高考數(shù)學(xué)微專題集專題10焦半徑公式的應(yīng)用微點(diǎn)2焦半徑公式的應(yīng)用綜合訓(xùn)練(原卷版+解析)

專題10焦半徑公式的應(yīng)用微點(diǎn)2焦半徑公式的應(yīng)用綜合訓(xùn)練專題10焦半徑公式的應(yīng)用微點(diǎn)2焦半徑公式的應(yīng)用綜合訓(xùn)練一、單選題1．過拋物線(>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于A．2 B． C． D．2．已知點(diǎn)是雙曲線上的動點(diǎn)，，為該雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．3．已知雙曲線的右支上的點(diǎn)，滿足，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，4．已知點(diǎn)P是雙曲線上的動點(diǎn)，，是左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若的最大值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．25．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時，四邊形的面積為（

）A．32 B．16 C．24 D．86．過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于A，B，C，D四點(diǎn)，則的值為A． B． C．1 D．二、多選題(2023·福建·閩侯縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）7．已知雙曲線，則（

）A．雙曲線C的離心率等于焦半徑的長B．雙曲線與雙曲線C有相同的漸近線C．雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2D．直線與雙曲線C的公共點(diǎn)個數(shù)只可能為0，1，2（2023·湖北·武漢市新洲區(qū)城關(guān)高級中學(xué)高二開學(xué)考試）8．下面四個關(guān)于圓錐曲線的命題中，其中真命題為（

）A．設(shè)，為兩個定點(diǎn)，為非零常數(shù)，若，則動點(diǎn)的軌跡是雙曲線B．雙曲線與橢圓有相同的焦距C．方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率D．已知拋物線，以一焦半徑為直徑作圓，則此圓與y軸相切三、填空題9．已知F是橢圓的一個焦點(diǎn)，P是C上的任意一點(diǎn)，則稱為橢圓C的焦半徑.設(shè)C的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為A，B，若存在以A為圓心，為半徑長的圓經(jīng)過點(diǎn)B，則橢圓C的離心率的最小值為________.10．已知是橢圓上的動點(diǎn)，，分別是其左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是__．11．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，則的值為_______．12．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于?兩點(diǎn)，直線與交于?兩點(diǎn)，則的最小值為________.13．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則=____________________．14．雙曲線的兩個焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為______．四、解答題：15．設(shè),是雙曲線－=1的左、右兩個焦點(diǎn)，為左準(zhǔn)線，離心率，是左支上一點(diǎn)，P到的距離為，且，|PF|，|PF|成等差數(shù)列，求此雙曲線方程．16．已知雙曲線－=1的左、右焦點(diǎn)分別為F、F，左準(zhǔn)線為．能否在雙曲線的左支上找到一點(diǎn)P，使|PF|是P到的距離與|PF|的等比中項(xiàng)？若能，試求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由．17．在橢圓上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍．18．橢圓，離心率，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，求橢圓的方程．19．已知點(diǎn)P在橢圓上，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，求的取值范圍．20．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．21．已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，點(diǎn)為橢圓上的一個動點(diǎn)，的內(nèi)切圓面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上不重合的四個點(diǎn)，滿足向量與共線，與共線，且，求的取值范圍.22．已知橢圓的長軸長為4，離心率為，一動圓過橢圓右焦點(diǎn)，且與直線相切．(1)求橢圓的方程及動圓圓心軌跡的方程；(2)過作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．23．平面直角坐標(biāo)系中，已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，且，過F作兩條互相垂直的直線交橢圓分別于A、B與C、D，以F為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求橢圓的極坐標(biāo)方程與的代數(shù)表達(dá)式；（2）求的取值范圍.專題10焦半徑公式的應(yīng)用微點(diǎn)2焦半徑公式的應(yīng)用綜合訓(xùn)練專題10焦半徑公式的應(yīng)用微點(diǎn)2焦半徑公式的應(yīng)用綜合訓(xùn)練一、單選題1．過拋物線(>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于A．2 B． C． D．2．已知點(diǎn)是雙曲線上的動點(diǎn)，，為該雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．3．已知雙曲線的右支上的點(diǎn)，滿足，分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)），則為雙曲線的半焦距）的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，4．已知點(diǎn)P是雙曲線上的動點(diǎn)，，是左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若的最大值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．25．已知為拋物線的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時，四邊形的面積為（

）A．32 B．16 C．24 D．86．過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于A，B，C，D四點(diǎn)，則的值為A． B． C．1 D．二、多選題(2023·福建·閩侯縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）7．已知雙曲線，則（

）A．雙曲線C的離心率等于焦半徑的長B．雙曲線與雙曲線C有相同的漸近線C．雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2D．直線與雙曲線C的公共點(diǎn)個數(shù)只可能為0，1，2（2023·湖北·武漢市新洲區(qū)城關(guān)高級中學(xué)高二開學(xué)考試）8．下面四個關(guān)于圓錐曲線的命題中，其中真命題為（

）A．設(shè)，為兩個定點(diǎn)，為非零常數(shù)，若，則動點(diǎn)的軌跡是雙曲線B．雙曲線與橢圓有相同的焦距C．方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率D．已知拋物線，以一焦半徑為直徑作圓，則此圓與y軸相切三、填空題9．已知F是橢圓的一個焦點(diǎn)，P是C上的任意一點(diǎn)，則稱為橢圓C的焦半徑.設(shè)C的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為A，B，若存在以A為圓心，為半徑長的圓經(jīng)過點(diǎn)B，則橢圓C的離心率的最小值為________.10．已知是橢圓上的動點(diǎn)，，分別是其左右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍是__．11．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于、兩點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，則的值為_______．12．已知為拋物線：的焦點(diǎn)，過作兩條互相垂直的直線，，直線與交于?兩點(diǎn)，直線與交于?兩點(diǎn)，則的最小值為________.13．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若則=____________________．14．雙曲線的兩個焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1⊥PF2，則點(diǎn)P到x軸的距離為______．四、解答題：15．設(shè),是雙曲線－=1的左、右兩個焦點(diǎn)，為左準(zhǔn)線，離心率，是左支上一點(diǎn)，P到的距離為，且，|PF|，|PF|成等差數(shù)列，求此雙曲線方程．16．已知雙曲線－=1的左、右焦點(diǎn)分別為F、F，左準(zhǔn)線為．能否在雙曲線的左支上找到一點(diǎn)P，使|PF|是P到的距離與|PF|的等比中項(xiàng)？若能，試求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由．17．在橢圓上求一點(diǎn)P，使它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍．18．橢圓，離心率，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為，求橢圓的方程．19．已知點(diǎn)P在橢圓上，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，求的取值范圍．20．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．21．已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，點(diǎn)為橢圓上的一個動點(diǎn)，的內(nèi)切圓面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上不重合的四個點(diǎn)，滿足向量與共線，與共線，且，求的取值范圍.22．已知橢圓的長軸長為4，離心率為，一動圓過橢圓右焦點(diǎn)，且與直線相切．(1)求橢圓的方程及動圓圓心軌跡的方程；(2)過作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．23．平面直角坐標(biāo)系中，已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，且，過F作兩條互相垂直的直線交橢圓分別于A、B與C、D，以F為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求橢圓的極坐標(biāo)方程與的代數(shù)表達(dá)式；（2）求的取值范圍.參考答案：1．C分析：設(shè)PQ直線方程是則x1，x2是方程的兩根，借助韋達(dá)定理即可得到的值．【詳解】拋物線轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程：，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)過的直線方程為，，整理得．設(shè)，，，由韋達(dá)定理可知：，，，，根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，，，，的值為，故選：C．【點(diǎn)睛】涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．2．D分析：設(shè)在右支上，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求得、且，由已知雙曲線有，結(jié)合的范圍求范圍，即可得結(jié)果.【詳解】由雙曲線的對稱性，假設(shè)在右支上，即，由到的距離為，而，所以，綜上，，同理，則，對于雙曲線，有且，所以，而，即.故選：D3．B分析：根據(jù)得，，再換元利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】解：由雙曲線的第二定義可知，，右支上的點(diǎn)，滿足，由，解得，在右支上，可得，可得，即，則，令，，可得而在，單調(diào)遞減，，，，故選：B4．B分析：根據(jù)雙曲線的定義，將用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值，進(jìn)而利用離心率的定義，即可求解.【詳解】不妨設(shè)為右支上的一點(diǎn)，其中，可得，，又由，則，所以時，取得最大值，所以，可得，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.5．A分析：由兩條直線垂直，以及取得最小值時，有與，與關(guān)于軸對稱，可得直線的斜率為1，進(jìn)而可求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立寫出韋達(dá)定理和弦長公式，再由相互垂直的四邊形面積公式求值即可．【詳解】因?yàn)?，要使最小，而，由拋物線的對稱性可得與，與關(guān)于軸對稱，所以可得直線的斜率為1，又過拋物線的焦點(diǎn)，所以直線的方程為：，，整理可得，，，所以可得，所以．故選：．6．D分析：當(dāng)直線AB的斜率不存在時，AB：x=1，推導(dǎo)出=；當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)AB：y=k（x﹣1）（k≠0），CD：y=﹣（x﹣1）．分別利用弦長公式求出|AB|、|CD|的長度，由此能推導(dǎo)出=為定值．【詳解】由橢圓，得橢圓的右焦點(diǎn)為F（1，0），當(dāng)直線AB的斜率不存在時，AB：x=1，則CD：y=0．此時|AB|=3，|CD|=4，則=；當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)AB：y=k（x﹣1）（k≠0），則CD：y=﹣（x﹣1）．又設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立方程組，消去y并化簡得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴，∴|AB|===，由題知，直線CD的斜率為﹣，同理可得|CD|=．∴=為定值．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查定值的證明，考查弦長公式的運(yùn)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查計(jì)算能力，難度較大．7．CD分析：根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，直線和雙曲線的位置關(guān)系等知識對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】雙曲線焦點(diǎn)在軸上，且，漸近線為，對于A選項(xiàng)，雙曲線的離心率為，焦半徑為(其中為曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo))，所以A選項(xiàng)錯誤.對于B選項(xiàng)，雙曲線的漸近線為，與曲線的漸近線不相同，故B選項(xiàng)錯誤.對于C選項(xiàng)，雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，直線，當(dāng)時，直線與雙曲線的交點(diǎn)可能是0個，也可能是2個；當(dāng)且直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線的交點(diǎn)是1個，所以它們的公共點(diǎn)個數(shù)可能為，故D選項(xiàng)正確.故選：CD8．BCD分析：以橢圓、雙曲線、拋物線的定義及性質(zhì)出發(fā)依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】對于A.當(dāng)且時，動點(diǎn)的軌跡是雙曲線，A錯誤；對于B，雙曲線的焦點(diǎn)為，橢圓其焦點(diǎn)為，故兩曲線有相同的焦距，B正確；對于C,方程的兩根分別為和2可為橢圓和雙曲線的離心率，C正確；對于D，如圖，，中點(diǎn),所以以一焦半徑為直徑作圓，則此圓與y軸相切，D正確.故選:BCD.9．分析：根據(jù)題意，存在以A為圓心，為半徑長的圓經(jīng)過點(diǎn)B，即的最大值應(yīng)該不小于線段的長，根據(jù)不等關(guān)系列出含的不等式，轉(zhuǎn)化為離心率的不等式，即可求解出橢圓C的離心率的最小值．【詳解】根據(jù)題意，存在以A為圓心，為半徑長的圓經(jīng)過點(diǎn)B，即的最大值應(yīng)該不小于線段的長，可得，化簡得，即，且，解得，所以橢圓C的離心率的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓離心率的求解，在解題時構(gòu)造有關(guān)的不等式，轉(zhuǎn)化為離心率的不等式是關(guān)鍵．10．分析：由橢圓方程求出準(zhǔn)線方程，設(shè)的坐標(biāo)為，根據(jù)焦半徑公式表示出、，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)的坐標(biāo)為，橢圓中，，，，所以橢圓的準(zhǔn)線方程為，即，作出橢圓的右準(zhǔn)線，設(shè)在右準(zhǔn)線上的射影為，連接，根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得，，同理可得，，點(diǎn)在橢圓上，得，，由此可得，得，即，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，所以所以，．故答案為：11．分析：由題意可設(shè)：，：，聯(lián)立拋物線方程，若，，，可得、，結(jié)合拋物線的定義寫出、，根據(jù)垂直關(guān)系即可求.【詳解】由題設(shè)，知：，且，的斜率一定存在，可令：，：，，，，將它們聯(lián)立拋物線方程，∴，整理得，顯然，則，即由拋物線定義知：，，整理得，顯然，則，即由拋物線定義知：，∵，有，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)直線、拋物線的位置關(guān)系，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合拋物線定義求相交弦的弦長.12．36【解析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，分別求得和，結(jié)合基本不等式，即可求得的最小值，得到答案.【詳解】由題，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，則，設(shè)，，可得，由拋物線的定義可得，由，可將上式中的換為，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，上式取得等號，則的最小值為36.故答案為：36.【點(diǎn)睛】與拋物線的焦點(diǎn)有關(guān)問題的解題策略：1、與拋物線的焦點(diǎn)有關(guān)的問題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)：“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決與過拋物線焦點(diǎn)的弦有關(guān)問題的重要途徑；2、特別提醒：主要靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：或.13．【詳解】設(shè)，則,又所以,則【考點(diǎn)定位】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)及拋物線與直線的關(guān)系，當(dāng)遇到拋物線焦點(diǎn)弦問題時，常根據(jù)焦點(diǎn)設(shè)出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，把韋達(dá)定理和拋物線定義相結(jié)合解決問題，屬于難題14．分析：設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)（x，y），由PF1⊥PF2得到一個方程，將此方程代入雙曲線的方程，消去x，求出|y|的值．【詳解】設(shè)點(diǎn)P（x，y），∵F1（-5，0）、F2（5，0），PF1⊥PF2，∴=-1，∴x2+y2=25

①，又，∴，∴y2=，∴|y|=，∴P到x軸的距離是．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程、性質(zhì)的應(yīng)用．結(jié)合題意，建立兩個等式，解方程，即可得出答案．15．分析：利用焦半徑，結(jié)合雙曲線的第二定義列出等式，求出待定系數(shù)即可.【詳解】由雙曲線的第二定義可知,又因?yàn)?，，由已知得，即，得，所以雙曲線方程為.16．符合條件的P點(diǎn)不存在,理由見解析．分析：設(shè)P(x，y)，P到的距離為d，利用題目條件結(jié)合雙曲線第二定義，表示出，d，再由|PF|=d·|PF|，求出，即可得出結(jié)論.【詳解】由a=5，c=13，知=，=．設(shè)P(x，y)，P到的距離為d，則，，.令|PF|=d·|PF|，即(－5－x)=(－－x)(5－x)，解得：x=－或x=－．①另一方面，因?yàn)镻在左支上，所以x≤－5．②①與②矛盾．故符合條件的P點(diǎn)不存在．17．分析：先求出橢圓的準(zhǔn)線方程為，利用橢圓的定義表示出的關(guān)系，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再代入標(biāo)準(zhǔn)方程，求出縱坐標(biāo).【詳解】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．因?yàn)闄E圓的準(zhǔn)線方程為，

所以，因?yàn)?，所以，所?把代入方程，解得：因此，P點(diǎn)的坐標(biāo)為．18．分析：由題意得，又由離心率公式得到a、c的關(guān)系，解出a、c.由算出b，寫出橢圓方程即可.【詳解】∵橢圓的長軸的一個端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最短，∴，又，，∴橢圓的方程為．19．.分析：由橢圓的定義，可得，進(jìn)而可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由題可知，，因?yàn)?，∴時，有最大值，或時，有最小值，即的取值范圍為.20．（1）；（2）證明見解析，公差為或．分析：（1）方法一：設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明．（2）方法一：解出m,進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到,再由兩點(diǎn)間距離公式表示出，，得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．【詳解】（1）［方法一］：【最優(yōu)解】點(diǎn)差法設(shè)，則.兩式相減，并由得，由題設(shè)知，于是.①由題設(shè)得，故.［方法二］：【通性通法】常規(guī)設(shè)線設(shè)，，當(dāng)時，顯然不滿足題意；由得，，所以，，，即，而，所以，又，所以，，即，解得：．［方法三］：直線與橢圓系的應(yīng)用對原橢圓作關(guān)于對稱的橢圓為．兩橢圓方程相減可得，即為的方程，故．又點(diǎn)在橢圓C內(nèi)部可得，解得：．所以．［方法四］：直線參數(shù)方程的應(yīng)用設(shè)l的參數(shù)方程為（為l傾斜角，t為參數(shù)）代入橢圓C中得．設(shè)是線段中點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)，是線段中點(diǎn)，知得，即．而點(diǎn)在C內(nèi)得，解得：，所以．（2）［方法一］：【通性通法】常規(guī)運(yùn)算＋整體思想由題意得，設(shè)，則.由（1）及題設(shè)得.又點(diǎn)P在C上，所以，從而，.于是.同理，所以.故，即，，成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d，則.②將代入①得.所以l的方程為，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以該數(shù)列的公差為或.［方法二］：硬算由，知點(diǎn)F為的重心，由三角形重心坐標(biāo)公式可得，即．由點(diǎn)P在橢圓上，把坐標(biāo)代入方程解得，即．由（1）有，直線l的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立消去y得，求得，不妨設(shè)，所以，，，同理可得，，所以，而，故．即該數(shù)列的公差為或.［方法三］：【最優(yōu)解】焦半徑公式的應(yīng)用因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，得．由，知點(diǎn)F為的重心，由三角形重心坐標(biāo)公式可得，由橢圓方程可知，由橢圓的焦半徑公式得，．所以．由方法二硬算可得，或，從而公差為，即該數(shù)列的公差為或.【整體點(diǎn)評】（1）方法一：利用點(diǎn)差法找出斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)在橢圓內(nèi)得到不等關(guān)系，即可解出，對于中點(diǎn)問題，點(diǎn)差法是解決此類問題的常用解法，也是該題的最優(yōu)解；方法二：常規(guī)設(shè)線，通過聯(lián)立得出根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），再根據(jù)即可證出，該法是解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的通性通法．方法三：；類比直線與圓系，采用直線與橢圓系的應(yīng)用，可快速求出公共弦所在直線方程，從而得出斜率，進(jìn)而得證，避免聯(lián)立過程，適當(dāng)簡化運(yùn)算；方法四：利用直線的參數(shù)方程以及參數(shù)的幾何意義，聯(lián)立求出斜率；（2）方法一：直接根據(jù)題意運(yùn)算結(jié)合整體思想，是通性通法；方法二：直接硬算，思路直接，計(jì)算量較大；方法三：利用焦半徑公式簡化運(yùn)算，是該題的最優(yōu)解．21．（1）；（2）.分析：（1）利用橢圓的幾何性質(zhì)確定內(nèi)切圓面積最大時點(diǎn)P的位置，再借助面積關(guān)系列式求解作答.（2）按斜率存在與否討論，聯(lián)立直線與橢圓方程，借助韋達(dá)定理和弦長公式求出的函