專題02 方程-【初升高銜接】新高一數(shù)學(xué)暑假銜接講義（解析版）

第第頁專題02方程【初高中知識點(diǎn)銜接】知識點(diǎn)初中高中一元一次方程一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組及其解法通過對含字母系數(shù)的、形式意義上的一元一次、二次方程進(jìn)行分類和求解的討論，體會分類討論的思想和周密思考問題的過程一元二次方程一元二次方程及其解法；一元二次方程的求根公式研究一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,即韋達(dá)定理，掌握韋達(dá)定理的證明以及它的基本運(yùn)用簡單的代數(shù)方程整式方程、分式方程、無理方程、二元二次方程組；高次方程是初中九年級拓展內(nèi)容,屬于選修內(nèi)容把方程中的等號變?yōu)椴坏忍?那么方程就變?yōu)檎讲坏仁?、分式不等式、無理不等式、高次不等式在本專題中，我們主要鞏固初中所學(xué)的知識，在鞏固的基礎(chǔ)上進(jìn)行初高中銜接.在初中,一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(即韋達(dá)定理)雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)過了，但是學(xué)生探究得不夠深刻，但在高中，韋達(dá)定理有著非常廣泛的應(yīng)用，是高中學(xué)生必須掌握的內(nèi)容,在本講中著重練習(xí)了這個知識點(diǎn)?！局R回顧與銜接】一元一次方程只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫做一元一次方程，一般式為二、一元二次方程只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是二次的整式方程叫做一元二次方程，一般式為1、求根公式一元二次方程的兩個根為：2、判別式①當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。②當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。③當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根。3、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：如果一元二次方程的兩個根為，那么：①推導(dǎo)過程：一元二次方程的兩個根為： 所以：，②一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”．③一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：設(shè)和分別是一元二次方程，則∴于是有下面的結(jié)論：若和分別是一元二次方程，則(其中)④用兩根和與兩根積來表示：利用韋達(dá)定理,我們可以不直接求方程的根，而知其根的正、負(fù)性。當(dāng)且時，方程的兩根必一正一負(fù);當(dāng)且時時，方的兩根同正或同負(fù).三、有理方程整式方程與分式方程統(tǒng)稱為有理方程，有理方程和無理方程統(tǒng)稱為初等代數(shù)方程，簡稱代數(shù)方程。一元整式方程:如果方程中只有一個未知數(shù)且兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式,那么這個方程叫做一元整式方程。分式方程:如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知數(shù)，那么這個方程是分式方程。比如：解分式方程的一般步驟，可用流程圖表述為四、無理方程方程中含有根式，且被開方數(shù)是含有未知數(shù)的代數(shù)式，這樣的方程稱為無理方程。比如等解簡單的無理方程，可以通過去根號化為有理方程來解，解簡單無理方程的一般步驟用流程圖表述為【例題精講】1、設(shè)拋物線與軸的兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)為和，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意、為方程的兩根，即可得到，，，再代入計(jì)算可得.【詳解】依題意、為方程的兩根，所以，，，所以，，所以.故選：A2、設(shè)關(guān)于x的方程的兩根為.(1)若，求實(shí)數(shù)m的值；(2)若，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】(1)3或(2)1或5【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用韋達(dá)定理列式，再配方代入計(jì)算作答.（2）借助韋達(dá)定理探討兩根的符號，再分條件去絕對值符號求解作答.【詳解】（1）依題意，，則，由，得，即，解得或，所以實(shí)數(shù)m的值為3或.（2）由（1）知，，顯然不可能同號，當(dāng)時，由，得，即，解得，當(dāng)時，由，得，即，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為1或5.3、已知實(shí)數(shù)且滿足，則______．【答案】【分析】由題意可得是方程的兩個實(shí)數(shù)根，由利用韋達(dá)定理可得答案.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)且滿足，所以是方程即的兩個實(shí)數(shù)根，可得，，所以，，所以，故答案為：.4、已知，則（

）A．-22 B．-1 C．7 D．11【答案】B【分析】解方程求，由此可求.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所以或，?dāng)時，，故，當(dāng)時，，故，故選：B.5、某區(qū)為殘疾人辦實(shí)事，在一道路改造工程中，為盲人修建一條長3000米的盲道，在實(shí)際施工中，由于增加了施工人員，每天可以比原計(jì)劃多修建250米，結(jié)果提前2天完成工程，設(shè)實(shí)際每天修建盲道米，根據(jù)題意可得方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直接利用每天修建的盲道比原來多250米，提前2天完成，得出方程即可.【詳解】設(shè)實(shí)際每天修建盲道米，根據(jù)題意可得：，故選：D6、關(guān)于的一元二次方程的兩個正實(shí)數(shù)根分別為，且，則的值是__________.【答案】【分析】由題得到韋達(dá)定理，結(jié)合已知得，解方程，再檢驗(yàn)即得解.【詳解】由題得，（）所以，且，所以.所以，整理得，當(dāng)時，不滿足，所以舍去.當(dāng)時，.滿足（）.故答案為：57、的解集為_________【答案】【分析】令，解關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)的值求解關(guān)于的一元二次方程.【詳解】令，則，解得：，，由得：，方程無解；由得：，解得：，，解集為.8、如果是一元二次方程的兩個根，則的值是______【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理可得，兩式相減即可得解.【詳解】因?yàn)槭且辉畏匠痰膬蓚€根，所以，兩式相減得，因?yàn)?故答案為：.9、（1）已知關(guān)于x的方程在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知關(guān)于x的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）已知關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）將方程變形為，要求a的取值范圍，就是求的取值范圍，然后運(yùn)用二次函數(shù)的知識求出答案即可；（2）不等式在上有解，等價于，由（1）知答案；（3）不等式在上恒成立，等價于，由（1）知答案.【詳解】（1）將方程變形為，要求a的取值范圍，就是求的取值范圍，即y＝(x＋)2－，0≤x≤1，所以當(dāng)x＝0時，y取得最小值為－1；當(dāng)x＝1時，y取得最大值為1，所以y的取值范圍是－1≤y≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2）不等式在上有解，等價于由（1）知（3）不等式在上恒成立，等價于由（1）知【點(diǎn)睛】本題考查的是方程有解及不等式恒成立問題和存在性問題，考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，較簡單.10、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)用含有的代數(shù)式表示【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可得解；（2）利用韋達(dá)定理求解即可.【詳解】（1）因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）因?yàn)殛P(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，所以，則.11、在①，②，③這三個條件中選一個合適的條件，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.問題：若滿足，且_________，求出下列各式的值.(1)；(2).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】解方程可求得兩根，并確定兩根的范圍；將符合條件的根代入所求式子即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由得：或；若選條件①，沒有滿足，故無法求出；若選條件②，則，；若選條件③，則，.（2）若選條件①，沒有滿足，故無法求出；若選條件②，則，，；若選條件③，則，，.12、若是方程的兩根，則_____________【答案】【分析】根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理可得，兩式相減即可得解.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以，兩式相加得，所?故答案為：.13、表示不超過的最大整數(shù)，例如，.則方程的實(shí)數(shù)解的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)已知條件列不等式，對進(jìn)行分類討論，由此求得方程的解，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】因?yàn)椋匠套冃螢?，則，解得，①當(dāng)時，，原方程化為，解得（不符合，舍去）.②當(dāng)時，，原方程化為，無解.③當(dāng)時，，原方程化為，無解.④當(dāng)時，，原方程化為，解得（不符合，舍去）.⑤當(dāng)時，，原方程化為，解得（不符合，舍去）.綜上所述，方程的實(shí)數(shù)解為，共個.故選：A【鞏固練習(xí)】1、．設(shè)方程的兩根為，則方程的根為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將代入方程，可以得到與的關(guān)系，即可求得的根.【詳解】方程，即，又因?yàn)榉匠痰膬筛鶠?，即，又因?yàn)榉匠炭梢曰啚?，代入即，即，所以方程的根?故答案為：B2、（1）已知是關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根，且滿足，求實(shí)數(shù)的值.（2）解方程：【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根據(jù)韋達(dá)定理即可求解；（2）配方，解方程即可求解.【詳解】（1）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：,

又，

,解得：或當(dāng)時，方程中，此時方程沒有實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去.實(shí)數(shù)的值為.（2）原方程可變形為：或或,經(jīng)檢驗(yàn)，它們均為原方程的根.3、設(shè)自然數(shù)，且，則________．【答案】16【分析】依題意可得，即可得到，從而得解.【詳解】因?yàn)?，即，即，所以，即，所以關(guān)于的方程有正整數(shù)解，所以，其中，解得，所以，又，因?yàn)?、為自然?shù)且，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故答案為：4、方程的解是（

）A．1 B． C． D．方程無解【答案】A【分析】去分母解方程，并檢驗(yàn)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，整理得：，解得，因?yàn)榍?，所以，，即方程的解是故選：A5、已知，，則__________．【答案】/1.6【分析】由題意可知、是方程的兩根，直接由韋達(dá)定理可得兩根之積，從而可得的值.【詳解】由方程的結(jié)構(gòu)可知、是方程的兩根，由韋達(dá)定理可得故答案為：.6、已知，則_________【答案】23【分析】將看成一個整體，然后利用完全平方公式化簡即可.【詳解】，，故答案為：237、、是方程的兩個根，則____________【答案】/【分析】利用韋達(dá)定理可得出、的值，可求得、的值，再利用立方差公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椤⑹欠匠痰膬蓚€根，由韋達(dá)定理可得，，所以，，則，，因此，.故答案為：.8、在中，如果，滿足，那么_____【答案】.【分析】根據(jù)已知條件及銳角三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)特殊角，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?解得，在中，，所以，在中，，所以，所以.故答案為：.9、已知二元一次方程組，則_____，_____.【答案】【分析】將方程組中的兩個等式別相加、相減可得結(jié)果.【詳解】將方程組中的兩個等式相減可得，將方程組中的兩個等式相加可得，可得.故答案為：；.10、已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的個數(shù)的判斷方法可直接構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，解得：且.故選：C.11、關(guān)于的一元二次方程有兩個不等實(shí)根．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：對于任意，為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）一元二次方程有兩個不等實(shí)根，滿足△即可；（2）利用韋達(dá)