湖北省黃岡市文海大聯(lián)考2024屆高三下學期臨門一卷（三模） 數(shù)學試題【含答案】

文海大聯(lián)考·2024屆高三臨門一卷數(shù)學組織命題：黃岡市文海教科院本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若復數(shù)的實部大于0，且，則（

）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，點在直線上.若向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．設，是兩個平面，，，是三條直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，則5．將1至8這8個整數(shù)排成一列，要求任意相鄰兩項互質，則不同的排列方法有（

）A．1296種 B．1728種 C．2304種 D．2592種6．已知為銳角，，則（

）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且單調遞增．若，則（

）A． B． C． D．8．雙曲線的左、右頂點分別為，左、右焦點分別為，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點.若，且，則直線與的斜率之積為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9．甲在一次面試活動中，7位考官給他的打分分別為：61、83、84、87、90、91、92．則下列說法正確的有（

）A．去掉一個最低分和一個最高分后，分數(shù)的平均數(shù)會變小B．去掉一個最低分和一個最高分后，分數(shù)的方差會變小C．這7個分數(shù)的平均數(shù)小于中位數(shù)D．這7個分數(shù)的第70百分位數(shù)為8710．已知函數(shù)的圖象向左平移個單位后到函數(shù)的圖象（如圖所示），則（

）A．B．在上為增函數(shù)C．當時，函數(shù)在上恰有兩個不同的極值點D．是函數(shù)的圖象的一條對稱軸11．已知定義在上的函數(shù)，，其導函數(shù)分別為，，，，且，則（

）A．的圖象關于點中心對稱 B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知集合，函數(shù).若函數(shù)滿足：對任意，存在，使得，則的解析式可以是.（寫出一個滿足條件的函數(shù)解析式即可）13．已知拋物線的焦點為,，是拋物線上關于其對稱軸對稱的兩點，若，為坐標原點，則點的橫坐標為.14．如圖，在直三棱柱中，，分別為線段，的中點，，，平面平面，則四面體ABMN的外接球的表面積為．

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發(fā)出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動．開學后，學校統(tǒng)計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間（單位：分鐘），得到了如下所示的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度比為3：2：1．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于60分鐘的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學生作為代表分兩周進行國旗下演講，假設第一周演講的3名學生日均閱讀時間處于[80，100）的人數(shù)記為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)當時，求函數(shù)的最小值．17．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面平面ABCD，，點E是線段AD的中點，.(1)證明：//平面BDM；(2)求平面AMB與平面BDM的夾角.18．已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上，且垂直于軸．(1)求橢圓的方程；(2)直線斜率存在，交橢圓于兩點，三點不共線，且直線和直線關于對稱．（?。┳C明：直線過定點；（ⅱ）求面積的最大值．19．數(shù)列滿足：是等比數(shù)列，，且．(1)求；(2)求集合中所有元素的和；(3)對數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試分別判斷數(shù)列是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”．若是，求出所有的值；若不是，說明理由．1．D【分析】直接求交集即可.【詳解】，則.故選：D2．D【分析】設，再根據(jù)復數(shù)的乘法和除法運算結合復數(shù)相等的定義求出即可得解.【詳解】設，代入，得，解得：，所以.故選：D.3．C【分析】確定直線的方向向量，結合數(shù)量積的運算判斷出為直線的法向量，結合投影向量的含義即可求得答案.【詳解】由題意設直線的方向向量為，則，而，則，即為直線的法向量，又O到直線的距離為，故在上的投影向量為，

故選：C4．B【分析】根據(jù)題意，結合線面位置關系的判定定理和性質定理，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，若，，，則相交或平行，所以A錯誤；對于B中，若，，由線面平行的性質可得，所以B正確；對于C中，若，，，當兩兩相交時，兩兩相交，所以C錯誤；對于D中，若，，則或，所以D錯誤.故選：B.5．B【分析】任意相鄰兩項互質，采用插空法，由排列組合的知識求解即可【詳解】由于任意相鄰兩項互質，所以偶數(shù)必須隔開，所以先把四個奇數(shù)排成一列有種方法，然后把偶數(shù)插空進去，四個偶數(shù)中只有不能與相鄰，其他偶數(shù)可以隨意插空，所以先考慮把插空，有種選擇，剩下的個偶數(shù)在剩下的個空中隨意插空，所以共有：.故選：B.6．D【分析】借助三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關系計算即可得.【詳解】因為為銳角，所以，，又，所以，而，所以，所以，因此.故選：D．7．A【分析】因為數(shù)列為遞增數(shù)列，所以從第二項開始，各項均為正數(shù)，由此可求得取值范圍.【詳解】因為為等差數(shù)列，且，所以，又數(shù)列為遞增數(shù)列，所以從第二項開始，各項均為正數(shù).由.因為恒成立，所以數(shù)列為常數(shù)數(shù)列或遞增數(shù)列，所以.綜上，.故選：A8．D【分析】設，由雙曲線定義和題目條件，表達出，，，在中，由余弦定理得，則，在中，由余弦定理得，故，設，求出直線與的斜率之積為.【詳解】設，則，由雙曲線定義得，，在中，由余弦定理得，解得，則，，在中，由余弦定理得，解得，則，，設，則，將代入得，則直線與的斜率之積為.故選：D【點睛】結論點睛：圓錐曲線中點弦相關結論及其推廣：橢圓與直線相交于兩點，弦的中點為，其中原點為，則，推廣：已知橢圓的兩頂點分別為，則橢圓上一點（除兩點），滿足；雙曲線與直線相交于兩點，弦的中點為，其中原點為，則，推廣：已知雙曲線的兩頂點分別為，則雙曲線上一點（除兩點），滿足；9．BC【分析】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，百分位數(shù)公式，以及方差的意義，即可判斷選項.【詳解】A.7個數(shù)的平均數(shù)是，去掉最高分和最低分后的平均數(shù)是，平分數(shù)變高了，故A錯誤；B.去掉最高分和最低分，波動變小了，所以方差會變小，故B正確；C.這7個數(shù)的中位數(shù)是，，故C正確；D.，所以這7個數(shù)的70百分位數(shù)位第5個數(shù)字，故D正確.故選：BC10．BCD【分析】根據(jù)圖象求出解析式，由平移可得解析式即可判斷A，根據(jù)所給自變量范圍及正弦函數(shù)的單調性判斷B，根據(jù)自變量范圍及參數(shù)范圍，確定的范圍即可判斷C，由三角恒等變換化簡，由正弦型函數(shù)的對稱性判斷D.【詳解】根據(jù)平移性質，可設，由圖象可得，即，解得，所以，又，所以，即，對于A，則，即，故A錯誤；對于B，當時，，由正弦函數(shù)單調性知，在上為增函數(shù)，故B正確；對于C，，當時，，因為，所以，顯然能取到，不能取到，所以函數(shù)在上恰有兩個不同的極值點，故C正確；對于D，因為，所以當時，取得最大值，所以是函數(shù)的一條對稱軸，故D正確.故選：BCD11．BCD【分析】先根據(jù)條件分析出的周期性和對稱性，再得到的周期性，根據(jù)函數(shù)性質即可得結果.【詳解】由題意可得，兩式相減可得①，所以的圖象關于點成中心對稱，故A錯誤；由②，②式兩邊對求導可得，可知是偶函數(shù)，以替換①中的可得，可得，所以是周期為4的周期函數(shù)，故B正確；因為，可知也是周期為4的周期函數(shù)，即，兩邊求導可得，所以，故C正確；因為，令，則，即，又因為是偶函數(shù)，所以，又因為是周期為4的周期函數(shù)，則，由可得，所以，D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點睛：解決這類題的關鍵是熟練掌握對稱與周期的關系，若關于兩點（縱坐標相同）或者兩條直線（平行于軸）對稱，則周期為這兩點或者這兩條直線的距離的兩倍，若關于一點和一直線（平行于軸）對稱，則周期為這點和這條直線的距離的四倍.12．（滿足，且一次項系數(shù)不為零的所有一次或者二次函數(shù)解析式均正確）【分析】根據(jù)，求得，則滿足的一次函數(shù)或二次函數(shù)均可.【詳解】，，，，，，所以，則的解析式可以為.經(jīng)檢驗，滿足題意.故答案為：（答案不唯一）.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)函數(shù)的形式，確定函數(shù)的關鍵特征和條件.13．##【分析】由題可知，，故，寫出對應的坐標計算即可求解點的橫坐標.【詳解】因為拋物線的焦點為，則，又因為，是拋物線上關于其對稱軸對稱的兩點，設，因為，則，所以，解得（舍）或.即點的橫坐標為，故答案為：14．【分析】取BN的中點，連接CD，由等腰三角形的性質與面面垂直的性質定理證平面ABN，由線面垂直的性質定理與判定定理證平面，進而推出，利用勾股定理的逆定理證，進而確定四面體ABMN的外接球的球心與半徑，利用球的表面積公式即可得解.【詳解】如圖，取BN的中點，連接CD，

因為，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面ABN，又平面ABN，所以，依題意平面ABC，平面ABC，所以，又，，平面，所以平面，又BN，平面，所以，，所以，所以，連接，則，所以，又，所以，所以，所以與共斜邊，所以四面體ABMN的外接球的球心為的中點，且外接球半徑，所以該球的表面積．【點睛】結論點睛：（1）正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點；（2）正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點；（3）直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點；（4）正棱錐的外接球的球心在其高上；（5）若三棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是外接球的球心．15．(1)67（分鐘）(2)分布列見解析；期望為1【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)等于每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和求解；（2）依題意求出隨機變量的分布列，并利用數(shù)學期望公式求解.【詳解】（1）由題知：各組頻率分別為：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均閱讀時間的平均數(shù)為：（分鐘）（2）由題意，在[60，80），[80，100），[100，120]三組分別抽取3，2，1人的可能取值為：0，1，2則

所以的分布列為：01216．(1)(2)【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義得出切線方程；（2）對函數(shù)求導，用導數(shù)方法判斷函數(shù)在上的單調性，即可得出結果.【詳解】（1）由，得，所以，，函數(shù)在處的切線方程（2）令，當時，，則，所以，所以，所以在單調遞減；當時，，則，此時，所以在單調遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值；所以當時，函數(shù)的最小值為17．(1)證明見解析(2).【分析】（1）連接交于，連接,根據(jù)條件證明//即得；（2）先證明平面，依題建系，求出相關點和向量的坐標，分別求得平面AMB與平面BDM的法向量，最后由空間向量的夾角公式求解即得.【詳解】（1）如圖，連接交于，連接,由是的中點可得，易得與相似，所以，又，所以//，又平面平面，所以//平面；（2）因平面平面，且平面平面，由，點E是線段AD的中點可得又平面，故得平面.如圖，取的中點為,分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標系.則，，，則，.設平面的法向量為，由，則，故可??；設平面的法向量為，由，則，故可取.故平面與平面的夾角余弦值為，所以平面與平面的夾角為.18．(1)(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）【分析】（1）由焦點坐標和橢圓上的點，求橢圓的方程；（2）設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由，結合韋達定理得系數(shù)間的關系，可得直線所過定點，利用面積公式表示出的面積，由基本不等式求最大值.【詳解】（1）點在橢圓上，且垂直于軸，則有設橢圓的焦距為，則，點代入橢圓方程，有，解得，則，所以橢圓的方程為.（2）（?。┰O直線l的方程為，由，消去y，整理得，因為l交橢圓C于兩點，所以，設，所以，因為直線和直線關于對稱，所以所以所以解得.所以直線l的方程為，所以直線l過定點.（ⅱ）設直線l的方程為，由，消去，整理得，因為l交橢圓C于兩點，所以，解得，，所以，所以令則，當且僅當時取等號，所以面積的最大值為.【點睛】方法點睛：解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19．(1)，(2)(3)數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”，，數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義求出的通項公式，由已知和求通項可得的通項公式，（2）根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式可得結