四川省仁壽縣2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期國慶作業(yè)月考模擬試卷一含解析

Page24一、單選題（共12小題，每題5分，共60分）1.點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【詳解】由空間直角坐標(biāo)系的性質(zhì)可知，點(diǎn)關(guān)于平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A2.已知是兩個(gè)不同的平面，是空間中兩條不同的直線，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】依據(jù)空間面面以及線面、線線的位置關(guān)系推斷A；依據(jù)面面平行的性質(zhì)推斷B；依據(jù)線面垂直的判定推斷C；舉反例推斷D.【詳解】對于A，若，則或，A錯(cuò)誤；對于B，若，則可能平行也可能異面或相交，B錯(cuò)誤；對于C，由，可得，又，則，C正確；對于D，如圖長方體中，不妨取前方面為，右側(cè)面為，如圖示，，但，D錯(cuò)誤；故選：C3.從裝有兩個(gè)紅球和三個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么互斥而不對立的兩個(gè)事務(wù)是（）A.“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球” B.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”C.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球” D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定條件，利用互斥事務(wù)、對立事務(wù)的定義逐項(xiàng)分析推斷作答.【詳解】對于A，恰好有一個(gè)黑球的事務(wù)與恰好有兩個(gè)黑球的事務(wù)不能同時(shí)發(fā)生，可以同時(shí)不發(fā)生，因此“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”是互斥而不對立的兩個(gè)事務(wù)，A是；對于B，至少有一個(gè)黑球的事務(wù)與都是紅球的事務(wù)是對立事務(wù)，B不是；對于C，至少有一個(gè)黑球的事務(wù)與至少有一個(gè)紅球的事務(wù)可以同時(shí)發(fā)生，不互斥，C不是；對于D，至少有一個(gè)黑球的事務(wù)與都是黑球的事務(wù)可以同時(shí)發(fā)生，不互斥，D不是.故選：A4.如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點(diǎn)，為正方體的頂點(diǎn)．則滿意的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系.依次推斷各選項(xiàng)是否滿意即可.【詳解】如圖建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長為.A選項(xiàng)，，則，則，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，則，即，故C正確；D選項(xiàng)，，則，故D錯(cuò)誤.故選：C5.已知甲、乙兩位同學(xué)在一次射擊練習(xí)中各射靶10次，射中環(huán)數(shù)頻率分布如圖所示：令，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的均值；，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的方差，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】依據(jù)頻率分布圖分別計(jì)算，，比較大小可得.【詳解】由圖可知，，，所以，.故選：D.6.從，，，，中任取兩個(gè)不同的數(shù)，記為，則成立的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式求得正確答案.【詳解】從，，，，中任取兩個(gè)不同的數(shù)，記為，共有個(gè)基本領(lǐng)件，分別為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，記“成立”為事務(wù)，若，則且，所以事務(wù)包含個(gè)基本領(lǐng)件：，，，，，，故其概率為．故選：D7.在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】連接交于點(diǎn)，連接，得到（補(bǔ)角）是異面直線與所成角求解．【詳解】解：如圖所示：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?所以（補(bǔ)角）是異面直線與所成角．因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，又，所以平面PBD，又平面PBD，所以，則為直角三角形，設(shè)，在中，，所以，故選：B．8.M為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)M軌跡必通過△ABC的（）A.垂心 B.內(nèi)心 C.外心 D.重心【答案】C【解析】【分析】設(shè)邊的中點(diǎn)為，結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則化簡向量等式可得，由數(shù)量積的性質(zhì)可得，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)邊的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，又點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，所以點(diǎn)在邊的垂直平分線上，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過△ABC的外心，故選：C.二、多選題（共4小題，每題5分，共20分）9.一個(gè)質(zhì)地勻整的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事務(wù)A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事務(wù)B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.事務(wù)A與事務(wù)B互斥C.事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立 D.【答案】CD【解析】【分析】A.利用古典概型的概率求解推斷；B.利用互斥事務(wù)的定義推斷；C.利用獨(dú)立事務(wù)的概率求解推斷；D.利用并事務(wù)的概率求解推斷.【詳解】解：依題意，拋擲正四面體木塊，第一次向下的數(shù)字有1，2，3，4四個(gè)基本領(lǐng)件，則，A不正確：事務(wù)B含有基本領(lǐng)件有8個(gè)：，，，，，，，，其中事務(wù)，，，發(fā)生時(shí)，事務(wù)A也發(fā)生，即事務(wù)A，B可以同時(shí)發(fā)生，B不正確；拋擲正四面體木塊兩次的全部基本領(lǐng)件有16個(gè)，，，即事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立，C正確；，D正確.故選：CD.10.如圖，在四面體中，平面平面，，則下列結(jié)論正確的是（）A.四面體的體積為B.C.二面角的余弦值為D.四面體外接球的體積為【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)平面平面，得到平面，從而，再由得到，從而平面BCD，可推斷AB選項(xiàng)；易得二面角的平面角是推斷C選項(xiàng)；將原幾何體補(bǔ)成長方體推斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，平面，所以，又，則，且，所以平面BCD，在中，因?yàn)?，，所以，所以，所以，A不正確，B正確；二面角的平面角是，易得，C正確；將原幾何體補(bǔ)成長方體，如圖所示：則四面體的外接球即為長方體的其外接球，外接球的直徑為AD，且，所以半徑，故，D錯(cuò)誤．故選：BC．11.如圖所示是世界人口變更狀況的三幅統(tǒng)計(jì)圖：下列結(jié)論中正確的是（）A.從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加B.2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多C.2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平D.1957年到2050年各洲中北美洲人口增長速度最慢【答案】ABC【解析】【分析】依據(jù)所給折線圖、扇形圖以及直方圖，分析每個(gè)選項(xiàng)中涉及的量的變更，即可得答案.【詳解】對于A，從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加，故A正確；對于B，從扇形圖中能夠明顯地看出2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故B正確；對于C，從條形圖中能夠明顯地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和與歐洲人口基本持平，故C正確；對于D，由題中三幅統(tǒng)計(jì)圖可看得出北美洲人口數(shù)量最少，并不能得出從1957年到2050年中哪個(gè)洲人口增長速度最慢，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12.設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則外接圓的半徑為C.若，則D.若，則為銳角三角形【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理化角為邊，再依據(jù)大邊對大角即可推斷A；利用正弦定理即可推斷B；先利用余弦定理求出，再依據(jù)數(shù)量積的定義即可推斷C；利用正弦定理化角為邊，正在跟進(jìn)余弦定理即可推斷D.【詳解】對于A，因?yàn)?，由正弦定理得，故A正確；對于B，由正弦定理，得，即外接圓的半徑為，故B錯(cuò)誤；對于C，由余弦定理，則，故C正確；對于D，因?yàn)?，由正弦定理得，則，故，所以角銳角，但不愿定為銳角三角形，故D錯(cuò)誤．故選：AC．三、填空題（共4小題，每題5分，共20分）13.用分層抽樣的方法從某校中學(xué)學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本，其中高二年級有學(xué)生600人，抽取了15人.則該校中學(xué)學(xué)生總數(shù)是________人.【答案】1800【解析】【分析】利用比例求出學(xué)生總數(shù).【詳解】，故該校中學(xué)學(xué)生總數(shù)是1800人.故答案為：180014.設(shè)空間向量，，若，則＝______．【答案】3【解析】【分析】依據(jù)空間向量共線得，再利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量模的定義即可得到答案.【詳解】，則明顯，，解得，則，，故答案為：3.15.直線上一點(diǎn)P到與的距離之差的確定值最大，則P的坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】求出B點(diǎn)關(guān)于關(guān)于l對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)P到與的距離之差的幾何意義，確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大，即可求得的方程，聯(lián)立，即可求得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接，則，即，所以①．因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在直線l上，所以，即②．由①②得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．于是所在直線的方程為，即．又，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最大．所以聯(lián)立直線l與的方程即，解得，即l與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為．故答案為：16.一組數(shù)據(jù)按從小到大的依次排列如下：11，12，15，x，17，y，22，26，經(jīng)計(jì)算，該組數(shù)據(jù)中位數(shù)是16，若分位數(shù)是20，則___________.【答案】33【解析】【分析】利用中位數(shù)與百分位數(shù)的定義求得，從而得解.【詳解】因?yàn)椋手形粩?shù)是，解得；因?yàn)?，?5%分位數(shù)是，則；所以故答案為：33.四、解答題.（共6小題，共70分）17.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是，為與的交點(diǎn).若，，，（1）用表示；（2）求對角線的長；（3）求【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合向量的運(yùn)算法則，即可簡潔表示目標(biāo)向量；（2）用基向量表示，再用數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可；（3）依據(jù)（2）中所求，結(jié)合向量夾角余弦值的計(jì)算公式，代值即可.【詳解】（1）連接，如圖：因?yàn)椋?，在，依?jù)向量減法法則可得：因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅喂室驗(yàn)榍矣譃榫€段中點(diǎn)在中（2）因?yàn)轫旤c(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是故由（1）可知故平行四邊形中故：故（3）因?yàn)?，又【點(diǎn)睛】本題考查用基向量表示空間向量，涉及空間向量數(shù)量積的運(yùn)算、模長的求解以及夾角的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.18.已知空間三點(diǎn)，，.（1）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）設(shè)，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由空間向量的數(shù)量積得夾角后求解（2）由空間向量共面定理求解【小問1詳解】由已知，得：，，∴，∴∴以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為【小問2詳解】由，得：∵A，B，C，D四點(diǎn)共面∴存在實(shí)數(shù)，，使得∴，即得：解得：，，∴19.某校組織全體學(xué)生參與“數(shù)學(xué)以我為傲”學(xué)問競賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成果組成樣本，并將得分分成以下6組：，，，……，，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：（1）試估計(jì)這100名學(xué)生得分的眾數(shù)、中位數(shù)；（中位數(shù)保留小數(shù)點(diǎn)后2位）（2）試估計(jì)這100名學(xué)生得分平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；（3）現(xiàn)在按分層抽樣的方法在和兩組中抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人參與這次競賽的溝通會(huì)，求至少有一人在的概率.【答案】（1）眾數(shù)75；中位數(shù)（2）（3）【解析】【分析】（1）利用眾數(shù)與中位數(shù)的定義結(jié)合頻率分步直方圖即可得到這100名學(xué)生得分的眾數(shù)、中位數(shù)估計(jì)值；（2）利用平均數(shù)定義結(jié)合頻率分步直方圖即可得到這100名學(xué)生得分的平均數(shù)估計(jì)值.（3）利用古典概型概率求法即可求得從這5人中隨機(jī)抽取2人參與這次競賽的溝通會(huì)且至少有一人在的概率.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，第4組頻率最大，估計(jì)眾數(shù)為：75；在內(nèi)頻率之和為，設(shè)中位數(shù)為，由圖可知中位數(shù)在，由，得中位數(shù)【小問2詳解】由頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，可得這100名學(xué)生得分的平均數(shù)：【小問3詳解】在和兩組中的人數(shù)分別為：人和人，所以在分組中抽取的人數(shù)為人，記為a，b，c，在分組中抽取的人數(shù)為2人，記為1，2，所以這5人中隨機(jī)抽取2人的狀況有：，共10種取法，至少有一人得分在的狀況有7種，所以所求概率為.20.如圖，在四棱錐中，，四邊形是菱形，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）證明:平面．（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值是?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在實(shí)數(shù)，使得面與面所成銳二面角的余弦值是.【解析】【分析】（1）由題設(shè)，依據(jù)線面垂直的判定得平面，再由線面垂直的性質(zhì)有，并由勾股定理證，最終應(yīng)用線面垂直的判定證結(jié)論；（2）取棱的中點(diǎn)，連接，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值，結(jié)合已知列方程求參數(shù)，即可推斷存在性.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅问橇庑危?因?yàn)槠矫?，且，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，所以，?因?yàn)槠矫?，且，所以平?【小問2詳解】取棱的中點(diǎn)，連接，易證兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，故，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得．平面的一個(gè)法向量為,設(shè)面與面所成的銳二面角為，則，整理得，解得(舍去)．故存在實(shí)數(shù)，使得面與面所成銳二面角的余弦值是．21.年月日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙勝利著陸，航天員翟志剛、王亞平、葉光富完成在軌駐留半年的太空飛行任務(wù)，標(biāo)記著中國空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段圓滿完成．并將進(jìn)入建立階段某地區(qū)為了激發(fā)人們對天文學(xué)的愛好，開展了天文學(xué)問競賽，滿分分（分及以上為認(rèn)知程度高），結(jié)果認(rèn)知程度高的有人，這人按年齡分成組，其中第一組：，其次組：，第三組：，第四組：，第五組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有人．（1）依據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這人的第百分位數(shù)（中位數(shù)第百分位數(shù)）；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，擔(dān)當(dāng)“黨章黨史”的宣揚(yáng)使者．①若有甲（年齡），乙（年齡）兩人已確定入選宣揚(yáng)使者，現(xiàn)支配從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；②若第四組宣揚(yáng)使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，第五組宣揚(yáng)使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為和，據(jù)此估計(jì)這人中歲全部人的年齡的平均數(shù)和方差．【答案】（1）（2）①；②年齡的平均數(shù)為，方差約為【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖可確定第百分位數(shù)第四組，依據(jù)第百分位數(shù)定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）①依據(jù)分層抽樣原則可求得第四組和第五組抽取的人數(shù)，接受列舉法可得樣本點(diǎn)總數(shù)和滿意題意的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，依據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果；②由可求得第四組和第五組全部宣揚(yáng)使者的年齡平均數(shù)，由可求得第四組和第五組全部宣揚(yáng)使者的年齡方差.【小問1詳解】設(shè)第百分位數(shù)為，，，位于第四組：內(nèi)；方法一：由得：．方法二：由得：．【小問2詳解】①由題