北師大版初中九年級數(shù)學(xué)上冊第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件第2課時相似三角形的判定定理2課件

第四章圖形的相似4探索三角形相似的條件第2課時相似三角形的判定定理2基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點3相似三角形的判定定理21.(教材變式·P92隨堂練習(xí))(2023山東濟南市中期中)如圖,已

知△ABC,則下列4個三角形中,與△ABC相似的是

(

)

D解析由題圖可知AB=AC=6,∠B=75°,∴∠C=75°,∴∠A=30°,根據(jù)“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”可知D

中三角形與△ABC相似.2.(易錯題)(教材變式·P93T3)(2024河北石家莊長安期末)如圖,已知∠1=∠2,點D在BC上,添加下列條件后,仍無法判定△ABC∽△ADE的是

(

)

A.∠B=∠ADE

B.∠2=∠EDCC.

=

D.

=

D易錯警示

有兩邊成比例和一角相等的時候,一定要注意相等的角是不是成比例的兩邊的夾角.解析A.∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE,

又∠B=∠ADE,∴△ABC∽△ADE,故本選項不符合題意;B.∵∠2=∠EDC,∠AFE=∠DFC,∴∠E=∠C,又∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE,故本選項不符合題意;C.∵∠BAC=∠DAE,

=

,∴△ABC∽△ADE,故本選項不符合題意;D.∠BAC=∠DAE,

=

,∠BAC不是AB,BC的夾角,∠DAE不是AD,DE的夾角,∴不能推出△ABC∽△ADE,故本選項符

合題意.故選D.3.(2024河南鄧州期末)如圖,比例規(guī)是伽利略發(fā)明的一種畫

圖工具,使用它可以把線段按一定的比例伸長或縮短.它是由

長度相等的兩腳AD和BC交叉構(gòu)成的.如果把比例規(guī)的兩腳

合上,使螺絲釘固定在刻度3的地方(即同時使OA=3OD,OB=3

OC),然后張開兩腳,使A,B兩個尖端分別在線段l的兩個端點

上,若量得CD的長度,便可知AB的長度.本題依據(jù)的主要數(shù)學(xué)

原理是

(

)

CA.各角分別相等,各邊成比例的兩個多邊形相似B.兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等C.兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似D.平行線分線段成比例解析

∵OA=3OD,OB=3OC,∴OA∶OD=OB∶OC=3∶1,∵∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△DOC.故選C.4.(2024云南文山期末)如圖,在△ABC中,點D、E分別在邊

AC、AB上,且AD·AC=AE·AB.求證:△ADE∽△ABC.

證明∵AD·AC=AE·AB,∴

=

,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.5.如圖,在△ABC中,D、E分別是AC、BC邊上的點,BC=6,AC

=4,CE=2,AD=1.求證:△ABC∽△EDC.

證明∵AC=4,AD=1,∴CD=AC-AD=4-1=3,又∵BC=6,CE=2,∴

=

=2,

=

=2,∴

=

,又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△EDC.6.如圖,在正方形ABCD中,P是BC上的點,且BP=3PC,Q是CD

的中點,求證:△ADQ∽△QCP.

證明設(shè)正方形的邊長為4a,則AD=CD=BC=4a.∵Q是CD的

中點,BP=3PC,BC=BP+PC,∴DQ=CQ=2a,PC=a.∴

=

=2.又∵∠D=∠C=90°,∴△ADQ∽△QCP.能力提升全練7.(新考法)(2024安徽亳州利辛期末,8,★★☆)如圖,在三角形紙片ABC中,AB=6,BC=8,AC=4.選項中沿虛線剪下的陰影部分的三角形與△ABC相似的是

(

)

B解析在三角形紙片ABC中,AB=6,BC=8,AC=4.A.∵∠B=∠B,

=

=

,

=1,

≠1,∴沿虛線剪下的陰影部分的三角形與△ABC不相似,故此選項錯誤;B.∵

=

,

=

,∴

=

,又∵∠C=∠C,∴沿虛線剪下的陰影部分的三角形與△ABC相似,故此選項正確;C.∵∠A=∠A,

=

,

=

=

,

≠

,∴沿虛線剪下的陰影部分的三角形與△ABC不相似,故此選項錯誤;D.∵∠B=∠B,

=

=

,

=

,

≠

,∴沿虛線剪下的陰影部分的三角形與△ABC不相似,故此選項錯誤.故選B.8.(2024河南原陽期中,13,★★☆)如圖,在△ABC中,D為BC上

一點,BC=

AB=3BD,則AD∶AC的值為

.

解析∵BC=

AB=3BD,∴

=

=

,∵∠B=∠B,∴△ABC∽△DBA,∴

=

=

,∴AD∶AC=

=

.9.(分類討論思想)(2023四川綿陽中學(xué)月考,16,★★☆)如圖,

平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A(4,0)和點B(0,3),C是AB的中

點,點P在x軸上,若以P、A、C為頂點的三角形與△AOB相

似,那么點P的坐標(biāo)是

.

(2,0)或

解析∵點A(4,0)和點B(0,3),∴OA=4,OB=3,∴AB=5,∵C是

AB的中點,∴AC=2.5.設(shè)P(x,0),由題意可知點P在點A的左側(cè),∴AP=4-x,∵以P、A、C為頂點的三角形與△AOB相似,∴有

兩種情況.當(dāng)△APC∽△AOB時,

=

,即

=

,解得x=2,∴P(2,0);當(dāng)△ACP∽△AOB時,

=

,即

=

,解得x=

,∴P

.綜上可知,點P的坐標(biāo)為(2,0)或

.10.(2024河南許昌二中月考,13,★★☆)如圖,在正方形網(wǎng)格中,∠1+∠2+∠3=

度.90解析令BC=1,易知AB=

,BD=2,∴

=

=

,

=

,∴

=

,又∠ABD=∠CBA,∴△ABC∽△DBA,∴∠BAC=∠3,∴∠2+∠3=∠2+∠BAC=∠1=45°,∴∠1+∠2+∠3=90°.故答

案為90.11.(2024湖南岳陽期末改編,22,★★☆)如圖,△ADE與△ABC

有公共頂點A,△ADE∽△ABC.圖中可以用字母表示的三角

形中,是否有其他的相似三角形?如果有,請說明理由.

解析有,△ABD∽△ACE.理由:∵△ADE∽△ABC,∴∠BAC=∠DAE,

=

,∴

=

,∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.12.(2024江蘇南京鼓樓期末,21,★★☆)如圖,BD,CE是△ABC

的兩條高,它們相交于點F,連接DE.(1)求證:△ADE∽△ABC.(2)下列結(jié)論中,所有正確結(jié)論的序號是

.①△ABD∽△ACE;②△EBF∽△DCF;③△BEC∽△CDB;④△DEF∽△CBF.

解析

(1)證明:∵BD,CE是△ABC的高,∴∠AEC=∠ADB=90°,∵∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE,∴

=

,∴

=

,又∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC.(2)∵∠AEC=∠ADB=90°,∠A=∠A,∴△ABD∽△ACE.∵∠BEF=∠CDF=90°,∠BFE=∠CFD,∴△EBF∽△DCF.在△BEC與△CDB中只有∠BEC=∠CDB=90°,故不能判定△BEC∽△CDB.∵△EBF∽△DCF,∴

=

,∴

=

,∵∠DFE=∠BFC,∴△DEF∽△CBF.故答案為①②④.素養(yǎng)探究全練13.(推理能力)如圖,已知∠MON=90°,A是∠MON內(nèi)部的一點,

連接OA,過點A作AB⊥ON,垂足為B,AB=3cm,OB=4cm,動點

E,F同時從點O出發(fā),點E以1.5cm/s的速度沿ON方向運動,點

F以2cm/s的速度沿OM方向運動,EF與OA交于點C.當(dāng)點E到

達(dá)點B時,兩點均停止運動.設(shè)運動時間為t(t>0)s.(1)當(dāng)t=1時,△EOF與△ABO是否相似?請說明理由.(2)在運動過程中,無論t取何值時,總有EF⊥OA,為什么?解析

(1)相似.理由如下:當(dāng)t=1時,OE=1.5cm,OF=2cm.∵AB=3cm,OB=4cm,∴

=

=

.又∵∠EOF=∠