初中函數(shù)總復習

2017中考快遞——函數(shù)

作者簡介：李斌，鄭州市第四十五中學數(shù)學教師，曾多次輔導學生參加數(shù)學競賽并取

得佳績，連續(xù)多年參與中招考試數(shù)學指導等期刊的編寫，對函數(shù)、證明、應(yīng)用題等重要題

型的專題教學積累了很多經(jīng)驗與心得，愿和大家分享交流。聯(lián)系方式/p>

考點指要

（一）知識要點分析

函數(shù)知識及相關(guān)題型是歷年中招考試中的重要考查部分，涉及的知識有：函數(shù)基礎(chǔ)知識、

函數(shù)圖象及應(yīng)用、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)；涉及的題型有：選擇題、填空題、解

答題、綜合題等；在難度的分布上傾向于中等、偏難等，尤其是函數(shù)綜合題每年在中招試卷

中穩(wěn)居壓軸地位，起著區(qū)分學生程度、拉開成績差距的重要作用，通過系統(tǒng)復習、全面練習、

科學總結(jié)并掌握函數(shù)題各種題型的解題技巧，對每一位考生有著非同一般的意義。

1.函數(shù)基礎(chǔ)知識

本部分內(nèi)容的重點知識點有兩個：

①自變量的取值范圍的確定；

②從函數(shù)圖象中讀取相關(guān)的信息，或者由相關(guān)的信息判斷給定的函數(shù)圖象是否正確.

本部分內(nèi)容的易錯和易混知識有兩個：

②坐標軸上的點不屬于任何象限，x軸上的點縱坐標為0,y軸上點的橫坐標為0；

②自變量的取值范圍的確定.如果函數(shù)的解析式是整式，那么自變量的取值范圍是全體

實數(shù)；如果函數(shù)的解析式是分式，那么自變量的取值范圍是使分母不為0的實數(shù)；如果函

數(shù)的解析式中含有零指數(shù)、負整數(shù)指數(shù)累，自變量的取值范圍是使底數(shù)不為0的實數(shù)；實際

問題，函數(shù)自變量的取值范圍必須使實際問題有意義，如不能取負值或小數(shù)等.

2.一次函數(shù)

①掌握本部分內(nèi)容必須具備的知識：一次函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法，解方

程（組）.在復習中要注意函數(shù)思想的運用，通過構(gòu)造一次函數(shù)模型，利用一次函數(shù)的增減

性及自變量的取值范圍解決實際中的最大值、最小值問題.

②本部分內(nèi)容的重難點是一次函數(shù)圖象的性質(zhì)和應(yīng)用；易錯點是一次函數(shù)圖象的應(yīng)用.

本部分是各地中考的必考內(nèi)容，常考的是一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式,

求直線的交點坐標，利用一次函數(shù)的增減性解決實際問題.考查的形式有填空題、選擇題和

解答題，一般占各地中考試卷分數(shù)比例的6%左右.針對河南中考對本部分內(nèi)容的考查主要側(cè)

重于：一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)，一次函數(shù)的平移規(guī)律，一次函數(shù)與一元一次不等式、二

元一次方程（組）的關(guān)系進行考查.

3.反比例函數(shù)

本部分必須掌握的考點是：反比例函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，用待定系數(shù)法解方程（組）

求得函數(shù)的解析式.在復習中注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想的運用，注意利用圖形的直觀性

解題.

河南省對反比例函數(shù)的考查主要表現(xiàn)在三個方面：求反比例系數(shù)k的值或反比例函數(shù)的

解析式，k的幾何意義以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)相結(jié)合，反比例函數(shù)與三角形或四邊形相

結(jié)合，如，河南中考2016年的第5題，2014年第20題，2013年的第20題，2012年的第

13題，因此這也是本部分內(nèi)容的重中之重.

4.二次函數(shù)

本部分的重點是二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)和應(yīng)用.考查的形式有填空題、選擇題和解答題，

常以綜合題的形式作為河南中考壓軸題.

本部分易錯的知識點有三個：①方程與二次函數(shù)的關(guān)系：當函數(shù)值為。時，方程是否有

解即拋物線與X軸是否有交點，方程的解即為拋物線與X軸交點的橫坐標；②不等式與二次

函數(shù)的關(guān)系：若y>0即得到一元二次不等式以2+法+00（辦2+陵+。<0）,此時確定

不等式的解集就是轉(zhuǎn)化為拋物線相應(yīng)點橫坐標的取值集合；③由拋物線的開口方向，對稱軸

可以確定a、b的符號，由拋物線與y軸的交點位置可以確定c的符號，由拋物線與x軸的

交點個數(shù)可以確定/-4ac的符號.

近年試題考點分布

呈現(xiàn)題目

考查內(nèi)容考查形式

20122013201420152016

函數(shù)基礎(chǔ)①用坐標的方法描述點的位置；/388/

知識②求函數(shù)自變量的取值范圍.

1次函數(shù)①一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)；7、1921211123

函數(shù)

②求一次函數(shù)的解析式；

③一次函數(shù)與一元一次不等式.

反比例函①求反比例系數(shù)k的值或反比例函13202011、5

數(shù)數(shù)的解析式；21

②k的幾何意義以及一次函數(shù)與反

比例函數(shù)相結(jié)合；

③反比例函數(shù)與四邊形相結(jié)合.

二次函數(shù)①二次函數(shù)的解析式；5、2313、2312、13、

②求拋物線的對稱軸、頂點坐標：232321、

③能夠構(gòu)造二次函數(shù)模型解決實23

際中的最值問題.

（二）學生答題情況分析

在2016年河南中考數(shù)學試卷中，考查到的有關(guān)函數(shù)及其圖像的題目有4道，約27分

左右，學生在解決考查反比例函數(shù)性質(zhì)的題目（如5題）時，表現(xiàn)良好，但也有一些學生把

函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)的對應(yīng)關(guān)系搞不清而導致計算失誤.在解答有關(guān)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的

題目（如21題）時，表現(xiàn)出僅僅會背概念和圖象性質(zhì)，但如何靈活應(yīng)用不知所措，產(chǎn)生錯

誤的原因主要是：1.審題不到位，不理解題意；2.對二次函數(shù)的增減性與一次函數(shù)的增減性

混淆.在解答綜合題目（如23題）時學生出現(xiàn)的主要問題有：1.待定系數(shù)法把握不牢.2.構(gòu)造

法不熟.3.不會用點的坐標表示其它量.4.分類的方法未完全掌握.

（三）命題預期

1.函數(shù)基礎(chǔ)知識

在考查形式上，一般以基礎(chǔ)題出現(xiàn)，以選擇題與填空題為主.關(guān)于函數(shù)圖象主要考查學

生對數(shù)形結(jié)合思想的理解和收集處理信息的能力，如2014年的第8題；對坐標系的考查，

多與圖形的變換相結(jié)合，通過變換求相應(yīng)點的坐標，如2015年的第8題.掌握這些知識是學

習后面知識的基礎(chǔ)，預測2017年的河南中招有可能會在填空題和選擇題中涉及對此的考查,

不過難度不會太大.

2.一次函數(shù)

2017年河南中考對本部分內(nèi)容考查仍可能以一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)，一次函數(shù)與

-元一次不等式、二元一次方程（組）的關(guān)系，建立一次函數(shù)模型解決實際問題為主.其中

一次函數(shù)的性質(zhì)仍是重點，關(guān)注社會熱點，創(chuàng)設(shè)新情境，加強與其他知識的綜合.2017年中

考復習應(yīng)予以高度關(guān)注.

3.反比彳列函數(shù)

縱觀近幾年的河南中考，反比例函數(shù)與其他知識的綜合題出現(xiàn)增多，難度逐步增大,2016

年復習備考應(yīng)引起重視.預計2017年河南省中考對本部分內(nèi)容的考查，從內(nèi)容、題型、難度

上仍會延續(xù)前兩年的形式，分值在10分左右.

4.二次函數(shù)

在考查形式上，一般以綜合解答題、壓軸題的形式出現(xiàn).預測2017年對本部分的考查

也仍將以分類討論為主要內(nèi)容，結(jié)合數(shù)形結(jié)合、最值問題、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法，綜合三角

形或者四邊形知識繼續(xù)壓軸出現(xiàn).其中生活中的實際問題，考查二次函數(shù)的最值問題的難度

仍將保持中等，但是與幾何知識綜合考查的題目難度較大，2017年備考應(yīng)加大訓練量.

（四）復習策略與解答策略

（一）函數(shù)基礎(chǔ)知識

復習的時候采取突破方法有三點：

1.運用數(shù)形結(jié)合的思想來理解，體會函數(shù)的基礎(chǔ)知識.

2.理解平面直角坐標系內(nèi)點的坐標特征，復習平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的相關(guān)知識.

3.聯(lián)系生活實際，利用函數(shù)圖象刻畫實際生活問題，探究規(guī)律，解決問題.

（-）一次函數(shù)

在復習方法方面，考生要做到會用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，先設(shè)出式子中的未

知系數(shù)，將已知條件轉(zhuǎn)化成含有未知數(shù)的方程（組），解方程（組），求得未知系數(shù)即可;掌握求兩個

函數(shù)圖象交點的方法;數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學思想，要學會從“數(shù)”分析到“形”，由“數(shù)”的特

征想到“形”的結(jié)合,以及由“形'’的特征想到“數(shù)”的特征能力，從而實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合;聯(lián)系實際生活

背景,利用函數(shù)圖象刻畫生活實際問題，探究規(guī)律，解決問題.

（三）反比例函數(shù)

針對本部分的內(nèi)容考生在復習的時候應(yīng)正確理解和掌握反比例的圖象和性質(zhì)，運用數(shù)形

結(jié)合的思想形象地解答與反比例函數(shù)圖象有關(guān)的問題，要善于分析、處理與反比例函數(shù)的有

關(guān)的實際問題，提高解決實際問題的能力.

（四）二次函數(shù)

針對上述的分析，建議在復習的時候采取突破方法有三點：1.在求二次函數(shù)解析式過程

中應(yīng)結(jié)合圖象確定函數(shù)表達式，再通過一元一次方程或二元一次方程組求得，同時應(yīng)掌握二

次函數(shù)與一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系.2.二次函數(shù)的應(yīng)用是初中數(shù)學的重點和難點，通常

與最值問題在一起，解這類題時要注意以下幾點：（1）一般情況下題目中的條件在列等式（或

不等式）時不能重復使用，要仔細尋找題目中的隱含條件；（2）正確理解題目中的關(guān)鍵詞語：

如多少、上升、下降、不大于、不小于、不超過等確切的含義；（3）將實際問題分析轉(zhuǎn)化為

函數(shù)問題來解決.

第一部分函數(shù)基礎(chǔ)知識

一、典例分析

例1（2016天水）如圖，邊長為2的等邊△ABC和邊長為1的等邊它們的邊

BV,BC位于同一條直線1上，開始時，點C與B重合，AABC固定不動，然后把△ABC，

自左向右沿直線I平移，移出4ABC外（點B，與C重合）停止，設(shè)△A，B，C平移的距離為x,

兩個三角形重合部分的面積為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（

VB?一

【點評】本題主要考查是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，確定出yi、y2的正負時解題的

關(guān)鍵.

【考點】動點問題的函數(shù)圖象.

【分析】分為0<xWl、1<XW2、2VxW3三種情況畫出圖形，然后依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

和三角形的面積公式可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式，于是可求得問題的答案.

【解答】解：如圖1所示：當0<xWl時，過點D作DEJ_BC'.

VAABC和均為等邊三角形，

.?.△DBC為等邊三角形.人

.-.DE=^BC'=^X..,.y=-1|BC,?DE=Sc2.當x=l時，y=^|,

且拋物線的開口向上./不_______\

如圖2所示：1<XW2時，過點A，作A，E，B，C,垂足為E.

函數(shù)圖象是一條平行與x軸的線段.

如圖3所示：2<xW3時，過點D作DE_LB，C,垂足為E.

（x-2）2,函數(shù)圖象為拋物線的一部分，且拋物線

開口向上.

故選：B.

【點評】本題主要考查的是動點問題的函數(shù)圖象，求得函數(shù)的解析

BB,

式是解題的關(guān)鍵.圖3

例2(2016貴陽)星期六早晨蕊蕊媽媽從家里出發(fā)去觀山湖公園鍛煉，她連續(xù)、勻速走

了60min后回家，圖中的折線段OA-AB-BC是她出發(fā)后所在位置離家的距離s(km)與

行走時間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系，則下列圖形中可以大致描述蕊蕊媽媽行走的路線是()

【考點】函數(shù)的圖象.

【分析】根據(jù)給定s關(guān)于t的函數(shù)圖象，分析AB段可得出該段時間蕊蕊媽媽繞以家為圓心

的圓弧進行運動，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：觀察s關(guān)于t的函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

在圖象AB段，該時間段蕊蕊媽媽離家的距離相等，即繞以家為圓心的圓弧進行運動，

.?.可以大致描述蕊蕊媽媽行走的路線是B.

故選B.

例3(2016吉林)甲、乙兩人利用不同的交通工具，沿同一路線從A地出發(fā)前往B地，

甲出發(fā)lh后，

y甲、y乙與x之間的函數(shù)圖象如圖所示.

(1)甲的速度是60km/h；

(2)當1女45時，求y乙關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(3)當乙與A地相距240km時，甲與A地相距220km.

【考點】一次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】(1)根據(jù)圖象確定出甲的路程與時間，即可求出速

度；

(2)利用待定系數(shù)法確定出y乙關(guān)于x的函數(shù)解析式即可；

(3)求出乙距A地240km時的時間，乘以甲的速度即可得到結(jié)果.

【解答】解：⑴根據(jù)圖象得:360+6=60km/h；

(2)當14x45時,設(shè)y「kx+b,

1k+b=0

把(1,0)與(5,360)代入得:

l5ktb=360

解得：k=90,b=-90,

則y乙=90x-90；

(3)令y乙=240,得至

J

則甲與A地相距6°#220km,

故答案為：(1)60；(3)220

二、經(jīng)典回顧

例1（2015湖北十堰）如圖，一只螞蟻從O點出發(fā)，沿著扇形OAB的,一

邊緣勻速爬行一周，當螞蟻運動的時間為t時，螞蟻與O點的距離為s,

則s關(guān)于t的函數(shù)圖象大致是【】.

O

分析：根據(jù)螞蟻在窟上運動時，隨著時間的變化，距離不發(fā)生變化，得出圖象是與x

軸平行的線段，即可得出結(jié)論.

解：一只螞蚊從O點出發(fā)，沿著扇形OAB的邊緣勻速爬行，在開始時經(jīng)過半徑OA這一段，

螞蟻到O點的距離隨運動時間t的增大而增大；

到弧AB這一段，螞蟻到O點的距離S不變，圖象是與x軸平行的線段；走另一條半徑OB

時，S隨t的增大而減??；

故選：B.

例2（2015柳州）如圖,二次函數(shù)尸a\2+bx+c的圖象與x軸相交于（-2,0）和（4,0）

兩點，當函數(shù)值y>0時，自變量x的取值范圍是【

A.x<-2B.-2<x<4C.x>0D.x>4

分析：利用當函數(shù)值y>0時，即對應(yīng)圖象在x軸上方部分，得出x的取值范圍即可.

解：如圖所示：當函數(shù)值y>0時，自變量x的取值范圍是：-2<x<4.

故選：B.

例3（2015貴陽）一家電信公司提供兩種手機的月通話收費

方式供用戶選擇，其中一種有月租費，另一種無月租費.這

兩種收費方式的通話費用y（元）與通話時間x（分鐘）之

間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.小紅根據(jù)圖象得出下列結(jié)論：

描述的是無月租費的收費方式；

012描述的是有月租費的收費方式；

③當每月的通話時間為500分鐘時，選擇有月租費的收費

方式省錢.

其中，正確結(jié)論的個數(shù)是【】.

A.0B.1C.

分析：根據(jù)1|是從原點出發(fā)可得不打電話繳費為0元，因此是無月租費的收費方式；b

是從（0,20）出發(fā)可得不打電話繳費為20元，因此是有月租費的收費方式；兩函數(shù)圖象交

點為（400,40）,說明打電話400分鐘時，兩種收費相同，超過500分鐘后，當x取定一個

值時，h所對應(yīng)的函數(shù)值總比12所對應(yīng)的函數(shù)值大，因此當每月的通話時間為500分鐘時,

選擇有月租費的收費方式省錢.

解答：解：①h描述的是無月租費的收費方式，說法正確；

②12描述的是有月租費的收費方式，說法正確；

③當每月的通話時間為500分鐘時，選擇有月租費的收費方式省錢，說法正確.

故選：D.

三、試一試

1.在函數(shù)y=信中,自變量x的取值范圍是【】.

A.x<lB.x>lC.x<lD.x>1

2.在平面直角坐標系中，下列函數(shù)的圖像經(jīng)過原點的是【】.

5

A.y=-x+3B.y=—C.y=2xD.y=-2廠9+x-7

x

3.如圖，是張老師出門散步時離家的距離y與時間x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象，若用黑點表

示張老師家的位置，則張老師散步行走的路線可能是【】.

4.在一次自行車越野賽中，甲乙兩名選手行駛的路程y（千米）

隨時間分）變化的圖象（全程）如圖，根據(jù)圖象判定下列結(jié)論不氐

砸的是【】.

A.甲先到達終點

B.前30分鐘，甲在乙的前面

C.第48分鐘時，兩人第一次相遇

D.這次比賽的全程是28千米

第4題

5.如圖，矩形ABC。中,AB=3,BC=4,動點P從A點出發(fā)，按AfB—C

的方向在A8和BC上移動，記以=彳，點。到直線出的距離為y,

則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是【

A.

6.設(shè)甲、乙兩車在同一直線公路上勻速行駛，開始甲車在

乙車的前面，當乙車追上甲車后，兩車停下來，把乙車

的貨物轉(zhuǎn)給甲車，然后甲車繼續(xù)前行，乙車向原地返

回.設(shè)x秒后兩車間的距離為y千米，y關(guān)于x的函數(shù)

關(guān)系如圖所示，則甲車的速度是米/秒.

7.惠民新村分給小慧家一套價格為12萬元的住房.按要求，需首期（第一年）付房款3萬

元，從第二年起，每年應(yīng)付房款0.5萬元與上一年剩余房款的利息的和.假設(shè)剩余房款年利

率為0.4%,小慧列表推算如下：

第一年第二年第三年???

應(yīng)還款（萬元）30.5+9x0.4%0.54-8.5x0.4%???

剩余房款（萬元）98.58???

若第〃年小慧家仍需還款，則第〃年應(yīng)還款萬元

8.一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時

間為x（h）,兩車之間的距離為），（km）,圖中的折線表示了與x之間的函數(shù)關(guān)系.

根據(jù)圖象進行以下探究：

信息讀取

（1）甲、乙兩地之間的距離為km；

（2）請解釋圖中點8的實際意義；

圖象理解

（3）求慢車和快車的速度；

第8題

（4）求線段8C所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍;

問題解決

（5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同.在第一列快車與慢車

相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇.求第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少小時？

第二部分一次函數(shù)

一、典例分析

例1.（2016桂林）如圖，直線y=ax+b過點A（0,2）和點B（-3,0）,則方程ax+b=0

的解是（）

A.x=2B.x=0C.x=-1D.x=-3

分析：

【考點】一次函數(shù)與一元一次方程.

【分析】所求方程的解，即為函數(shù)丫=2*+1）圖象與X軸交點橫坐標，確定出解即可.

【解答】解：方程ax+b=0的解，即為函數(shù)y=ax+b圖象與x軸交點的橫坐標，

???直線y=ax+b過B（-3,0）,

二方程ax+b=0的解是x=-3,故選D

例2.（2016貴陽）已知點M（1,a）和點N（2,b）是一次函數(shù)y=-2x+l圖象上的兩

點，則a與b的大小關(guān)系是a>b.

【考點】一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的一次項系數(shù)結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出該一次函數(shù)的單調(diào)性,

由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：???一次函數(shù)y=-2x+l中k=-2,

,該函數(shù)中y隨著x的增大而減小，

V1<2,

.,.a>b.

故答案為:a>b.

二、經(jīng)典回顧

例1.（2015福建南平）直線y=2x+2沿y軸向下平移6個單位后與x軸的交點坐標是【】.

A.（-4,0）B.（-1,0）C.（0,2）D.（2,0）

分析：根據(jù)平移可得直線y=2x+2沿y軸向下平移6個單位后解析式為y=2x+2-6=2x-4,

再求出與x軸的交點即可.

解：直線y=2x+2沿y軸向下平移6個單位后解析式為y=2x+2-6=2x-4,

當y=0時，x=2,

因此與x軸的交點坐標是（2,0）,

故選：D.

例2.A,6兩城相距600千米，甲、乙兩車同時從4城出發(fā)駛向6城，甲車到達6城后立

即返回.如圖是它們離4城的距離y（千米）與行駛時間x（小時）之間的函數(shù)圖象.

（1）求甲車行駛過程中y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當它們行駛7了小時時，兩車相遇，求乙車速度.

分析：本題主要考查通過?次函數(shù)的圖象來解決實際問題，因此讀圖、識圖是是關(guān)鍵,然后用

待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

解：(1)①當0<xW6時，y=100x-,

②當6VxW14時，^y=kx+b,

?.?圖象過(6,600),(14,0)兩點，

6k+b=600,k=—75,

???丁,，,解得

14攵+8=0A.—1050.

y=-75x+1050.，

’100x(0<x<6)

y=?

-l-75x+1050(6<x<14).

(2)當x=7時，y=—75x7+1050=525,—=75（千米/小時）.

7

三、試一試

1.關(guān)于函數(shù)丫=—X—2的圖像，有如下說法：

①圖像過點(0,-2)；

②圖像與x軸的交點是(一2,0)；

③由圖象可知y隨x的增大而增大；

④圖像不經(jīng)過第一象限；

⑤圖像是與y=-x+2平行的直線，其中正確說法有【】.

A.5個B.4個C.3個D.2個

2.某公司準備與汽車租憑公司簽訂租車合同，以每月用車路程點m計算，甲汽車租憑公司

每月收取的租賃費為/元，乙汽車租憑公司每月收取的租賃費為M元，若M、M與x之間

的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中x=0對應(yīng)的函數(shù)值為月固定租賃費,

則下列判斷第退的是【】.

A.當月用車路程為2000km時，兩家汽車租賃公司租賃費用相同

B.當月用車路程為2300km時，租賃乙汽車租賃公車比較合算

C.除去月固定租賃費，甲租賃公司每公里收取的費用比乙租賃

公司多

D.甲租賃公司平均每公里收到的費用比乙租賃公司少

3.如圖，直線4：y=x+l與直線4：y=+n

相交于點尸(a,2),則關(guān)于x的不等式x+1+〃的解集為

4.一次函數(shù)y=mx+|m-1|的圖象過點(0,2)且y隨x的增大而增大，

則m二.

5.如圖，一次函數(shù)尸kx+b的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象平行且經(jīng)

過點A(l,-2),則kb=.

第5題

6.如圖，直線y二kx-6經(jīng)過點A(4,0),直線y=-3x+3與x軸交于點B,且兩直線交于點

C.

(1)求k的值；

(2)求AABC的面積.

7.某校接受了大型團體操表演任務(wù).為此，學校需要采購一批演出服裝，A、B兩家制衣

公司都愿成為這批服裝的供應(yīng)商.經(jīng)了解：兩家公司生產(chǎn)的這款演出服裝的質(zhì)量和單價都相

同，即男裝每套120元，女裝每套100元.經(jīng)洽談協(xié)商：A公司給出的優(yōu)惠條件是，全部服

裝按單價打七折，但校方需承擔2200元的運費；B公司的優(yōu)惠條件是男女裝均按每套100

元打八折，公司承擔運費.另外根據(jù)大會組委會要求，參加演出的女生人數(shù)應(yīng)是男生人數(shù)的

2倍少100人，如果設(shè)參加演出的男生有x人.

（1）分別寫出學校購買A、B兩公司服裝所付的總費用yi（元）和y2（元）與參演男生人

數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）問：該學校購買哪家制衣公司的服裝比較合算？請說明理由.

第三部分反比例函數(shù)

一、典例分析

例1（2016甘肅天水）反比例函數(shù)產(chǎn)-工■的圖象上有兩點R（xpyi）,P2（x2,y2）（

若Xi<0VX2，則下列結(jié)論正確的是（）

A.yi<y2<0B.yi<0<y2c.y（>y2>0D.y1>0>y2

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征.

【分析】由反比例函數(shù)的解析式可知xy=-1,故x與y異號，于是可判斷出yHy2的正負,

從而得到問題的答案.

【解答】解：：y=-4

XI

/.xy=-1.

??.x、y異號.

Vx1<0<x2,

Ayi>0>y2.

故選：D.

例2（2016杭州）設(shè)函數(shù)產(chǎn)』（k/0,x>0）的圖象如圖所示，若z=g則z關(guān)于x的

Wy]

函數(shù)圖象可能為（），

【考點】反比例函數(shù)的圖象.

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)解析式以及Z=』，即可找出Z關(guān)于X的函數(shù)解析式，再根據(jù)反比

y|

例函數(shù)圖象在第一象限可得出k>0,結(jié)合x的取值范圍即可得出結(jié)論.

【解答】解：：y=K(kWO,x>0),

xj

11j^lx|

W(kWO,x>0).

y-k

xj

?..反比例函數(shù)y—j(kWO,x>0)的圖象在第一象限，

.\k>0,

z關(guān)于x的函數(shù)圖象為第一象限內(nèi)，且不包括原點的正比例的函數(shù)圖象.

故選D.

例3(2016包頭)19.如圖，在平面直角坐標系中，點A在

第二象限內(nèi)，點B在x軸匕ZAOB=30°,AB=BO,反比例

函數(shù)y上

(x<0)的圖象經(jīng)過點A,若S4ABO=^，則k的

X

值為____________

分析

【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.

【分析】過點A作AD，x軸于點D,由/AOB=30?？傻贸龊趤V之,由此可是點A的坐標

0D!31

為(-3a,立a),根據(jù)S&\BO小母吉合三角形的面積公式可用a表示出線段OB的長，再

由勾股定理可用含a的代數(shù)式表示出線段BD的長，由此即可得出關(guān)于a的無理方程，解方

程即可得出結(jié)論.

【解答】解：過點A作AD，x軸于點D,如圖所示.

VZAOB=30°,AD±OD,

.*.-^j=tanNAOB=^^,

???設(shè)點A的坐標為（-3a,爽a）.

「S△ABO=^）B?A

2

AOB=—

a

=9

在RtZiADB中，ZADB=90°,AD=Ja,AB=OB--；

a

解得：a=l或a=-1(舍去).

???點A的坐標為(-3,0)

，k=-3x^=-3炎.

二、經(jīng)典回顧

例1(2015福建龍巖)已知點P(a,b)是反比例函數(shù)y」圖象上異于點C-1,-1)的一

X

個動點，則，+_!_=[].

l+a1+b

A.2B.IC.-D.—

22

分析：利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)得出ab=l,再利用分式的混合運算法則求出

即可.

解：???點P(a,b)是反比例函數(shù)尸工圖象上異于點(-1,7)的?個動點，

X

，ab=l,

.?.1_1=1+b+_____l+a「2+a+b_2+a+b_l

l+a1+b(l+a)(1+b)(l+a)(1+b)1+a+b+ab2+a+b

故選：B.

例2(2015?黔東南州)若abVO,則正比例函數(shù)產(chǎn)ax與反比例函數(shù)y=上在同一坐標系中

b>0兩方面分類討論得出答案.

解：???abVO,...分兩種情況：

(1)當a>0,bVO時，正比例函數(shù)y=ax數(shù)的圖象過原點、第一、三象限，反比例函數(shù)圖

象在第二、四象限，無此選項；

(2)當aVO,b>0時，正比例函數(shù)的圖象過原點、第二、四象限，反比例函數(shù)圖象在第一、

三象限，選項B符合.

故選B.

例3（2015福建南平）如圖，在平面直角坐標系xOy中，z^OAB丫

的頂點A在x軸正半軸上，OC是aOAB的中線，點B,C

在反比例函數(shù)冶（x>0）的圖象上，則AOAB的面積等

分析：作BD，x軸于D,CE，x軸于E,貝UBD〃CE,得出_I

江返旭」，設(shè)CE=x，則BD=2x,根據(jù)反比例函數(shù)的解析?

BDADAB2

式表示出OD=3,OE=^,OA=2然后根據(jù)三角形面積求得即可.

2xx2x

解：作BD_Lx軸于D,CE_Lx軸于E,

；.BD〃CE,

?CEAEAC

EDADAB'

YOC是△OAB的中線，

?CE_AE_AC_1

"BDADAB2'

設(shè)CE=x,貝！|BD=2x,

AC的橫坐標為WB的橫坐標為且

x2x

.\OD=-^-,OEW

2xx

.,.DE=^--5-=—.

x2x2x

「?AE=DE=-^",

2x

/.OA=^+-^^-,

x2x2x

，S△（）AB」OA?BD=LXX2x=—.

222x2

三、試一試

1.反比例函數(shù)y=9圖象上有三個點（為，力），（%2

:,為），*3，丫3），其中X]<X2<0<X},

X

則必，y21月的大小關(guān)系是【】.

A-%<為<>3B.當<必<為c-D-%<y2VH

2.函數(shù)廠且（a#））與y=a（x-1）（a#0）在同一坐標系中的大致圖象是[].

x

3.如圖，已知梯形ABCO的底邊AO在無軸上，BC〃AO,AB±AO,

過點C的雙曲線y=上交0B于D,

且0D:DB=1：2,若△OBC

x

的面積等于3,則k的值【1

3-24

A.等于2B,等于一C.等于一D.無法確定

45

4.如圖，已知雙曲線>[=：（X>Q），

=

y2x6>0），點P為雙曲線？2=紅的一點，且PA

軸于點A,PBLy軸于點B,PA、PB分別交雙曲線=：于第4題

D、C兩點，則4PCD的面積為.

5.如圖，邊長為n的正方形OABC的邊OA,OC在坐標軸上，點

Ai，A2...AnT為OA的n等分點，點B1，B2“.BnT為CB的n等分

點，連結(jié)AiBi，A2B2,...An-iBn.|,分別交曲線y=EZ2（x>0）

X

于點C1，C2,....Cn-1.若C15B15=16C15A15,則n的值為.（n

為正整數(shù)）

6.實驗數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小時內(nèi)其血

液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時間x（時）的關(guān)系可近似地

用二次函數(shù)嚴—OOFMOOX刻畫；1.5小時后（包括1.5小時）y

與x可近似地用反比例函數(shù)廣（4>0）刻畫（如圖所示）.

（1）根據(jù)上述數(shù)學模型計算：

①喝酒后幾時血液中的酒精含量達到最大值？最大值為多少？

②當JC=5時，產(chǎn)45,求女的值.

(2)按國家規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升時屬于“酒后

駕駛”，不能駕車上路.參照上述數(shù)學模型，假設(shè)某駕駛員晚上20：00在家喝完半斤低度白

酒，第二天早上7：00能否駕車去上班？請說明理由.

IT1

7.如圖，一次函數(shù)y=^+2的圖象與反比例函數(shù)>=’的圖象交于點。，點一在y

第一象限.為，x軸于點4如J_y軸于點氏一次函數(shù)的圖象分別交X軸、》軸于8障

點C、D,且4>OC—.\/I

(1)求點。的坐標；/I

(2)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；]OA

(3)根據(jù)圖象寫出當x>0時，一次函數(shù)的值大于反比例?

函數(shù)的值的X的取值范圍.

第四部分二次函數(shù)

一、典例分析

例1(2016?河南)已知A(0,3),B(2,3)拋物線y=-x2+bx+c上兩點，則該拋物線的

頂點坐標是.

分析：分別計算把A、B兩點坐標帶入拋物線表達式，用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達式，然

后用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出頂點坐標.

解：把A(0,3).B(2,3),分別代入y=-x2+bx+c得：

b=2,c=3,所以y=-x2+2x+3故頂點坐標是(1,4)

例2(2016?沈陽)在平面宜角坐標系中，二次函數(shù)y=x?+2x-3的圖象如圖所示，點A(X1,

yi),B(x2,y2)是該二次函數(shù)圖象上的兩點，其中-34X]<X2S0,則下列結(jié)論正確的是

C.y的最小值是-3D.y的最小值是-4

【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)的最值.

【分析】根據(jù)拋物線解析式求得拋物線的頂點坐標，結(jié)合函數(shù)圖象的增減性進行解答.

【解答】解：y=x2+2x-3=(x+3)(x-1),

則該拋物線與X軸的兩交點橫坐標分別是-3、1.

又y=x2+2x-3=（x+1）2-4,

???該拋物線的頂點坐標是（-1,-4）,對稱軸為x=-l.

A、無法確定點A、B離對稱軸x=-1的遠近，故無法判斷yi與y2的大小，故本選項錯誤；

B、無法確定點A、B離對稱軸x=-I的遠近，故無法判斷yt與y2的大小，故本選項錯誤；

C、y的最小值是-4,故本選項錯誤；

D、y的最小值是-4,故本選項正確.

故選：D.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的最值，解題時，利用「數(shù)

形結(jié)合”的數(shù)學思想.

二、經(jīng)典回顧

例1（2015?河南）已知點A（4,yi）,B（^2,丫2），C（-2,y3）都在

二次函數(shù)y=（x-2）2-1的圖象上，則yi、y2、y3的大小關(guān)系是.

分析：分別計算出自變量為4,a和-2時的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值

得大小即可.

解：把A（4,yi）,B（V2>丫2），C（-2,yj）分別代入丫=（x-2）

2-1得：

yi=(x-2)2-1=3,y2=(x-2)2-1=5-4>/2>Y3=(x-2)2-1=15,

V5-4A/2<3<15,

所以y3>yi>y2-

故答案為y3>yi>y2.

例2（2015?河南）如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的

拋物線經(jīng)過點A,點P是拋物線上點A,C間的一個動點（含端點），過點P作PF1BC于

點F,點D、E的坐標分別為（0,6）,（-4,0）,連接PD、PE、DE.

（1）請直接寫出拋物線的解析式；

（2）小明探究點P的位置發(fā)現(xiàn)：當P與點A會點C重合時，PD與PF的差為定值，進而

猜想：對于任意一點P,PD與PF的差為定值，請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；

（3）小明進一步探究得出結(jié)論：若將"使^PDE的面積為整數(shù)"的點P記作"好點”，則存在

多個"好點"，且使^PDE的周長最小的點P也是一個"好點”.請直接寫出所有"好點"的個數(shù)，

并求出APDE周長最小時"好點"的坐標.

分析：(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；

(2)首先表示出P,F點坐標，再利用兩點之間距離公式得出PD,PF的長，進而求出即可;

(3)根據(jù)題意當P、E、F三點共線時，PE+PF最小，進而得出P點坐標以及利用^PDE

的面積可以等于4到13所有整數(shù)，在面積為12時，a的值有兩個，進而得出答案.

解：(1)?.?邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A,

AC(0,8),A(-8,0),

設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+c,

則尸，

(64a+c=0

fa=-A

解得：，8

,c=8

故拋物線的解析式為：y=-1X2+8；

8

(2)正確，

2

理由：設(shè)P(a,-Aa+8),則F(a,8),

8

VD(0,6),

PD=2(222

,',l/a+1a-2)=yJ(-|a+2)

PF=8-(-la2+8)=la2,

88

APD-PF=2；

(3)在點P運動時，DE大小不變，則PE與PD的和最小時，^PDE的周長最小,

VPD-PF=2,，PD=PF+2,

，PE+PD=PE+PF+2,

.?.當P、E、F三點共線時,PE+PF最小,

此時點P,E的橫坐標都為-4,

將x=-4代入y=-1X2+8,得y=6,

AP(-4,6),此時^PDE的周長最小，且aPDE的面積為12,點P恰為"好點，

.,.△PDE的周長最小時"好點"的坐標為:(-4,6),

由(2)得：P(a,-工~+8),

8

?點D、E的坐標分別為(0,6),(-4,0),

二設(shè)直線DE的解析式為：y=kx+b.

b=6

則《

-4k+b=0'

解得：

、b=6

.3

?'?IDE：y=—X+6,

2

則PE=-la2+8-A-6,

82

?*?SAPDE=-^X4X（-U+8-罵-6）

282

=-Aa2-3a+4

4

=--(a+6)2+13,

4

-8<a<0,

**.4SSAPDE^13,

/.△PDE的面積可以等于4到13所有整數(shù)，在面

積為12時，a的值有兩個，

所以面積為整數(shù)時好點有11個，經(jīng)過驗證周長最小

的好點包含這11個之內(nèi)，所以好點共11個，

綜上所述：11個好點，P(-4,6).

三、試一試

1.二次函數(shù)y=a?+法的圖象如圖，若一元二次方程

辦2+版+加=0有實數(shù)根，則m的最大值為【】.

A.-3B.3C.-5D.9

2.如圖是二次函數(shù)y=a^+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式

以2+"+0<0的解集是【】.

A.-l<x<5B.x>5

C.x<-l_fix>5D.工<-1或x>5

3.如圖，已知拋物線>=■?+bx+c的對稱軸為x=2,點48均在拋物線上，且相與x

軸平行，其中點4的坐標為(0,3),則點8的坐標為【】.

A.(2,3)B.(3,2)

C.(3,3)D.(4,3)

第3題

4.已知點A(a-2b,2-4")在拋物線

尸2+4"10上，則點4關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點坐標為【

A.(-3,7)B.(-1,7)C.(-4,10)D.(0,10)

5.已知二次函數(shù)y=a?+/；x+c(aH0)的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：

?tr-4ac>0；②a〃c>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0