高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(提升版)(新高考地區(qū)專用)7.4空間距離(精講)(提升版)(原卷版+解析)

7.4空間距離（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一點(diǎn)線距【例1】(2023·浙江紹興）如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·湖南益陽(yáng)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．2．(2023·山東）點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離是______．3．(2023云南）如圖，已知三棱柱的棱長(zhǎng)均為2，，．(1)證明：平面平面ABC；(2)設(shè)M為側(cè)棱上的點(diǎn)，若平面與平面ABC夾角的余弦值為，求點(diǎn)M到直線距離．考點(diǎn)二點(diǎn)面距【例2-1】(2023·哈爾濱）在長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)到平面的距離等于_____.【例2-2】(2023·河北廊坊）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．【一隅三反】1.(2023·江蘇常州）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別為上底面和側(cè)面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．2．(2023·福建省福州第一中學(xué)高一期末）將邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面⊥平面，則點(diǎn)到平面的距離等于（

）A． B． C． D．3．(2023·內(nèi)蒙古）如圖，在長(zhǎng)方體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2a的正方形，AD＝2AB.(1)若長(zhǎng)方體的表面積為200，求a的值；(2)若a＝1，求點(diǎn)到平面的距離h.考點(diǎn)三線線距【例3】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．(2023·山東）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．2．(2023·江蘇）長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)四線面距【例4-1】(2023·湖南）在長(zhǎng)方體中，M、N分別為、AB的中點(diǎn)，AB＝4，則MN與平面的距離為_(kāi)_____．【例4-2】(2023廣西）如圖，已知斜三棱柱在底面上的射影恰為的中點(diǎn)又知.(1)求證:平面;(2)求到平面的距離.【一隅三反】1．(2023·江西?。┤鐖D，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：(1)平面ADD1A1與平面BCC1B1的距離.(2)點(diǎn)D1到直線AC的距離.(3)直線AB與面A1DCB1的距離.2．(2023·上海市控江中學(xué)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.(1)求直線與平面所成的角的大?。?2)求直線到平面的距離.3．(2023·北京）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E、F分別是、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在線段BD上是否存在點(diǎn)H，使得EH⊥平面？若存在，求點(diǎn)H的位置；若不存在，說(shuō)明理由；(3)求EF到平面的距離．考點(diǎn)五面面距【例5-1】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．【例5-2】(2023·廣東揭陽(yáng)）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點(diǎn)，且，D、F、G分別是、、的中點(diǎn)，與相交于．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的距離．【一隅三反】1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．2．(2023·福建廈門）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過(guò)E作平面，使得//平面BDF.(1)作出截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫(xiě)出作圖過(guò)程并說(shuō)明理由；(2)求平面與平面的距離.3．(2023·江西?。┤鐖D，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1與CC1的中點(diǎn).(1)證明：平面EB1D1平面FBD；(2)求平面EB1D1與平面FBD之間的距離.7.4空間距離（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一點(diǎn)線距【例1】(2023·浙江紹興）如圖，在正三棱柱中，若，則C到直線的距離為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意知，，取AC的中點(diǎn)O，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以在上的投影的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)C到直線的距離為：.故選：D【一隅三反】1．(2023·湖南益陽(yáng)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．答案：B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得，，，，，所以在上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為故選：B2．(2023·山東）點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，是直線的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離是______．答案：【解析】由題意，點(diǎn)和，可得，且，所以點(diǎn)到直線的距離是.故答案為：.3．(2023云南）如圖，已知三棱柱的棱長(zhǎng)均為2，，．(1)證明：平面平面ABC；(2)設(shè)M為側(cè)棱上的點(diǎn)，若平面與平面ABC夾角的余弦值為，求點(diǎn)M到直線距離．答案：(1)見(jiàn)解析(2)【解析】(1)取AC的中點(diǎn)O，連接，，，所以由題設(shè)可知，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，由，，所以所以平面ABC；平面,所以平面平面ABC；(2)以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸，以所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以設(shè)可得，設(shè)平面的法向量為則即取所以因?yàn)闉槠矫鍭BC的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面ABC夾角為，解得，所以所以點(diǎn)M到直線距離考點(diǎn)二點(diǎn)面距【例2-1】(2023·哈爾濱）在長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)到平面的距離等于_____.答案：【解析】如圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，點(diǎn)到平面的距離：．故答案為：.【例2-2】(2023·河北廊坊）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面的距離為（

）A．1 B． C． D．答案：B【解析】設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為h，因?yàn)辄c(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面的距離等于點(diǎn)B到平面的距離的一半，又平面過(guò)的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B到平面的距離等于點(diǎn)D到平面的距離，由等體積法，所以，，，在中，，所以，則解得，即點(diǎn)E到平面的距離為.故選：B.【一隅三反】1.(2023·江蘇常州）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別為上底面和側(cè)面的中心，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，故點(diǎn)到平面的距離為.故選：A.2．(2023·福建省福州第一中學(xué)高一期末）將邊長(zhǎng)為2的正方形沿對(duì)角線折起，使得平面⊥平面，則點(diǎn)到平面的距離等于（

）A． B． C． D．答案：D【解析】取中點(diǎn)為,四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，，則，，由題知，平面平面，且交線為，.且平面，則平面，又平面，所以，在中，，是等邊三角形，則，則在中，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，即：，解得：，即到平面的距離為．故選：D．3．(2023·內(nèi)蒙古）如圖，在長(zhǎng)方體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2a的正方形，AD＝2AB.(1)若長(zhǎng)方體的表面積為200，求a的值；(2)若a＝1，求點(diǎn)到平面的距離h.答案：(1)(2)【解析】（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，.所以長(zhǎng)方體的表面積為，所以，解得；（2）因?yàn)?，由已知得，，連接，，在三棱錐中，，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，點(diǎn)到平面的距離為，在中，由勾股定理知，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，，所以的面積，因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，又所以，所以，解得.考點(diǎn)三線線距【例3】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系則設(shè)直線與的公垂線的方向向量為則不妨令又則異面直線與之間的距離故選：D【一隅三反】1．(2023·山東）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)和的公垂線的方向向量，則，即，令，則，，.故選：D.2．(2023·江蘇）長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)與的公垂線的一個(gè)方向向量為，則，取，得，，即，又，所以異面直線與之間的距離為．故選：D．3．(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，可知此時(shí)到直線距離最短設(shè)，，則，，，，即，，即，，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故直線與之間的距離是.故選：B.考點(diǎn)四線面距【例4-1】(2023·湖南）在長(zhǎng)方體中，M、N分別為、AB的中點(diǎn)，AB＝4，則MN與平面的距離為_(kāi)_____．答案：2【解析】連接，在長(zhǎng)方體中，M、N分別為、AB的中點(diǎn)，則，則四邊形為平行四邊形，則又平面，平面，則平面又平面，則即為直線MN與平面的距離又，則直線MN與平面的距離為2.故答案為：2【例4-2】(2023廣西）如圖，已知斜三棱柱在底面上的射影恰為的中點(diǎn)又知.(1)求證:平面;(2)求到平面的距離.答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：∵在底面上的射影為的中點(diǎn)，∴平面平面，∵，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，且，平面，∴平面．（2）解：取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵平面，平面，∴，∴四邊形是菱形，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，，，，∴，，設(shè)平面的法向量，則，，取，，到平面的距離．，平面，平面

平面，到平面的距離等于到平面的距離.【一隅三反】1．(2023·江西省）如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：(1)平面ADD1A1與平面BCC1B1的距離.(2)點(diǎn)D1到直線AC的距離.(3)直線AB與面A1DCB1的距離.答案：(1)2(2)(3)【解析】(1)因?yàn)槠矫鍭DD1A1與平面BCC1B1平行，故平面ADD1A1與平面BCC1B1的距離即(2)連接，由題意，，，.因?yàn)闉榈妊切?，故，設(shè)點(diǎn)D1到直線AC的距離為，則，解得，即點(diǎn)D1到直線AC的距離為(3)連接，交于，因?yàn)殚L(zhǎng)方體中，故正方形，故，且平面，又平面，故，又，故平面，故直線AB與面A1DCB1的距離為.2．(2023·上海市控江中學(xué)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.(1)求直線與平面所成的角的大??；(2)求直線到平面的距離.答案：(1)(2)【解析】(1)在長(zhǎng)方體中，平面,即平面，則即為直線與平面所成的角，由于，，故，即直線與平面所成的角為；(2)在長(zhǎng)方體中，由于,故四邊形是平行四邊形，故，而平面，平面，故平面，則點(diǎn)B到平面的距離即為直線到平面的距離.；而,故,設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，則,即,則，即直線到平面的距離為.3．(2023·北京）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E、F分別是、的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在線段BD上是否存在點(diǎn)H，使得EH⊥平面？若存在，求點(diǎn)H的位置；若不存在，說(shuō)明理由；(3)求EF到平面的距離．答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析(3)【解析】(1)連接，由正方體的性質(zhì)知：，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)樵谌切沃?，，平面，平面，平?(2)取的中點(diǎn)，則滿足平面，證明如下：連接交于，連接，，，，，，則，，，，∴在中，由，得，∴在中，由，得，∴在中，由，得，∴在中，，，又∵，，平面，∴平面(3)平面，又因?yàn)槠矫妫瑸榻坏慕稽c(diǎn)，所以EF到平面的距離即為，由（2）知考點(diǎn)五面面距【例5-1】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為的正方體中，則平面與平面之間的距離為A． B．C． D．答案：B【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，即，解得，故，顯然平面平面，所以平面與平面之間的距離．【例5-2】(2023·廣東揭陽(yáng)）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點(diǎn)，且，D、F、G分別是、、的中點(diǎn)，與相交于．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的距離．答案：(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)證明：由直三棱柱的性質(zhì)得平面平面，又，平面平面，平面，平面，又平面，，，在和中，，，即，又，平面平面．(2)解：由題意知，在中，，又，，平面，平面，平面，、分別為、的中點(diǎn)，，又，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面平面．平面，平面平面，平面，為平行平面與之間的距離，，即平面與之間的距離為．【一隅三反】1.(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為a，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由正方體的性質(zhì)，∥,∥，，，易得平面平面，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面的距離．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，．