新高考高中數(shù)學(xué)核心知識點全透視專題8.5正弦定理、余弦定理(精講精析篇)(原卷版+解析)

專題8.5正弦定理、余弦定理（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)以幾何圖形為載體，通過考查正弦定理、余弦定理的（實際）應(yīng)用以及與立體幾何、平面解析幾何等知識的交匯，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).二、考試要求1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．三、主干知識梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．3．測量中的幾個有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ一、命題規(guī)律（1）正弦定理或余弦定理獨立命題；（2）正弦定理與余弦定理綜合命題；（3）與三角函數(shù)的變換結(jié)合命題；（4）考查較為靈活，題型多變，選擇題、填空題的形式往往獨立考查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應(yīng)用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時也會與平面向量、三角恒等變換、立體幾何等結(jié)合考查.二、真題展示1．（2023·全國·高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距2．（2023·湖南·高考真題）如圖，在中，，點D在BC邊上，且，，（1）求AC的長；（2）求的值.考點01正弦定理【典例1】（2023·山東·高考真題）在△中，，，，等于______．【典例2】（2023·全國高考真題（文））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.【總結(jié)提升】已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應(yīng)引起注意．已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解考點02余弦定理【典例3】（2023·全國·高考真題（理））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【典例4】（2023·全國高考真題（理））如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.【總結(jié)提升】應(yīng)用余弦定理解答兩類問題：考點03正弦定理與余弦定理的綜合運(yùn)用【典例5】（2023·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【典例6】（2023·北京高考真題）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【總結(jié)提升】應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時，有時可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷就用哪一個定理．考點04應(yīng)用正弦定理、余弦定理判定三角形形狀【典例7】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【規(guī)律方法】1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．2．無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范對三角函數(shù)值的限制．考點05與三角形面積有關(guān)的問題【典例8】(2023·全國高考真題（文））△的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則△的面積為________．【典例9】（2023·江蘇·高考真題）已知向量，，設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值;（2）在銳角中，三個角，，所對的邊分別為，，，若，，求的面積.【總結(jié)提升】1.求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．2．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解．(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用中，要注意三角函數(shù)公式的工具性作用．考點06與三角形周長有關(guān)的問題【典例10】（2023·重慶一中高三月考）中，，，，點，是邊上兩點，.（1）當(dāng)時，求的周長；（2）設(shè)，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求的值.【典例11】（2023·江西洪都中學(xué)高二月考（理））在中，，，所對的邊分別為，，且，．（1）求邊長；（2）若的面積．求的周長．【總結(jié)提升】應(yīng)用正弦定理、余弦定理，建立邊長的方程，是解答此類問題的基本方法，解答過程中，要注意整體代換思想的應(yīng)用，如果遇到確定最值問題，往往要結(jié)合均值定理求解.考點07三角形中的最值與范圍問題【典例12】（2023·陜西·高新一中高二月考（理））如圖，在四邊形中，，，.（1）求；（2）若，求周長的最大值.【典例13】（2023·全國高考真題（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.【典例14】（2023·全國高考真題（文））的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【總結(jié)提升】三角形中的最值范圍問題，往往有三種情況，一是轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問題，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二是利用基本不等式求最值，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤；三是利用函數(shù)的單調(diào)性.考點08應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決實際問題【典例15】【多選題】（2023·湖北·武漢中學(xué)高二月考）共和國勛章，是中華人民共和國最高榮譽(yù)勛章，授予在中國特色社會主義建設(shè)和保衛(wèi)國家中作出巨大貢獻(xiàn)?建立卓越功勛的杰出人士.2020年8月11日，國家主席習(xí)近平簽署主席令，授予鐘南山“共和國勛章”.某市為表彰在抗疫中表現(xiàn)突出的個人，制作的榮譽(yù)勛章的掛墜結(jié)構(gòu)示意圖如圖，為圖中兩個同心圓的圓心，三角形中，，大圓半徑，小圓半徑，記為三角形與三角形的面積之和，其中，，當(dāng)取到最大值時，則下列說法正確的是（）A．的最大值是 B．的最大值是C． D．【典例16】（2023·河南·高三月考（文））據(jù)氣象部門報道今年第14號臺風(fēng)“燦都”于9月12日起陸續(xù)影響我國東南沿海一帶，13日5時，測定臺風(fēng)中心位于某市南偏東距離該市千米的位置，預(yù)計臺風(fēng)中心以千米/小時的速度向正北方向移動，離臺風(fēng)中心千米的范圍都會受到臺風(fēng)影響，則該市從受到臺風(fēng)影響到影響結(jié)束，持續(xù)的時間為_______________________．【典例17】（2023·海南高一期中）在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距處海里的處有一艘走私船.在處北偏西方向，距處海里的處的我方緝私船奉命以海里小時的速度追截走私船，此時走私船正以海里小時的速度從處向北偏東方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間.【總結(jié)提升】1.測量距離問題，歸納起來常見的命題角度有：（1）兩點都不可到達(dá)；（2）兩點不相通的距離；（3）兩點間可視但有一點不可到達(dá).2.求解高度問題的三個關(guān)注點(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．3.（1）測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．提醒：方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．（2）解決角度問題的注意事項=1\*GB3①測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．=2\*GB3②求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值．=3\*GB3③在解應(yīng)用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點．鞏固提升1.（2023·遼寧沈陽·高三月考）在中，內(nèi)角所對的邊分別為的面積為若，則的形狀一定是（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．銳角三角形2．（2023·全國高考真題（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A． B．2 C．4 D．83．（2023·全國高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A． B． C． D．4．(2023·全國高考真題（理））在中，,BC=1,AC=5，則AB=（）A． B． C． D．5．（2023·全國高考真題（文））△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=（）A．6 B．5 C．4 D．36．（2023·浙江·高考真題）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明.弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).若直角三角形直角邊的長分別是3，4，記大正方形的面積為，小正方形的面積為，則___________.7.（2023·江蘇省高考真題）在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．8．（2023·江蘇高考真題）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．9．（2023·北京·高考真題）在中，，．（1）求；（2）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線的長．條件①：；條件②：的周長為；條件③：的面積為；10．（2023·山東海南省高考真題）在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．專題8.5正弦定理、余弦定理（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)以幾何圖形為載體，通過考查正弦定理、余弦定理的（實際）應(yīng)用以及與立體幾何、平面解析幾何等知識的交匯，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).二、考試要求1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2.能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．三、主干知識梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)．3．測量中的幾個有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角θ的范圍是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ一、命題規(guī)律（1）正弦定理或余弦定理獨立命題；（2）正弦定理與余弦定理綜合命題；（3）與三角函數(shù)的變換結(jié)合命題；（4）考查較為靈活，題型多變，選擇題、填空題的形式往往獨立考查正弦定理或余弦定理，解答題往往綜合考查定理在確定三角形邊角中的應(yīng)用，多與三角形周長、面積有關(guān)；有時也會與平面向量、三角恒等變換、立體幾何等結(jié)合考查.二、真題展示1．（2023·全國·高考真題（理））魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距答案：A分析：利用平面相似的有關(guān)知識以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.2．（2023·湖南·高考真題）如圖，在中，，點D在BC邊上，且，，（1）求AC的長；（2）求的值.答案：（1）（2）分析：（1）由已知利用余弦定理直接求解．（2）利用，結(jié)合兩角差的正弦公式即可得解．【詳解】（1），，，在中，由余弦定理得，（2），所以，又由題意可得，考點01正弦定理【典例1】（2023·山東·高考真題）在△中，，，，等于______．答案：分析：由和角正弦公式求函數(shù)值，再應(yīng)用正弦定理求即可.【詳解】，由正弦定理可知，，∴.故答案為：【典例2】（2023·全國高考真題（文））的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知bsinA+acosB=0，則B=___________.答案：.【解析】由正弦定理，得．，得，即，故選D．【總結(jié)提升】已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應(yīng)引起注意．已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況．如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解考點02余弦定理【典例3】（2023·全國·高考真題（理））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．答案：分析：由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.【典例4】（2023·全國高考真題（理））如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.答案：【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，，在中，，，，由余弦定理得.故答案為：.【總結(jié)提升】應(yīng)用余弦定理解答兩類問題：考點03正弦定理與余弦定理的綜合運(yùn)用【典例5】（2023·天津·高考真題）在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．答案：（I）；（II）；（III）分析：（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因為，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.【典例6】（2023·北京高考真題）在中，，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．答案：選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【解析】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）【總結(jié)提升】應(yīng)熟練掌握正、余弦定理及其變形．解三角形時，有時可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷就用哪一個定理．考點04應(yīng)用正弦定理、余弦定理判定三角形形狀【典例7】在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，則△ABC的形狀為()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形答案：D【解析】因為c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinB·cosA，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC為等腰或直角三角形．【規(guī)律方法】1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁．2．無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能．注意挖掘隱含條件，重視角的范對三角函數(shù)值的限制．考點05與三角形面積有關(guān)的問題【典例8】(2023·全國高考真題（文））△的內(nèi)角的對邊分別為，已知，，則△的面積為________．答案：.【解析】因為，結(jié)合正弦定理可得，可得，因為，結(jié)合余弦定理，可得，所以為銳角，且，從而求得，所以的面積為，故答案是.【典例9】（2023·江蘇·高考真題）已知向量，，設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值;（2）在銳角中，三個角，，所對的邊分別為，，，若，，求的面積.答案：（1）；（2）.分析：（1）結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算、二倍角公式和輔助角公式，可得，進(jìn)而可得的最大值；（2）由銳角，推出，再結(jié)合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面積公式得解．【詳解】（1）因為，，所以函數(shù)∴當(dāng)時，（2）∵為銳角三角形，.又即【總結(jié)提升】1.求三角形面積的方法(1)若三角形中已知一個角(角的大小或該角的正、余弦值)，結(jié)合題意求解這個角的兩邊或該角的兩邊之積，代入公式求面積．(2)若已知三角形的三邊，可先求其一個角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵．2．已知三角形面積求邊、角的方法(1)若求角，就尋求夾這個角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解．(2)若求邊，就尋求與該邊(或兩邊)有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用中，要注意三角函數(shù)公式的工具性作用．考點06與三角形周長有關(guān)的問題【典例10】（2023·重慶一中高三月考）中，，，，點，是邊上兩點，.（1）當(dāng)時，求的周長；（2）設(shè)，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求的值.答案：（1）（2）或分析：（1）在中，由余弦定理求得，從而可得，從而可求得，即可得出答案；（2）在中，利用正弦定理求得，在中，利用正弦定理求得，再根據(jù)的面積結(jié)合正弦函數(shù)得性質(zhì)即可得出答案.（1）解：∵，，，∴，∴，在中，由余弦定理可得，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴的周長為；（2）解：在中，，由得，又在中，由，得，所以，由得，∵，所以，所以或所以或.【典例11】（2023·江西洪都中學(xué)高二月考（理））在中，，，所對的邊分別為，，且，．（1）求邊長；（2）若的面積．求的周長．答案：（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得：，可得，因為，可得，所以，又由，可得，又因為，解得．（2）由題意，的面積，，解得，由余弦定理，可得，解得或（舍去），所以的周長．【總結(jié)提升】應(yīng)用正弦定理、余弦定理，建立邊長的方程，是解答此類問題的基本方法，解答過程中，要注意整體代換思想的應(yīng)用，如果遇到確定最值問題，往往要結(jié)合均值定理求解.考點07三角形中的最值與范圍問題【典例12】（2023·陜西·高新一中高二月考（理））如圖，在四邊形中，，，.（1）求；（2）若，求周長的最大值.答案：（1）（2）12分析：（1）在中，利用正弦定理可求得結(jié)果；（2）在中，由余弦定理可求得，在中，，設(shè)，由余弦定理得，即，利用基本不等式求得，進(jìn)而求出周長的最大值.（1）在中，，且利用正弦定理得：，又為鈍角，為銳角，（2）在中，由余弦定理得故解得：或（舍去）在中，，設(shè)由余弦定理得，即整理得：，又利用基本不等式得：，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即，所以所以周長的最大值為12【典例13】（2023·全國高考真題（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周長的最大值.答案：（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得：，，，.（2）由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），周長，周長的最大值為.【典例14】（2023·全國高考真題（文））的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．答案：(1);(2).【解析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得.，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應(yīng)用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是【總結(jié)提升】三角形中的最值范圍問題，往往有三種情況，一是轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問題，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；二是利用基本不等式求最值，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤；三是利用函數(shù)的單調(diào)性.考點08應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決實際問題【典例15】【多選題】（2023·湖北·武漢中學(xué)高二月考）共和國勛章，是中華人民共和國最高榮譽(yù)勛章，授予在中國特色社會主義建設(shè)和保衛(wèi)國家中作出巨大貢獻(xiàn)?建立卓越功勛的杰出人士.2020年8月11日，國家主席習(xí)近平簽署主席令，授予鐘南山“共和國勛章”.某市為表彰在抗疫中表現(xiàn)突出的個人，制作的榮譽(yù)勛章的掛墜結(jié)構(gòu)示意圖如圖，為圖中兩個同心圓的圓心，三角形中，，大圓半徑，小圓半徑，記為三角形與三角形的面積之和，其中，，當(dāng)取到最大值時，則下列說法正確的是（）A．的最大值是 B．的最大值是C． D．答案：BD分析：根據(jù)已知條件可以得出，所以它們面積相等，所以要求，只需求一個三角形的面積，根據(jù)的范圍，可以表示出或者的范圍，即可求出或者的范圍，從而求出的范圍，得到最大值；易得是的垂直平分線，延長與交于，可求出，的長度，從而得到與的比例關(guān)系，而，從而求出和的值．【詳解】解：延長，交線段于點；設(shè)，則，，，則，故當(dāng)時，有最大值為，故A錯誤，B正確；當(dāng)時，，則，又，，，，；故C錯誤，D正確．故選：BD．【典例16】（2023·河南·高三月考（文））據(jù)氣象部門報道今年第14號臺風(fēng)“燦都”于9月12日起陸續(xù)影響我國東南沿海一帶，13日5時，測定臺風(fēng)中心位于某市南偏東距離該市千米的位置，預(yù)計臺風(fēng)中心以千米/小時的速度向正北方向移動，離臺風(fēng)中心千米的范圍都會受到臺風(fēng)影響，則該市從受到臺風(fēng)影響到影響結(jié)束，持續(xù)的時間為_______________________．答案：小時小時分析：根據(jù)給定信息畫出圖形，再借助余弦定理結(jié)合已知列出不等式求解即得.【詳解】如圖，A為某市的位置，是臺風(fēng)中心在13日5時的位置，設(shè)臺風(fēng)運(yùn)動小時后的位置為，則，又，在中，由余弦定理得：，由，解得，于是得(小時)，所以該市從受到臺風(fēng)影響到影響結(jié)束，持續(xù)的時間為小時.故答案為：小時【典例17】（2023·海南高一期中）在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向，距處海里的處有一艘走私船.在處北偏西方向，距處海里的處的我方緝私船奉命以海里小時的速度追截走私船，此時走私船正以海里小時的速度從處向北偏東方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間.答案：緝私船應(yīng)沿北偏東的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要分鐘.【解析】如圖，設(shè)緝私船應(yīng)沿方向行駛小時，才能最快截獲走私船（在點），則海里，海里，在中，由余弦定理，得，解得.又，，，故點在點的正東方向上，，在中，由正弦定理，得，.，緝私船沿北偏東的方向行駛.又在中，，，，，即，解得小時分鐘.緝私船應(yīng)沿北偏東的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要分鐘.【總結(jié)提升】1.測量距離問題，歸納起來常見的命題角度有：（1）兩點都不可到達(dá)；（2）兩點不相通的距離；（3）兩點間可視但有一點不可到達(dá).2.求解高度問題的三個關(guān)注點(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．3.（1）測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解．提醒：方向角是相對于某點而言的，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一個點的方向角．（2）解決角度問題的注意事項=1\*GB3①測量角度時，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．=2\*GB3②求角的大小時，先在三角形中求出其正弦或余弦值．=3\*GB3③在解應(yīng)用題時，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點．鞏固提升1.（2023·遼寧沈陽·高三月考）在中，內(nèi)角所對的邊分別為的面積為若，則的形狀一定是（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．銳角三角形答案：C分析：利用面積公式結(jié)合條件求解。【詳解】因為.所以，所以的形狀一定是等腰三角形.故選：C2．（2023·全國高考真題（文））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則tanB=（）A． B．2 C．4 D．8答案：C【解析】設(shè)故選：C3．（2023·全國高考真題（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A． B． C． D．答案：A【解析】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得，即由故.故選：A.4．(2023·全國高考真題（理））在中，,BC