2024遼寧中考數(shù)學二輪專題復(fù)習 微專題 常考全等模型（課件）

微專題?？既饶Ｐ湍Ｐ鸵黄揭菩湍Ｐ头治瞿Ｐ驼故疽阎狟E＝CF，AB∥DE，AC∥DF.模型特點沿同一直線(BC)平移可得兩個三角形重合解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)加(減)CE，得BC＝EF；(2)利用平行線性質(zhì)找對應(yīng)角相等模型應(yīng)用1.如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF.求證：∠A＝∠D.第1題圖證明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.在△ABC和△DFE中，

∴△ABC≌△DFE，∴∠A＝∠D.模型二軸對稱型模型分析模型展示有公共邊有公共頂點模型特點所給圖形沿公共邊所在直線或者經(jīng)過公共頂點的某條直線折疊，兩個三角形完全重合解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)找公共角、垂直、對頂角、等腰等條件得對應(yīng)角相等；(2)找公共邊、中點、等底角、相等邊、線段的和差等條件得對應(yīng)邊相等模型應(yīng)用2.如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，AC、BD是對角線，∠1＝∠2.求證：△BCD是等腰三角形．第2題圖證明：在△ABC與△ADC中，∴△ABC≌△ADC；∴BC＝DC，∴△BCD是等腰三角形．3.如圖，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分別為E，D，BE與CD相交于點F，F(xiàn)D＝FE.(1)求證：AD＝AE；第3題解圖(1)證明：如解圖，連接AF，∵BE⊥AC，CD⊥AB，F(xiàn)D＝FE，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，在Rt△ADF和Rt△AEF中，∴Rt△ADF≌Rt△AEF，∴AD＝AE；(2)已知AC＝5，F(xiàn)E＝1，求四邊形ABFC的面積．(2)解：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CEF＝∠BDF＝90°，在△BDF和△CEF中，∴△BDF≌△CEF，∴DF＝EF，∴S△BDF＝S△CEF，第3題解圖由(1)知Rt△ADF≌Rt△AEF，∴S△ADF＝S△AEF，∴S四邊形ABFC＝2(S△AEF＋S△CEF)＝2S△ACF＝2××AC×FE＝2××5×1＝5.第3題解圖模型三一線三等角型模型分析模型展示兩個三角形在直線同側(cè)銳角一線三等角直角一線三垂直鈍角一線三等角模型展示兩個三角形在直線異側(cè)已知∠1＝∠2＝∠3結(jié)論當AC＝BP或AP＝BD或CP＝PD時，△CAP≌△PBD解題思路利用三角形內(nèi)角和為180°及內(nèi)外角關(guān)系，通過等角代換得到一組相等的角，構(gòu)造AAS或ASA證明三角形全等銳角一線三等角直角一線三垂直鈍角一線三等角模型應(yīng)用4.如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E是DC延長線上的一點，連接BE，過點E作EF⊥BE，與AD的延長線交于點F，若CE＝2，求證：BE＝EF.第4題圖證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCE＝∠EDF＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∵∠CBE＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠DEF＝90°，∴∠CBE＝∠DEF，∵AB＝4，BC＝6，CE＝2，∴BC＝DE，在△BCE和△EDF中，∴△BCE≌△EDF，∴BE＝EF.第4題圖5.如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在AB，BC，AC上，∠B＝∠C＝∠DEF＝60°，BD＝CE.求證：DE＝EF.第5題圖證明：∵∠B＋∠BDE＋∠BED＝180°，∠DEF＋∠FEC＋∠BED＝180°，∠B＝∠DEF＝60°，∴∠BDE＝∠CEF；在△BDE和△CEF中，∴△BDE≌△CEF，∴DE＝EF.模型四不共頂點旋轉(zhuǎn)型(沈陽4考；撫本鐵遼葫5年5考)模型分析模型展示已知BF＝CE，AB∥DE，AC∥DF.不共頂點模型特點(1)不共頂點旋轉(zhuǎn)問題，繞某一點旋轉(zhuǎn)，再平移可得兩三角形重合；(2)共頂點旋轉(zhuǎn)問題(手拉手模型)解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：①由BF＝CE→BF＋CF＝CE＋CF→BC＝EF；②利用平行線性質(zhì)找對應(yīng)角相等模型應(yīng)用6.如圖，點B，C，E，F(xiàn)在同一直線上，點A，D在BC的異側(cè)，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C.(1)求證：AE∥DF.第6題圖(1)證明：∵BF＝CE，∴BF＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF，∴∠AEB＝∠DFC，∴AE∥DF；第6題圖(2)若∠A＋∠D＝144°，∠C＝30°，求∠AEC的度數(shù)．(2)解：∵△ABE≌△DCF，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C＝30°，∵∠A＋∠D＝144°，∴∠A＝72°，∴∠AEC＝∠A＋∠B＝72°＋30°＝102°.第6題圖模型五共頂點旋轉(zhuǎn)型(手拉手型)模型分析模型特點共頂點：點A；等線段：AB＝AC，AD＝AE；等角度：∠BAC＝∠DAE模型展示

解題思路證明三角形全等的關(guān)鍵：(1)共頂點：加(減)共頂點的公共角∠BAE得一組對應(yīng)角相等；(2)利用已知兩組邊相等或者等腰、等邊、正方形、菱形等得到兩組對應(yīng)邊相等結(jié)論△CAE≌△BAD(SAS)，BD＝CE，∠BPC＝∠BAC(“8字型”證角相等)模型應(yīng)用7.如圖，兩個等腰直角△ADC與△EDG，∠ADC＝∠EDG＝90°，連接AG，CE交于點H.求證：AG＝CE.第7題圖證明：∵△ADC與△EDG是等腰直角三角形，∴AD＝CD，DG＝DE，且∠ADC＝∠GDE＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，在△ADG與△CDE中，∴△ADG≌△CDE，∴AG＝CE.第7題圖8.如圖，點P是等邊△ABC內(nèi)的一點，連接PA、PB、PC，以BP為一邊作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，連接PQ，CQ.試觀察猜想AP與CQ的大小關(guān)系，并加以證明．第8題圖證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝60°；又∵∠PBQ＝60°，∴∠ABC＝∠PBQ，∴∠ABP＝∠CBQ；解：猜想：AP＝CQ；在△ABP和△CBQ中，∴△ABP≌△CBQ，∴AP＝CQ.第8題圖模型六旋轉(zhuǎn)半角型模型分析模型特點AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°∠BAD＝90°，∠EAF＝45°∠BDC＝120°，∠EDF＝60°模型展示解題思路通過旋轉(zhuǎn)一定角度將另外兩個角拼接在一起，構(gòu)造的三角形與半角所在的三角形全等，得出線段的數(shù)量關(guān)系結(jié)論①△AED≌△AEF；②△CEF為直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2①△AEF≌△AEG；②△AGF為等腰直角三角形；③EF＝BE＋DF①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF模型應(yīng)用9.在∠MAN內(nèi)有一點D，過點D分別作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分別為B，C.且BD＝CD，點E，F(xiàn)分別在邊AM和AN上．若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．第9題圖解：EF＝FC＋BE，理由：如解圖，過點D作∠CDG＝∠BDE，交AN于點G，G在△BDE和△CDG中，∴△BDE≌△CDG，∴DE＝DG，BE＝CG.∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE＋∠CDF＝60°.∴∠FDG＝∠CDG＋∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF.第9題圖G在△EDF和△GDF中，∴△EDF≌△GDF.∴EF＝GF，∴EF＝FC＋CG＝FC＋BE.第9題圖G模型七對角互補型模型分析模型特點∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，BD平分∠ABC∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AD＝CD，BD平分∠ABC模型展示解題思路常過頂點作角兩邊的垂線，構(gòu)造全等三角形結(jié)論AB＋BC＝2BF＝AB＋BC＝2BF＝BD模型應(yīng)用10.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點D.點M在AD的延長線上，點N在AC上，連接BM，MN，且∠BMN＝90°，求證：AB＋AN＝AM.第10題圖證明：如解圖，過點M作ME∥BC交AB的延長線于點E，E∴∠AME＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∵∠ABC＝∠AEM＝45°，則AE＝AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，在△BME和△NMA中，∴△BME≌△NMA，∴BE＝NA，∴AB＋AN＝AB＋BE＝AE＝AM.第10題圖E綜合訓練第1題圖1.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于點E，AE＝3，BC＝5，則DE的長為(

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A.3B.4C.5D.8B第2題圖2.[條件開放性試題]如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點，∠BDE＝∠CDF，請你添加一個條件，使DE＝DF，你添加的條件是____________________________(不再添加輔助線和字母)．∠B＝∠C或∠BED＝∠CFD3.如圖，在△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠CED＝90°，AC＝CE，點B是EC的中點，若AB⊥CD于點F，DE＝10，則AE的長為______．第3題圖第4題圖4.如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，P是AB上一點，連接PC，PD，且PC＝PD，∠DPC＝90°.求證：AD＋BC＝AB.證明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，∴∠ADP＋∠APD＝90°，∠BPC＋∠APD＝90°，∴∠ADP＝∠BPC，在△ADP與△BPC中，∴△ADP≌△BPC(AAS)，∴AD＝BP，AP＝BC，∴AD＋BC＝BP＋AP＝AB，即AD＋BC＝AB.第4題圖第5題圖①5.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點(點D不與點A、B重合)，連接DC并延長到E，使得CE＝CD，過點E作EF⊥BC，交BC延長線于點F.(1)如圖①，當點D為線段AB的上任意一點時，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；解：(1)結(jié)論：AC＝EF＋FC，證明：如解圖①，過點D作DH⊥CB于點H，H∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，∴△FEC≌△HDC，∴FC＝HC，EF＝DH，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴AC＝BC＝CH＋BH＝FC＋EF；第5題圖①H(2)如圖②，當點D為線段BA的延長線上一點時，依題意補全圖②，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明．(2)依題意補全圖形如解圖②，結(jié)論：EF＝FC＋AC，理由如下：如解圖②，過點D作DH⊥CB交BC的延長線于點H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，第5題圖解圖②在△FEC和△HDC中，∴△EFC≌△DHC，∴FC＝HC，EF＝DH，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴EF＝CH＋BC＝FC＋AC.解圖②6.如圖，點C為線段BD上一點，△ABC、△CDE都是等邊三角形．AD與CE交于點F，BE與AC交于點G.(1)求證：△ACD≌△BCE；(1)證明：∵△ABC，△CDE是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACE＝∠DCE＋∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△ACD≌△BCE；第6題圖(2)若CF＋CG＝8，BD＝18，求△ACD的面積．(2)解：由(1)得△ACD≌△BCE，∴∠CBG＝∠CAF，又∵∠ACF＝∠BCG＝60°，BC＝AC，∴△BCG≌△ACF，∴S△ACF＝S△BCG，CG＝CF，而CF＋CG＝8，∴CG＝CF＝4，第6題圖第6題圖MN如解圖，過點G作GM⊥BD于點M，過點F作FN⊥BD于點N，又∵∠ACB＝∠DCE＝