2024河南中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第五章 第三節(jié) 四邊形中的三角形問題 課件

四邊形中的三角形問題第三節(jié)考情及趨勢分析命題點(diǎn)借助三角形解決特殊四邊形問題(9年14考)考情分析年份題號題型分值背景設(shè)問涉及三角形的知識點(diǎn)202323(3)解答題2平行四邊形求線段長三角形的中位線20225選擇題3菱形求菱形的周長中位線202223解答題10矩形、正方形(1)求角度；(2)求角度，判斷角度之間的數(shù)量關(guān)系；(3)求線段長銳角三角函數(shù)，全等，勾股定理20219選擇題3平行四邊形結(jié)合平面直角坐標(biāo)系求點(diǎn)坐標(biāo)相似，勾股定理考情分析年份題號題型分值背景設(shè)問涉及三角形的知識點(diǎn)202110選擇題3矩形求線段長勾股定理202014填空題3正方形求線段長全等，中位線，勾股定理202023解答題11正方形判斷三角形的形狀、求線段的比值相似，勾股定理201915填空題3矩形求字母的值相似，勾股定理20189選擇題3平行四邊形求點(diǎn)坐標(biāo)勾股定理201810選擇題3菱形求字母的值勾股定理考情分析年份題號題型分值背景設(shè)問涉及三角形的知識點(diǎn)20179選擇題3正方形、平行四邊形求點(diǎn)坐標(biāo)銳角三角函數(shù)201610選擇題3平行四邊形求角度三角形的邊角關(guān)系20157選擇題3平行四邊形結(jié)合尺規(guī)作圖求線段長勾股定理201515填空題3正方形(折疊)求線段長勾股定理一題串講重難點(diǎn)例1已知四邊形ABCD.(1)如圖①，若四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，連接CE，CF，點(diǎn)G，H分別為CE，CF的中點(diǎn)，若AB＝2，求GH的長；例1題圖①(1)解：如圖，連接EF，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，四邊形ABCD為正方形，∴AE＝AF＝

AB＝，∠A＝90°，例1題圖①在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得，EF＝＝2，在△CEF中，∵點(diǎn)G，H分別為CE，CF的中點(diǎn)，∴GH＝

EF＝1；【涉及三角形的知識點(diǎn)】①中位線②勾股定理(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AD∥BC，連接AC，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，連接BO并延長交AD于點(diǎn)E，連接CE，且BE⊥AC.①求證：四邊形ABCE為菱形；例1題圖②①證明：∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∴AO＝CO，∵AD∥BC，EO的延長線恰好過點(diǎn)B，∴∠AEO＝∠CBO，在△AEO和△CBO中，例1題圖②∴△AEO≌△CBO(AAS)，∴AE＝CB，又∵AD∥BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∵BE⊥AC，∴OE為AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∴?ABCE為菱形；②過點(diǎn)E作EF⊥AD交AC于點(diǎn)F，若∠BAC＝30°，求∠CFE的度數(shù)；例1題圖②②解：由①知，四邊形ABCE為菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠BCA＝∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠BCA＝30°.∵EF⊥AD，∴∠AEF＝90°，∴∠CFE＝∠AEF＋∠DAC＝120°；【涉及三角形的知識點(diǎn)】①全等三角形②垂直平分線③三角形的內(nèi)外角關(guān)系(3)(2023.10考法)如圖③，已知AB＝BC，AD＝CD，連接AC，BD，E為BD的中點(diǎn)，連接CE，過點(diǎn)E作EF∥AB交BC于點(diǎn)F.①求證：BD垂直平分AC；例1題圖③①證明：在△ABD和△CBD中，

，∴△ABD≌△CBD(SSS)，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD為∠ADC的平分線，∵AD＝CD，∴BD垂直平分AC；②(2021.15考法)若∠DAB＝∠BCD＝∠CEF＝90°，AD＝4，求AB的長；例1題圖③②解：如圖，延長CE交AB于點(diǎn)G，∵EF∥AB，∴∠EGB＝∠CEF＝90°，∵∠DAB＝90°，∴EG∥AD，∵點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，∴EG為△ABD的中位線，∴EG＝

AD＝2，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，在Rt△CBG中，BG＝

AB＝

BC，∴∠BCG＝30°，G在Rt△BCD中，∵點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，∴CE＝BE，∴∠CBE＝∠BCG＝30°，∴∠BEG＝∠CBE＋∠BCG＝60°，在Rt△EGB中，BG＝EG·tan∠BEG＝2，∴AB＝2BG＝4；例1題圖③G【涉及三角形的知識點(diǎn)】①等腰三角形“三線合一”②中位線③直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半④銳角三角函數(shù)⑤斜邊上的中線等于斜邊的一半(4)如圖④，四邊形ABCD

為矩形，E為BC邊上的一點(diǎn)，P為BC邊一動點(diǎn)，AB＝4，BC＝6.①(2021.10考法)若E為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿BC從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C，連接AP，求PA－PE的最大值；例1題圖④①解：如圖，連接AE，在△APE中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知PA－PE＜AE，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PA－PE＝AE，此時(shí)PA－PE取得最大值，最大值為AE，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B＝90°，∵AB＝4，BE＝

BC＝3，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理得，AE＝＝5，∴PA－PE的最大值為5；例1題圖④②(2022.15考法)若EF⊥BC交AD于點(diǎn)F，BP＝

BE，點(diǎn)B關(guān)于AP的對稱點(diǎn)B′落在EF上，求BE的長．②解：如解圖，連接AB′，由對稱的性質(zhì)得，∠AB′P＝∠B＝90°，B′P＝BP＝

BE，AB′＝AB＝4，∴∠PB′E＋∠AB′F＝90°，∵∠B′AF＋∠AB′F＝90°，∴∠PB′E＝∠B′AF，∵EF⊥BC，∠FAB＝∠B＝90°，∴四邊形ABEF為矩形，∴AF＝BE，∠PEB′＝∠AFB′＝90°，例1題解圖例1題圖④∴△PB′E∽△B′AF，∴＝

，設(shè)BE＝x，則BP＝

BE＝

x，∴PE＝BE－BP＝x－

x＝

x，B′P＝BP＝

x，在Rt△PEB′中，B′E＝＝

x，由

＝

，得

.解得x＝0(舍去)或x＝

，∴BE＝

.例1題解圖

解題關(guān)鍵點(diǎn)連接AB′，PB′，證得△PB′E∽△B′AF，結(jié)合勾股定理求解．【涉及三角形的知識點(diǎn)】①三角形三邊關(guān)系②相似三角形③勾股定理

解題有策略四邊形中的三角形問題[9年14考]考情特點(diǎn)：以特殊四邊形為背景，核心解題方法涉及三角形全等、相似、銳角三角函數(shù)、勾股定理等．解題策略：1.勾股定理：當(dāng)題干中給出線段長和線段垂直(90°)或隱含的直角時(shí)，考慮利用勾股定理求解；注：隱含的垂直有：(1)矩形、正方形中的四個(gè)角均為90°；(2)菱形、正方形的對角線互相垂直；(3)直徑對直角．2．銳角三角函數(shù)：(1)已知特殊角(30°，45°，60°)或三角函