滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點(diǎn)+重難點(diǎn)講練與測試重難點(diǎn)05特殊三角形的存在性(原卷版+解析)

重難點(diǎn)05特殊三角形的存在性目錄考點(diǎn)一：存在全等三角形考點(diǎn)二：存在等腰三角形考點(diǎn)三：存在直角三角形技巧方法技巧方法本節(jié)以一次函數(shù)或四邊形為背景，結(jié)合三角形的相關(guān)知識(shí)，解決特殊的三角形的存在性問題．要用到分類討論的思想，對(duì)想象力、分析能力和運(yùn)算能力都有要求，根據(jù)題目中的條件利用等腰三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化建立方程求解．能力拓展能力拓展考點(diǎn)一：存在全等三角形全等三角形的存在性問題考察了全等三角形的性質(zhì)，利用邊的關(guān)系結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式構(gòu)造等量關(guān)系，主要的題型是求點(diǎn)的坐標(biāo)．1．（2022春·八年級(jí)單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D（不與點(diǎn)B重合）在BC上，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作交DE延長線于點(diǎn)F，連接AD，BF．(1)求證：△AEF≌△BED．(2)若BD＝CD，求證：四邊形AFBD是矩形．2．（2021秋·上?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是菱形，其中點(diǎn)E在BC的延長線上，點(diǎn)G在DC的延長線上，點(diǎn)H在BC邊上，連結(jié)AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．（1）求證：△ABH≌△HEF；（2）如圖2，當(dāng)H為BC中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)DF，求DF的長；（3）如圖3，將菱形CEFG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，使點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)G在BC的延長線上，連結(jié)EH，BF．若EH⊥BC，請(qǐng)求出BF的長．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P(x，y)是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，0)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△PCO的面積為S．（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCO的面積為15；（3）過點(diǎn)P作AB的垂線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，

是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EOF≌△BOA?若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（上海八年級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，以AB為邊作正方形ABCD（點(diǎn)D落在第四象限）．（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)OC，設(shè)正方形的邊CD與x相交于點(diǎn)E，點(diǎn)M在x軸上，如果△ADE與△COM全等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．考點(diǎn)二：存在等腰三角形等腰三角形的分類討論是壓軸題中一個(gè)熱門考點(diǎn)，本類題目均和圖形運(yùn)動(dòng)有關(guān)，需要學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維能力，能夠根據(jù)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，把最終的圖形畫出，利用分類討論的思想，結(jié)合題目中的已知條件建立等量關(guān)系．1．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知，，，點(diǎn)在邊上，，垂足為點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)在邊上，且位于點(diǎn)的左側(cè)，聯(lián)結(jié)．(1)設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)四邊形是等腰梯形時(shí)，求的長；(3)聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求正方形的面積．2．（2022春·上海奉賢·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是邊AD上一點(diǎn)，把△ABP沿BP所在的直線翻折后得到△EBP，直線PE與邊BC相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E在線段PF上．(1)如果點(diǎn)F和點(diǎn)C重合，求AP；(2)設(shè)AP＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出定義域；(3)連接DF，如果△PDF是以PF為腰的等腰三角形，求AP的長．3．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)校考期中）已知：如圖，在矩形中，，，，垂足是點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、．(1)求和的長；(2)若將沿著射線方向平移，設(shè)平移的距離為平移距離指點(diǎn)沿方向所經(jīng)過的線段長度，當(dāng)點(diǎn)分別平移到線段、上時(shí)，直接寫出相應(yīng)的的值．(3)如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，記旋轉(zhuǎn)中的為，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)所在的直線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，是否存在這樣的、兩點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．（2022春·上海·八年級(jí)?？计谥校┧倪呅蜛BCD為菱形，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖1，連接AP并延長交BC的延長線于點(diǎn)E，連接PC，求證：∠AEB=∠PCD；(2)如圖1，若PA=PD且PC⊥BE時(shí)，求此時(shí)∠ABC的度數(shù)；(3)若∠ABC=90°且AB=6，如備用圖，連接AP并延長交射線BC于點(diǎn)E，連接PC，若△PCE是等腰三角形，求線段BP的長．5．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)y＝2x+4的圖像與x、y軸分別相交于點(diǎn)A和B，以AB為邊作正方形ABCD．(1)求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)．(2)設(shè)點(diǎn)M在x軸上，如果△ABM為等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．6．（2022春·上海·八年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┤鐖D，邊長為5的菱形ABCD如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)．(1)求AB所在直線的解析式；(2)如果直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與直線平行，點(diǎn)是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上（點(diǎn)P不與O、B重合），過點(diǎn)P作平行于x軸的直線分別交線段AB于M、交直線l于N．設(shè)線段MN的長度為d，求d關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；②當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上，如是等腰三角形，求t的值．7．（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)上外附中?？计谀┤鐖D1，梯形ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，AB=AD，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)沿梯形的邊，從點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的距離為為．(1)當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系如圖2中的折線所示.試求的長；(2)在(1)的情況下，點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)的過程中，是否可能為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有能使為等腰三角形的的取值；若不能，請(qǐng)說明理由．(此題無需寫括號(hào)理由)8.如圖，函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）將△ABC沿著直線AB翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，求直線AD的解析式；（3）在x軸上是否存在E，使△ADE為等腰三角形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與軸、軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)C(－4，－4)作平行于軸的直線交AB于點(diǎn)D，CD=10．（1）求直線的解析式；（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；（3）將直線沿軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移恰當(dāng)?shù)木嚯x時(shí)，直線與，軸分別相交于點(diǎn)A′、B′，在直線CD上存在點(diǎn)P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．10．（2021·上海八年級(jí)期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到直線．（1）求直線的表達(dá)式；（2）求的值；（3）在直線上有一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為1．若軸上存在點(diǎn)，使是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出滿足要求的點(diǎn)的坐標(biāo)．11．（上海八年級(jí)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，設(shè)AD＝x，△AOB的面積為y．（1）求∠DBC的度數(shù)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）如圖1，設(shè)點(diǎn)P、Q分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的長．12．（上海八年級(jí)期末）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，．E是邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE，且DE⊥CE．設(shè)AD=x，BC=y．（1）如果∠BCD=60°，求CD的長；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)BD．如果△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形，求x的值．考點(diǎn)三：存在直角三角形直角三角形的特征非常明顯，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直角三角形中一般有兩個(gè)頂點(diǎn)是確定的，另一個(gè)頂點(diǎn)在某個(gè)函數(shù)圖像上，通常用兩點(diǎn)間的距離公式表示出第三條邊后再討論三角形的哪個(gè)角有可能是直角，根據(jù)這個(gè)直角的條件結(jié)合題目條件進(jìn)行計(jì)算，此類綜合題需要用到的知識(shí)較多，需要考察學(xué)生的思維、分析能力．1．（2022春·上海青浦·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，四邊形中，，是邊的中點(diǎn)．已知，．(1)連接，求證；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求邊的長．2．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)上海市張江集團(tuán)中學(xué)?？计谀咎骄颗c應(yīng)用】我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多結(jié)論．例如：在平行四邊形ABCD中，，將△ABC沿直線AC翻折至△AEC，連結(jié)DE，則AC∥ED．(1)如圖1，若AD與CE相交于點(diǎn)O，證明以上個(gè)結(jié)論；(2)如圖2，AD與CE相交于點(diǎn)O，若，，，求△AOC的面積；(3)如果，，當(dāng)A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)畫圖并求出AC的長；(4)如果，，當(dāng)△AED是直角三角形時(shí)，直接寫出BC的長．3．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖1，已知O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E在邊CB的延長線上，連結(jié)EO，OF⊥OE交BA延長線于點(diǎn)F，連結(jié)EF．(1)求證：EO＝FO；(2)若正方形的邊長為2，OE＝2OA，求BE的長；(3)當(dāng)OE＝2OA時(shí)，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△F1OE1，使得∠BOE1＝30°時(shí)，試猜想并證明△AOE1是什么三角形．4．（2022春·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，正方形ABCD的邊長為1，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、對(duì)角線BD上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B都不重合）且AE＝DF．(1)設(shè)DF＝x，CF2＝y(tǒng)，求：y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)求證：FC＝FE；(3)是否存在以線段AE、DF、CF的長為邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．5．（2022春·上海青浦·八年級(jí)校考期中）已知長方形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為（8，6），點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC＝m．（1）已知點(diǎn)D在第一象限且是直線y＝2x＋6上的一點(diǎn)，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，則D點(diǎn)縱坐標(biāo)可用含n的代數(shù)式表示為，此時(shí)若△APD是等腰直角三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）直線y＝2x＋b過點(diǎn)（3，0），請(qǐng)問在該直線上，是否存在第一象限的點(diǎn)D使△APD是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出這些點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過點(diǎn)A（2，-3），與x軸交于點(diǎn)B，且與直線y=平行．（1）求直線l的函數(shù)解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）如直線l上有一點(diǎn)M（a，-6），過點(diǎn)M作x軸的垂線，交直線于點(diǎn)N，在線段MN上求一點(diǎn)P，使△PAB是直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．7.如圖1，△ABC是邊長為的等邊三角形，已知G是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（G點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合），且GE∥AC，GF∥BC，若AG＝x，S△GEF＝y(tǒng)．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域；（2）點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，能否使△GEF成為直角三角形，若能，請(qǐng)求出AG長度；若不能，請(qǐng)說明理由；（3）點(diǎn)G在運(yùn)動(dòng)過程中，能否使四邊形GFEB構(gòu)成平行四邊形，若能，直接寫出S△GEF的值；若不能，請(qǐng)說明由．8.如圖1，已知O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E在邊CB的延長線上，聯(lián)結(jié)EO，OF⊥OE交BA延長線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF．（1）求證：EO＝FO；（2）若正方形的邊長為2，OE＝2OA，求BE的長；（3）當(dāng)OE＝2OA時(shí)，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△F1OE1，使得∠BOE1＝30°時(shí)，試猜想并證明△AOE1是什么三角形．重難點(diǎn)05特殊三角形的存在性目錄考點(diǎn)一：存在全等三角形考點(diǎn)二：存在等腰三角形考點(diǎn)三：存在直角三角形技巧方法技巧方法本節(jié)以一次函數(shù)或四邊形為背景，結(jié)合三角形的相關(guān)知識(shí)，解決特殊的三角形的存在性問題．要用到分類討論的思想，對(duì)想象力、分析能力和運(yùn)算能力都有要求，根據(jù)題目中的條件利用等腰三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化建立方程求解．能力拓展能力拓展考點(diǎn)一：存在全等三角形全等三角形的存在性問題考察了全等三角形的性質(zhì)，利用邊的關(guān)系結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式構(gòu)造等量關(guān)系，主要的題型是求點(diǎn)的坐標(biāo)．1．（2022春·八年級(jí)單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D（不與點(diǎn)B重合）在BC上，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作交DE延長線于點(diǎn)F，連接AD，BF．(1)求證：△AEF≌△BED．(2)若BD＝CD，求證：四邊形AFBD是矩形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由ASA證全等即可；（2）根據(jù)對(duì)角線互相平分的證明四邊形AFBD是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明∠ADB＝90°，進(jìn)而根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形得證．【詳解】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠EDB，∵E為AB的中點(diǎn)，∴EA＝EB，在△AEF和△BED中，，∴△AEF≌△BED（ASA）；（2）∵△AEF≌△BED，∴AF＝BD，∵AF∥BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BD，∴四邊形AFBD是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠了解矩形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵，難度不大．2．（2021秋·上?！ぐ四昙?jí)校考階段練習(xí)）如圖1，四邊形ABCD和四邊形CEFG都是菱形，其中點(diǎn)E在BC的延長線上，點(diǎn)G在DC的延長線上，點(diǎn)H在BC邊上，連結(jié)AC，AH，HF．已知AB＝2，∠ABC＝60°，CE＝BH．（1）求證：△ABH≌△HEF；（2）如圖2，當(dāng)H為BC中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)DF，求DF的長；（3）如圖3，將菱形CEFG繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，使點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)G在BC的延長線上，連結(jié)EH，BF．若EH⊥BC，請(qǐng)求出BF的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)菱形中，點(diǎn)E在BC的延長線上，點(diǎn)G在DC的延長線上這一特殊的位置關(guān)系和CE＝BH可證明相應(yīng)的邊和角分別相等，從而證明結(jié)論；（2）由AB＝BC，∠ABC＝，可證明△ABC是等邊三角形，從而證明∠AHB＝90°，再由△ABH≌△HEF，得∠HFE＝∠AHB＝90°，再得∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，在Rt△DPF中用勾股定理求出DF的長；（3）作FM⊥BG于點(diǎn)M，當(dāng)EH⊥BC時(shí)，可證明CH＝CM＝CG＝BH，從而求出BM、FM的長，再由勾股定理求出BF的長．【詳解】解：（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是菱形，∴AB＝BC，CE＝EF，∵CE＝BH，∴BH＝EF，∵BH+CH＝CE+CH，∴BC＝HE，∴AB＝HE；∵點(diǎn)E在BC的延長線上，點(diǎn)G在DC的延長線上，∴AB∥DG∥EF，∴∠B＝∠E，在△ABH和△HEF中，，∴△ABH≌△HEF（SAS）．（2）如圖2，設(shè)FH交CG于點(diǎn)P，連結(jié)CF，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵BH＝CH，∴AH⊥BC，∴∠AHB＝90°，由（1）得，△ABH≌△HEF，∴∠HFE＝∠AHB＝90°，∵DG∥EF，∴∠DPF＝180°﹣∠HFE＝90°，∴PF⊥CG，∵CG＝FG，∠G＝∠E＝∠B＝60°，∴△GFC是等邊三角形，∴PC＝PG＝CG；∵BC＝AB＝2，∴CG＝EF＝BH＝BC＝1，∴PC＝；∵CD＝AB＝2，∴PD＝+2＝，∵CF＝CG＝1，∴PF2＝CF2﹣PC2＝12﹣（）2＝，∴．（3）如圖3，作FM⊥BG于點(diǎn)M，則∠BMF＝90°，∵EH⊥BC，即EH⊥BG，∴EH∥FM，∵∠CEF＝∠ACB＝60°，∴EF∥MH，∴四邊形EHMF是平行四邊形，∵∠EHM＝90°，∴四邊形EHMF是矩形，∴EH＝FM；∵EF＝EC，∠CEF＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴CE＝CF，∵∠EHC＝∠FMC＝90°，∴Rt△EHC≌Rt△FMC（HL），∴CH＝CM＝CG；∵CG＝CE＝BH，∴CH＝BH，∴CM＝CH＝BC＝×2＝，∴CF＝CG＝2CM＝2×＝，∴＝（）2﹣（）2＝，∵BM＝2+＝，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何綜合，其中涉及到了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定及性質(zhì)等，熟悉掌握幾何圖形的性質(zhì)和合理做出輔助線是解題的關(guān)鍵．3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)P(x，y)是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合），點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6，0)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△PCO的面積為S．（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PCO的面積為15；（3）過點(diǎn)P作AB的垂線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E，點(diǎn)F，

是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EOF≌△BOA?若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【難度】★★★【解析】（1）∵直線與x軸交于點(diǎn)A，∴．∵點(diǎn)P(x，y)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，∴．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；令，當(dāng)時(shí)，，解得：，此時(shí)，P(3，5)，當(dāng)時(shí)，，解得：，此時(shí)，P(13，－5)；（3）∵△EOF≌△BOA，∴，，當(dāng)E(8，0)，F(xiàn)(0，－8)時(shí)，則直線EF的解析式為，令，解得：，∴；當(dāng)E(－8，0)，F(xiàn)(0，8)時(shí)，則直線EF的解析式為，令，解得：，∴．綜上，當(dāng)△EOF≌△BOA時(shí)，點(diǎn)P

的坐標(biāo)為或．【總結(jié)】考察動(dòng)點(diǎn)與面積的結(jié)合及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，注意進(jìn)行分類討論．4．（上海八年級(jí)期末）如圖，一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，以AB為邊作正方形ABCD（點(diǎn)D落在第四象限）．（1）求點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)OC，設(shè)正方形的邊CD與x相交于點(diǎn)E，點(diǎn)M在x軸上，如果△ADE與△COM全等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）A（-2，0），B（0，4），D（2，-2）；（2）M（5，0）．【分析】(1)由于一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，所以利用函數(shù)解析式即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后作DF⊥x軸于點(diǎn)F，由四邊形ABCD是正方形可以得到∠BAD=∠AOB=∠AFD=90o，AB=AD，接著證明△BAO≌△ADF，最后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DF=AO=2，AF=BO=4，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)C作CG⊥y軸于G，連接OC，作CM⊥OC交x軸于M，用求點(diǎn)D的方法求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，2），得出OC=2，由A、B的坐標(biāo)得到AB=2，從而OC=AB=AD，根據(jù)△ADE與△COM全等，利用全等三角形的性質(zhì)可知OM=AE，即OA=EM=2，利用C、D的坐標(biāo)求出直線CD的解析式，得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)EM=2，即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo).【詳解】解：（1）∵一次函數(shù)y=2x+4的圖象與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，∴A（-2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，如圖1，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于F，∴∠DAF+∠ADF=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，∴∠DAF+∠BAO=90°，∴∠ADF=∠BAO，在△ADF和△BAO中，，∴△ADF≌△BAO（AAS），∴DF=OA=2，AF=OB=4，∴OF=AF-OA=2，∵點(diǎn)D落在第四象限，∴D（2，-2）；（2）如圖2，過點(diǎn)C作CG⊥y軸于G，連接OC，作CM⊥OC交x軸于M，同（1）求點(diǎn)D的方法得，C（4，2），∴OC==2，∵A（-2，0），B（0，4），∴AB=2，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=2=OC，∵△ADE與△COM全等，且點(diǎn)M在x軸上，∴△ADE≌△OCM，∴OM=AE，∵OM=OE+EM，AE=OE+OA，∴EM=OA=2，∵C（4，2），D（2，-2），∴直線CD的解析式為y=2x-6，令y=0，∴2x-6=0，∴x=3，∴E（3，0），∴OM=5，∴M（5，0）．故答案為(1)A(-2，0)，B(0，4)，D(2，-2)；(2)M(5，0).【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì).考點(diǎn)二：存在等腰三角形等腰三角形的分類討論是壓軸題中一個(gè)熱門考點(diǎn)，本類題目均和圖形運(yùn)動(dòng)有關(guān)，需要學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯思維能力，能夠根據(jù)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，把最終的圖形畫出，利用分類討論的思想，結(jié)合題目中的已知條件建立等量關(guān)系．1．（2022春·上海·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，，，點(diǎn)在邊上，，垂足為點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)在邊上，且位于點(diǎn)的左側(cè)，聯(lián)結(jié)．(1)設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)四邊形是等腰梯形時(shí)，求的長；(3)聯(lián)結(jié)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求正方形的面積．【答案】(1)，定義域?yàn)椋?2)(3)或【分析】（1）在中，利用勾股定理，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，根據(jù)，求出的定義域；（2）根據(jù)四邊形是等腰梯形時(shí)，為等腰直角三角形，，列式計(jì)算即可；（3）分和兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)，利用三線合一，得到：，列式求解；當(dāng)，在中，用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵四邊形為正方形，∴，∴，在中：，即：．∵，即：，解得：；∴，定義域?yàn)椋?；?）解：如圖：當(dāng)四邊形是等腰梯形時(shí)，，則：為等腰直角三角形，∴，即：，解得：；∴的長為：；（3）解：∵點(diǎn)在內(nèi)部，∴，分兩種情況討論是等腰三角形．①當(dāng)時(shí)，∵，∴．即：．解得．此時(shí)．②當(dāng)時(shí)，．在中，由勾股定理，得即：，解得，∴．綜上，正方形的面積為：或．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．注意，分類討論．2．（2022春·上海奉賢·八年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，P是邊AD上一點(diǎn)，把△ABP沿BP所在的直線翻折后得到△EBP，直線PE與邊BC相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E在線段PF上．(1)如果點(diǎn)F和點(diǎn)C重合，求AP；(2)設(shè)AP＝x，BF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出定義域；(3)連接DF，如果△PDF是以PF為腰的等腰三角形，求AP的長．【答案】(1)2(2)y＝（2≤x＜6）(3)【分析】（1）首先證明PC＝BC，在Rt△PDC中，利用勾股定理求出PD即可解決問題；（2）先證明FB＝FP＝y(tǒng)，推出EF＝PF﹣PE＝y(tǒng)﹣x，Rt△BEF中，，構(gòu)建關(guān)系式即可解決問題；（3）分兩種情形分別構(gòu)建方程求解即可；（1）解：如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠D＝90°，由翻折不變性可知：∠APB＝∠CPB，∵ADBC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠PBC＝∠CPB，∴CB＝CP＝10，∴，∴PA＝AD﹣PD＝10﹣8＝2．（2）如圖2中，∵由翻折不變性可知：∠APB＝∠FPB，∠A＝∠PEB＝90°，PA＝PE＝x，AB＝BE＝6，∵ADBC，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APB＝∠PBC，∴∠PBF＝∠FPB，∴FB＝FP＝y(tǒng)，∴EF＝PF﹣PE＝y(tǒng)﹣x，在Rt△BEF中，∵，∴，∴y＝（2≤x＜6）．（3）①如圖3中，當(dāng)PF＝PD時(shí)，由（2）可知BF＝PF＝PD，∴x+y＝10，∴x10，整理得：3x2﹣20x+36＝0，∵，此種情形不存在．②如圖4中，當(dāng)FP＝FD時(shí)，在Rt△DFC中，DF＝y(tǒng)，CD＝6，CF＝10﹣y，∴，∴y，∴，解得x＝10（舍棄）或．∴PA，綜上所述，滿足條件的AP的值為．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問題，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用分類討論的思想解決問題．3．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，在矩形中，，，，垂足是點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接、．(1)求和的長；(2)若將沿著射線方向平移，設(shè)平移的距離為平移距離指點(diǎn)沿方向所經(jīng)過的線段長度，當(dāng)點(diǎn)分別平移到線段、上時(shí)，直接寫出相應(yīng)的的值．(3)如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，記旋轉(zhuǎn)中的為，在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)所在的直線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，是否存在這樣的、兩點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)3(2)3或(3)存在，，，，【分析】（1）利用矩形性質(zhì)、勾股定理及三角形面積公式求解；（2）依題意畫出圖形，如答圖所示．利用平移性質(zhì)，確定圖形中的等腰三角形，分別求出的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰有種情形，如答圖所示，對(duì)于各種情形分別進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：在中，，，由勾股定理得：．，．在中，，，由勾股定理得：．（2）設(shè)平移中的三角形為，如答圖所示：由對(duì)稱點(diǎn)性質(zhì)可知，．由平移性質(zhì)可知，，，．當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，，，，，即；當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，，，，，，又易知，為等腰三角形，，∴，即．（3）存在．理由如下：在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰依次有以下種情形：如答圖所示，點(diǎn)落在延長線上，且，易知，，，，，．在中，由勾股定理得：．；如答圖所示，點(diǎn)落在上，且，易知，，，，則此時(shí)點(diǎn)落在邊上．，，，．在中，由勾股定理得：，即：，解得：，；如答圖所示，點(diǎn)落在上，且，易知．，，．，．，，，∴，∴．在中，由勾股定理得：，；如答圖所示，點(diǎn)落在上，且，易知．，，，，∴，．綜上所述，存在組符合條件的點(diǎn)、點(diǎn)，使為等腰三角形；的長度分別為、、或【點(diǎn)睛】本題是幾何變換壓軸題，涉及旋轉(zhuǎn)與平移變換、矩形、勾股定理、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)．第（3）問難度很大，解題關(guān)鍵是畫出各種旋轉(zhuǎn)圖形，依題意進(jìn)行分類討論；在計(jì)算過程中，注意識(shí)別旋轉(zhuǎn)過程中的不變量，注意利用等腰三角形的性質(zhì)簡化計(jì)算．4．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┧倪呅蜛BCD為菱形，點(diǎn)P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖1，連接AP并延長交BC的延長線于點(diǎn)E，連接PC，求證：∠AEB=∠PCD；(2)如圖1，若PA=PD且PC⊥BE時(shí)，求此時(shí)∠ABC的度數(shù)；(3)若∠ABC=90°且AB=6，如備用圖，連接AP并延長交射線BC于點(diǎn)E，連接PC，若△PCE是等腰三角形，求線段BP的長．【答案】(1)見解析(2)∠ABC=60°；(3)線段BP的長為3-3或9-3．【分析】（1）由四邊形ABCD是菱形得AD=CD，∠ADP=∠CDP，AD∥BC，證明△PAD≌△PCD，得∠PAD=∠PCD，因?yàn)椤螾AD=∠AEB，所以∠AEB=∠PCD；（2）先證明△ABP≌△CBP，得∠PAB=∠PCB=90°，再推導(dǎo)出∠E=∠PBE=∠PBA，則3∠E=90°，得∠E=30°，所以∠ABC=90°-∠E=60°；（3）分兩種情況，一是點(diǎn)E在邊BC上，PE=CE，可推導(dǎo)出∠AEB=∠PCB+∠CPE=2∠PCB=2∠PAB，得∠PAB=30°，先求得BE=2，作PF⊥BC于點(diǎn)F，則∠PFE=∠PFB=90°=∠ABC，得PF∥AB，∠FPB=∠FBP=45°，∠FPE=∠PAB=30°，可求得EF=3-，則BP=BF=3-3；二是點(diǎn)E在邊BC的延長線上，PC=EC，則∠CPE=∠E，先推導(dǎo)出∠E=30°，再求得BE=6，作PF⊥BC于點(diǎn)F，則∠PFE=∠PFB=90°，∠FPB=∠FBP=45°，PE=2PF，BF=PF，可求得BF=PF=9-3，則BP=BF=9-3．（1）證明：如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP，AD∥BC，∴∠PAD=∠AEB，∵PD=PD，∴△PAD≌△PCD（SAS），∴∠PAD=∠PCD，∴∠AEB=∠PCD；（2）解：如圖2，∵AB=CB，∠PBA=∠PBC，PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∵PC⊥BE，∴∠PAB=∠PCB=90°，∵PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PAD=∠E，∠PDA=∠PBE，∴∠E=∠PBE，∴∠E=∠PBE=∠PBA，∵∠E+∠PBE+∠PBA=90°，∴3∠E=90°，∴∠E=30°，∴∠ABC=90°-∠E=60°；（3）解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=90°，AB=6，∴四邊形ABCD是正方形，AD=AB=BC=DC=6，∴∠BAD=∠BCD=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴BD=，如圖3，點(diǎn)E在邊BC上，PE=CE，∵△ABP≌△CBP，∴∠PCB=∠PAB，∵∠PCB=∠CPE，∴∠AEB=∠PCB+∠CPE=2∠PCB=2∠PAB，∵∠AEB+∠PAB=90°，∴2∠PAB+∠PAB=90°，∴∠PAB=30°，∴AE=2BE，∵AB2+BE2=AE2，∴62+BE2=（2BE）2，∴BE=2，作PF⊥BC于點(diǎn)F，則∠PFE=∠PFB=90°=∠ABC，∴PF∥AB，∠FPB=∠FBP=45°，∴∠FPE=∠PAB=30°，∴PE=2EF，∴BF=PF=EF，∴EF+EF=2，∴EF=3-，∴BF=PF=（3-）=3-3，∴BP=BF=（3-3）=3-3；如圖4，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，PC=EC，則∠CPE=∠E，∵△ABP≌△CBP，∴∠PAB=∠PCB=∠CPE+∠E=2∠E，∵∠PAB+∠E=90°，∴2∠E+∠E=90°，∴∠E=30°，∴AE=2AB=12，∵AB2+BE2=AE2，∴62+BE2=122，∴BE=6，作PF⊥BC于點(diǎn)F，則∠PFE=∠PFB=90°，∴∠FPB=∠FBP=45°，PE=2PF，∴BF=PF，∴EF==PF=BF，∴BF+BF=6，∴BF=PF=9-3，∴BP==BF=（9-3）=9-3，綜上所述，線段BP的長為3-3或9-3．【點(diǎn)睛】此題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、二次根式的混合運(yùn)算等知識(shí)，此題難度較大．5．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)y＝2x+4的圖像與x、y軸分別相交于點(diǎn)A和B，以AB為邊作正方形ABCD．(1)求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)．(2)設(shè)點(diǎn)M在x軸上，如果△ABM為等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)A（﹣2，0），B（0，4），D（2，﹣2）；(2)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）或（﹣2﹣2，0）或（2﹣2，0）或（3，0）【分析】（1）由于一次函數(shù)y＝2x+4的圖像與x、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，所以利用函數(shù)解析式即可求出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后過D作DH⊥x軸于H點(diǎn)，由四邊形ABCD是正方形可以得到∠BAD＝∠AOB＝∠AHD＝90°，AB＝AD，接著證明△ABO≌△DAH，最后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DH＝AO＝2，AH＝BO＝4，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)等腰三角形的定義，分類討論，數(shù)形結(jié)合，即可解決問題．（1）∵當(dāng)y＝0時(shí)，2x+4＝0，解得x＝﹣2．∴點(diǎn)A（﹣2，0）．∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4．∴點(diǎn)B（0，4）．過D作DH⊥x軸于H點(diǎn)，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠AOB＝∠AHD＝90°，AB＝AD．∴∠BAO+∠ABO＝∠BAO+∠DAH，∴∠ABO＝∠DAH．∴△ABO≌△DAH．∴DH＝AO＝2，AH＝BO＝4，∴OH＝AH﹣AO＝2．∴點(diǎn)D（2，﹣2）．（2）∵A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∴AB＝，①當(dāng)AB＝MB時(shí)，∵OB⊥AM，∴OM＝OA＝2，∴M（2，0）；②當(dāng)AB＝AM時(shí)，則OM＝OA+AM＝2+，∴M（﹣2﹣，0）；③當(dāng)AB＝AM時(shí)，則AM＝AB＝2，∴OM＝AM﹣OA＝2﹣2，∴M（2﹣2，0）．④當(dāng)MB＝MA，設(shè)M(a,0)，根據(jù)題意，得，解得a=3，故M（3，0），綜上，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）或（﹣2﹣2，0）或（2﹣2，0）或（3，0）．【點(diǎn)睛】該題主要考查了一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定等；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用、大膽猜測、科學(xué)解答．6．（2022春·上海·八年級(jí)上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)?？计谥校┤鐖D，邊長為5的菱形ABCD如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)．(1)求AB所在直線的解析式；(2)如果直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與直線平行，點(diǎn)是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上（點(diǎn)P不與O、B重合），過點(diǎn)P作平行于x軸的直線分別交線段AB于M、交直線l于N．設(shè)線段MN的長度為d，求d關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；②當(dāng)點(diǎn)P在y軸正半軸上，如是等腰三角形，求t的值．【答案】(1)y=x+4；(2)①d=12?t（0<t<4）；②t的值為或4或．【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)及B點(diǎn)坐標(biāo)，在Rt△AOB中由勾股定理可求得OA的長，則可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB解析式；（2）①由菱形的性質(zhì)可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得直線l的解析式，從而可用t分別表示出M、N的坐標(biāo)，則可得到d關(guān)于t的函數(shù)解析式，結(jié)合P在線段OB上可求得t的取值范圍；②用t可分別表示出PC、PD的長，結(jié)合C、D坐標(biāo)可求得CD的長，分PD=PC、PD=CD和PC=CD三種情況可分別得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．（1）解：∵B(0，4)，∴OB=4，∵四邊形ABCD為菱形，且邊長為5，∴AB=AD=BC=CD=5，在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA=3，∴A(3，0)，設(shè)AB所在直線解析式為y=kx+b，∴，解得∴AB所在直線的解析式為y=x+4；（2）解：①由題意可知C(?5，4)，∵直線l經(jīng)過點(diǎn)C且與直線y=x平行，∴可設(shè)直線l解析式為y=x+m，∴4=?5+m，解得m=9，∴直線l解析式為y=x+9，∵過點(diǎn)P作平行于x軸的直線分別交AB于M、交直線l于N，且P(0，t)，∴M、N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，在y=x+4中，令y=t，可解得x=3?t，在y=x+9中，令y=t可得x=t?9，∴d=3?t?(t?9)=12?t，∵點(diǎn)P在線段OB上（點(diǎn)P不與O、B重合），∴0<t<4；②∵A(3，0)，AD=5，∴D(?2，0)，且C(?5，4)，P(0，t)，∴PC2=52+(t?4)2=t2?8t+41，PD2=22+t2=t2+4，CD2=(?5+2)2+42=25，∵△PCD為等腰三角形，∴有PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況，當(dāng)PC=PD時(shí)，則有t2?8t+41=t2+4，解得t=；當(dāng)PC=CD時(shí)，則有t2?8t+41=25，解得t=4；當(dāng)PD=CD時(shí)，則t2+4=25，解得t=√或t=?（舍去）；綜上可知當(dāng)△PCD是等腰三角形時(shí)，t的值為或4或．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及菱形的性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中求得A點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）①中用t表示出M、N的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）②中利用t分別表示出PD、PC和CD的長是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．7．（2022秋·上海·八年級(jí)上外附中?？计谀┤鐖D1，梯形ABCD，AB∥CD，BC⊥AB，AB=AD，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)沿梯形的邊，從點(diǎn)移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的距離為為．(1)當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，與的函數(shù)關(guān)系如圖2中的折線所示.試求的長；(2)在(1)的情況下，點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)的過程中，是否可能為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有能使為等腰三角形的的取值；若不能，請(qǐng)說明理由．(此題無需寫括號(hào)理由)【答案】(1)1(2)能，x的值為0或14或3或5?或或11或9＋．【分析】（1）作DE⊥AB于E，則DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝，得出CD＝BE＝AB?AE＝1；（3）分情況討論：①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)；②點(diǎn)P在BC上時(shí)；③點(diǎn)P在AD上時(shí)；由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得出答案．(1)解：由圖得：AB＝5，AB＋BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如圖所示：則DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB?AE＝1；(2)解：可能；理由如下：分情況討論：①點(diǎn)P在AB邊上時(shí)，當(dāng)PD＝PB時(shí)，P與A重合，x＝0或x＝14；當(dāng)DP＝DB時(shí)，BP＝2BE＝2，∴AP＝3，∴x＝3；當(dāng)BP＝BD＝時(shí)，AP＝5?，即x＝5?；②點(diǎn)P在BC上時(shí)，存在PD＝PB，此時(shí)，x＝5＋＝；③點(diǎn)P在AD上時(shí)，當(dāng)BP＝BD＝時(shí)，過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，如圖所示：則BH?AD＝DE?AB，即×BH×5＝×3×5，∴BH＝3，∴DH＝＝＝1，∴DP＝2，∴x＝5＋3＋1＋2＝11；當(dāng)DP＝DB＝時(shí)，x＝5＋3＋1＋＝9＋；綜上所述：△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的x的取值為：0或14或3或5?或或11或9＋．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了梯形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．8.如圖，函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）將△ABC沿著直線AB翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，求直線AD的解析式；（3）在x軸上是否存在E，使△ADE為等腰三角形?若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【難度】★★★【解析】（1）∵函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，∴，，∴∴．∵等邊△ABC，∴，．∵，∴，∴；（2）∵，，∴D在y軸上，∵，∴，∴直線AD的解析式為：；（3）設(shè)E（，0），則，，．當(dāng)時(shí)，，解得：，此時(shí)E（，0），或E（，0）；當(dāng)時(shí)，，解得：，此時(shí)E（，0），或E（，0）（舍去）；當(dāng)時(shí)，，解得：，此時(shí)E（，0），∴綜上所述，滿足條件的E點(diǎn)坐標(biāo)為：（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．【總結(jié)】本題主要考察一次函數(shù)解析式的求法和等腰三角形分類討論，注意對(duì)直角三角形性質(zhì)的運(yùn)用．9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與軸、軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A、B，過點(diǎn)C(－4，－4)作平行于軸的直線交AB于點(diǎn)D，CD=10．（1）求直線的解析式；（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；（3）將直線沿軸負(fù)方向平移，當(dāng)平移恰當(dāng)?shù)木嚯x時(shí)，直線與，軸分別相交于點(diǎn)A′、B′，在直線CD上存在點(diǎn)P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【難度】★★★【解析】（1）∵過點(diǎn)C(－4，－4)作平行于軸的直線交AB于點(diǎn)D，∴．∵CD=10，∴，解得：，∴直線的解析式為：；（2）∵直線：與軸、軸的正半軸分別相交于點(diǎn)A、B，∴A(8，0)，B(0，4)，∴，，，∴，，∴△ABC是等腰直角三角形；（3），，，．（通過△A′B′P是等腰直角三角形構(gòu)造全等三角形．）【總結(jié)】考察等腰三角形的證明及一次函數(shù)解析式的確定．10．（2021·上海八年級(jí)期末）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，將直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到直線．（1）求直線的表達(dá)式；（2）求的值；（3）在直線上有一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為1．若軸上存在點(diǎn)，使是等腰三角形，請(qǐng)直接寫出滿足要求的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）y=x；（2）k=；（3）當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）或（6,0）或（，0）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解；（2）如圖，作AE⊥OA交直線y=kx于E，AD⊥x軸于D，EH⊥AD于H，證明△OAD≌△AEH，得到AH=OD=3，EH=AD=4，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)求解；（3）先確定點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，即B（7,1），由勾股定理求出AB=，分三種情況：①當(dāng)AC=BC時(shí)，②當(dāng)AB=AC=5時(shí)，③當(dāng)AB=BC=5時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）設(shè)直線OA的解析式為y=mx，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，得3m=4，解得m=，∴直線OA的解析式為y=x；（2）如圖，作AE⊥OA交直線y=kx于E，AD⊥x軸于D，EH⊥AD于H，∵∠AOE=，∠OAE=，∴∠AEO=∠AOE=，∴OA=AE，∵AD⊥x，，EH⊥AD，∴∠ADO=∠AHE=∠OAE=，∴∠OAD+∠HAE=∠HAE+∠AEH=，∴∠OAD=∠AEH，∴△OAD≌△AEH，∴AH=OD=3，EH=AD=4，∴HD=1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（7,1），將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入y=kx中，得7k=1，解得k=；（3）∵點(diǎn)B在直線y=x上，縱坐標(biāo)為1，∴點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，即B（7,1），∵A（3，4），B（7,1），∴AB=，分三種情況：①當(dāng)AC=BC時(shí)，作CM⊥AB，則AM=BM，∴M(5，2.5)，∵CM∥OA，∴設(shè)直線CM的解析式為y=x+n，∴，解得n=，∴y=x，當(dāng)y=0時(shí)，x=0，解得x=，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）；②當(dāng)AB=AC=5時(shí)，∵OA=AB，∴AC=OA，∴OC=6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,0）；③當(dāng)AB=BC=5時(shí)，作BN⊥x軸于N，∵ON=7，BN=1，BC=5，∴CN==，∴OC=ON+CN=，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），綜上，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）或（6,0）或（，0）．．【點(diǎn)睛】此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，這是一道一次函數(shù)的綜合題，解題中注意運(yùn)用分類思想解決問題．11．（上海八年級(jí)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，設(shè)AD＝x，△AOB的面積為y．（1）求∠DBC的度數(shù)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）如圖1，設(shè)點(diǎn)P、Q分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，分別聯(lián)結(jié)OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的長．【答案】（1）∠DBC＝45；（2）y＝x（x＞0）；（3）滿足條件的AD的值為10﹣10．【分析】（1）過點(diǎn)D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點(diǎn)，只要證明△BDE是等腰直角三角形即可解決問題；（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，由題意OA=x，OB=5，根據(jù)y=?OA?OB計(jì)算即可；（3）分三種情形討論即可解決問題；【詳解】（1）過點(diǎn)D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點(diǎn)．∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，∴四邊形ACED為平行四邊形，AC＝DE，AD＝CE，∵AB＝CD，∴梯形ABCD為等腰梯形，∴AC＝BD，∴BD＝DE，又AC⊥BD，∴∠BOC＝90°∵AC∥DE∴∠BDE＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC＝45°．（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，∵AD＝x，BC＝10，∴OA＝x，OB＝5，∴y＝．（3）如圖2中，①當(dāng)PQ＝PO＝BC＝5時(shí)，∵AQ＝QB，BP＝PC＝5，∴PQ∥AC，PQ＝AC，∴AC＝10，∵OC＝5，∴OA＝10﹣5，∴AD＝OA＝10﹣10．②當(dāng)OQ＝OP＝5時(shí)，AB＝2OQ＝10，此時(shí)AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∠ABC＝90°，同理可證：∠DCB＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，不符合題意，此種情形不存在．③當(dāng)OQ＝PQ時(shí)，AB＝2OQ，AC＝2PQ，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°＝∠BOC，顯然不可能，綜上所述，滿足條件的AD的值為10﹣10．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、梯形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題.12．（上海八年級(jí)期末）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，．E是邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE、CE，且DE⊥CE．設(shè)AD=x，BC=y．（1）如果∠BCD=60°，求CD的長；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)BD．如果△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形，求x的值．【答案】（1）4；（2）x＞0，且；（3）【解析】（1）首先過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，由AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，可求得DH的長，然后設(shè)CH=x，則CD=2x，利用勾股定理即可求得方程：x2+（2）2=4x2，解此方程即可求得答案；（2）首先取CD的中點(diǎn)F，連接EF，由梯形的中位線，可表示出EF的長，易得四邊形ABHD是平行四邊形，然后由勾股定理可得：（y﹣x）2+12=（x+y）2，繼而求得答案；（3）分別從CD=BD或CD=BC去分析求解即可求得答案．解：（1）過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為點(diǎn)H．∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，∴DH=AB=2，在Rt△DHC中，∵∠BCD=60°，∴∠CDH=30°．∴CD=2CH，設(shè)CH=x，則CD=2x．利用勾股定理，得CH2+DH2=CD2．即得：x2+（2）2=4x2．解得x=2（負(fù)值舍去）．∴CD=4；（2）取CD的中點(diǎn)F，連接EF，∵E為邊AB的中點(diǎn)，∴EF=（AD+BC）=（x+y）．∵DE⊥CE，∴∠DEC=90°．又∵DF=CF，∴CD=2EF=x+y．由AB⊥BC，DH⊥BC，得∠B=∠DHC=90°．∴AB∥DH．又∵AB=DH，∴四邊形ABHD是平行四邊形．∴BH=AD=x．即得CH=|y﹣x|，在Rt△DHC中，利用勾股定理，得CH2+DH2=CD2．即得（y﹣x）2+12=（x+y）2．解得，∴所求函數(shù)解析式為．自變量x的取值范圍是x＞0，且；（3）當(dāng)△BCD是以邊CD為腰的等腰三角形時(shí)，有兩種可能情況：CD=BD或CD=BC．（i）如果CD=BD，由DH⊥BC，得BH=CH．即得y=2x．利用，得．解得，．經(jīng)檢驗(yàn)：，，且不合題意，舍去．∴；（ii）如果CD=BC，則x+y=y．即得x=0（不合題意，舍去），綜上可得：．“點(diǎn)睛”此題屬于四邊形的綜合題．考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．注意掌握輔助線的作法，掌握方程思想與分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三：存在直角三角形直角三角形的特征非常明顯，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直角三角形中一般有兩個(gè)頂點(diǎn)是確定的，另一個(gè)頂點(diǎn)在某個(gè)函數(shù)圖像上，通常用兩點(diǎn)間的距離公式表示出第三條邊后再討論三角形的哪個(gè)角有可能是直角，根據(jù)這個(gè)直角的條件結(jié)合題目條件進(jìn)行計(jì)算，此類綜合題需要用到的知識(shí)較多，需要考察學(xué)生的思維、分析能力．1．（2022春·上海青浦·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，四邊形中，，是邊的中點(diǎn)．已知，．(1)連接，求證；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求邊的長．【答案】(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）連接并延長交的延長線于，判斷出≌，得出，進(jìn)而判斷出，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，得出，再判斷出，即可求出答案；（3）分兩種情況①當(dāng)時(shí)，判斷出≌，得出，進(jìn)而判斷出，即可得出答案；②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可列出關(guān)于x的方程，即可求出答案．（1）證明：如圖，連接并延長交的延長線于，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，≌，，，，；（2）解：，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，由（1）知，，，，，；（3）（3）是直角三角形，①當(dāng)時(shí)，如圖，，，，在和中，，≌，，，，，；②當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，設(shè)，由題意，四邊形ABFD是矩形，∴AB=DF，BF=AD=2，∴FC=x-2，在Rt△DFC中，；，在Rt△BDC中，，在Rt△ABD中，，∴，，（舍去負(fù)值），③∠DBM=時(shí)，不符合題意；綜上所述的長為或．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．2．（2022春·上海·八年級(jí)上海市張江集團(tuán)中學(xué)?？计谀咎骄颗c應(yīng)用】我們把平行四邊形沿著它的一條對(duì)角線翻折，會(huì)發(fā)現(xiàn)有很多結(jié)論．例如：在平行四邊形ABCD中，，將△ABC沿直線AC翻折至△AEC，連結(jié)DE，則AC∥ED．(1)如圖1，若AD與CE相交于點(diǎn)O，證明以上個(gè)結(jié)論；(2)如圖2，AD與CE相交于點(diǎn)O，若，，，求△AOC的面積；(3)如果，，當(dāng)A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)畫圖并求出AC的長；(4)如果，，當(dāng)△AED是直角三角形時(shí)，直接寫出BC的長．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)或2；圖形見解析；(4)或或【分析】（1）由平行四邊形的定義可得AD∥BC，AD=BC，由折疊的性質(zhì)可得∠ACB=∠ACE，BC=CE，于是可得△OAC、△ODE是等腰三角形，利用對(duì)頂角相等求得∠OCA和∠OED即可證明；（2）設(shè)OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，由折疊的性質(zhì)可得OC=2-x，由∠B=90°可得ABCD是矩形，Rt△ODC中由勾股定理建立方程求得x，進(jìn)而求得OA即可解答；（3）分∠ACB=45°和∠ACB=90°兩種情況作出圖形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)計(jì)算求值即可；（4）分∠ACB=60°，∠ACB=90°和∠ACB=30°，三種情況，根據(jù)30°直角三角形的邊長關(guān)系和勾股定理計(jì)算求值即可；【詳解】（1）證明：∵ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∴∠OAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ACE，∴∠OAC=∠OCA，∴OA=OC，∠OCA=（180°-∠AOC），∵BC=CE，BC=AD，∴AD=CE，∴AD-OA=CE-OC，∴OE=OD，∴∠OED=（180°-∠EOD），∵∠AOC=∠EOD，∴∠OCA=∠OED，∴AC∥DE；（2）解：設(shè)OD=x，由（1）解答可得OD=OE=x，∵CE=CB=2，∴OC=2-x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=，AD=BC=2，∠ADC=90°，Rt△ODC中，OC2=OD2+CD2，∴（2-x）2=x2+2，∴x=，∴OA=AD-OD=，∴△OAC面積=OA?CD=；（3）解：①如圖，∠ACB=45°時(shí)，∠B=45°，AB=AC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BCD=135°，∴∠ACD=90°，∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB=90°，AC∥ED，∴∠AED=90°，∠CDE=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵AB=AC=AE，∴四邊形ACDE是正方形，∵CE=CB=2，∴AC2+AE2=CE2，∴AC=；②如圖，∠ACB=90°時(shí)，∠B=∠BAC=45°，CA=CB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=45°，則∠BAD=135°，∴∠CAD=90°，∵AC∥ED，∴∠ADE=90°，∠CED=90°，∴四邊形ACDE是矩形，∵BC=CE=CA，∴四邊形ACDE是正方形，∴AC=2；∴AC=或2；（4）解：①如圖，∠ACB=60°時(shí)，∠B=30°，則∠BAC=90°，∴∠CAE=90°，∵AC∥DE，∴∠AED=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，BC=2AC，∴BC2=AB2+AC2=9+BC2，BC=；②如圖，∠ACB=90°時(shí)，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠B=30°，則∠BAD=150°，∵∠BAC=90°-∠B=60°，∴∠CAD=90°，∵AC∥DE，∴∠ADE=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABC中，AB=3，AC=，∴BC==，③如圖，∠ACB=30°時(shí)，作AH⊥BC于點(diǎn)H，由四邊形ABCD是平行四邊形得AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=120°，由折疊的性質(zhì)可得∠EAC=∠BAC=120°，∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=90°，則△AED是直角三角形，Rt△ABH中，AB=3，AH=，∴BH=，∠B=∠ACB=30°，AH⊥BC，則BH=HC=BC，∴BC=2BH=，綜上所述BC的長為：或或.【點(diǎn)睛】本題考查了特殊平行四邊形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30°直角三角形，勾股定理等知識(shí)；正確作出圖形并分類討論是解題關(guān)鍵．3．（2022春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖1，已知O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E在邊CB的延長線上，連結(jié)EO，OF⊥OE交BA延長線于點(diǎn)F，連結(jié)EF．(1)求證：EO＝FO；(2)若正方形的邊長為2，OE＝2OA，求BE的長；(3)當(dāng)OE＝2OA時(shí)，將△FOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△F1OE1，使得∠BOE1＝30°時(shí)，試猜想并證明△AOE1是什么三角形．【答案】(1)見解析(2)(3)△AOE1是直角三角形【分析】（1）證明即可；（2）由正方形性質(zhì)及勾股定理可求得OA長，則可得OE、OF長，由勾股定理得EF長，在中，利用勾股定理建立關(guān)于BE的方程，解方程即可求得BE；（3）連結(jié)，過A做AM⊥，設(shè)OA=a，則由已知可得OE1、OM、AM、ME1的長，由勾股定理可求得AE1的長，再由勾股定理的逆定理即可判斷．(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∠OAB=∠OBC=45°．∴∠BOE+∠EOA=90°，．∵∠EOF＝∠AOF+∠EOA=90°，∴．∵，，，∴．∴OE＝OF．(2)∵正方形的邊長為2，∴由勾股定理得：．∴．∴．∴在中，由勾股定理得：．由（1）可得：．∵在中，由勾股定理得：，∴，解得：；(3)聯(lián)結(jié)，過A做AM⊥，如圖．∵∠BOE1＝30°，∴．設(shè)，則，，由勾股定理得：．∴．∴．∴．∴△AOE1是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及其逆定理的綜合運(yùn)用，解題時(shí)注意從多個(gè)角度分析．4．（2022春·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，正方形ABCD的邊長為1，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在邊AB、對(duì)角線BD上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B都不重合）且AE＝DF．(1)設(shè)DF＝x，CF2＝y(tǒng)，求：y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(2)求證：FC＝FE；(3)是否存在以線段AE、DF、CF的長為邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)存在，【分析】（1）根據(jù)已知得出FG＝DG＝x，GC＝1﹣x，在Rt△FCG中，利用CF2＝CG2+FG2得出即可；（2）延長GF交AB于H，易證矩形AHGD，再利用SAS證明Rt△FCG≌Rt△EFH即可得出答案；（3）分別討論①若CF為斜邊以及②若AE為斜邊得出答案即可．（1）解：過F作FG⊥DC于G，則∠FGD＝∠FGC＝90°

∵正方形ABCD中，BD是對(duì)角線，∴∠BDG＝45°，∵∠FGD＝90°，DF＝x，∴FG＝DG＝x，∵正方形ABCD的邊長為1，∴GC＝1﹣x，在Rt△FCG中，CF2＝CG2+FG2＝（1﹣x）2+（x）2＝x2﹣x+1，∴y＝x2﹣x+1（0＜x＜）；（2）延長GF交AB于H，∵∠A＝∠ADG＝∠DGH＝90°，∴四邊形AHGD是矩形，∴AH＝DG＝x，∵AE＝x，∴HE＝x，∴GF＝HE，CG＝FH，∵∠CGF＝∠FHE＝90°，∴Rt△FCG≌Rt△EFH（SAS），∴FC＝FE，（3）∵AE＝DF，∴DF＜AE，∴若存在以AE、DF、CF的長為邊的直角三角形，則DF不可能為斜邊，①若CF為斜邊，則x2+（x）2＝x2﹣x+12x2+x﹣1＝0，x＝，x＝（負(fù)值舍去），②若AE為斜邊，則x2+x2﹣x+1＝（x）2，解得：x＝，∵0＜x＜，∴舍去綜上所述當(dāng)x＝時(shí)，存在以AE、DF、CF的長為邊的直角三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定以及勾股定理應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)已知得出熟練利用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．5．（2022春·上海青浦·八年級(jí)?？计谥校┮阎L方形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為（8，6），點(diǎn)A，C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC＝m．（1）已知點(diǎn)D在第一象限且是直線y＝2x＋6上的一點(diǎn)，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，則D點(diǎn)縱坐標(biāo)可用含n的代數(shù)式表示為，此時(shí)若△APD是等腰直角三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）直線y＝2x＋b過點(diǎn)（3，0），請(qǐng)問在該直線上，是否存在第一象限的點(diǎn)D使△APD是等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出這些點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）點(diǎn)D（4,14）；（2）存在第一象限的點(diǎn)D使△APD是等腰直角三角形，點(diǎn)D的坐標(biāo)或．【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E，PF⊥y軸于F，設(shè)D點(diǎn)橫坐標(biāo)為n，點(diǎn)D在第一象限且是直線y＝2x＋6上的一點(diǎn)，可得點(diǎn)D（n,2n+6）,根據(jù)△APD是等腰直角三角形，可得∠EDA=∠FAP，可證△EDA≌△FAP（AAS），可得AE=PF，ED=FA，再證四邊形AFPB為矩形，得出點(diǎn)D（n，14），根據(jù)點(diǎn)D在直線y＝2x＋6上，求出n=4即可；（2）直線y＝2x＋b過點(diǎn)（3，0），求出b=-6，設(shè)點(diǎn)D（x,2x-6），分三種情況當(dāng)∠ADP=90°，AD=DP，△ADP為等腰直角三角形，證明△EDA≌△FPD（AAS），再證四邊形OCFE為矩形，EF=OC=8，得出DE+DF=x+2x-14=8；當(dāng)∠APD=90°，AP=DP，△ADP為等腰直角三角形，先證△ABP≌△PFD（AA