高考數(shù)學一輪復習知識點講解+真題測試專題8.6空間向量及其運算和空間位置關系(知識點講解)(原卷版+解析)

專題8.6空間向量及其運算和空間位置關系（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1．考查空間向量的概念及運算，凸顯數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．考查空間向量的應用，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．【知識點展示】1．平行(共線)向量與共面向量平行(共線)向量共面向量定義位置關系表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關系：__互相平行或重合__平行于同一個__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量與__任意向量__共線充要條件對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使__a＝λb__向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在__惟一__的有序?qū)崝?shù)對(x，y)使__p＝xa＋yb__推論對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式__eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta__，向量a為直線l的__方向向量__或在直線l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))__點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝__xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__2．數(shù)量積的性質(zhì)設a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，①a∥b時，θ＝__0或π__，θ＝__0__時，a與b同向；θ＝__π__時，a與b反向．②a⊥b?θ＝__eq\f(π,2)__?a·b＝0．③θ為銳角時，a·b__>__0，但a·b>0時，θ可能為__0__；θ為鈍角時，a·b__<__0，但a·b<0時，θ可能為__π__．④|a·b|≤|a|·|b|，特別地，當θ＝__0__時，a·b＝|a|·|b|，當θ＝__π__時，a·b＝－|a|·|b|．⑤對于實數(shù)a、b、c，若ab＝ac，a≠0，則b＝c；對于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，卻推不出b＝c，只能得出__a⊥(b－c)__．⑥a·b＝0eq\o(?,/)a＝0或b＝0，a＝0時，一定有a·b＝__0__．⑦不為零的三個實數(shù)a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但對于三個向量a、b、c，(a·b)c__≠__a(b·c)，因為a·b是一個實數(shù)，(a·b)c是與c共線的向量，而a(b·c)是與a共線的向量，a與c卻不一定共線．3．空間向量基本定理(1)如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝__xa＋yb＋zc__．(2)如果三個向量a、b、c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，這個集合可看作是由向量a、b、c生成的，我們把{__a，b，c__}叫做空間的一個基底，a、b、c都叫做__基向量__，空間任何三個__不共面__的向量都可構(gòu)成空間的一個基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐標__不同__，在同一基底下的坐標__相同__．4．空間向量的正交分解及其坐標表示設e1、e2、e3為有公共起點O的三個兩兩垂直的單位向量(我們稱它們?yōu)閱挝徽换?．以e1、e2、e3的公共起點O為原點，分別以__e1，e2，e3__的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系O－xyz．對于空間任意一個向量p一定可以把它平移，使它的__起點__與原點O重合，得到向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3．我們把x、y、z稱作向量p在單位正交基底e1、e2、e3下的坐標，記作p＝(x，y，z)．5.用向量描述空間平行關系設空間兩條直線l、m的方向向量分別為a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，兩個平面α，β的法向量分別為u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，則有如下結(jié)論：位置關系向量關系向量運算關系坐標關系l∥m__a∥b____a＝kb，k∈R__a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3l∥α__a⊥u____a·u＝0____a1u1＋a2u2＋a3u3＝0__u∥vα∥β__u∥v__u＝kv，k∈Ru1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv36.用向量證明空間中的垂直關系①設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.②設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.③設平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.7.共線與垂直的坐標表示設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．【常考題型剖析】題型一：空間向量的運算例1.（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．例2.(2023·全國·高三專題練習）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點，且，則（

）A． B．=C．= D．=例3.（安徽·高考真題（理））在正四面體O－ABC中，，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝______________(用表示)．【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．題型二：共線(共面)向量定理的應用例4.（2023·全國·高三專題練習）以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、例5.(2023·廣西桂林·模擬預測（文））如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結(jié)論中①+與1+1是一對相反向量；②-1與-1是一對相反向量；③1+1+1+1與+++是一對相反向量；④-與1-1是一對相反向量．正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例6.（2023·全國·高三專題練習）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：（1）、、、四點共面，、、、四點共面；（2）．【總結(jié)提升】證明三點共線和空間四點共面的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同過點Peq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))題型三：空間向量數(shù)量積及其應用例7.（廣東·高考真題（理））已知向量，則下列向量中與成的是（）A． B． C． D．例8.(2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設，，.（1）試用，，表示向量；（2）求BM的長.例9.（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，若向量同時滿足下列三個條件：①；②；③與垂直.（1）求的模；（2）求向量的坐標.【總結(jié)提升】空間向量數(shù)量積的應用題型四：利用空間向量證明平行例10.（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）求證：平面EFGH；（3）設M是EG和FH的交點，求證：對空間任意一點O，有.例11.（2023·全國·高三專題練習（理））如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點.求證：（1）PB//平面EFG；（2）平面EFG//平面PBC.【規(guī)律方法】利用空間向量證明平行的方法1.線線平行:證明兩直線的方向向量共線2.線面平行:①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行3.面面平行:①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題題型五：利用空間向量證明垂直例12.(2023·河南·寶豐縣第一高級中學模擬預測（文））如圖，，是圓柱底面的圓心，，，均為圓柱的母線，是底面直徑，E為的中點．已知，．(1)證明：；(2)若，求該圓柱的體積．例13．(2023·全國·高三專題練習）已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動點．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點的位置．例14．（2023·全國·高三專題練習）直四棱柱中，，，E、F分別為棱AB、上的點，，.求證：（1）平面；（2）線段AC上是否存在一點G，使面面.若存在，求出AG的長；若不存在，請說明理由.【規(guī)律方法】利用空間向量證明垂直的方法1.線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零2.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎緦ｎ}8.6空間向量及其運算和空間位置關系（知識點講解）【知識框架】【核心素養(yǎng)】1．考查空間向量的概念及運算，凸顯數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．考查空間向量的應用，凸顯邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象的核心素養(yǎng)．【知識點展示】1．平行(共線)向量與共面向量平行(共線)向量共面向量定義位置關系表示空間向量的有向線段所在的直線的位置關系：__互相平行或重合__平行于同一個__平面__的向量特征方向__相同或相反__特例零向量與__任意向量__共線充要條件對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使__a＝λb__向量p與不共線向量a，b共面的充要條件是存在__惟一__的有序?qū)崝?shù)對(x，y)使__p＝xa＋yb__推論對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式__eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta__，向量a為直線l的__方向向量__或在直線l上取向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))__點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝__xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝__eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))__2．數(shù)量積的性質(zhì)設a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，①a∥b時，θ＝__0或π__，θ＝__0__時，a與b同向；θ＝__π__時，a與b反向．②a⊥b?θ＝__eq\f(π,2)__?a·b＝0．③θ為銳角時，a·b__>__0，但a·b>0時，θ可能為__0__；θ為鈍角時，a·b__<__0，但a·b<0時，θ可能為__π__．④|a·b|≤|a|·|b|，特別地，當θ＝__0__時，a·b＝|a|·|b|，當θ＝__π__時，a·b＝－|a|·|b|．⑤對于實數(shù)a、b、c，若ab＝ac，a≠0，則b＝c；對于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，卻推不出b＝c，只能得出__a⊥(b－c)__．⑥a·b＝0eq\o(?,/)a＝0或b＝0，a＝0時，一定有a·b＝__0__．⑦不為零的三個實數(shù)a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但對于三個向量a、b、c，(a·b)c__≠__a(b·c)，因為a·b是一個實數(shù)，(a·b)c是與c共線的向量，而a(b·c)是與a共線的向量，a與c卻不一定共線．3．空間向量基本定理(1)如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝__xa＋yb＋zc__．(2)如果三個向量a、b、c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，這個集合可看作是由向量a、b、c生成的，我們把{__a，b，c__}叫做空間的一個基底，a、b、c都叫做__基向量__，空間任何三個__不共面__的向量都可構(gòu)成空間的一個基底，同一(相等)向量在不同基底下的坐標__不同__，在同一基底下的坐標__相同__．4．空間向量的正交分解及其坐標表示設e1、e2、e3為有公共起點O的三個兩兩垂直的單位向量(我們稱它們?yōu)閱挝徽换?．以e1、e2、e3的公共起點O為原點，分別以__e1，e2，e3__的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系O－xyz．對于空間任意一個向量p一定可以把它平移，使它的__起點__與原點O重合，得到向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝p，由空間向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3．我們把x、y、z稱作向量p在單位正交基底e1、e2、e3下的坐標，記作p＝(x，y，z)．5.用向量描述空間平行關系設空間兩條直線l、m的方向向量分別為a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，兩個平面α，β的法向量分別為u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，則有如下結(jié)論：位置關系向量關系向量運算關系坐標關系l∥m__a∥b____a＝kb，k∈R__a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3l∥α__a⊥u____a·u＝0____a1u1＋a2u2＋a3u3＝0__u∥vα∥β__u∥v__u＝kv，k∈Ru1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv36.用向量證明空間中的垂直關系①設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0.②設直線l的方向向量為v，平面α的法向量為u，則l⊥α?v∥u.③設平面α和β的法向量分別為u1和u2，則α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0.7.共線與垂直的坐標表示設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)．【常考題型剖析】題型一：空間向量的運算例1.（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：根據(jù)空間向量的運算法則和空間向量基本定理相關知識求解即可.【詳解】由題意得，.故選：D例2.(2023·全國·高三專題練習）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點，且，則（

）A． B．=C．= D．=答案：B【解析】分析：利用向量加法減法的幾何意義并依據(jù)空間向量基本定理去求向量【詳解】連接AG并延長交BC于N，連接ON，由G是的重心，可得，則則故選：B例3.（安徽·高考真題（理））在正四面體O－ABC中，，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝______________(用表示)．答案：【解析】【詳解】因為在四面體中，為的中點，為的中點，，故答案為.【方法技巧】用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．題型二：共線(共面)向量定理的應用例4.（2023·全國·高三專題練習）以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、答案：B【解析】分析：利用共面向量的基本定理逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，設，所以，，無解；對于B選項，因為，故B選項中的三個向量共面；對于C選項，設，所以，，無解；對于D選項，設，所以，，矛盾.故選：B.例5.(2023·廣西桂林·模擬預測（文））如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的中心為O，則下列結(jié)論中①+與1+1是一對相反向量；②-1與-1是一對相反向量；③1+1+1+1與+++是一對相反向量；④-與1-1是一對相反向量．正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4答案：A【解析】分析：由向量的加減運算對各個選項進行檢驗即可.【詳解】設E,F分別為AD和A1D1的中點，①+與+不是一對相反向量，錯誤；②-與-不是一對相反向量，錯誤；③1+1+1+是一對相反向量,正確；④-與1-不是一對相反向量,是相等向量，錯誤．即正確結(jié)論的個數(shù)為1個故選：A例6.（2023·全國·高三專題練習）已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：（1）、、、四點共面，、、、四點共面；（2）．答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】分析：（1）證明出、、為共面向量，結(jié)合、、有公共點可證得、、、四點共面，同理可證得、、、四點共面；（2）證得，再由和無公共點可證得．【詳解】（1）因為，所以，、、為共面向量，因為、、有公共點，故、、、四點共面，因為，則、、為共面向量，因為、、有公共點，故、、、四點共面；（2），，，，，因為、無公共點，故.【總結(jié)提升】證明三點共線和空間四點共面的方法比較三點(P，A，B)共線空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同過點Peq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))題型三：空間向量數(shù)量積及其應用例7.（廣東·高考真題（理））已知向量，則下列向量中與成的是（）A． B． C． D．答案：B【解析】【詳解】試題分析：對于A選項中的向量，，則；對于B選項中的向量，，則；對于C選項中的向量，，則；對于D選項中的向量，此時，兩向量的夾角為.故選B.例8.(2023·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA的長為2，且PA與AB、AD的夾角都等于60°，M是PC的中點，設，，.（1）試用，，表示向量；（2）求BM的長.答案：（1）；（2）.【解析】分析：（1）將，代入中化簡即可得到答案；（2）利用，結(jié)合向量數(shù)量積運算律計算即可.【詳解】（1）是PC的中點，.，，，結(jié)合，，，得.（2），，

，.，，，.由（1）知，，，即BM的長等于.例9.（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，若向量同時滿足下列三個條件：①；②；③與垂直.（1）求的模；（2）求向量的坐標.答案：（1）1；（2）或.【解析】分析：（1）求出的坐標，即可求出的模；（2）設，則由題可知，解出即可得出．【詳解】解：（1）∵，，∴，所以；（2）設，則由題可知

解得或

所以或.【總結(jié)提升】空間向量數(shù)量積的應用題型四：利用空間向量證明平行例10.（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.（1）求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）求證：平面EFGH；（3）設M是EG和FH的交點，求證：對空間任意一點O，有.答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】分析：（1）根據(jù)題意得出可證；（2）通過證明可得；（3）可得四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點，即可證明.【詳解】（1）E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，，，，又E，F(xiàn)，G，H四點不共線，故E，F(xiàn)，G，H四點共面；（2）E，H分別是AB，AD的中點，，，，平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；（3）由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點，E，G分別是AB，CD的中點，.例11.（2023·全國·高三專題練習（理））如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點.求證：（1）PB//平面EFG；（2）平面EFG//平面PBC.答案：（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，構(gòu)建空間直角坐標系A-xyz，并確定A，B，C，D，P，E，F(xiàn)，G的坐標，法一：求得，即可確定平面EFG的一個法向量，又有，則PB//平面EFG得證；法二：由，，，可知，根據(jù)向量共面定理即有，與共面，進而可證PB//平面EFG；（2）由（1）有即，可得BC//EF，根據(jù)線面平行的判定有EF//平面PBC，GF//平面PBC，結(jié)合面面平行的判定即可證平面EFG//平面PBC.【詳解】（1）因為平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，所以AB，AP，AD兩兩垂直.以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,2,0).法一：設平面EFG的法向量為，則,即,令z＝1，則為平面EFG的一個法向量，∵，∴，所以，∵PB?平面EFG，∴PB//平面EFG.法二：，，.設，即(2,0,－2)＝s(0,－1,0)＋t(1,1,－1)，所以解得s＝t＝2.∴，又與不共線，所以，與共面.∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.（2）由（1）知：，∴，所以BC//EF.又EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF//平面PBC，同理可證GF//PC，從而得出GF//平面PBC.又EF∩GF＝F，EF?平面EFG，GF?平面EFG，∴平面EFG//平面PBC.【規(guī)律方法】利用空間向量證明平行的方法1.線線平行:證明兩直線的方向向量共線2.線面平行:①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行3.面面平行:①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題題型五：利用空間向量證明垂直例12.(2023·河南·寶豐縣第一高級中學模擬預測（文））如圖，，是圓柱底面的圓心，，，均為圓柱的母線，是底面直徑，E為的中點．已知，．(1)證明：；