遞減.而/,故當(dāng)/時,/,即/．（2）設(shè)函數(shù)/./在/只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)/在/只有一個零點.（i）當(dāng)/時,/,/沒有零點；（ii）當(dāng)/時,/.當(dāng)/時,/；當(dāng)/時,/.所以/在/單調(diào)遞減,在/單調(diào)遞增．故/是/在/的最小值.①若/,即/,/在/沒有零點；②若/,即/,/在/只有一個零點；③若/,即/,由于/,所以/在/有一個零點,由（1）知,當(dāng)/時,/,所以/.故/在/有一個零點,因此/在/有兩個零點.綜上,/在/只有一個零點時,/．22.解:（1）曲線/的直角坐標(biāo)方程為/.當(dāng)/時,/的直角坐標(biāo)方程為/,當(dāng)/時,/的直角坐標(biāo)方程為/.（2）