第五節(jié)　古典概型與事件的相互獨(dú)立性-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第五節(jié)古典概型與事件的相互獨(dú)立性第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期課件使用說(shuō)明01本課件使Office2016制作，請(qǐng)使用相應(yīng)軟件打開(kāi)并使用使用軟件02本課件理科公式均采用微軟公式制作，如果您是Office2007或WPS

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1.結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡(jiǎn)單

隨機(jī)事件的概率.

2.能夠結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性

的含義.

3.能夠結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率.必備知識(shí)自主梳理內(nèi)容索引關(guān)鍵能力重點(diǎn)探究課時(shí)作業(yè)鞏固提升必備知識(shí)自主梳理

有限可能性相等

P

(

A

)

P

(

B

)

P

(

B

)

P

(

A

)

P

(

B

)

3.與相互獨(dú)立事件

A

，

B

有關(guān)的概率的計(jì)算公式如下表：事件

A

，

B

相互獨(dú)立概率計(jì)算公式

A

，

B

同時(shí)發(fā)生

P

(

AB

)＝

P

(

A

)

P

(B)

A

，

B

同時(shí)不發(fā)生

A

，

B

至少有一個(gè)不發(fā)生

P

＝1－

P

(

AB

)＝1－

P

(

A

)

P

(B)

A

，

B

至少有一個(gè)發(fā)生事件

A

，

B

相互獨(dú)立概率計(jì)算公式

A

，

B

恰有一個(gè)發(fā)生[小題診斷]1.一個(gè)電路上裝有甲、乙兩根保險(xiǎn)絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的

概率為0.74.甲、乙兩根保險(xiǎn)絲熔斷與否相互獨(dú)立，則兩根保險(xiǎn)絲都熔斷

的概率為(

B

)A.1B.0.629C.0D.0.74或0.85由題意知甲、乙兩根保險(xiǎn)絲熔斷與否相互獨(dú)立，∴甲、乙兩根保險(xiǎn)絲都

熔斷的概率為0.85×0.74＝0.629.B2.在8件同一型號(hào)的產(chǎn)品中，有3件次品，5件合格品，現(xiàn)不放回地從中

依次抽取2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是

(

D

)

D3.一個(gè)盒子里裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4張卡片，隨機(jī)地抽取2張，則取

出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是

?.

關(guān)鍵能力重點(diǎn)探究

考點(diǎn)一

古典概型

(1)(2021·全國(guó)甲卷)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相

鄰的概率為(

C

)例1

C(2)(2019·全國(guó)Ⅰ卷)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化.每一

“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻

“—

—”，如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰

有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是(

A

)A

方法總結(jié)跟蹤訓(xùn)練1.(2020·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)

O

為正方形

ABCD

的中心，在

O

，

A

，

B

，

C

，

D

中

任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為(

A

)A

2.在3張卡片上分別寫上3位同學(xué)的學(xué)號(hào)后，再把卡片隨機(jī)分給這3位同

學(xué)，每人1張，則恰有1位學(xué)生分到寫有自己學(xué)號(hào)卡片的概率為(

C

)法一：設(shè)三位同學(xué)分別為A，B，C，他們的學(xué)號(hào)分別為1，2，3.用有序?qū)崝?shù)列表示三人拿到的卡片種類，如(1，3，2)表示A同學(xué)拿到1

號(hào)，B同學(xué)拿到3號(hào)，C同學(xué)拿到2號(hào).C三人可能拿到的卡片結(jié)果為(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，

1)，(3，1，2)，(3，2，1)，共6種，

考點(diǎn)二

事件獨(dú)立性的判斷

(2021·新高考Ⅰ卷)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則(

B

)例2BA.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立依題意，有放回地隨機(jī)取兩次，共有36種不同結(jié)果：(1，1)，(1，2)，

(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，

5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，

(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，

4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).

丁事件包含(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)，共6個(gè)基

本事件.丙事件包含(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，共5個(gè)基本事件.易知“甲、丙同時(shí)發(fā)生”的基本事件為0個(gè)，“丙、丁同時(shí)發(fā)生”的基

本事件為0個(gè)，“乙、丙同時(shí)發(fā)生”的基本事件為(6，2)，共1個(gè)，

∴乙、丙不相互獨(dú)立.同理可知“甲、丁同時(shí)發(fā)生”的基本事件為(1，6)，

∴

P

(甲丁)＝

P

(甲)·

P

(丁)，∴甲與丁相互獨(dú)立.判斷兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的兩種方法1.根據(jù)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，直觀上看一事件的發(fā)生是否影響另一事件發(fā)生的

概率來(lái)判斷，若沒(méi)有影響，則兩個(gè)事件就是相互獨(dú)立事件.2.定義法：通過(guò)式子

P

(

AB

)＝

P(

A

)P

(B)來(lái)判斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，

若上式成立，則事件

A

，

B

相互獨(dú)立，這是定量判斷.方法總結(jié)跟蹤訓(xùn)練3.判斷下列事件是否為相互獨(dú)立事件.(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中

各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選

出1名女生”；解：(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對(duì)“從乙組中選

出1名女生”這一事件是否發(fā)生沒(méi)有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件.(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，

取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白

球”.

設(shè)“甲、乙兩球都落入盒子”為事件

A

，

設(shè)“甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子”為事件

B

，

求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的步驟1.首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的.2.確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生.3.求出每個(gè)事件的概率，再求積.

特別提醒：使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公

式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們可同時(shí)發(fā)生.方法總結(jié)跟蹤訓(xùn)練4.(2024·山東煙臺(tái)模擬)某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)

題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪.

假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果

相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等

于

?.0.128

根據(jù)題意，記該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪為事件

A

，若該

選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪，必有第二個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，第

三、四個(gè)問(wèn)題回答正確，第一個(gè)問(wèn)題可對(duì)可錯(cuò)，由此分兩類，第一個(gè)答

錯(cuò)與第一個(gè)答對(duì)；由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，可得

P

(

A

)＝0.8×0.2×0.8×0.8＋

0.2×0.2×0.8×0.8＝0.128.課時(shí)作業(yè)鞏固提升

[A組

基礎(chǔ)保分練]1.(多選)下列試驗(yàn)是古典概型的是(

BD

)A.在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率B.口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取

一球?yàn)榘浊虻母怕蔆.向一個(gè)圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率D.老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人做典型發(fā)言，甲被選中的概率BD12345678910111213141516171819C項(xiàng)，向一個(gè)圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率，不符合

有限性；D項(xiàng)，老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人的事件有限，甲、乙、丙

被選中的概率是等可能的.A項(xiàng)，在適宜的條件下種一粒種子，發(fā)芽的概率，不符合等可能性；B項(xiàng)，從中任取一球的事件有限，且任取一球?yàn)榘浊蚧蚝谇虻母怕适堑?/p>

可能的；123456789101112131415161718192.(多選)下列各對(duì)事件中，

M

，

N

是相互獨(dú)立事件的有(

CD

)A.擲1枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件

M

＝“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件

N

＝“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”B.袋中有5個(gè)紅球，5個(gè)黃球，除顏色外完全相同，依次不放回地摸兩

次，事件

M

＝“第1次摸到紅球”，事件

N

＝“第2次摸到紅球”C.分別拋擲2枚相同的硬幣，事件

M

＝“第1枚為正面”，事件

N

＝“兩

枚結(jié)果相同”D.一枚硬幣擲兩次，事件

M

＝“第一次為正面”，事件

N

＝“第二次

為反面”CD12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718193.(2024·江蘇南京模擬)將3名男生1名女生共4名同學(xué)分配到甲、乙、丙

三個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐，每個(gè)社區(qū)至少一名同學(xué)，則恰好一名女生和一

名男生分到甲社區(qū)的概率是(

D

)

D123456789101112131415161718194.(2024·浙江杭州模擬)已知事件

A

，

B

相互獨(dú)立，

P

(

A

)＝0.5，

P

(

B

)＝

0.4，則

P

(

A

＋

B

)＝(

C

)A.0.88B.0.9C.0.7D.0.72

C123456789101112131415161718195.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.

哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30

＝7＋23.在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的

概率是(

C

)C12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718196.(2022·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)

互質(zhì)的概率為(

D

)D12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718197.(多選)不透明的袋子中裝有6個(gè)大小質(zhì)地相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字

1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)抽取兩次，每次取一個(gè)球.

A

表示

事件“第二次取出的球上標(biāo)有的數(shù)字大于等于3”，

B

表示事件“兩次

取出的球上標(biāo)有的數(shù)字之和為5，則(

AC

)D.事件

A

與

B

相互獨(dú)立AC12345678910111213141516171819

對(duì)于選項(xiàng)B：

123456789101112131415161718198.(2024·河北石家莊模擬)大學(xué)生小明與另外3名大學(xué)生一起分配到某鄉(xiāng)

鎮(zhèn)甲、乙、丙3個(gè)村小學(xué)進(jìn)行支教.若每個(gè)村小學(xué)至少分配1名大學(xué)生，

則小明恰好分配到甲村小學(xué)的概率為(

C

)C12345678910111213141516171819

123456789101112131415161718199.(2024·上海模擬)2023年杭州亞運(yùn)會(huì)籃球比賽中，運(yùn)動(dòng)員甲、乙罰球時(shí)

命中的概率分別是0.6和0.5，兩人各投一次，每次結(jié)果相互獨(dú)立，則兩

人同時(shí)命中的概率是

?.運(yùn)動(dòng)員甲、乙罰球時(shí)命中的概率分別是0.6和0.5，兩人各投一次，每次

結(jié)果相互獨(dú)立，則兩人同時(shí)命中的概率是

P

＝0.6×0.5＝0.3.0.3

1234567891011121314151617181910.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了“完全數(shù)”6和28，

后人進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)3個(gè)“完全數(shù)”分別為496，8128，33550

336，現(xiàn)將這5個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6

和28恰好在同一組的概率為

?.

1234567891011121314151617181911.(2022·上海卷)為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3

項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類都被抽到

的概率為

?.從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢

測(cè)，

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819(2)現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每一輪比賽兩人各射擊1次，環(huán)數(shù)高于

對(duì)方為勝，環(huán)數(shù)低于對(duì)方為負(fù)，環(huán)數(shù)相等為平局，規(guī)定連續(xù)勝利兩輪的

選手為最終的勝者，比賽結(jié)束，求恰好進(jìn)行3輪射擊后比賽結(jié)束的概率.

12345678910111213141516171819

A.0.3B.0.4C.0.5D.0.6

A12345678910111213141516171819

B12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

因?yàn)?/p>

A

，

B

是相互獨(dú)立事件，設(shè)

A

不發(fā)生的概率為

x

，

B

不發(fā)生的概率為

y

，

D1234567891011121314151617181916.(多選)(2024·浙江杭州模擬)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件

A

表示：

“點(diǎn)數(shù)不大于2”，等件

B

表示：“點(diǎn)數(shù)大于2”，事件

C

表示：“點(diǎn)數(shù)

為奇數(shù)”，事件

D

表示：“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的有