全等三角形題型總結

...wd......wd......wd...全等三角形的判定題型類型一、全等三角形的判定1——“邊邊邊〞例題、：如圖，AD＝BC，AC＝BD.試證明：∠CAD＝∠DBC.(答案〕證明：連接DC，在△ACD與△BDC中∴△ACD≌△BDC〔SSS〕∴∠CAD＝∠DBC〔全等三角形對應角相等〕類型二、全等三角形的判定2——“邊角邊〞例題、，如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝〔AB＋AD〕，求證：∠B＋∠D＝180°.(答案〕證明：在線段AE上，截取EF＝EB，連接FC，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠CEF＝90°在△CBE和△CFE中，∴△CBE和△CFE〔SAS〕∴∠B＝∠CFE∵AE＝〔AB＋AD〕，∴2AE＝AB＋AD∴AD＝2AE－AB∵AE＝AF＋EF，∴AD＝2〔AF＋EF〕－AB＝2AF＋2EF－AB＝AF＋AF＋EF＋EB－AB＝AF＋AB－AB，即AD＝AF在△AFC和△ADC中∴△AFC≌△ADC〔SAS〕∴∠AFC＝∠D

∵∠AFC＋∠CFE＝180°，∠B＝∠CFE.∴∠AFC＋∠B＝180°，∠B＋∠D＝180°.類型三、全等三角形的判定3——“角邊角〞例題、：如圖，在△MPN中，H是高MQ和NR的交點，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.證明：∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，∴△MPQ≌△NHQ〔ASA〕∴PM＝HN類型四、全等三角形的判定4——“角角邊〞例題、Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D為AB邊的中點，∠EDF＝90°，∠EDF繞D點旋轉，它的兩邊分別交AC、CB于E、F．當∠EDF繞D點旋轉到DE⊥AC于E時〔如圖1〕，易證；當∠EDF繞D點旋轉到DE和AC不垂直時，在圖2情況下，上述結論是否成立假設成立，請給予證明；假設不成立，請寫出你的猜測，不需證明.解：圖2成立；證明圖2：過點作則在△AMD和△DNB中，∴△AMD≌△DNB〔AAS〕∴DM＝DN∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF在△DME與△DNF中，∴△DME≌△DNF〔ASA〕∴∴可知，∴類型五、直角三角形全等的判定——“HL〞以下說法中，正確的畫“√〞；錯誤的畫“×〞，并舉出反例畫出圖形.〔1〕一條直角邊和斜邊上的高對應相等的兩個直角三角形全等．〔〕〔2〕有兩邊和其中一邊上的高對應相等的兩個三角形全等．〔〕〔3〕有兩邊和第三邊上的高對應相等的兩個三角形全等．〔〕(答案〕〔1〕√；〔2〕×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一邊上的高，AE＝DF〔3〕×.在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AH為第三邊上的高，如以以以下圖：1、：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求證：AB∥DC.(答案與解析〕證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴在Rt△ADE與Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF〔HL〕∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE與Rt△ABF中，∴Rt△CDE≌Rt△ABF〔SAS〕∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.(點評〕從條件只能先證出Rt△ADE≌Rt△CBF，從結論又需證Rt△CDE≌Rt△ABF.我們可以從和結論向中間推進，證出題目.2、如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC邊上的中線，過C作CF⊥AE，垂足為F，過B作BD⊥BC交CF的延長線于D.〔1〕求證：AE＝CD；〔2〕假設AC＝12，求BD的長.(答案與解析〕〔1〕證明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，∴△DBC≌△ECA〔AAS〕．∴AE＝CD．〔2〕解：由〔1〕得AE＝CD，AC＝BC，∴△CDB≌△AEC〔HL〕∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12．∴BD＝6．(點評〕三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考察三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件三角形角平分線的性質三角形三條角平分線交于三角形內部一點，此點叫做三角形的內心且這一點到三角形三邊的距離相等.三角形的一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點.這點叫做三角形的旁心.三角形有三個旁心.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點共有4個.如以以下圖：△ABC的內心為，旁心為，這四個點到△ABC三邊所在直線距離相等.角的平分線的性質及判定1、如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，交AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC.求證：BE＝CF.(答案〕證明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分線，∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°在Rt△BDE與Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF〔HL〕∴BE＝CF2、如圖，AC=DB，△PAC與△PBD的面積相等．求證：OP平分∠AOB．(答案與解析〕證明：作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，，且∴又∵AC＝BD∴PM＝PN又∵PM⊥OA，PN⊥OB∴OP平分∠AOB(點評〕觀察條件中提到的三角形△PAC與△PBD，顯然與全等無關，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定定理可得.跟三角形的高結合的題目，有時候用面積會取得意想不到的效果.3、如圖，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分線相交于E，過E的直線分別交DC、AB于C、B兩點.求證：AD＝AB＋DC.(答案〕證明：在線段AD上取AF＝AB，連接EF，

∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠1＝∠2，

∵AF＝ABAE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE

由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，

又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠DFE，

∵DE是∠ADC的平分線，∴∠3＝∠4，

又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE，∴DF＝DC，

∵AD＝DF＋AF，∴AD＝AB＋DC．類型一、全等三角形的性質和判定如圖，：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求證：BD＝CE.(答案)證明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，∴∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC.在△DAB與△EAC中，∴△DAB≌△EAC〔SAS〕∴BD＝CE.類型二、巧引輔助線構造全等三角形(1)．作公共邊可構造全等三角形：1、在ΔABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C(答案)證明：過點A作AD⊥BC在Rt△ABD與Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD〔HL〕∴∠B＝∠C.(2)．倍長中線法：1、：如以以下圖，CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線，且∠ACB＝∠ABC．求證：CD＝2CE．(答案〕證明：延長CE至F使EF＝CE，連接BF．∵EC為中線，∴AE＝BE．在△AEC與△BEF中，∴△AEC≌△BEF〔SAS〕．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．〔全等三角形對應邊、角相等〕又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC為△ADC的中線，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB與△DCB中，∴△FCB≌△DCB〔SAS〕．∴CF＝CD．即CD＝2CE．2、假設三角形的兩邊長分別為5和7,則第三邊的中線長的取值范圍是()A.1＜＜6B.5＜＜7C.2＜＜12D.無法確定(答案)A；提示：倍長中線構造全等三角形，7－5＜＜7＋5，所以選A選項.(3).作以角平分線為對稱軸的翻折變換構造全等三角形：如圖，AD是的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD＝BD.(1)求證：∠B與∠AHD互補；(2)假設∠B＋2∠DGA＝180°，請?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關系，并加以證明.(答案〕證明：〔1〕在AB上取一點M,使得AM＝AH,連接DM.∵∠CAD＝∠BAD,AD＝AD,∴△AHD≌△AMD.∴HD＝MD,∠AHD＝∠AMD.∵HD＝DB,∴DB＝MD.∴∠DMB＝∠B.∵∠AMD＋∠DMB＝180,∴∠AHD＋∠B＝180.即∠B與∠AHD互補.〔2〕由〔1〕∠AHD＝∠AMD,HD＝MD,∠AHD＋∠B＝180.∵∠B＋2∠DGA＝180,∴∠AHD＝2∠DGA.∴∠AMD＝2∠DGM.∵∠AMD＝∠DGM＋∠GDM.∴2∠DGM＝∠DGM＋∠GDM.∴∠DGM＝∠GDM.∴MD＝MG.∴HD＝MG.∵AG＝AM＋MG,∴AG＝AH＋HD.〔3〕.利用截長(或補短)法作構造全等三角形：1、如圖，AD是△ABC的角平分線，AB＞AC,求證：AB－AC＞BD－DC(答案〕證明：在AB上截取AE＝AC,連結DE∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD在△AED與△ACD中∴△AED≌△ADC〔SAS〕∴DE＝DC在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC2、如以以下圖，△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線，M是AD上任意一點，求證：MB－MC＜AB－AC．(答案與解析)證明：∵AB＞AC，則在AB上截取AE＝AC，連接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE〔三角形兩邊之差小于第三邊〕．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME〔SAS〕．∴MC＝ME〔全等三角形的對應邊相等〕．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．(點評)因為AB＞AC，所以可在AB上截取線段AE＝AC，這時BE＝AB－AC，如果連接EM，在△BME中，顯然有MB－ME＜BE．這說明只要證明ME＝MC，則結論成立．充分利用角平分線的對稱性，截長補短是關鍵.〔4〕.在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.1、如以以下圖，E為正方形ABCD的邊CD的中點，點F在BC上，且∠DAE＝∠FAE．求證：AF＝AD＋CF．(答案與解析〕證明：作ME⊥AF于M，連接EF．∵四邊形ABCD為正方形，∴∠C＝∠D＝∠EMA＝90°．又∵∠DAE＝∠FAE，∴AE為∠FAD的平分線，∴ME＝DE．在Rt△AME與Rt△ADE中，∴Rt△AME≌Rt△ADE(HL)．∴AD＝AM(全等三角形對應邊相等)．又∵E為CD中點，∴DE＝EC．∴ME＝EC．在Rt△EMF與Rt△ECF中，∴Rt△EMF≌Rt△ECF(HL)．∴MF＝FC(全等三角形對應邊相等)．由圖可知：AF＝AM＋MF，∴AF＝AD＋FC(等量代換)．(點評〕與角平分線有關的輔助線：在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形；在角的平分線上取一點向角的兩邊作垂線段.四邊形ABCD為正方形，則∠D＝90°．而∠DAE＝∠FAE說明AE為∠FAD的平分線，按常規(guī)過角平分線上的點作出到角兩邊的距離，而E到AD的距離已有，只需作E到AF的距離EM即可，由角平分線性質可知ME＝DE．AE＝AE．Rt△AME與Rt△ADE全等有AD＝AM．而題中要證AF＝AD＋CF．根據圖知AF＝AM＋MF．故只需證MF＝FC即可．從而把證AF＝AD＋CF轉化為證兩條線段相等的問題．2、如以以下圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點，且AE垂直BD的延長線于E，，求證：BD是∠ABC的平分線．(答案與解析〕證明：延長AE和BC，交于點F，∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC〔對頂角相等〕，∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．

在Rt△ACF和Rt△BCD中．

所以Rt△ACF≌Rt△BCD〔ASA〕．

則AF=BD〔全等三角形對應邊相等〕．

∵AE=BD，∴AE=AF，即AE=EF．

在Rt△BEA和Rt△BEF中，

則Rt△BEA≌Rt△BEF〔SAS〕．

所以∠ABE=∠FBE〔全等三角形對應角相等〕，即BD是∠ABC的平分線．(點評〕如果由題目無法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線構造出三角形全等的條件，使問題得以解決．平時練習中多積累一些輔助線的添加方法.類型三、全等三角形動態(tài)型問題解決動態(tài)幾何問題時要善于抓住以下幾點：變化前的結論及說理過程對變化后的結論及說理過程起著至關重要的作用；圖形在變化過程中，哪些關系發(fā)生了變化，哪些關系沒有發(fā)生變化；原來的線段之間、角之間的位置與數量關系是否還存在是解題的關鍵；幾種變化圖形之間，證明思路存在內在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結論與過程，其結論有時變化，有時不發(fā)生變化1、：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，