2023-2024學(xué)年山東省濟南市長清區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年山東省濟南市長清區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.如圖是理想、蔚來、小鵬、哪吒四款新能源汽車的標(biāo)志，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(

)A.B.C.D.2.已知a>b，則下列結(jié)論正確的是(

)A.a?3<b?3 B.?2a>?2b C.5a>5b D.a3.用配方法解方程x2?2x?5=0時，原方程應(yīng)變形為(

)A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=94.矩形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中如圖所示，若矩形平移，使得點A(?4,3)到點A′(1,4)的位置，平移后矩形頂點C的對應(yīng)點C′的坐標(biāo)是(

)A.C′(?2,0) B.C′(3,0) C.C′(3,1) D.C′(4,1)5.計算：x+yxy?x?yA.2x B.?2x C.26.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，要使四邊形ABCD是平行四邊形，下列可添加的條件不正確的是(

)A.AD=BC B.AB=CD C.AD//BC D.∠A=∠C7.如圖，在?ABCD中，點E是AD的中點，對角線AC，BD相交于點O，連接OE，若△ABC的周長是10，則△AOE的周長為(

)A.3

B.5

C.6

D.78.若關(guān)于x的一元二次方程kx2?2x+3=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是A.k<13 B.k≤13 C.k<19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點A在x軸上，OC=6，∠AOC=60°，以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA、OC于點D、E；再分別以點D、點E圓心，大于12DE的長度為半徑畫弧，兩弧相交于點F，過點O作射線OF，交BC于點P，則點P的坐標(biāo)為(

)A.(4,23) B.(6,23)10.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+12=0有一個根是?1，若一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，設(shè)t=a+2bA.?12≤t<1 B.?1<t≤14 二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11.分解因式：a2?4=

．12.我們把各邊相等，且各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如圖，邊長相等的正五邊形和正方形的一邊重合，則∠1=______°.13.已知一元二次方程x2+kx?6=0有一個根是2，則另一個根是______．14.代數(shù)式3x+2與代數(shù)式2x?1的值相等，則x=______．15.如圖，點A，B，E在同一條直線上，正方形ABCD，BEFG的邊長分別為3，4，H為線段DF的中點，則S△BHF=______．

16.如圖，矩形ABCD中，E為CD上一點，F(xiàn)為AB上一點，分別沿AE，CF折疊，D，B兩點剛好都落在矩形內(nèi)一點P，且∠EPC=150°，則AB：AD=______．

三、解答題：本題共10小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題6分)

解不等式組5x?3≤2(x?3)①x418.(本小題6分)

先化簡，再求值：(1?4m+1)÷m19.(本小題6分)

在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)在對角線AC上，且AE=CF，連接DE、BF．

求證：DE=BF．20.(本小題8分)

解方程：

(1)x2?2x=0；

(2)221.(本小題8分)

如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，在方格紙中建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，△ABC的頂點都在格點上．

(1)將△ABC向右平移4個單位長度得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1．

(2)畫出△A1B1C1關(guān)于點22.(本小題8分)

如圖，在四邊形ABCD中，AB//DC，AB=CD，對角線AC，BD交于點O，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，且∠ABO=∠ACE，連接OE．

(1)求證：四邊形ABCD是菱形；

(2)若AB=210，BD=4，求OE23.(本小題10分)

為加快公共領(lǐng)域充電基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，某停車場計劃購買甲、乙兩種型號的充電樁.已知甲型充電樁比乙型充電樁的單價多0.2萬元，用16萬元購買甲型充電樁與用12萬元購買乙型充電樁的數(shù)量相等．

(1)甲、乙兩種型號充電樁的單價各是多少？

(2)該停車場計劃購買甲、乙兩種型號的充電樁共15個，且乙型充電樁的購買數(shù)量不超過甲型充電樁購買數(shù)量的2倍，求購買這批充電樁所需的最少總費用？24.(本小題10分)

唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這句詩讓我想到了有趣的“將軍飲馬”問題：將軍從A地出發(fā)到河邊l飲馬，然后再到B地軍營視察，怎樣走路徑最短？

【數(shù)學(xué)模型】如圖1，A，B是直線l同旁的兩個定點.在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最?。?/p>

解決方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于點P，則點P即為所求.此時，PA+PB的值最小，且PA+PB=A′P+PB=A′B．

【模型應(yīng)用】

問題1.如圖2，在正方形ABCD中，AB=9，點E在CD邊上，且DE=2CE，點P是對角線AC上的一個動點，則PE+PD的最小值是______．

問題2.如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(?2,4)，點B(4,2)．

(1)請在x軸上確定一點P，使PA+PB的值最小，求出點P的坐標(biāo)；

(2)請直接寫出PA+PB的最小值．

【模型遷移】

問題3.如圖4，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AC=12，BD=16.點P和點E分別為BD，CD上的動點，求PE+PC的最小值．25.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+4(k≠0)與y軸交于點A.直線y=?2x+1與直線y=kx+4(k≠0)交于點B，與y軸交于點C，點B的橫坐標(biāo)為?1．

(1)求點B的坐標(biāo)及k的值；

(2)在直線AE上找一點D使S△ACD=2S△ABC，求點D的坐標(biāo)；

(3)設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一個動點，當(dāng)以A、B、C、F26.(本小題12分)

旋轉(zhuǎn)是幾何圖形中的一種重要變換，通常與全等三角形的數(shù)學(xué)知識相結(jié)合來解決實際問題，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在研究三角形旋轉(zhuǎn)的過程中，進(jìn)行了如下探究：△ABC和△DEF均為等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，點D為BC中點，將△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)，連接AE、CF．

觀察猜想：

(1)如圖1，在△DEF旋轉(zhuǎn)過程中，AE與CF的數(shù)量關(guān)系為______；位置關(guān)系為______；

探究發(fā)現(xiàn)：

(2)如圖2，當(dāng)點E、F在△ABC內(nèi)且C、E、F三點共線時，試探究線段CE、AE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

解決問題：

(3)若△ABC中，AB=5，在△DEF旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE=2且C、E、F三點共線時，直接寫出DE的長．答案解析1.C

【詳解】解：A、該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

B、該圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

D、該圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．

故選：C．

2.C

【詳解】解：已知a>b，兩邊同時減去3得a?3>b?3，則A不符合題意；

已知a>b，兩邊同時乘?2得?2a<?2b，則B不符合題意；

已知a>b，兩邊同時乘5得5a>5b，則C符合題意；

已知a>b，兩邊同時除以2得a2>b2，則D不符合題意；

3.C

【詳解】解：由原方程移項，得

x2?2x=5，

方程的兩邊同時加上一次項系數(shù)?2的一半的平方1，得

x2?2x+1=6

∴(x?1)24.C

【詳解】解：∵點A(?4,3)，點A′(1,4)，

∴點A的橫坐標(biāo)向右平移5個單位長度，再向上平移1個單位長度，即可得到點A′，

∴平移后矩形頂點C(?2,0)的對應(yīng)點C′的坐標(biāo)是(3,1)，

故選：C．

5.A

【詳解】解：原式=(x+y)?(x?y)xy

=x+y?x+yxy

=2yxy

=6.A

【詳解】解：D、當(dāng)AB/?/CD，AD=BC時，四邊形ABCD可能為等腰梯形，所以不能證明四邊形ABCD為平行四邊形；

B、AB/?/CD，AB=DC，一組對邊分別平行且相等，可證明四邊形ABCD為平行四邊形；

C、AB/?/CD，AD//BC，兩組對邊分別平行，可證明四邊形ABCD為平行四邊形；

D、∵AB/?/CD，

∴∠A+∠D=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠C+∠D=180°，

∴AD//BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形；

故選：A．

7.B

【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，AD=BC，

∵點E是AD的中點，

∴AD=2AE，AB=2OE，

∵△ABC的周長是10，

∴△AOE的周長=AE+OA+OE=12(AD+AB+AC)=12×10=58.D

【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2?2x+3=0，

∴k≠0，

∵方程有兩個實數(shù)根，

∴Δ=(?2)2?4k×3≥0，

解得k≤13，

∴k的取值范圍是k≤9.D

【詳解】解：如圖，延長BC交y軸于G，則BG⊥y軸，

，

∴∠OGC=90°，

∵∠AOC=60°，

∴∠GOC=30°，

∴CG=12OC=3，OG=3CG=33，

由題意得：OP平分∠AOC，

∴∠AOP=∠COP，

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴OA/?/BC，

∴∠AOP=∠CPO，

∴∠COP=∠CPO，

∴PC=OP=6，

∴PG=PC+CG=6+3=9，

∴點P的坐標(biāo)為10.C

【詳解】解：由題知，

將x=?1代入關(guān)于x的方程得，

a?b+12=0．

因為一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，

所以a<0，b>0．

因為t=a+2b，且a=b?12，

所以t=b?12+2b=3b?12，

因為b>0，

所以3b?12>?12，

即11.(a+2)(a?2)

【詳解】解：a212.18

【詳解】解：∵正五邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為(5?2)×180°÷5=108°，正方形的每個內(nèi)角等于90°，

∴∠1=108°?90°=18°，

故答案為：18．

13.?3

【詳解】解：設(shè)方程的另一個根為t，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得2t=?6，

解得t=?3，

即方程的另一個根為?3．

故答案為：?3．

14.7

【詳解】解：由題意得3x+2=2x?1，

去分母得，3(x?1)=2(x+2)，

去括號得，3x?3=2x+4，

移項得，3x?2x=4+3，

解得x=7，

經(jīng)檢驗x=7是原方程的解，

所以原方程的解為x=7，15.6

【詳解】解：連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形BGFE是正方形，

∴∠DBC=45°，∠FBG=45°，

∴∠DBF=90°，

∵AB=AD=3，BE=EF=4，

∴BD=32，BF=42，

∴S△DBF=12BD?BF=12，

∵H是16.2：1【詳解】解：如圖，設(shè)AD=BC=x.過點P作PH⊥AC于H．

由翻折的性質(zhì)可知，PA=PC=BC=AD=x，

∵∠EPC=150°，∠APE=∠D=90°，

∴∠APC=120°，

∵PH⊥AC，

∴AH=CH，∠APH=∠CPH=60°，

∴∠PAH=∠CPH=30°，PH=12AP，

∴AC=2AH=2?PA2?12PA2=3x，

∵四邊形ABCD17.解：解不等式①得x≤?1，

解不等式②得x>?4，

故原不等式組的解集為?4<x≤?1．

則它的所有整數(shù)解為?3，?2，?1．

【詳解】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，再寫出它的所有整數(shù)解．

18.解：原式=(m+1m+1?4m+1)÷(m+3)(m?3)m+3

=m+1?4m+1÷(m?3)

=【詳解】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把m的值代入計算即可求出值．

19.證明：在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AD//BC，

∴∠DAE=∠BCF，

又∵AE=CF，

∴△ADE≌△CBF(SAS)，

∴DE=BF．

【詳解】證得△ADE≌△CBF后，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得結(jié)論．

20.解：x2?2x=0，

x(x?2)=0，

則x=0或x?2=0，

所以x1=0，x2=2．

(2)2x2?7x+6=0，

(x?2)(2x?3)=0，

則【詳解】用因式分解法對所給方程進(jìn)行求解即可．

21.(?2,0)

【詳解】解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求；

(2)如圖，△A2B2C2即為所求；

(3)旋轉(zhuǎn)中心Q的坐標(biāo)為(?2,0)，

故答案為：(?2,0)．

(1)利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；

(2)利用中心對稱變換的性質(zhì)分別作出A122.(1)證明：∵CE⊥AB，

∴∠CEA=90°，

∴∠CAE+∠ACE=90°，

∵∠ABO=∠ACE，

∴∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠AOB=90°，

∴AO⊥OB，

∵AB/?/CD，AB=CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

又∵AC⊥BD，

∴平行四邊形ABCD是菱形；

(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，BD=4，

∴OA=OC，BD⊥AC，OB=OD=2，

∴∠AOB=90°，

∴OA=AB2?OB2=40?4=6【詳解】(1)先證AO⊥OB，再證四邊形ABCD是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)和勾股定理得OA=3，則AC=2OA=6，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案．

23.解：(1)設(shè)乙型充電樁的單價是x元，則甲型充電樁的單價是(x+0.2)元，

由題意得：16x+0.2=12x，

解得：x=0.6，

經(jīng)檢驗，x=0.6是原方程的解，且符合題意，

∴x+0.2=0.6+0.2=0.8，

答：甲型充電樁的單價是0.8元，乙型充電樁的單價是0.6元；

(2)解：設(shè)購買甲型充電樁的數(shù)量為m個，則購買乙型充電樁的數(shù)量為(15?m)個，

由題意得：15?m≤2m，

解得：m≥5，

設(shè)所需費用為w元，

由題意得：w=0.8m+0.6×(15?m)=0.2m+9，

∵0.2>0，

∴w隨m的增大而增大，

∴當(dāng)m=5時，w取得最小值=0.2×5+9=10，

【詳解】(1)設(shè)乙型充電樁的單價是x元，則甲型充電樁的單價是(x+0.2)元，根據(jù)用16萬元購買甲型充電樁與用12萬元購買乙型充電樁的數(shù)量相等．列出分式方程，解方程即可；

(2)設(shè)購買甲型充電樁的數(shù)量為m個，則購買乙型充電樁的數(shù)量為(15?m)個，根據(jù)乙型充電樁的購買數(shù)量不超過甲型充電樁購買數(shù)量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥5，再設(shè)所需費用為w元，求出w與m的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

24.3【詳解】問題1：解：如圖，連接BP，BE，

∵正方形ABCD的邊長為9，DE=2CE，

∴BC=CD=9，DE=6，CE=3，∠ACB=∠ACD=45°，

∴BE=BC2+CE2=81+9=310，

∵CP=CP，∠ACB=∠ACD=45°，BC=DC，

∴△BCP≌△DCP(SAS)，

∴BP=PD，

∴PE+PD=PB+PE，

∴當(dāng)點P，點B，點E三點共線時，PE+PD有最小值為BE的長，

∴PE+PD的最小值為310，

故答案為：310；

問題2：(1)作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點P，則點P即為所求．此時，PA+PB的值最小，

∵點B(4,2)，

∴B′(4,?2)，

設(shè)直線AB′的解析式為y=kx+b，

∵點A(?2,4)，點B′(4,?2)．

∴4=?2k+b?2=4k+b，解得：k=?1b=2，

∴直線AB′的解析式為y=?x+2，

當(dāng)y=0時，?x+2=0，解得：x=2，

∴點P的坐標(biāo)(2,0)；

(2)∵點B關(guān)于x軸的對稱點B′，

∴PB=PB′，

∴PA+PB=PA+PB′，

∴當(dāng)點A，點P，點B′三點共線時，PA+PB的最小值為AB′的長，

∵B′(4,?2)，點A(?2,4)，

∴AB′=(4+2)2+(?2?4)2=62，

∴PA+PB的最小值為62；

問題3：如圖5，過A作AE⊥CD，交BD于P，連接CP，

此時線段PE+PC最小，且PE+PC=AE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OD=12BD=8，OC=12AC=6，

∴DC=OD2+OC2=64+36=10，

∵S菱形ABCD=12×AC?BD=CD?AE，

即：12×12×16=10×AE，

∴AE=9.6

∴PE+PC的最小值是9.6．

問題125.解：(1)在y=?2x+1中，令x=?1得y=2+1=3，

∴B(?1,3)，

把B(?1,3)代入y=kx+4得：

3=?k+4，

解得k=1，

∴y=x+4，

∴B的坐標(biāo)是(?1,3)，k的值為1；

(2)∵S△ACD=2S△ABC，

∴12×AC×|xD|=2×12×AC×|xB|，

∴|xD|=2|xB|=2，

∴點D的橫坐標(biāo)為2或?2，

∴點D的坐標(biāo)為(?2,2)或(2,6)；

(3)∵以A、B、C、F為頂點的四邊形是平行四邊形，

設(shè)點F(m,n)，

當(dāng)平行四邊形為?ABCF時，

根據(jù)題意，

m=0?(?1)=1，n?1=4?3，

∴m=1，n=2，

∴F(1,2)；

當(dāng)平行四邊形為?ACBF時，

根據(jù)題意，

0?0=m?(?1)，4?1=n?3，

∴m=?1，n=6，

∴F(?1,6)；

當(dāng)平行四邊形為?ABFC時，【詳解】(1)代入求出點B的坐標(biāo)，再將點B的坐標(biāo)代入即可求出k，進(jìn)而作答即可；

(2)根據(jù)三角形的面積公式作答即可；

(3)以A、B、C、F為頂點的四邊形是平行四邊形，設(shè)點F(m,n)，分情況討論：當(dāng)平行四邊形為?ABCF時，當(dāng)平行四邊形為?ACBF時，當(dāng)平行四邊形為?ABFC時，根據(jù)平行四邊形坐標(biāo)特征，進(jìn)而作答即可．

26.AE=CF

AE⊥CF

【詳解】解：(1)AE=CF；AE⊥CF；理由如下，

如圖所示，連接AD，CF交AE于點M，

∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵