高考數(shù)學(xué)微專題集專題27圓錐曲線與四心問(wèn)題微點(diǎn)1圓錐曲線與重心問(wèn)題(原卷版+解析)

專題27圓錐曲線與四心問(wèn)題微點(diǎn)1圓錐曲線與重心問(wèn)題專題27圓錐曲線與四心問(wèn)題微點(diǎn)1圓錐曲線與重心問(wèn)題【微點(diǎn)綜述】從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識(shí)又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征．而現(xiàn)在圓錐曲線中面積、弦長(zhǎng)、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問(wèn)題．“四心”問(wèn)題進(jìn)入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新．因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過(guò)讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問(wèn)題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考．一、三角形重心的定義三角形的重心：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的重心．二、三角形重心常見結(jié)論（1）是△的重心；重心坐標(biāo)：；（2）為△的重心，P為平面上任意點(diǎn)，則；（3）重心是中線的三等分點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比是2：1；（4）重心與三角形的3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形的面積相等，即重心到3條邊的距離與3條邊的長(zhǎng)成反比．（5）焦點(diǎn)三角形重心軌跡方程：①設(shè)點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)三角形的重心，則點(diǎn)的軌跡方程為．證明：如圖1，設(shè)，則有（否則不能成為三角形），橢圓左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，△由重心為，由三角形重心坐標(biāo)公式，有，即，代入橢圓方程，可得，化簡(jiǎn)可得，又，于是其重心的軌跡方程為，即以原橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的為長(zhǎng)軸，以原橢圓的短軸長(zhǎng)的為短軸的橢圓（頂點(diǎn)除外）．②設(shè)點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)三角形的重心，則點(diǎn)的軌跡方程為．證明：如圖2，設(shè)，則有（否則不能成為三角形），雙曲線左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為△由重心為，由重心坐標(biāo)公式，有，即，代入雙曲線方程，可得，化簡(jiǎn)可得，又，于是其重心的軌跡方程為，即以原雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)的為實(shí)軸，以原雙曲線的虛軸長(zhǎng)的為虛軸的雙曲線（頂點(diǎn)除外）．三、典型例題精析1．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、、在上，且的重心為，則的取值范圍為A． B． C． D．2．已知，，是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足，若是的內(nèi)心，是的重心，記與的面積分別為，，則（

）A． B． C． D．與大小不確定3．已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的橢圓上一點(diǎn)（左右頂點(diǎn)除外），為為重心.若恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且在第一象限．記直線，的斜率分別為，，當(dāng)取得最小值時(shí)，的重心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為_____________，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的重心恰為點(diǎn)，則直線斜率為_____________.6．已知直線交橢圓于兩點(diǎn)，橢圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，若的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)上，則直線的方程是__________．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中且若為的重心，記三邊的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離分別為且滿足，則所在直線的斜率為（

）A．1 B． C．2 D．38．在雙曲線：的右支上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)與雙曲線的左、右焦點(diǎn)，形成的三角形的內(nèi)切圓的半徑為，若的重心滿足，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．9．已知為雙曲線：上一點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，分別為的重心、內(nèi)心．若軸，則內(nèi)切圓的半徑為______．10．已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上不與左右頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心.當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，橢圓C的離心率為_____.11．已知橢圓的左右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，的重心、內(nèi)心分別為G、I，若，則橢圓的離心率e等于（

）A． B． C． D．12．在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的重心為，且，則直線的方程為_________．【強(qiáng)化訓(xùn)練】13．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)是△ABC的重心，為坐標(biāo)原點(diǎn)，△、△、△的面積分別為、、，則A．9 B．6 C．3 D．214．已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，稱為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有A．0個(gè) B．1個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)15．設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，若的重心在軸右側(cè)，則的取值范圍是___________．16．設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的重心為點(diǎn)，如果，那么的面積為（

）A． B． C． D．17．已知拋物線的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)A、B、C在拋物線上,為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)F為△ABC的重心,△、△、△面積分別記為則的值為A． B． C． D．18．設(shè)點(diǎn)為橢圓：上一點(diǎn)，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為的重心，且，那么的面積為___________．19．設(shè)，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，，為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若點(diǎn)恰為的重心，則橢圓的離心率的值為__________.20．已知是雙曲線（，）的左頂點(diǎn)，、分別為左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，是的重心，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．與的取值有關(guān)21．已知是拋物線的焦點(diǎn)，，在拋物線上，且的重心坐標(biāo)為，則__________．22．已知△ABC是橢圓的內(nèi)接三角形，F(xiàn)是橢圓的上焦點(diǎn)，且原點(diǎn)O是△ABC的重心．求A，B，C三點(diǎn)到F距離之和為______________；23．在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的重心為，且，則直線的方程為_________．24．已知是以為焦點(diǎn)的雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的重心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．25．已知拋物線上有三點(diǎn)，的斜率分別為3，6，，則的重心坐標(biāo)為A． B． C． D．26．已知橢圓C：，為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上，的重心為，內(nèi)心為，且有（為實(shí)數(shù)），則橢圓方程為(

)A． B．C． D．27．設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的重心為點(diǎn)，如果，那么的面積為（

）A． B． C． D．28．拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的重心為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．429．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作直線與交于兩點(diǎn)．若，則重心的橫坐標(biāo)為A． B．2 C． D．330．已知拋物線：（），從點(diǎn)（）發(fā)出，平行于軸的光線與交于點(diǎn)，經(jīng)反射后過(guò)的焦點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，若反射光線的傾斜角為，，則的重心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．31．設(shè)雙曲線在左右焦點(diǎn)分別為，若在曲線C的右支上存在點(diǎn)，使得的內(nèi)切圓半徑，圓心記為，又的重心為G，滿足平行于軸，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．32．已知拋物線（），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為拋物線上的兩點(diǎn)，A，B的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，的重心為F，則（

）A．1 B．2 C．3 D．433．已知實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），點(diǎn)B為雙曲線C虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，則△BF1F2的重心到雙曲線C的漸近線的距離為（）A． B． C． D．34．過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，為原點(diǎn)，則重心的縱坐標(biāo)為________________．35．已知拋物線上有三個(gè)不同的點(diǎn)直線的斜率分別為.若滿足：.且的重心在直線上.則（

）A． B． C． D．36．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)為，，直線:與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，，的重心分別為，，若以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則（

）A．2 B． C． D．37．已知點(diǎn)是右焦點(diǎn)為的雙曲線上一點(diǎn)，若雙曲線上存在兩點(diǎn)，使得的重心恰好為右焦點(diǎn)，則直線方程為（

）A． B．C． D．專題27圓錐曲線與四心問(wèn)題微點(diǎn)1圓錐曲線與重心問(wèn)題專題27圓錐曲線與四心問(wèn)題微點(diǎn)1圓錐曲線與重心問(wèn)題【微點(diǎn)綜述】從近幾年圓錐曲線的命題風(fēng)格看，既注重知識(shí)又注重能力，既突出圓錐曲線的本質(zhì)特征．而現(xiàn)在圓錐曲線中面積、弦長(zhǎng)、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問(wèn)題．“四心”問(wèn)題進(jìn)入圓錐曲線，讓我們更是耳目一新．因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過(guò)讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問(wèn)題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考．一、三角形重心的定義三角形的重心：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是三角形的重心．二、三角形重心常見結(jié)論（1）是△的重心；重心坐標(biāo)：；（2）為△的重心，P為平面上任意點(diǎn)，則；（3）重心是中線的三等分點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比是2：1；（4）重心與三角形的3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形的面積相等，即重心到3條邊的距離與3條邊的長(zhǎng)成反比．（5）焦點(diǎn)三角形重心軌跡方程：①設(shè)點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)三角形的重心，則點(diǎn)的軌跡方程為．證明：如圖1，設(shè)，則有（否則不能成為三角形），橢圓左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，△由重心為，由三角形重心坐標(biāo)公式，有，即，代入橢圓方程，可得，化簡(jiǎn)可得，又，于是其重心的軌跡方程為，即以原橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的為長(zhǎng)軸，以原橢圓的短軸長(zhǎng)的為短軸的橢圓（頂點(diǎn)除外）．②設(shè)點(diǎn)為雙曲線的焦點(diǎn)三角形的重心，則點(diǎn)的軌跡方程為．證明：如圖2，設(shè)，則有（否則不能成為三角形），雙曲線左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)為△由重心為，由重心坐標(biāo)公式，有，即，代入雙曲線方程，可得，化簡(jiǎn)可得，又，于是其重心的軌跡方程為，即以原雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)的為實(shí)軸，以原雙曲線的虛軸長(zhǎng)的為虛軸的雙曲線（頂點(diǎn)除外）．三、典型例題精析1．拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、、在上，且的重心為，則的取值范圍為A． B． C． D．2．已知，，是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿足，若是的內(nèi)心，是的重心，記與的面積分別為，，則（

）A． B． C． D．與大小不確定3．已知、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，的橢圓上一點(diǎn)（左右頂點(diǎn)除外），為為重心.若恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且在第一象限．記直線，的斜率分別為，，當(dāng)取得最小值時(shí)，的重心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．5．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為_____________，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的重心恰為點(diǎn)，則直線斜率為_____________.6．已知直線交橢圓于兩點(diǎn)，橢圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，若的重心恰好落在橢圓的右焦點(diǎn)上，則直線的方程是__________．7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中且若為的重心，記三邊的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離分別為且滿足，則所在直線的斜率為（

）A．1 B． C．2 D．38．在雙曲線：的右支上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)與雙曲線的左、右焦點(diǎn)，形成的三角形的內(nèi)切圓的半徑為，若的重心滿足，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．9．已知為雙曲線：上一點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，分別為的重心、內(nèi)心．若軸，則內(nèi)切圓的半徑為______．10．已知橢圓C：1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓C上不與左右頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心.當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，橢圓C的離心率為_____.11．已知橢圓的左右焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，的重心、內(nèi)心分別為G、I，若，則橢圓的離心率e等于（

）A． B． C． D．12．在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的重心為，且，則直線的方程為_________．【強(qiáng)化訓(xùn)練】13．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)是△ABC的重心，為坐標(biāo)原點(diǎn)，△、△、△的面積分別為、、，則A．9 B．6 C．3 D．214．已知為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，稱為“和諧三角形”，則“和諧三角形”有A．0個(gè) B．1個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)15．設(shè)直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，若的重心在軸右側(cè)，則的取值范圍是___________．16．設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的重心為點(diǎn)，如果，那么的面積為（

）A． B． C． D．17．已知拋物線的焦點(diǎn)是F,點(diǎn)A、B、C在拋物線上,為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)F為△ABC的重心,△、△、△面積分別記為則的值為A． B． C． D．18．設(shè)點(diǎn)為橢圓：上一點(diǎn)，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，為的重心，且，那么的面積為___________．19．設(shè)，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，，為橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若點(diǎn)恰為的重心，則橢圓的離心率的值為__________.20．已知是雙曲線（，）的左頂點(diǎn)，、分別為左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上一點(diǎn)，是的重心，若，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．與的取值有關(guān)21．已知是拋物線的焦點(diǎn)，，在拋物線上，且的重心坐標(biāo)為，則__________．22．已知△ABC是橢圓的內(nèi)接三角形，F(xiàn)是橢圓的上焦點(diǎn)，且原點(diǎn)O是△ABC的重心．求A，B，C三點(diǎn)到F距離之和為______________；23．在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率不為0的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的重心為，且，則直線的方程為_________．24．已知是以為焦點(diǎn)的雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的重心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．25．已知拋物線上有三點(diǎn)，的斜率分別為3，6，，則的重心坐標(biāo)為A． B． C． D．26．已知橢圓C：，為左右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上，的重心為，內(nèi)心為，且有（為實(shí)數(shù)），則橢圓方程為(

)A． B．C． D．27．設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且的重心為點(diǎn)，如果，那么的面積為（

）A． B． C． D．28．拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的重心為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．429．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作直線與交于兩點(diǎn)．若，則重心的橫坐標(biāo)為A． B．2 C． D．330．已知拋物線：（），從點(diǎn)（）發(fā)出，平行于軸的光線與交于點(diǎn)，經(jīng)反射后過(guò)的焦點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，若反射光線的傾斜角為，，則的重心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．31．設(shè)雙曲線在左右焦點(diǎn)分別為，若在曲線C的右支上存在點(diǎn)，使得的內(nèi)切圓半徑，圓心記為，又的重心為G，滿足平行于軸，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．32．已知拋物線（），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為拋物線上的兩點(diǎn)，A，B的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，的重心為F，則（

）A．1 B．2 C．3 D．433．已知實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），點(diǎn)B為雙曲線C虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，則△BF1F2的重心到雙曲線C的漸近線的距離為（）A． B． C． D．34．過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，已知，為原點(diǎn)，則重心的縱坐標(biāo)為________________．35．已知拋物線上有三個(gè)不同的點(diǎn)直線的斜率分別為.若滿足：.且的重心在直線上.則（

）A． B． C． D．36．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)為，，直線:與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，，的重心分別為，，若以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，則（

）A．2 B． C． D．37．已知點(diǎn)是右焦點(diǎn)為的雙曲線上一點(diǎn)，若雙曲線上存在兩點(diǎn)，使得的重心恰好為右焦點(diǎn)，則直線方程為（

）A． B．C． D．參考答案：1．A【解析】根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，用、求出表示出的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的方程，求出的取值范圍，再結(jié)合拋物線的定義可得出結(jié)論．【詳解】由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、、，由重心的坐標(biāo)公式得，，，設(shè)直線的方程為，由，消去得，，由韋達(dá)定理得，，所以，，故，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得，得，則，得，則.不在直線上，則，此時(shí)，，則.因此，的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】考查拋物線與直線的綜合，求距離的取值范圍，重心坐標(biāo)的計(jì)算，屬于難題．2．B分析：作出圖示，根據(jù)的特點(diǎn)分別表示出，，即可判斷出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋缘能壽E是橢圓在第一象限內(nèi)的部分，如圖所示：因?yàn)槭堑膬?nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，所以，所以，所以，又因?yàn)槭堑闹匦?，所以，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，其中涉及到三角形的內(nèi)心和重心問(wèn)題，對(duì)學(xué)生分析圖形中關(guān)系的能力要求較高，難度一般.3．B分析：根據(jù)的橢圓上一點(diǎn)，且恒成立，不妨設(shè)點(diǎn)P為上頂點(diǎn)，再根據(jù)為為重心，由求解.【詳解】因?yàn)榈臋E圓上一點(diǎn)，且恒成立，不妨設(shè)點(diǎn)P為上頂點(diǎn)，如圖所示：因?yàn)闉闉橹匦模?，而，即，所以，所以，所以，即，解?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)以及焦點(diǎn)三角形的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.4．B【解析】由雙曲線的性質(zhì)可得點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，則，再由基本不等式可得，進(jìn)而可得點(diǎn)，即可求得重心坐標(biāo).【詳解】由題意點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)，則，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，解得，所以點(diǎn)，則重心坐標(biāo)為即．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了直線斜率的求解及雙曲線的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.5．

分析：空1：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，直接求出a，c，再根據(jù)橢圓中a，b，c之間的關(guān)系求出m的值，最后求出上頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；空2：設(shè)出直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出弦MN的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量共線定理進(jìn)行求解即可.【詳解】空1：因?yàn)橛医裹c(diǎn)為，所以有且，而，所以，因此橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：；空2：設(shè)直線MN的方程為：，由（1）可知：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，直線方程與橢圓方程聯(lián)立：，化簡(jiǎn)得：，設(shè)，線段的中點(diǎn)為，于是有：，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為：，因?yàn)榈闹匦那辄c(diǎn)，所以有，即，因此有：，得：，所以直線斜率為.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo)，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了三角形重心的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.6．分析：結(jié)合重心坐標(biāo)公式推導(dǎo)出弦中點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)，采用點(diǎn)差法，求出直線斜率，采用點(diǎn)斜式即可求出直線方程【詳解】由題可知，，，設(shè)，由重心坐標(biāo)得，所以弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，又在橢圓上，故，作差得將中點(diǎn)坐標(biāo)代入得，所以直線的方程為：，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查重心坐標(biāo)公式，點(diǎn)差法的應(yīng)用，點(diǎn)斜式的用法，屬于中檔題7．C分析：由已知可得直線的斜率，利用拋物線定義將用表示，再由，得出關(guān)系，再由為的重心，求出，即可求解.【詳解】由題意知，帶入得，即．由為的重心，則有，即，即，所以，因此有．故所在直線的斜率.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形重心公式，拋物線定義的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.8．C【詳解】如圖，由平行于軸得則所以的面積又由焦半徑公式，因此代入橢圓方程得故選C．9．分析：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，根據(jù)已知求出，再化簡(jiǎn)即得解.【詳解】解：不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，，，分別為與三邊的切點(diǎn)．由切線長(zhǎng)定理以及雙曲線的定義，得，∴，∴．設(shè)，由為的重心知，，則．∴，∴．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則．又，∴，∴．故答案為：10．【解析】首先找到特殊位置，即取P在上頂點(diǎn)時(shí)，內(nèi)心和重心都在y軸上，由于內(nèi)心和重心連線的斜率不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，可得：GI始終垂直于x軸，可得內(nèi)切圓半徑為y0，再利用等面積法列式解方程可得：.【詳解】當(dāng)直線IG的傾斜角不隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化時(shí)，取P特殊情況在上頂點(diǎn)時(shí)，內(nèi)切圓的圓心在y軸上，重心也在y軸上，由此可得不論P(yáng)在何處，GI始終垂直于x軸，設(shè)內(nèi)切圓與邊的切點(diǎn)分別為Q，N，A，如圖所示：設(shè)P在第一象限，坐標(biāo)為：（x0，y0）連接PO，則重心G在PO上，連接PI并延長(zhǎng)交x軸于M點(diǎn)，連接GI并延長(zhǎng)交x軸于N，則GN⊥x軸，作PE垂直于x軸交于E，可得重心G（，）所以I的橫坐標(biāo)也為，|ON|，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，PG=PA，F(xiàn)1Q=F1N，NF2=AF2，所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，由角平分線的性質(zhì)可得，所以可得OM，所以可得MN=ON﹣OM，所以ME=OE﹣OM=x0，所以，即INPEy0，（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），所以整理為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了內(nèi)心和重心的概念，考查了轉(zhuǎn)化思想和較強(qiáng)的計(jì)算能力，其方法為根據(jù)條件得到關(guān)于，，的齊次式，化簡(jiǎn)可得.本題屬于難題.11．A分析：設(shè)，求出重心的坐標(biāo)，利用中面積等積法可求出的關(guān)系，即可得橢圓離心率.【詳解】設(shè)為的重心，點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴IG∥x軸

∴I的縱坐標(biāo)為，在中，，，又∵I為△F1PF2的內(nèi)心，∴I的縱坐標(biāo)即為內(nèi)切圓半徑，內(nèi)心I把△F1PF2分為三個(gè)底分別為△F1PF2的三邊，高為內(nèi)切圓半徑的小三角形，，即，，∴橢圓C的離心率.故選：A12．或分析：設(shè)的方程為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合重心坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由列方程可求出，從而可求出直線的方程.【詳解】∵過(guò)點(diǎn)且斜率不為0，∴可設(shè)的方程為，設(shè)，，由得

∴，，∴，又∵，∴，即，∴，令，解得

∴直線的方程為或．故答案為：或．13．C【詳解】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，平面幾何知識(shí).拋物線的焦點(diǎn)設(shè)則又的重心是所以；根據(jù)三角形面積公式得，即則.故選C14．D分析：當(dāng)時(shí)，為的重心，連接并延長(zhǎng)至，使，當(dāng)在拋物線內(nèi)部時(shí)，設(shè)，利用“點(diǎn)差法”可證明總存在以為中點(diǎn)的弦，從而可得結(jié)果.【詳解】拋物線方程為為曲線上三點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為的重心，用如下辦法構(gòu)造，連接并延長(zhǎng)至，使，當(dāng)在拋物線內(nèi)部時(shí)，設(shè)，若存在以為中點(diǎn)的弦，設(shè)，則則，兩式相減化為，，所以總存在以為中點(diǎn)的弦，所以這樣的三角形有無(wú)數(shù)個(gè)，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算以及“點(diǎn)差法”的應(yīng)用，屬于難題.對(duì)于有弦關(guān)中點(diǎn)問(wèn)題常用“點(diǎn)差法”，其解題步驟為：①設(shè)點(diǎn)（即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)）；②代入（即代入圓錐曲線方程）；③作差（即兩式相減，再用平方差公式分解因式）；④整理（即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式），然后求解.15．【詳解】將代入橢圓方程，得，即．由，得，即．設(shè)點(diǎn)，，則，從而．因?yàn)榈闹匦脑谳S右側(cè)，點(diǎn)，則，所以，即．故答案為：．考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，計(jì)算量大、綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型.解決本題時(shí)可以采用消去未知數(shù)得到，降低計(jì)算量，再由．再由韋達(dá)定理得．又由的重心在軸右側(cè)的取值范圍是．16．C【解析】由題設(shè)條件及橢圓的定義，可得，進(jìn)而可得為等腰三角形，計(jì)算，由重心和中點(diǎn)的定義，，即得解【詳解】由于點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，又故為等腰三角形，以為底的高為：故故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.17．B分析：設(shè)出點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)F為△ABC的重心,可得三點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系,求出的表達(dá)式，最后根據(jù)每點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)關(guān)系即可求出答案.【詳解】設(shè),所以有拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,△ABC的重心坐標(biāo)為,由題意可知：,即.,所以.故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心坐標(biāo)公式,考查了三角形面積公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18．8分析：設(shè)，由題可得，，則得，又為的重心，故即可求解.【詳解】由橢圓方程得，，設(shè)，則有，所以，又，則得，所以得，又為的重心，故.故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，有關(guān)焦點(diǎn)三角形的面積計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.19．分析：結(jié)合題意表示出四點(diǎn)坐標(biāo)，再由重心坐標(biāo)公式即可求解【詳解】如圖：由題可知，，，則，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題20．B【詳解】試題分析：因?yàn)椋裕?，即，所以，故選B．考點(diǎn)：1．雙曲線的幾何性質(zhì)；2．共線向量的性質(zhì)．21．分析：設(shè)出A,B,F點(diǎn)的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式得到，，利用拋物線的定義得到，再利用弦長(zhǎng)公式得到|AB|,進(jìn)行整理即可得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)A,B,焦點(diǎn)F(1,0),的重心坐標(biāo)為,由重心坐標(biāo)公式可得,，即，，由拋物線的定義可得,由點(diǎn)在拋物線上可得，作差，化簡(jiǎn)得，代入弦長(zhǎng)公式得|AB|=，則，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線的定義和弦長(zhǎng)公式以及三角形重心坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.22．9分析：由題意可得出|AF|=a-ey1，|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），因?yàn)椤鰽BC的重心在原點(diǎn)O，所以，代入即可得出答案.【詳解】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），對(duì)于橢圓，，則，因?yàn)锳（x1，y1）在橢圓上，所以，所以，，則|AF|=a-ey1，同理|BF|=a-ey2，|CF|=a-ey3，|AF|+|BF|+|CF|=3a-e（y1+y2+y3），∵△ABC的重心在原點(diǎn)O，∴，又a=3，∴|AF|+|BF|+|CF|=9．故答案為：.23．或分析：設(shè)的方程為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合重心坐標(biāo)公式表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由列方程可求出，從而可求出直線的方程.【詳解】∵過(guò)點(diǎn)且斜率不為0，∴可設(shè)的方程為，設(shè)，，由得

∴，，∴，又∵，∴，即，∴，令，解得

∴直線的方程為或．故答案為：或．24．A分析：設(shè)點(diǎn)P（m，n），則設(shè)△PF1F2的重心G（x，y），則由三角形的重心坐標(biāo)公式可得x=，y=，解出m、n的解析式代入①化簡(jiǎn)可得所求．【詳解】由雙曲線的方程可得a=4，b=3，c=5，∴F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0）．設(shè)點(diǎn)P（m，n），則①．設(shè)△PF1F2的重心G（x，y）（y≠0），則由三角形的重心坐標(biāo)公式可得x=，y=，即m=3x，n=3y，代入①化簡(jiǎn)可得，故△PF1F2的重心G的軌跡方程是，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查用代入法求點(diǎn)的軌跡方程的方法，三角形的重心坐標(biāo)公式，找出點(diǎn)P（m，n）與重心G（x，y）的坐標(biāo)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．25．C分析：設(shè)，進(jìn)而用坐標(biāo)表示斜率即可解得各點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)一步可求橫坐標(biāo)，利用重心坐標(biāo)公式即可得解.【詳解】設(shè)則，得，同理，，三式相加得，故與前三式聯(lián)立，得，，，則.故所求重心的坐標(biāo)為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了解析幾何中常用的數(shù)學(xué)方法，集合問(wèn)題坐標(biāo)化，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，對(duì)學(xué)生的能力有一定的要求，屬于中檔題.26．A分析：根據(jù)內(nèi)心及重心的性質(zhì)，可知點(diǎn)距軸的距離為，再利用等面積法建立關(guān)于與的等式，再利用點(diǎn)在橢圓C上可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)距軸的距離為，因?yàn)?，則點(diǎn)距軸的距離為，連接，則，，所以，所以，所以橢圓方程為．故選：A27．C【解析】由題設(shè)條件及橢圓的定義，可得，進(jìn)而可得為等腰三角形，計(jì)算，由重心和中點(diǎn)的定義，，即得解【詳解】由于點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，又故為等腰三角形，以為底的高為：故故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.28．D【解析】設(shè)，由，可得．結(jié)合的重心坐標(biāo)，即可求得．【詳解】設(shè)，∵，則．∵的重心為，∴，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線定義的應(yīng)用及三角形的重心坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.29．B【詳解】為拋物線的焦點(diǎn)，所以.設(shè)由拋物線定義知：，解得.重心的橫坐標(biāo).故選B.30．C【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，計(jì)算，，得到，的方程為，聯(lián)立方程得到，，根據(jù)重心公式計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)?，反射光線的傾斜角為，所以，，可得，，即點(diǎn)，.將點(diǎn)代入（）中，得，解得或（舍去），所以拋物線的方程為，直線的方程為.設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立消去得，顯然，故.又因?yàn)?，所?設(shè)的重心坐標(biāo)為，所以，，所以的重心坐標(biāo)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)及直線與拋物線的位置關(guān)系、三角形的重心坐標(biāo)公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.31．C分析：根據(jù)，得到，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的定義得到，從