高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(提升版)(新高考地區(qū)專用)10.3平面向量的應(yīng)用(精講)(提升版)(原卷版+解析)

10.3平面向量的應(yīng)用（精講）（提升版）考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一在幾何中的運(yùn)用【例1-1】(2023·四川省峨眉）若平面四邊形ABCD滿足：，，則該四邊形一定是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【例1-2】(2023·上海）在中，，分別為邊上的點(diǎn)，且．求證：．【例1-3】(2023·全國·模擬預(yù)測）已知H為的垂心，若，則（

）A． B．C． D．【例1-4】(2023·云南）已知的面積為，，，則AC邊的中線的長為（

）A． B．3 C． D．4【一隅三反】1．(2023·云南師大附中）中，，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知，且，則AD的長為（

）A． B．3 C． D．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，點(diǎn)滿足，若，則的值為（

）A． B． C． D．3．(2023·河南·南陽中學(xué)）直角三角形ABC中，斜邊BC長為a，A是線段PE的中點(diǎn)，PE長為2a，當(dāng)最大時(shí)，與的夾角是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二三角形的四心【例2-1】(2023·全國·高三專題練習(xí)（文））數(shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．【例2-2】（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為邊長為2的正三角形，則的最小值為-1C．若為銳角三角形且外心為，且，則D．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心【一隅三反】1．(2023農(nóng)安月考）為平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡一定過的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心2．(2023·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，，，是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若，一定是的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心3．(2023·全國·）平面內(nèi)及一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．外心 D．垂心4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）對于給定的，其外心為O，重心為G，垂心為H，內(nèi)心為Q，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．若A、P、Q三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使考點(diǎn)三三角形的面積比【例3-1】(2023·天津五十七中模擬預(yù)測）若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：．則與的面積之比為________．【例3-2】(2023·重慶）若是內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則與的面積比為_______.【一隅三反】1．(2023·全國·課時(shí)練習(xí)）已知為內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比為________．2．(2023北京朝陽）已知，為所在平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且滿足，，則__________．3(2023·全國·課時(shí)練習(xí)）設(shè)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則與的面積之比為________________.4．(2023·江西）已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，，則______．考點(diǎn)四平面向量的綜合運(yùn)用【例4-1】(2023·昌吉模擬）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，點(diǎn)E在弧CD上，則的最小值是（）A．－1 B．1 C．－3 D．3【例4-2】(2023·眉山模擬）下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡易側(cè)視圖（為便于計(jì)算，側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點(diǎn)O都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知，，，.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)得，則（）A．28m B．20m C．31m D．22m【一隅三反】1．(2023·湖北模擬）設(shè)A、B為圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且∠AOB=120o，P為直線l：3x–4y–15=0上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．62．(2023·衡陽二模）設(shè)分別是的內(nèi)角的對邊，已知，設(shè)是邊的中點(diǎn)，且的面積為1，則等于（）A．2 B． C． D．-23．（2023·深圳模擬）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的半徑均為，，，均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，的最大值為（）A．18 B．24 C．36 D．484．(2023·宜春模擬）設(shè)、分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，過的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且，該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．(2023·商洛模擬）設(shè)，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在雙曲線C的左?右支上，若，且，則雙曲線C的漸近線斜率為（）A． B． C． D．10.3平面向量的應(yīng)用（精講）（提升版）考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一在幾何中的運(yùn)用【例1-1】(2023·四川省峨眉）若平面四邊形ABCD滿足：，，則該四邊形一定是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形答案：B【解析】，,所以四邊形ABCD為平行四邊形，,，所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.故選：B【例1-2】(2023·上海）在中，，分別為邊上的點(diǎn)，且．求證：．答案：證明見解析.【解析】因?yàn)椋汕?，得，所?【例1-3】(2023·全國·模擬預(yù)測）已知H為的垂心，若，則（

）A． B．C． D．答案：C【解析】依題意，，同理．由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故選：C．【例1-4】(2023·云南）已知的面積為，，，則AC邊的中線的長為（

）A． B．3 C． D．4答案：C【解析】根據(jù)正弦定理由，因?yàn)?，所以，或，?dāng)時(shí)，,不符合三角形內(nèi)角和定理，當(dāng)時(shí)，，因此,因此，因?yàn)榈拿娣e為，所以有，負(fù)值舍去，即，由余弦定理可知：，設(shè)邊的中點(diǎn)為，所以有，因此故選：C【一隅三反】1．(2023·云南師大附中）中，，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知，且，則AD的長為（

）A． B．3 C． D．答案：C【解析】如圖，過作交于，作交于，則，又，所以，，所以，即，又是的平分線，所以，而，所以，，，所以，故選：C．2．(2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，點(diǎn)滿足，若，則的值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】取中點(diǎn)O，連接，，即，M為BC邊上靠近C的三等分點(diǎn)，，，，，又，，.故選：C.3．(2023·河南·南陽中學(xué)）直角三角形ABC中，斜邊BC長為a，A是線段PE的中點(diǎn)，PE長為2a，當(dāng)最大時(shí)，與的夾角是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】如圖所示，設(shè)與的夾角為，，所以，因?yàn)锳是線段PE的中點(diǎn)，PE長為2a，所以，，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)最大，此時(shí)，最大的值為.故選：A.考點(diǎn)二三角形的四心【例2-1】(2023·全國·高三專題練習(xí)（文））數(shù)學(xué)家歐拉于年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心?重心?垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設(shè)點(diǎn)分別為任意的外心?重心?垂心，則下列各式一定正確的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，，，，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D正確.故選：D.【例2-2】（多選）(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為邊長為2的正三角形，則的最小值為-1C．若為銳角三角形且外心為，且，則D．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過的外心答案：ACD【解析】A：如下圖，，則為垂心，易知：，所以，則，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義知：，同理，所以，正確；B：構(gòu)建以中點(diǎn)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，則，若，所以，，由，則，當(dāng)時(shí)的最小值為，錯(cuò)誤；C：由題設(shè)，則，所以，若為中點(diǎn)，則，故，故共線，又，即垂直平分，所以，正確；D：由題設(shè)，，則，所以，若為中點(diǎn)，則，故，所以的軌跡經(jīng)過的外心，正確.故選：ACD【一隅三反】1．(2023農(nóng)安月考）為平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡一定過的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心答案：D【解析】因?yàn)闉榉较蛏系膯挝幌蛄?，為方向上的單位向量?/p>

則+的方向?yàn)椤螧AC的平分線的方向.

又λ∈(0，＋∞)，所以λ(+)的方向與+的方向相同.

而，

所以點(diǎn)P在上移動(dòng)，所以點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.

故選：D2．(2023·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知是平面內(nèi)一點(diǎn)，，，是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，若，一定是的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心答案：C【解析】由題意知，中，，則，即，所以，即，同理，，；所以是的垂心.故選：C3．(2023·全國·）平面內(nèi)及一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．外心 D．垂心答案：B【解析】由知，，即，即，則是的角平分線，同理，即，則是的角平分線，則點(diǎn)是的內(nèi)心.故選:B.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）對于給定的，其外心為O，重心為G，垂心為H，內(nèi)心為Q，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．若A、P、Q三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使答案：BCD【解析】對于A：給定的，其外心為，所以，故A不正確；對于B：因?yàn)闉榻o定的的垂心，故，即,解得：,故B正確；對于C：因?yàn)橹匦臑镚，則有，，所以，故C正確；對于D：由于點(diǎn)在的平分線上，為單位向量，所以與的平分線對應(yīng)向量共線，所以存在實(shí)數(shù)使，故D正確．故選：BCD．考點(diǎn)三三角形的面積比【例3-1】(2023·天津五十七中模擬預(yù)測）若點(diǎn)M是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：．則與的面積之比為________．答案：【解析】因，則，即，于是得點(diǎn)在邊上，并且，有，所以與的面積之比為.故答案為：【例3-2】(2023·重慶）若是內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則與的面積比為_______.答案：【解析】取的中點(diǎn)為，則即，則點(diǎn)為的重心根據(jù)重心的性質(zhì)可得，點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的則故答案為：【一隅三反】1．(2023·全國·課時(shí)練習(xí)）已知為內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比為________．答案：【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，，，即，，，；又為中點(diǎn)，，.故答案為：.2．(2023北京朝陽）已知，為所在平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且滿足，，則__________．答案：【解析】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接并延長，交于，連接并延長，交于，根據(jù)，有，∴為中點(diǎn)，同理也為中點(diǎn)，即與重合，∵，∴的面積為平行四邊形面積的，又∵平行四邊形的面為面積的，∴，故答案為．3(2023·全國·課時(shí)練習(xí)）設(shè)是內(nèi)部一點(diǎn)，且，則與的面積之比為________________.答案：【解析】設(shè)為的中點(diǎn)，如圖所示，連接，則.又，所以，即為的中點(diǎn)，且，即與的面積之比為.4．(2023·江西）已知點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，，，則______．答案：7【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由，所以，所以，，由，所以，所以，又所以，解得或，因?yàn)?，所以故答案為：考點(diǎn)四平面向量的綜合運(yùn)用【例4-1】(2023·昌吉模擬）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，點(diǎn)E在弧CD上，則的最小值是（）A．－1 B．1 C．－3 D．3答案：C【解析】以為原點(diǎn)，為軸的正方形建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：C【例4-2】(2023·眉山模擬）下如圖是世界最高橋——貴州北盤江斜拉橋.下如圖是根據(jù)下如圖作的簡易側(cè)視圖（為便于計(jì)算，側(cè)視圖與實(shí)物有區(qū)別）.在側(cè)視圖中，斜拉桿PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D與塔柱上的點(diǎn)O都在橋面同一側(cè)的水平直線上.已知，，，.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)得，則（）A．28m B．20m C．31m D．22m答案：D【解析】因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)?，所以∽，所以，所以，因?yàn)?，，所以，設(shè)，分別為的中點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以故答案為：D【一隅三反】1．(2023·湖北模擬）設(shè)A、B為圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且∠AOB=120o，P為直線l：3x–4y–15=0上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C【解析】設(shè)C是AB中點(diǎn)，因?yàn)椋?，即C在以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，，，又，所以，所以．故答案為：C．2．(2023·衡陽二模）設(shè)分別是的內(nèi)角的對邊，已知，設(shè)是邊的中點(diǎn)，且的面積為1，則等于（）A．2 B． C． D．-2答案：B【解析】，由正弦定理可得：，整理可得：，由余弦定理可得：，由，可得：，又的面積為1，即，又故答案為：B3．（2023·深