適用于新高考新教材廣西專版2025屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量課時(shí)規(guī)范練41直線平面垂直的判定與性質(zhì)

課時(shí)規(guī)范練41直線、平面垂直的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固組1.設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則下列條件是α⊥β的充要條件的是()A.α,β平行于同一個(gè)平面B.α,β垂直于同一個(gè)平面C.α內(nèi)一條直線垂直于β內(nèi)一條直線D.α內(nèi)存在一條直線垂直于β2.(2024吉林長(zhǎng)春統(tǒng)考三模)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,異面直線A1D與D1C所成角的大小為()A.π6 B.π4 C.π33.如圖,四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結(jié)論不正確的是()A.AC⊥SBB.AD⊥SCC.平面SAC⊥平面SBDD.BD⊥SA4.(2024江西九江二模)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M是平面BCC1B1內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且DM⊥A1C,則DM+MC的最小值為()A.2+2 B.22+2C.2+6 D5.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點(diǎn),則()A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B16.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D7.已知α,β是兩個(gè)不同的平面,l,m是兩條不同的直線,l⊥α,m?β,下列四個(gè)推論:①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l⊥m?α∥β;④l∥m?α⊥β.其中正確的推論是.(填序號(hào))

8.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,AC∩BD=O,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿意時(shí),平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可)

9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)棱PD=a,PA=PC=2a.求證:(1)PD⊥平面ABCD;(2)平面PAC⊥平面PBD.綜合提升組10.(多選)若α,β是兩個(gè)相交平面,則下列結(jié)論中,正確的是()A.若直線m⊥α,則在平面β內(nèi),確定不存在與直線m平行的直線B.若直線m⊥α,則在平面β內(nèi),確定存在多數(shù)條直線與直線m垂直C.若直線m?α,則在平面β內(nèi),確定存在與直線m異面的直線D.若直線m?α,則在平面β內(nèi),確定存在與直線m垂直的直線11.(多選)如圖,在正方體中,O為底面的中心,P為所在棱的中點(diǎn),M,N為正方體的頂點(diǎn).則滿意MN⊥OP的是()12.(2024陜西寶雞二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥DC,CD=2AB=2AD=2,PD=4,AD⊥CD,E為棱PD上一點(diǎn).(1)求證:無(wú)論點(diǎn)E在棱PD的任何位置,都有CD⊥AE成立;(2)若在PB上存在一點(diǎn)H,且PH=2HB,求三棱錐C-ABH的體積.13.(2024四川成都二模)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,△A1B1C1與△AB1C1均是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且AA1=6.(1)求證:平面AB1C1⊥平面A1B1C1;(2)求四棱錐A-BB1C1C的體積.14.在五面體EF-ABCD中,正方形CDEF所在平面與平面ABCD垂直,四邊形ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AD=DC=BC=12AB(1)求證:平面BCF⊥平面ACE;(2)若三棱錐A-BCE的體積為433,求線段AB創(chuàng)新應(yīng)用組15.(2024陜西渭南一模)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E為A1C1的中點(diǎn),AB=BC=2,C1F⊥AB.(1)求證:AB⊥BC;(2)若C1F∥平面ABE,且C1F=2,求點(diǎn)A到平面BCE的距離.16.(2024江西九江十校聯(lián)考二)如圖,四邊形ABCD是正方形,ABEF是矩形,平面ABCD⊥平面ABEF,AF=12AB=2,G是EF上一點(diǎn),且EG=m(0<m<4)(1)當(dāng)m=2時(shí),求證:平面AGC⊥平面BGC;(2)當(dāng)m=1時(shí),求直線AC與平面BCG所成角的余弦值.

課時(shí)規(guī)范練41直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1.D解析若α,β平行于同一個(gè)平面,則α∥β,A錯(cuò)誤;若α,β垂直于同一個(gè)平面,則α,β可能垂直,也可能相互平行,也可能相交但不垂直,B錯(cuò)誤;若α內(nèi)一條直線垂直于β內(nèi)一條直線,則α,β可能垂直,也可能相互平行,也可能相交但不垂直,C錯(cuò)誤;若α內(nèi)一條直線垂直于β,則α⊥β,反之也成立,D正確.2.C解析連接A1B,BD(圖略),在正方體中,A1B∥D1C,所以A1D與A1B所成的角等于異面直線A1D與D1C所成的角.因?yàn)椤鰽1BD為正三角形,所以A1D與A1B所成角的大小為π3.故選C3.D解析SD⊥底面ABCD,SB在平面ABCD的射影BD與AC垂直,則SB⊥AC,A正確;SC在平面ABCD的射影DC與AD垂直,則SC⊥AD,B正確;利用上述垂直可得AC⊥平面SBD,且AC?平面SAC,從而有平面SAC⊥平面SBD,C正確;若BD⊥SA,則BD垂直SA在平面ABCD內(nèi)的射影DA,這不符合題意,D錯(cuò)誤.故選D.4.C解析如圖1,連接BD,BC1,DC1,易知A1C⊥平面BDC1,∵DM⊥A1C,∴DM?平面BDC1,即M在線段BC1上.如圖2,將△BDC1沿著BC1綻開,使得D,B,C,C1四點(diǎn)共面,則DM+MC≥CD=2+6.圖1圖25.A解析連接AD1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D的中點(diǎn),所以M為AD1的中點(diǎn).又N是D1B的中點(diǎn),所以MN∥AB.因?yàn)镸N?平面ABCD,AB?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.因?yàn)锳B不垂直BD,所以MN不垂直BD,則MN不垂直平面BDD1B1,所以選項(xiàng)B,D錯(cuò)誤;在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD1⊥A1D,AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥A1D,AD1∩AB=A,所以A1D⊥平面ABD1.D1B?平面ABD1,所以A1D⊥D1B,且直線A1D,D1B是異面直線,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤,選項(xiàng)A正確.故選A.6.A解析如圖,對(duì)于A,∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF?平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正確.對(duì)于B,連接AC1,易證AC1⊥平面A1BD.假設(shè)平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1?平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC?平面B1EF,EF?平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,明顯不成立,∴假設(shè)不成立,即平面B1EF與平面A1BD不垂直.故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,由題意知,直線AA1與B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC必相交.故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,連接AB1,CB1,易證平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF與平面AB1C相交,∴平面B1EF與平面A1C1D不平行.故D錯(cuò)誤.7.①④解析α∥β,l⊥α,所以l⊥β.又m?β,所以l⊥m,①正確;α⊥β,l⊥α,則l∥β或l?β,所以l,m可能平行、相交或異面,②錯(cuò)誤;l⊥m,l⊥α,m?β,則α,β相交或平行,③錯(cuò)誤;l∥m,l⊥α,則m⊥α,又m?β,所以α⊥β,④正確.8.DM⊥PC(答案不唯一)解析當(dāng)DM⊥PC時(shí),平面MBD⊥平面PCD.證明如下:由四邊形ABCD為菱形,則AC⊥BD.∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PA⊥BD,又PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,又PC?平面PAC,∴BD⊥PC,又DM⊥PC,BD∩DM=D,∴PC⊥平面MBD,又PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.9.證明(1)∵PD=a,DC=a,PC=2a,∴PC2=PD2+DC2,則PD⊥DC.同理可證PD⊥AD.又AD∩DC=D,且AD?平面ABCD,DC?平面ABCD,∴PD⊥平面ABCD.(2)(方法1)由(1)知PD⊥平面ABCD,又AC?平面ABCD,∴PD⊥AC.∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又BD∩PD=D,且PD?平面PBD,BD?平面PBD,∴AC⊥平面PBD.又AC?平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.(方法2)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,連接PO(圖略),易知PO⊥AC.∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又PO∩BD=O,PO?平面PBD,BD?平面PBD,∴AC⊥平面PBD.又AC?平面PAC,∴平面PAC⊥平面PBD.10.BD解析設(shè)平面α∩平面β=直線l,對(duì)于A,當(dāng)平面α⊥平面β時(shí),在平面β內(nèi)作直線n⊥l,則n⊥α,而m⊥α,則n∥m,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,m⊥α,則m⊥l,則平面β內(nèi)與l平行的全部直線都與直線m垂直,故B正確;對(duì)于C,因?yàn)橹本€m?α,則m與l重合時(shí),即m?β,β內(nèi)的全部直線都與m共面,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)m⊥β時(shí),結(jié)論成立,當(dāng)直線m與β不垂直時(shí),作與直線m垂直的平面γ,則γ必與β相交,所得交線與m垂直,故D正確.故選BD.11.BC解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,對(duì)于A,如圖1所示,連接AC,則MN∥AC,圖1故∠POC(或其補(bǔ)角)為異面直線OP,MN所成的角,在直角三角形OPC中,OC=2,CP=1,故tan∠POC=12=22,則圖2對(duì)于B,如圖2所示,取MT的中點(diǎn)為Q,連接PQ,OQ,則OQ⊥MT,PQ⊥MN.由正方體SBCN-MADT可得SM⊥平面MADT,而OQ?平面MADT,故SM⊥OQ,而SN∩MN=N,故OQ⊥平面SNTM.又MN?平面SNTM,則OQ⊥MN,而OQ∩PQ=Q,所以MN⊥平面OPQ,而OP?平面OPQ,故MN⊥OP,故B正確;對(duì)于C,如圖3所示,連接BD,則BD∥MN,由B的推斷可得OP⊥BD,圖3故OP⊥MN,故C正確;對(duì)于D,如圖4所示,取AD的中點(diǎn)Q,AB的中點(diǎn)K,連接AC,PQ,OQ,PK,OK,OA,則AC∥MN.圖4因?yàn)镈P=PC,DQ=QA,所以PQ∥AC,故PQ∥MN,所以∠QPO(或其補(bǔ)角)為異面直線OP,MN所成的角,因?yàn)镻Q=12AC=2OQ=AOPO=PK所以O(shè)Q2<PQ2+OP2,所以∠QPO不是直角,故OP與MN不垂直,故D不合題意.故選BC.12.(1)證明因?yàn)镻D⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PD⊥CD.因?yàn)锳D⊥CD,AD∩PD=D,AD,PD?平面PAD,所以CD⊥平面PAD.因?yàn)镋為棱PD上一點(diǎn),所以AE?平面PAD,所以CD⊥AE.(2)解因?yàn)镻D⊥平面ABCD,沿H作下底面ABCD的垂線HM(圖略),可知HM=13PD=4所以三棱錐C-ABH的體積就等于三棱錐H-ABC的體積,所以V=13|HM|×S△ABC=13×4313.(1)證明如圖,取B1C1的中點(diǎn)O,連接AO,A1O.∵△A1B1C1與△AB1C1均是邊長(zhǎng)為2的正三角形,∴AO⊥B1C1,A1O⊥B1C1,A1O=AO=3,∴∠AOA1為二面角A-B1C1-A1的平面角.∵AA1=6,∴A1O2+AO2=A1A2,∴A1O⊥AO.∵A1O⊥AO,A1O⊥B1C1,AO∩B1C1=O,AO,B1C1?平面AB1C1,∴A1O⊥平面AB1C1.又A1O?平面A1B1C1,∴平面AB1C1⊥平面A1B1C1.(2)解VA-BB1C1C=VABC-A1B1C∵A1O∩B1C1=O,B1C1?平面A1B1C1,A1O?平面A1B1C1,∴AO⊥平面A1B1C1,∴AO為三棱錐A-A1B1C1的高,∴VA-A1B1C1=13×S△A1B1C14.(1)證明如圖,取AB中點(diǎn)O,連接CO.∵四邊形ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AD=DC=BC=12AB,∴四邊形AOCD為菱形,∴CO=OA=OB=BC,∴△OCB為正三角形,AC⊥BC∵正方形CDEF所在平面與平面ABCD垂直,且平面CDEF∩平面ABCD=CD,CD⊥CF,∴FC⊥平面ABCD,又AC?平面ABCD,∴FC⊥AC.∵BC∩FC=C,∴AC⊥平面BCF.∵AC?平面ACE,∴平面ACE⊥平面BCF.(2)解設(shè)BC=x,則AB=2x,由勾股定理得AC=3x,由(1)可知,ED⊥平面ABCD,故VA-BCE=VE-ABC=13S△ABC·EDS△ABC=12·x·3x=32x即36x3=433,解得x=2,即15.(1)證明在直三棱柱中,CC1⊥AB,又C1F⊥AB,且C1F,C1C?平面BCC1B1,CC1∩C1F=C1,∴AB⊥平面BCC1B1,又∵BC?平面BCC1B1,∴AB⊥BC.(2)解如圖,設(shè)平面EC1F與AB的交點(diǎn)為G,連接EG,FG,平面EC1F∩平面ABE=EG,∵C1F∥平面ABE,∴C1F∥EG.∵平面EC1FG與棱柱兩底面的交線為FG,EC1,∴EC1∥FG,∴四邊形EC1FG是平行四邊形.∴FG=EC1,又E是A1C1的中點(diǎn),∴FG=12A1C1=12∴F是BC中點(diǎn),由直棱柱中CF=